1.1.1空间向量及其线性运算 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦“空间向量及其线性运算”，引导学生通过类比平面向量，梳理空间向量的定义、特殊向量、加减法与数乘运算及共线共面充要条件，搭建从平面到空间的知识迁移支架。 以问题驱动学习，例题与变式涵盖长方体、正方体等几何体，培养数学抽象与逻辑推理能力，习题分层设计，助力学生提升空间观念与符号表达能力，适合自主探究与课堂教学使用。

课题:1.1.1 空间向量及其线性运算 主备人： 审核人： 使用班级： 姓名： 学习笔记 【学习目标】求空间向量的线性运算. 【知识梳理】预习课本P2-P5,类比平面向量，完成下列填空： 1.在空间，把具有 大小 和 方向 的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的 长度 或 模 . 空间向量可用表示，也可记作，其模记为 | | 或 | | . 注：印刷用黑体a表示. 2.几类特殊的空间向量 (1)零向量：长度为 0 的向量，记为 . (2)单位向量： 模为1 的向量. (3)相反向量：与向量长度 相等 且方向 相反 的向量，叫做的相反向量，记为 - . 的相反向量为 . (4)共线(平行)向量：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线 互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量. 规定：零向量与任意向量 平行 ，即对于任意向量，都有 // . (5)相等向量：方向 相同 且模 相等 的向量. 注：空间向量 不能 比大小（填 能/不能）. 3.空间向量的加减法运算： 空间向量的加法运算法则： (1)三角形法则：首尾顺次相接，首指向尾为和，如图1. (2)平行四边形法则：共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和，如图2. 空间向量减法运算的几何意义：共起点，连终点，方向指向被减向量，如图3. 图1　+= .　 图2　+= .　 图3 — = 空间向量加法运算律： (1)交换律：+= + . (2)结合律：(+)+= +(+) . 4.空间向量的数乘运算： (1)定义：实数λ 与 空间向量 的乘积 λ 仍然是一个 向量 ，称为空间向量的数乘. (2)几何意义(若≠) ①当λ>0时， λ 与 向量的方向 相同 ； ②当λ<0时， λ 与 向量 的方向 相反 ； ③当λ=0时， λ = ，其方向是任意的； ④ λ 的长度是 的长度的 | λ | 倍. (3)空间向量数乘运算律 结合律：λ(μ) = (λμ) ； 分配律：(λ+μ) = λ+μ ，λ(+) = λ+λ . 【例1】如图，E，F分别是长方体的棱AB，CD的中点、化简下列表达式： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）. 【变式练】(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为的是(BCD) A.-+ B.++ C.-+ D.++ 【例2】如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设=a，=b，=c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量： ①； ②； ③. 解：　①∵P是C1D1的中点， ∴=++=a++ =a+c+=a+b+c. ②∵N是BC的中点， ∴=++=-a+b+ =-a+b+=-a+b+c. ③∵M是AA1的中点， ∴=+=+ =-a+=a+b+c. 【变式练】如图，已知四面体ABCD，E，F分别是BC，CD的中点，化简下列表达式： （1） ； （2） ； （3） 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）； （2）； （3）. 5.空间向量共线的充要条件 对任意两个空间向量，(≠)，∥的充要条件是存在实数λ，使 =λ . 补充：判定空间中不重合的三点(如P，A，B)共线的方法： 方法①：=λ(λ∈R)； （注：此条件也可判定，两个向量共线） 方法②：对空间任一点O，=x+y且x+y=1. 6.空间向量共面的充要条件 向量与不共线向量，共面的充要条件是存在 唯一 的有序实数对(x，y)，使 =x+y . 补充：判定空间中的四点(如M，P，A，B)共面的方法： 方法①：=x+y(x，y∈R) （注：此条件也可判定，，三个向量共面） 方法②：对于空间任意一点O，=x+y+z且x+y+z=1. 【例3】1.已知不共线向量，，，=-2+，=-5-6+4，=7+2-2，则一定共线的三个点是(　D ) A.O，P，Q B. P，Q，R C. O，Q，R D. O，P，R 2.(多选)下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是(　AC　) A.=3-- B.=++ C.++= D.+++= 【变式练】已知O为平面ABC外一点，A，B，C，P满足任意三点不共线，但四点共面，且=m++，则m的值为(　C　) A.-1 B.2 C.-2 D.-3 1 第 1 页 共 1 页 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 课题:1.1.1 空间向量及其线性运算 主备人： 审核人： 使用班级： 姓名： 学习笔记 【学习目标】求空间向量的线性运算. 【知识梳理】预习课本P2-P5,类比平面向量，完成下列填空： 1.在空间，把具有 和 的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的 或 . 空间向量可用表示，也可记作，其模记为 或 . 注：印刷用黑体a表示. 2.几类特殊的空间向量 (1)零向量：长度为 的向量，记为 . (2)单位向量： 的向量. (3)相反向量：与向量长度 且方向 的向量，叫做的相反向量，记为 . 的相反向量为 . (4)共线(平行)向量：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线 ，那么这些向量叫做共线向量或平行向量. 规定：零向量与任意向量 ，即对于任意向量，都有 . (5)相等向量：方向 且模 的向量. 注：空间向量 比大小（填 能/不能）. 3.空间向量的加减法运算： 空间向量的加法运算法则： (1)三角形法则：首尾顺次相接，首指向尾为和，如图1. (2)平行四边形法则：共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和，如图2. 空间向量减法运算的几何意义：共起点，连终点，方向指向被减向量，如图3. 图1　+= .　 图2　+= .　 图3 — = 空间向量加法运算律： (1)交换律：+= . (2)结合律：(+)+= . 4.空间向量的数乘运算： (1)定义：实数λ 与 空间向量 的乘积 λ 仍然是一个 ，称为空间向量的数乘. (2)几何意义(若≠) ①当λ>0时， λ 与 向量的方向 ； ②当λ<0时， λ 与 向量 的方向 ； ③当λ=0时， λ = ，其方向是任意的； ④ λ 的长度是 的长度的 倍. (3)空间向量数乘运算律 结合律：λ(μ) = ； 分配律：(λ+μ) = ，λ(+) = . 【例1】如图，E，F分别是长方体的棱AB，CD的中点、化简下列表达式： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式练】(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为的是(　 　) A.-+ B.++ C.-+ D.++ 【例2】如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设=a，=b，=c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量： ①； ②； ③. 【变式练】如图，已知四面体ABCD，E，F分别是BC，CD的中点，化简下列表达式： （1） ； （2） ； （3） 5.空间向量共线的充要条件 对任意两个空间向量，(≠)，∥的充要条件是存在实数λ，使 . 补充：判定空间中不重合的三点(如P，A，B)共线的方法： 方法①：=λ(λ∈R)； （注：此条件也可判定，两个向量共线） 方法②：对空间任一点O，=x+y且x+y=1. 6.空间向量共面的充要条件 向量与不共线向量，共面的充要条件是存在 的有序实数对(x，y)，使 . 补充：判定空间中的四点(如M，P，A，B)共面的方法： 方法①：=x+y(x，y∈R) （注：此条件也可判定，，三个向量共面） 方法②：对于空间任意一点O，=x+y+z且x+y+z=1. 【例3】1.已知不共线向量，，，=-2+，=-5-6+4，=7+2-2，则一定共线的三个点是(　　 ) A.O，P，Q B. P，Q，R C. O，Q，R D. O，P，R 2.(多选)下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是(　 　) A.=3-- B.=++ C.++= D.+++= 【变式练】已知O为平面ABC外一点，A，B，C，P满足任意三点不共线，但四点共面，且=m++，则m的值为(　 　) A.-1 B.2 C.-2 D.-3 1 第 1 页 共 1 页 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $