1.1.2 空间向量的数量积运算-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（人教A版）

009 1.1.2空间向量的数量积运算 新课程标准解读 学科核心素养 1.理解空间两个向量夹角的定义. 直观想象 2.掌握空间向量数量积的定义、性质、运算律，会求空间向量的数量积， 数学抽象、数学运算 3.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义，会求投影向量的模， 数学抽象、数学运算 4.能初步运用数量积解决空间中的垂直、夹角及距离问题， 数学运算、逻辑推理 教材梳理明要点 ●情境导入 [提示] 平面几何图形中的长度、夹角等问题可以用平面向量的数量积运算来解决，那 可以利用空间向量的 数量积运算来解决， 么空间中的垂直、夹角及距离问题如何用向量来解决呢？ [提示] [知识点反思] (1)对空间任意两个 目新知初探 非零向量a,b有： 知识点一空间向量的夹角 ①〈a,b〉=〈b, a〉；@〈-a,b〉= 定义 已知两个非零向量a,b,在空间任取一点0，作OA=a,OB=b,则 〈a,-b〉=元- 叫做向量a,b的夹角，记作(a,b) 〈a,b〉；③(-a, -b)=(a,b>. 范围 0≤(a,b〉≤m (2)向量的数量积的 结果为实数，而不是 向量垂直 如果(a,b)=受，那么向量a,b互相垂直，记作a1b 向量，它可以是正 数、负数或零，其特 知识点二 空间向量的数量积 号由夹角日的范围 决定 定义 两个非零向量a,b,则lallb1cos〈a,b)叫做a,b的数量积，记作 ①当日为锐角时， a·b.即a·b= a·b>0;但当a·b >0时，日不一定为 a⊥b台 锐角，因为日也可能 性质 为0. a·a=lal lalcos(a,a〉= ②当日为钝角时， a·b<0;但当a·b (λa)·b=入(a·b),入∈R: <0时，日不一定为 运算律 a·b=b·a(交换律)； 钝角，因为日也可能 (a+b)·c= (分配律) 为元. (3）空间向量的数量 知识点三投影向量 积运算不满足消去律 1.向量a在向量b上的投影向量：将向量a,b平移到同一个平面a内，利用平面 和结合律.即a·b=a 上向量的投影方法，得到与向量b共线的向量c,c= ,向量c ·c→b=c,(a·b) 称为向量a在向量b上的投影向量 ·c=a·(b·c)都不 2.向量a在平面B上的投影向量：分别由向量a的起，点A和终点B作平面B 成立. (4)向量a在向量b 的 垂足分别为A',B',得到向量A'B',向量A'B'称为向量a在平面 上的投影向量c= B上的 这时，向量a,A'B'的夹角就是向量a所在直线与平面B所 lalcos〈a,b)b b 成的角. [知识点反思] a·bb 1b11b1 010 目预习自测 1.在正三棱柱ABC-AB,C1中，BC与B,A1的夹角等于 A.30° B.60° C.150° D.120° 2.已知向量a和b的夹角为120°，且1a1=2,1b1=5,则(2a-b)·u等于 () A.12 B.8+13 C.4 D.13 3已知空间向量1a=B,b1=5,且a与b夹角的余弦值为-9则a在上的投影向量为 A._9113 13 B996 D.- 题型探究提技能 题型一用数量积证明空间垂直关系 例1如图所示，在正方体4BCD_ABGD中，0为AC 与BD的交点，G为CC1的中点，求证：AO⊥平 [方法总结1] 向量法证明线面垂直 面GBD. 关系： (1)证明线线垂直的 关键是确定直线的方 ●[方法总结1] 向向量，根据直线的 方向向量的数量积为 0,证明线线垂直. (2)证明直线与平面 垂直则要利用直线和 平面垂直的判定定理 转化为直线和直线垂 直证明. 〉跟踪训练1 如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长 都等于a,点M,N分别是AB,CD的中点，求证：MW⊥AB. 011 题型二用数量积求两点距离 例2如图所示，在空间四面体01C中，01,0B,0C两两成 60°角，且OA=OB=OC=2,E为OA的中点，F为BC 的中点，试求E,F间的距离. [方法总结2] 用数量积求两点间距 离的步骤 (1)将两点、确定的线 ●[方法总结2] 段用向量表示，把距 离转化为向量的模 (2)用已知模和夹角 的向量表示此向量 (3)用公式Ia=√ 求解 )》跟踪训训练2 [方法总结3] 已知在平行六面体ABCD-AB,C,D1中，A41=AB=AD=1,且这三条棱彼 利用数量积求异面直 此之间的夹角都是60°，则AC,的长为 ( 线所成角的方法 A.6 B.√6 C.3 D.3 步骤： 题型三用数量积求线线角 (1)根据题设条件在 例3如图，在直三棱柱ABCA4,BC,中，三角形C是 两异面直线上取两个 向量. ∠B=90°的等腰直角三角形，若AB=BB1=a, (2)将求异面直线所 (1)求向量BA,与AC所成的角； 成的角转化为求向量 (2)求异面直线BA,与AC所成的角. 的夹角问题 (3)利用数量积求向 D[方法总结3] 量夹角的余弦值 (4)利用异面直线所 成的角和句量的夹角 相等或互补关系，把 向量的夹角转化为异 面直线所成的角异 面直线所成的角的范 图是0受引，南向 量夹角的取值范围为 [0,元]： 〉跟踪训练3 已知空间四边形OABC各边及对角线长都等于2，E,F分别为AB,OC的中 点，则异面直线OE与BF所成角的余弦值为 012 随堂检测重反馈 1.（多选)如图所示，在正方体ABCD-A,B,C,D1中，下列各组向量的夹角为45°的 D 是 ( A.AB与A1C1 B.AB与CA C.BC与C,B D.BC与AD1 2.在正三棱柱ABC-A,B,C1中，AB=2,BB1=3,则AB,·AC= A.1 B.2 C.3 D.4 3.已知空间四边形01BC中，0B=0C,∠A0B=∠A0C=5,则os(0A,BC的值为 A月 B② c D.0 4.如图，在长方体ABCD-AB,C,D,中，设AD=A41=1,AB=2,P是C,D1的中 点，则B,C与AP成角的大小为 B,C·AP= 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[3] 1.己空间向量基本定理 新课程标准解读 学科核心素养 1.理解空间向量基本定理及其意义. 数学抽象 2.会用空间的一个基底表示空间向量 逻辑推理 3.初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的方法 数学运算、逻辑推理 教材梳理 明要点 ●情境导入 [提示] 我们知道，平面内的任意一个向量p都可以用两个不共线的向量a,b来 任意一个空间向量都 可以用任意三个不共 表示（平面向量基本定理）.类似地，任意一个空间向量能否用任意三个不 面的向量来表示；一 共面的向量a,b,c来表示呢？ P[提示] 个向量用三个确定的 不共面向量表示的结 e新知初探 果是唯一的， 知识点一空间向量基本定理 [知识点反思1] 1.定理：如果三个向量a,b,c ,那么对任意一个空间向量卫，存在任意三个不共面的向 的有序实数组(x,y,z),使得p= 量都可以构成空间的 2.基底：如果三个向量α，b,c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是 一个基底；任意一个 空间的基底都可以生 {plp=xa+yb+C,x,y,z∈R}.这个集合可看作由向量a,b,c生成的，我 成空间的所有向量； 们把{a,b,c}叫做空间的一个 ,4,b,c都叫做基向量 同一个向量在同一个 >[知识点反思1] 基底下的分解式是唯 一的1.1.2空间向量的数量积运算 教材梳理明要点 新知初探 知识点一 ∠AOB 知识点二 lallb1cos(a,b〉a·b=0Ial2a·c+b·c 知识点三 1.lalcos(a.6) 2.垂线投影向量 预习自测 1.B(B元，BA)=(BC,B=60°.故选B. 2.D(2a-b)·a=2a2-b·a=21a12-1al1b1·cos120°= 2×4-2x5×(-）=13 3Da在b上的投影向量为1a1ms(a,b)合=B× 题型探究提技能 例1：【证明】设A1B=a,AD=b,A,A=c, 则a·b=0,b·c=0,a·c=0,Ial=Ib1=Icl. 市=A+d=A有+分(+=c+a+, BD=AD-AB=b-a, 成=成+成=2(+动)+2=2a+b-之， i.励=(e+2a+）(b-a) cc.b-c::8-t8it8-8a =2w-d)=(b12-ia)=0 于是A,d1Bd,即A,01BD.同理可证A1d10d,即A,010G 又：OG∩BD=O,OGC平面GBD,BDC平面GBD, ∴.AO⊥平面GBD. 跟踪训练1：【证明】设AB=p,A亿=q,AD=r. 由题意可知，lpl=lq=Irl=a,且p,q,r三向量两两夹角塔 为60° =-=之(d+-分店=之(g+r-p), 所以.-(q+r-p)·p -qn+r-) =2(a2oas60°+dcos60-a2）=0, 所以M⊥AB,即MW⊥AB. 例2：【解析】亦-+-O+(店+A心) =2a+[(oi-oi+(od-a] 所以胶=亦+子亦+心+2×(-7)×分. 0成+2×(-)×2i.0d+2x7×2成.成=2 所以E1=2,即E,F间的距离为2 跟踪训练2：B设AB=a,Ad=b,AA=c,则Ial=Ib1=1cl=1, 且(a,b〉=(b,c〉=(c,a〉=60°，因此a·b=b·c=c·a= 分由C=a+b+c,得1C=记=+公+e+2ab +2b·c+2c·a=6.所以1AC1=6. 例3：【解析】因为BB,是直三棱柱ABC-A1B,C1侧棱， 所以AB⊥BC,BB,⊥AB,BB1⊥BC, 所以AB·B元=0，BB·A=0,BB·B=0, 所以BA·AC=(BA+BB)·(AB+BC) =B.Ai+BA·BC+BB·AB+BB.BC=BA·AB=-a2, 又BA·A元=IBAIIACIcos<BA,AC, 所以武。分 (1)因为<BA,A心e[0,m],所以<BA,AC=120°， 即向量BA与AC所成的角为120°. (2)因为异面直线所成的角是锐角或直角， 所以异面直线BA,与AC所成的角为60°， 跟踪训练3：号由已知得0成=号(0+0成)，B亦=0亦-0= d-0应，因此0应=20+0成=2√4+4+2x2x2×7 =5,=2-应=√仔x4+4-2x2x=5 又因为o成.B脉=2(0+0成)·（20心-0成)=4×2 子×2+4×2-2=-2，所以s(正，丽)=正：旺 OELIBFI -2 5×5 =一子故异面直线OE与BF所成角的余弦值为号 随堂检测重反馈 1.AD 2.B根据题意得∠A1AC=90°，所以A4·Ad=0 等边△ABC中，A店.A元=IAB1·1AC1cs60 =2×2×分=2，因此记.花=（不+ A成)·A元=AA·A元+A店.A亡=2.故选B. 3.D0.B元=Oi·(0元-0)=0.o元-0.0i= 1Oi10dcos∠A0C-Oi10i1cos∠A0B=71Oi110d1- 210i0=-0,所以01.所以cms(oi,d)=0 4.60°1解法一：连接AD,PD(图略)，则∠PA,D就是B,乙与 A1P所成的角，在△PAD中，易得PA1=DA,=PD=E,即 △PAD为等边三角形，从而∠PA1D=60°，即B,C与A1P所成 角的大小为60°，因此B,C·A,P=√2×，2×cos60°=1. 99 解法二：根据向量的线性运算可得，B,乙·A产=(A,A+A)· (A心+)A)=A迹=1.由题意可得PA,=B,C=2,则2× 2×cos(B,C,A1P)=1,从而(B,元，A,2)=60° 1.2空间向量基本定理 教材梳理明要点 新知初探 知识点一 1.不共面唯一 xa+yb +zc 2.基底 知识点二 1.两两垂直1 2.两两垂直 预习自测 1.(1)×(2)V(3)V(4)V 【解析】(1)任意三个不共面向量都可以作为空间的一个基 底，故(1)错误.(2)若a,b,c中有一个零向量，则a,b,c三向 量共面不能构成基底，故a,b,c均为非零向量.(3)若B,Bm B不能构成空间的一个基底，则三向量共面，且有公共起点 B,因此A,B,M,W四点共面.(4)因为a,b,c不共面，则必有x =y=z=0. 2.C由空间向量基本定理可知C正确 3D成-i+应=0耐+分动-0+4（破+d)=0+ 子（成-a+0成-a),所以a成=a+子b+子c 题型探究提技能 例1：【解析】假设0,02,0d共面. 则存在实数A,4使得Oi=入O店+uO元， .e1+2e2-e3 =A(-3e1+e2+2e3)+u(e1+e2-e3) =(-3入+u)e1+(入+u)e2+(2入-u)e3, e1,e2,e3不共面， 「-3入+u=1, .入+u=2,此方程组无解， 2入-u=-1, .假设不成立， .0A,02,0元不共面， .{0A,0B,0心可以作为空间的一个基底 跟踪训练1：C解法一：因为a-b=(a-c) (b-c),所以向量a-c,b-c,a-b共面，不构 a- 成基底， 解法二：如图，表示向量a-c,b-c,a-b的三 条有向线段在三棱锥的一个侧面内，所以三个 向量共面，不构成基底 例2：【解析】(1)如图，连接AC,EF,DF,BD1 DB=D方+D成 =-A4+A应-A =a-b-c. 成=成+亦=2D,+2d =子(+动+之(+ (2)D市=号(0市+D =(-d+0蓟 =2(-c+a-b-e) =b- 又D,F=xa+yb+zc, x=7y=分=-1 1 跟踪训练2：【解析】(1)DB=D元+CB=D元+BB-BC=a- b+c. B成=Bi+AM+A,店=-a+b+c =+脉=a+子(b+e)=a+b D +2 (2)DD+DB+CD=DD+(CD+DB) DD+CB=DD+D A=DA. 如图，DA即为所求. 例3：【解析】(1)证明：设D=i,D元=j,DD=k, 则i了，k}构成空间的一个正交基底. 成-动+亦-+2（耐+成=+， B C=BB+BC=-i-k, 成.B衣(2i+-）(-i-k)=-32+ 2kP=0, .E7⊥B,C,即EF⊥B,C. (2):成=2i+2力i-2k,cG=c+c=-k-i, 2=(2分+岁-）=子1+子+子k 3,即1=万，1G2=（-k-）=k12+gj2=4+ 号9即G2, ·os(E成，Gd=·CG IEFIIC GI (2+岁2(-k-动) -30 5x2而 2/30 15 3 3 即EF与C,C所成角的余弦值为0. 15