1.1空间向量及其运算导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦空间向量及其运算，涵盖概念、线性运算、共线共面定理及数量积运算。通过类比平面向量导入，引导学生迁移已有知识，构建空间向量的概念体系与运算规则，形成新旧知识的学习支架。 资料以探究活动驱动学习，设计类比迁移问题与小组讨论，结合多样题型巩固，培养学生抽象能力、推理意识与应用意识，帮助学生用数学思维理解空间关系，提升解决实际问题的能力。

课题一 1.1.1空间向量及其运算 课程导入：我们已经学习过平面向量的概念和线性运算，我们类比平面向量，给出空间向量的概念 平面向量的概念 空间向量的概念 平面内，既有大小又有方向的量，称为平面向量，平面向量的大小叫做向量的长度或模，记作或. 探究1：你能继续类比平面向量，得出空间向量的相关概念吗？ 向量名称 定义 零向量 叫做零向量，记作0 单位向量 ，叫做单位向量 相等向量 叫做相等向量；向量a与b相等，记作a＝b 相反向量 叫做相反向量，记作 ； 平行向量(共线向量) 叫做平行向量；向量a与b平行，记作a∥b， 规定： 与任意向量平行 考点一：概念的辨析 【例1】（1）下列说法正确的是(　　) A．若|a|<|b|，则a<b B．若a，b为相反向量，则a＋b＝0 C．空间内两平行向量相等 D．四边形ABCD中，－＝ (2)如图所示，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，顶点连接的所有向量中，与向量相等的向量有________；与向量相反的向量有______________．(要求写出所有适合条件的向量) 课程导入：如图已知空间向量 ，以任意点O为起点，作向量 ，我们就可以把它们平移到同一个平面内，那么空间向量的线性运算就可以转化为平面向量的线性运算。 探究2： 回顾平面向量的线性运算有加法、减法和数乘运算，你能继续类比平面向量，得出空间向量的运算吗？ 平面向量的线性运算 空间向量的线性运算 (1) 加、减运算：求两个平面向量的和与差的运算。法则：三角形和平行四边形法则 (2) 数乘运算：实数λ与平面向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下： (1) 加、减运算 ________ ________ (2) ) 数乘运算： 当时， 当时， 当时， 探究3：平面向量线性运算的运算律有哪些？你能类比它们得出空间向量线性运算的运算律吗？ 平面向量的线性运算 空间向量的线性运算 (3)运算律： ①交换律： a + b＝b + a； ②结合律： a + (b + c)＝(a + b) + c， λ(μa)＝(λμ)a； ③分配律： (λ+μ)a＝λa + μa， λ(a+b)＝λa + λb. 思考： 如何证明空间向量的加法结合律呢？（小组讨论） 在平行六面体ABCD－A'B'C'D'中，记 则 a + (b + c)＝ (a +b) + c＝ 所以a + (b + c)＝(a +b) + c 总结： 一般地，对于三个不共面的向量 a，b，c，以任意点 O为起点， a，b，c为邻边作平行六面体，则 a，b，c的和等于以O为起点的平行六面体对角线所表示的向量。 考点二：空间向量的线性运算 【例2】如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量： (1) (2) (3)＋. 练习2、（多选）如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式运算结果为的是（　 　） A.－－ B.＋－ C.－－ D.－＋ 补充练：已知平行六面体ABCD－A'B'C'D'，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果对应的向量. （1）＋＋； （2）－＋； （3）＋＋（－）. 课程导入：我们已经学过平面向量共线定理，那么在空间向量里共线定理还成立吗？ 平面向量共线的充要条件 空间向量共线的充要条件 对任意两个平面向量 a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是：存在实数λ，使a＝λb . 对任意两个空间向量 a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是：________． 课程导入：共面向量的定义 如图，如果表示向量的有向线段所在的直线与直线平行或重合，那么称向量平行于直线．如果直线平行于平面或在平面内，那么称向量平行于平面．平行于同一个平面的向量，叫做共面向量。 探究4：你能继续类比平面向量，得出空间向量的共面定理吗？ 如果两个向量，，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是：存在唯一的有序实数对，使得________________ 考点三：空间向量共线问题 【例3】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为A1C上一点，且＝，BD与AC交于点M.求证：C1，O，M三点共线． 练习3.如图所示，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，并且使＝＝＝＝k， 求证：E，F，G，H四点共面． 1.1.2空间向量的数量积运算 探究1：类比平面向量，如何得出空间向量夹角的概念？ 空间向量的概念 空间向量的图示 对非零向量,作,则叫做与的夹角,记作,________ 当时, 记做________ 探究2：类比平面向量，如何得出空间向量数量积的定义？ 两个非零向量, 则叫做的数量积, 记作,即 ________ 特别地，零向量与任意向量的数量积为 ________ 思考：由数量积定义可以得到哪些变形公式呢？（小组讨论） 1） 2） 3） 探究3：类比平面向量数量积运算的运算律，空间向量的数量积运算有哪些运算律？ 平面向量数量积运算律 空间向量数量积运算律 ， (交换律) (分配律) 【例4】 如图,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F分别是AB,AD的中点,计算: （1） · （2） ·; （3） (3)· 练习4、如图，在平行六面体中，，，，则（ ） A．12 B．8 C．6 D．4 【例5】 如图，在平行六面体中，，，，，．求： （1）； （2）的长． 练习5、如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 补充练.已知正方体ABCD⁃A1B1C1D1的棱长为1,若动点P在线段BD1上运动,则·的取值范围是 . 课题一 1.1.1空间向量及其运算（答案） 课程导入：我们已经学习过平面向量的概念和线性运算，我们类比平面向量，给出空间向量的概念 平面向量的概念 空间向量的概念 平面内，既有大小又有方向的量，称为平面向量，平面向量的大小叫做向量的长度或模，记作或. 空间中，既有大小又有方向的量，称为空间向量，空间向量的大小叫做向量的长度或模，记作或. 探究1：你能继续类比平面向量，得出空间向量的相关概念吗？ 平面向量的相关概念 空间向量的相关概念 零 向 量：模为 0 的向量，记作 ；零向量的方向任意； 单位向量：模为 1 的向量； 相等向量：模和方向都相同的两个向量，记作 ； 相反向量：模相同，方向相反的两个向量，记作 ； 考点一：概念的辨析 【例1】（1）下列说法正确的是(D　) A．若|a|<|b|，则a<b B．若a，b为相反向量，则a＋b＝0 C．空间内两平行向量相等 D．四边形ABCD中，－＝ (2)如图所示，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，顶点连接的所有向量中，与向量相等的向量有________；与向量相反的向量有______________．(要求写出所有适合条件的向量) 【详解】解：因为多面体ABCD­A′B′C′D′为平行六面体， 所以与向量相等的向量有，，， 与向量相反的向量有，，， 故答案为：，，；，，， 课程导入：如图已知空间向量 ，以任意点O为起点，作向量 ，我们就可以把它们平移到同一个平面内，那么空间向量的线性运算就可以转化为平面向量的线性运算。 探究2： 回顾平面向量的线性运算有加法、减法和数乘运算，你能继续类比平面向量，得出空间向量的运算吗？ 平面向量的线性运算 空间向量的线性运算 (1) 加、减运算：求两个平面向量的和与差的运算。法则：三角形和平行四边形法则 (2) 数乘运算：实数λ与平面向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下： (1) 加、减运算： (2) 当时，方向与相同且； 当时，方向与相反且； 当时，为零量. 探究3：平面向量线性运算的运算律有哪些？你能类比它们得出空间向量线性运算的运算律吗？ 平面向量的线性运算 空间向量的线性运算 (3)运算律： ①交换律： a + b＝b + a； ②结合律： a + (b + c)＝(a + b) + c， λ(μa)＝(λμ)a； ③分配律： (λ+μ)a＝λa + μa， λ(a+b)＝λa + λb. (3)运算律： ①交换律： a + b＝b + a； ②结合律： a + (b + c) ＝(a + b) + c， λ(μa)＝(λμ)a； ③分配律： (λ+μ)a＝λa + μa， λ(a+b)＝λa + λb. 思考： 如何证明空间向量的加法结合律呢？（小组讨论） 在平行六面体ABCD－A'B'C'D'中，记 则 a + (b + c) (a +b) + c 所以a + (b + c)＝(a +b) + c 总结： 一般地，对于三个不共面的向量 a，b，c，以任意点 O为起点， a，b，c为邻边作平行六面体，则 a，b，c的和等于以O为起点的平行六面体对角线所表示的向量。 考点二：空间向量的线性运算 【例2】如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量： (1) (2) (3)＋. 【详解】（1）因为是的中点，， 所以. （2）因为为的中点，， 所以. （3）因为为的中点，， 所以， ， 所以. 练习2、（多选）如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式运算结果为的是（ABC　 　） A.－－ B.＋－ C.－－ D.－＋ 补充练：已知平行六面体ABCD－A'B'C'D'，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果对应的向量. （1）＋＋； （2）－＋； （3）＋＋（－）. 【详解】（1）， 向量如图所示.    （2）； 向量如图所示.    （3）， 设是线段的中点， 则. 向量如图所示.    课程导入：我们已经学过平面向量共线定理，那么在空间向量里共线定理还成立吗？ 平面向量共线的充要条件 空间向量共线的充要条件 对任意两个平面向量 a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是：存在实数λ，使a＝λb . 对任意两个空间向量 a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是：存在实数λ，使a＝λb .． 课程导入：共面向量的定义 如图，如果表示向量的有向线段所在的直线与直线平行或重合，那么称向量平行于直线．如果直线平行于平面或在平面内，那么称向量平行于平面．平行于同一个平面的向量，叫做共面向量。 探究4：你能继续类比平面向量，得出空间向量的共面定理吗？ 如果两个向量，，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是：存在唯一的有序实数对，使得 考点三：空间向量共线问题 【例3】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为A1C上一点，且＝，BD与AC交于点M.求证：C1，O，M三点共线． 在正方体中，令， ，BD与AC交于点M，即点M是的中点， 于是 ， ， 因此，即，而直线与直线有公共点， 所以三点共线. 练习3.如图所示，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，并且使＝＝＝＝k， 求证：E，F，G，H四点共面． 因为从所在平面外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，且满足，则有向量，，，， 而在中，有，所以 故E，F，G，H四点共面，证毕. 1.1.2空间向量的数量积运算 探究1：类比平面向量，如何得出空间向量夹角的概念？ 空间向量的概念 空间向量的图示 对非零向量,作,则叫做与的夹角,记作 当时, 记做_a⊥b_______ 探究2：类比平面向量，如何得出空间向量数量积的定义？ 两个非零向量, 则叫做的数量积, 记作, 即 特别地，零向量与任意向量的数量积为 ____0____ 思考：由数量积定义可以得到哪些变形公式呢？（小组讨论） 探究3：类比平面向量数量积运算的运算律，空间向量的数量积运算有哪些运算律？ 平面向量数量积运算律 空间向量数量积运算律 ， (交换律) (分配律) ， (交换律) (分配律) 【例4】 如图,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F分别是AB,AD的中点,计算: （4） · （5） ·; （6） (3)· 【解析】(1)·=·=||||·cos<,>=×1×1×cos 60°=,所以·=。 (2)·=·=||||cos<,>=×1×1×cos 0°=,所以·=。 (3)·=·=||||cos<,>=×1×1×cos 120°=-,所以·=- 练习4、如图，在平行六面体中，，，，则（ ） A．12 B．8 C．6 D．4 【详解】 故选：B 【例5】 如图，在平行六面体中，，，，，．求： （1）； （2）的长． 【详解】（1）由题意可得：. （2）因为 则 ， 所以. 练习5、如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【详解】在正三棱柱中，向量不共面 ，，， 令，则，而，， 于是得， 因此，， 所以与所成角的大小为. 故选：B 补充练.已知正方体ABCD⁃A1B1C1D1的棱长为1,若动点P在线段BD1上运动,则·的取值范围是 . 【详解】依题意，设，其中， . 因此的最大值是1. 1.1.2空间向量的数量积运算（答案） 探究1：类比平面向量，如何得出空间向量夹角的概念？ 空间向量的概念 空间向量的图示 对非零向量,作,则叫做与的夹角,记作 当时, 记做_a⊥b_______ 探究2：类比平面向量，如何得出空间向量数量积的定义？ 两个非零向量, 则叫做的数量积, 记作, 即 特别地，零向量与任意向量的数量积为 ____0____ 思考：由数量积定义可以得到哪些变形公式呢？（小组讨论） 探究3：类比平面向量数量积运算的运算律，空间向量的数量积运算有哪些运算律？ 平面向量数量积运算律 空间向量数量积运算律 ， (交换律) (分配律) ， (交换律) (分配律) 【例4】 如图,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F分别是AB,AD的中点,计算: （7） · （8） ·; （9） (3)· 【解析】(1)·=·=||||·cos<,>=×1×1×cos 60°=,所以·=。 (2)·=·=||||cos<,>=×1×1×cos 0°=,所以·=。 (3)·=·=||||cos<,>=×1×1×cos 120°=-,所以·=- 练习4、如图，在平行六面体中，，，，则（ ） A．12 B．8 C．6 D．4 【详解】 故选：B 【例5】 如图，在平行六面体中，，，，，．求： （1）； （2）的长． 【详解】（1）由题意可得：. （2）因为 则 ， 所以. 练习5、如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【详解】在正三棱柱中，向量不共面 ，，， 令，则，而，， 于是得， 因此，， 所以与所成角的大小为. 故选：B 补充练.已知正方体ABCD⁃A1B1C1D1的棱长为1,若动点P在线段BD1上运动,则·的取值范围是 . 【详解】依题意，设，其中， . 因此的最大值是1. 1 学科网（北京）股份有限公司 $