2.2.2 第2课时分段函数-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（北师大版）

060 ↑高度 高度 5.已知函数f(x)=ax+b,且f(-1)=-4,f(2) =5. 时间 时间 求：(1)a,b的值；(2)f(0)的值. 2 1高度 高度 时间 时间 D 4.一个面积为100cm2的等腰梯形，上底长为 xcm,下底长为上底长的3倍，则它的高y与x 夯基提能作业 的函数关系为 请同学们认真完成练案[18] 第2课时 分段函数 必备知识探新知 知识点分段函数 如果函数在定义域的不同的范围内，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数. 关键能力攻重难 ●题型一分段函数的求值问题 rx+2(x≤-1)， 例 1. 已知函数f(x)={x2(-1<x<2), 2x(x≥2). 归纳提升：求分段函 数函数值的方法 (1)求f(-4),f(3),f[f(-2)]; (1)先确定要求值的 (2)若f(a)=10,求a的值. 自变量属于娜一段 [分析]分段函数的解析式一求函数值或已知函数值列方程求字母 区间. 的值. (2)然后代入该段的 解析式求值，直到求 出值为止。 当出现f[f(x)]的 形式时，应从内到外 依次求值. [归纳提升] )对点训练1 「x+3(x>10), 已知f(x)= f[fx+5)](x≤10)， 则f(5)的值是 A.24 B.21 C.18 D.16 061 ●题型二分段函数的图象及应用 归纳提升： 1.由分段函数的图象 例2.已知函数)=1+(-2<≤2). 确定函数解析式的步骤 （1)定类型：根据自 (1)用分段函数的形式表示函数f(x); 变量在不同范围内图 (2)画出函数f(x)的图象； 象的特点，先确定函 (3)写出函数f(x)的值域 数的类型. [分析]先根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段 (2)设函数式：设出 函数，再利用描点法作出函数图象。 函数的解析式 (3)列方程（组)： 根据图象中的已和点， 列出方程或方程组，求 [归纳提升] 出该段内的解析式 (4)下结论：最后用 》对点训练2 “”表示出各段解析 P数-2 式，注意自变量的取值 范围 (1)画出函数的图象； 2.作分段函数图象的 （2)若f(x)=1,求x的值. 注意点 作分段函数的图象 时，定义域分界点处 的函数取值情况决定 着图象在分界点处的 断开或连接，特别注 意端点处是实心点还 ●题型三分段函数的应用问题 是空心点 例3冰墩墩是202年北京冬季奥运会的吉祥物寓意创造非凡探索未 来，体现了追求卓越、引领时代，以及面向未来的无限可能.某厂生产 “冰墩墩”的固定成本为15000元，每生产一件“冰墩墩”需要增加投 入20元，根据初步测算，每个销售价格满足函数P(x)= 320-2,0≤x≤450，x∈N, 其中x是“冰墩墩”的月产量（每月全部售 45000 ,x>450,x∈N, 完) (1)将利润f(x)表示为月产量x的函数； 归纳提升：利用分段 (2)试计算月产量分别为300个、600个时的利润. 函数求解实际应用题 的策略 （1)首要条件：把文宇 语言转换为数学语言 （2)解题关键：建立 恰当的分段函数模型， (3)思想方法：解題 过程中运用分类讨论 。[归纳提升] 的思想方法 062 )对点训练3 某市有A,B两家羽毛球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，A俱乐部每块场地每 小时收费6元；B俱乐部按月计费，一个月中20小时以内（含20小时）每块场地收费90元，超过 20小时的部分，每块场地每小时2元，某企业准备下个月从这两家俱乐部中的一家租用一块场地 开展活动，其活动时间不少于12小时，也不超过30小时. (1)设在A俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为f(x)元(12≤x≤30)，在B俱乐部租一块 场地开展活动x小时的收费为g(x)元(12≤x≤30)，试求f(x)与g(x)的解析式； (2)问该企业选择哪家俱乐部比较合算，为什么？ ●易错警示分段函数概念的理解错误 例4.求函数x)=:1x≥0)的定义域 x(x<0) [错解]'x≥0时，f(x)=x2-1,x<0时，f(x)=x, .当x≥0时，f(x)的定义域为[0，+∞)， 当x<0时，f(x)的定义域为(-0,0). [辨析] 错解的原因是对分段函数概念不理解，认为分段函数(x)= x2-1(x≤0)，是两 lx(x<0)》 个函数. [正解] 课堂检测 固双基 1.已知函数f(x)中，f(1)=0,且对任意n∈N*, 2x-3(x>0), 都有f(n+1)=f(n)+3,则f3)=()4.已知函数fx)=3(x=0), 求/行】的值 A.0 B.3 C.6 D.9 2x+3(x<0). 2.已知函数f(x)= 2x+3,x≤1则ff(0)]= lx-4,x>1, A.-1 B.-2 C.-3 D.-4 r2x(0≤x≤1)， 3.函数f(x)=2(1<x<2),的值域是（) 3(x≥2) 夯基提能作业 A.R B.[0,+o) 请同学们认真完成练案[19] C.[0,3] D.[0,2]U{3得)=2)·√F-1. )=2)反-1， 必 ）-2F-1, 得)=子+(x>0) 课堂检测固双基 1.C由图象，知x≠0，即x∈(-∞，0)U(0,+∞). 2.C由图象可得f九f2)]=f(0)=4. 3.A根据题意，易知A符合 4y=50(x>0)由梯形的面积公式有100=x+32·y, 2 得y=50(x>0). 5(1)由-1)=-4 得a+6=-4, Lf2)=5, 2a+b=5, 解得a=3,b=-1. (2)由(1)知f代x)=3x-1,所以f(0)=-1. 第2课时分段函数 关键能力攻重难 例1：(1)f(-4)=-4+2=-2, f3)=2×3=6,f(-2)=-2+2=0, fLf-2)]=f0)=02=0. (2)当a≤-1时，a+2=10,可得a=8,不符合题意； 当-1<a<2时，a2=10,可得a=±√0，不符合题意； 当a≥2时，2a=10,可得a=5,符合题意； 综上可知，a=5. 对点训练1：Af(5)=f兀f10)],f(10)=f[f15)]=f18) 21,f5)=f21)=24. 例2：(1)当0≤x≤2时x)=1+2=1; 当-2<x<0时fx)=1+二x-=1-x 所以f(x)= 1(0≤x≤2)， 11-x(-2<x<0). (2)函数f(x)的图象如图所示. y 3 -2 0 (3)由(2)知，f代x)在(-2,2]上的值域为[1,3) 对点训练2：(1)函数图象如图所示 y 34 (2)由f代x)=1和函数图象综合判断可知，当xe(-0,1) 时，得fx)=-2x+1=1,解得x=0: 当x∈[1，+∞)时，得f(x)=x2-2x=1,解得x=1+万 或x=1-√2（舍去）. 综上可知x的值为0或1+反 例3：(1)由题意，当0≤x≤450时， f)=(320-2y-1500-20r=30x-2-1500 当x>450时f(x)=45000-20x-15000=30000-20x. f(x)= [30e-72-150.0≤≤450，eN. 30000-20x,x>450,x∈N. (2)当x=300时，30)=-方×302+30×300-1500 30000; 当x=600时，f600)=30000-20×600=18000. 即月产量分别为300个，600个时的利润分别为30000元， 18000元. 对点训练3：（1)由题意f(x)=6x,x∈[12,30]，g(x) 90,xe[12,20], ={2x+50,xe(20.301 (2)①12≤x≤20时，6x=90,解得x=15, 即当12≤x<15时，fx)<g(x), 当x=15时，f(x)=g(x), 当15<x≤20时，f(x)>g(x). ②当20<x≤30时fx)>g(x), 故当12≤x<15时，选A家俱乐部合算. 当x=15时，两家俱乐部一样合算，当15<x≤30时，选B家 俱乐部合算. 易错警示 例4：函数f(x)的定义域为(-0,0)U[0,+∞)，即(-∞，+∞)， .函数fx)的定义域为(-o,+0) 课堂检测固双基 1.Cf2)=f1)+3=3,f3)=f2)+3=f1)+6=6. 2.A因为f(x)= 2x+3,x≤1， lx-4,x>1, 则f0)=3Lf0)]=f3)=3-4=-1. 3.D作出y=f(x)的图象，如图所示.由图象知，f代x)的值域是 [0,2]U3},故选D. y 01234 4f2)=3×2-3=-2. f-2)=2×(-2)+3=-1, f2月=-2)=-1 293