精品解析：宁夏回族自治区银川市第二十中学2026-2027学年上学期九年级数学阶段测试

银川市第二十中九年级数学阶段测试 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 阳阳在解方程，只得一个解，阳阳漏掉的那个解是（ ） A. x＝3 B. x＝1 C. x＝0 D. x＝2 2. 在菱形中，对角线与相交于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形是正方形的是（ ） A. B. C. D. 3. 若一元二次方程配方得到，则，的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH=（ ） A. B. C. 12 D. 24 5. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 有无实数根，无法判断 6. 学校组织一次乒乓球赛，要求每两队之间都要赛一场。若共赛了15场，则有几个球队参赛？设有x个球队参赛，则下列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，，，折叠该矩形，使点与点重合，折痕为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 关于的方程是一元二次方程，则_____． 10. 一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长是方程x2-6x+8=0的根，则三角形的周长为_____． 11. 根据下列表格的对应值： x 1 1.1 1.2 0.84 由此可判断方程必有一个解x的取值范围是________． 12. 如图，矩形的对角线，相交于点，点，分别是，的中点．若，则的长为______． 13. 如图，四边形是菱形，，对角线，相交于点O，于H，连接，则＝______度． 14. 若是方程的一个根，则代数式的值为______． 15. 某药品原价每盒元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒元，则该药品平均每次降价的百分率是______． 16. 如图，点是正方形对角线上一点，连接，过点作，交于点．已知，，则的长为_____． 三、解答题（本大题共10小题，共72分） 17. 解方程： （1） （2） （3） 18. 如图，四边形是正方形，G是上任意一点（点G与B、C不重合），于E，于F． （1）求证：； （2）求证：． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根． 20. 已知关于x的一元二次方程 有两个实数根，. （1）当时，求m的值； （2）若该方程的两个实数根，是一个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为，求m的值． 21. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点B作，过点C作，与相交于点E． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，求的长． 22. 如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．现要围成面积为 的花圃能行吗？若能，请求出长方形的边长；若不能，请说明理由． 23. 大家乐超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销量，增加盈利，超市采取了降价措施．经过一段时间后，发现该商品每件的销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． （1）若降价5元，则平均每天销售数量为 件； （2）为尽快减少库存，并保证该超市每天销售这种商品的利润为1200元，每件商品应降价多少元？ 24. 如图，在矩形中，为对角线． （1）用尺规完成以下作图：作的垂直平分线分别交，于点，，判断四边形的形状并证明； （2）在（1）所作的图形中，若，，求的长． 25. 定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． （1）下列方程中，按上述定义 （填序号）是“邻根方程”． ①；②；③． （2）若是“邻根方程”，求的值． （3）若一元二次方程（，，均为常数，）为“邻根方程”，求出，，应满足的数量关系． 26. 如图①，在矩形ABCD中，AB=8，AD=4．点P从点A出发，沿A→D→C→D运动，速度为每秒2个单位长度；点Q从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度．P、Q两点同时出发，点Q运动到点B时，两点同时停止运动，设点Q的运动时间为t（秒）．连结PQ、AC、CP、CQ． (1)点P到点C时，t=　 　；当点Q到终点时，PC的长度为　 　； (2)用含t的代数式表示PD的长； (3)当三角形CPQ的面积为9时，求t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川市第二十中九年级数学阶段测试 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 阳阳在解方程，只得一个解，阳阳漏掉的那个解是（ ） A. x＝3 B. x＝1 C. x＝0 D. x＝2 【答案】C 【解析】 【分析】利用因式分解法解方程，求出两个解，即可得出漏掉的解． 【详解】解：， 因式分解得， ∴ 或， ∴，， ∴ 阳阳漏掉的那个解是x＝0． 故选C． 【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，属于基础题，掌握因式分解法解一元二次方程的基本步骤是解题的关键． 2. 在菱形中，对角线与相交于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形是正方形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质和正方形的判定，熟记判定定理是解题关键．根据有一个角是直角的菱形是正方形，对角线相等的菱形是正方形，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A. ，根据对角线相等的菱形是正方形可知菱形是正方形，故本选项不符合题意； B. ，根据菱形的对角线互相平分可得，根据对角线相等的菱形是正方形可得菱形是正方形，故本选项不符合题意； C. ，不能判定是正方形，故本选项符合题意； D.，则，根据有一个角是直角的菱形是正方形可得菱形是正方形，故本选项不符合题意． 故选：C． 3. 若一元二次方程配方得到，则，的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的配方法，将原方程配方后，与已知配方结果对比系数即可得到和的值． 【详解】对原方程移项得： ， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方得： ， 整理得：， ∵配方得到， ∴对比等式两边可得，， 解得， 即，． 4. 如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH=（ ） A. B. C. 12 D. 24 【答案】A 【解析】 【详解】解：如图，设对角线相交于点O， ∵AC=8，DB=6， ∴AO=AC=×8=4，BO=BD=×6=3， 由勾股定理得AB===5， ∵DH⊥AB， ∴S菱形ABCD=AB•DH=AC•BD， 即5DH=×8×6， 解得DH=． 故选A． 【点睛】本题考查菱形的性质． 5. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 有无实数根，无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程，，当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程无实数根．利用根的判别式，得出，进而可得出原方程有两个不相等的实数根． 【详解】解：根据题意得，， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 6. 学校组织一次乒乓球赛，要求每两队之间都要赛一场。若共赛了15场，则有几个球队参赛？设有x个球队参赛，则下列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设有个球队参赛，每两队之间赛一场，总比赛场数为所有可能的组合数.每个球队需与其他个球队比赛，但每场比赛被计算了两次，因此总场数为，根据总场数为15，列出方程即可． 本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握列方程的基本要领是解题的关键． 【详解】解：设共有x个队参赛，根据题意，得， 故选：D． 7. 若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用方程根的定义降次替换二次项，化简代数式后结合韦达定理得到两根之和，整体代入算出结果． 【详解】解：∵是一元二次方程的实数根， ∴， ∴， ∴， ∵是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴． 8. 如图，在矩形中，，，折叠该矩形，使点与点重合，折痕为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由矩形的性质及折叠的性质在直角中运用勾股定理列方程求出的长，即可求出的面积． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可知：， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 关于的方程是一元二次方程，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义可得：未知数的最高次数为，且二次项系数不为零．解题的关键是掌握：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数的整式方程，叫做一元二次方程． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且， ∴且， ∴． 故答案为：． 10. 一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长是方程x2-6x+8=0的根，则三角形的周长为_____． 【答案】12 【解析】 【分析】先求方程x2-6x+8=0的根，再由三角形的三边关系确定出三角形的第三边的取值范围，即可确定第三边的长，利用三角形的周长公式可求得这个三角形的周长． 【详解】∵三角形的两边长分别为3和5，∴5-3＜第三边＜5+3，即2＜第三边＜8， 又∵第三边长是方程x2-6x+8=0的根，∴解之得根为2和4，2不在范围内，舍掉， ∴第三边长为4．即勾三股四弦五，三角形是直角三角形． ∴三角形的周长：3+4+5=12． 故答案为12． 【点睛】本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系．属于基础题型，应重点掌握． 11. 根据下列表格的对应值： x 1 1.1 1.2 0.84 由此可判断方程必有一个解x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用表中数据得到时，，时，，则可判断有一个根满足． 【详解】解：∵时，， 时，， ∴，在内有一个解， 即方程必有一个解x满足， 故答案为：． 12. 如图，矩形的对角线，相交于点，点，分别是，的中点．若，则的长为______． 【答案】8 【解析】 【分析】由矩形的性质，得到，，由三角形的中位线定理，得到，即可求出答案． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴． 13. 如图，四边形是菱形，，对角线，相交于点O，于H，连接，则＝______度． 【答案】25 【解析】 【分析】先根据菱形的性质得，，再根据直角三角形的性质得，进而得出，根据平行线的性质得，然后根据直角三角形的两个锐角互余得出答案. 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，. ∵， ∴， ∴. 又∵， ∴. 在中，， 在中，， ∴. 故答案为：25． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的性质，平行线的性质等，弄清各角之间的数量关系是解题的关键． 14. 若是方程的一个根，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的特征．把代入方程得到，将原式转化为，然后代入求值即可． 【详解】解：是方程的一个根， ∴， ， ， 故答案为：． 15. 某药品原价每盒元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒元，则该药品平均每次降价的百分率是______． 【答案】20% 【解析】 【分析】根据降价前后的价格，列式计算即可. 【详解】解：设该药品平均每次降价的百分率是x， 根据题意得25×（1-x）（1-x）=16， 整理得， 解得x=0.2或1.8（不合题意，舍去）； 即该药品平均每次降价的百分率是20%， 故答案为：20%． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用.根据题意正确列出方程是解题的关键. 16. 如图，点是正方形对角线上一点，连接，过点作，交于点．已知，，则的长为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】过E作于M交于N，由正方形的性质推出，得到，判定是等腰直角三角形，求出，得到，由勾股定理求出，得到，因此． 本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质与判定，关键是判定，推出． 【详解】解：过E作于M，交于N， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 三、解答题（本大题共10小题，共72分） 17. 解方程： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， 方程有两个不相等的实数根， ， ； 【小问3详解】 解：， ， ， ， 或， ． 18. 如图，四边形是正方形，G是上任意一点（点G与B、C不重合），于E，于F． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由题意得，，，由互余得，故； （2）由（1）得，，故． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 证明：， ，， ， ． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）； 【解析】 【分析】（1）求出判别式的符号，即可得出结论； （2）把代入方程，求出的值，再解方程即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：把代入方程，得， 解得， ∴方程化为， ∴， ∴； 故方程的另一个根为. 20. 已知关于x的一元二次方程 有两个实数根，. （1）当时，求m的值； （2）若该方程的两个实数根，是一个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为，求m的值． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】（1）根据根与系数的关系得出，，然后代入求解即可； （2）根据已知得出，变形后代入求出即可． 【小问1详解】 解：根据一元二次方程根与系数的关系，得，， ∵， ∴， 解得， 当时，，方程有两个实数根，符合题意， ∴； 【小问2详解】 解：根据一元二次方程根与系数的关系，得：，， ∵​、是矩形两邻边，对角线长为， 由勾股定理得：， 即：​， ∴， 解得， 当​时，，方程有两个实数根，符合题意， 此时，，则，均为正数，也符合题意， ∴. 21. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点B作，过点C作，与相交于点E． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴四边形是平行四边形. ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】对于（1），先说明四边形是平行四边形，再根据菱形的性质得，即可得出答案； 对于（2）根据菱形得性质得，再根据勾股定理得，进而得出，然后根据矩形的性质，结合勾股定理求出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴. ∵四边形是矩形， ∴. 在中，由勾股定理得：. 【点睛】本题主要考查了矩形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理，理解特殊平行四边形之间的关系是解题的关键，勾股定理是求线段长的常用方法． 22. 如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．现要围成面积为 的花圃能行吗？若能，请求出长方形的边长；若不能，请说明理由． 【答案】解：能围成面积为 的长方形花圃，长方形的长为，宽为， 理由如下： 设长方形的宽为，则长方形的长为, 根据题意可得：， 整理可得：， 解得：，， 当时，则长方形的长为， 墙的最大可用长度为， 不符合题意，舍去； 当时，则长方形的长为， ， 长方形的长为，宽为． 【解析】 【分析】设长方形的宽为，则长方形的长为,根据长方形的面积为 ，列一元二次方程，解一元二次方程即可求出长方形的长与宽． 【详解】略 23. 大家乐超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销量，增加盈利，超市采取了降价措施．经过一段时间后，发现该商品每件的销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． （1）若降价5元，则平均每天销售数量为 件； （2）为尽快减少库存，并保证该超市每天销售这种商品的利润为1200元，每件商品应降价多少元？ 【答案】（1）30 （2）每件商品应降价20元． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数四则运算的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据在每天销售20件的基础上销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件进行求解即可； （2）设每件商品应降价x元，则每天的销售量为件，再根据总利润单件利润销售量列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，若降价5元，则平均每天销售数量件； 【小问2详解】 解：设每件商品应降价x元， 由题意得，， 整理得，， 解得或， ∵要尽快减少库存， ∴， 答：每件商品应降价20元． 24. 如图，在矩形中，为对角线． （1）用尺规完成以下作图：作的垂直平分线分别交，于点，，判断四边形的形状并证明； （2）在（1）所作的图形中，若，，求的长． 【答案】（1） 根据尺规作垂线的方法作图如下， ∴即为所求线段， 四边形是菱形，理由如下， 设交于点， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，尺规作垂线，菱形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握矩形、菱形的判定和性质是关键． （1）根据尺规作垂线的方法作图得到垂线平分线，根据菱形的判定方法“邻边相等的平行四边形是菱形”求证即可； （2）根据矩形的性质，运用勾股定理得到，根据菱形的性质设，则，在中运用勾股定理得到，在中运用勾股定理得到，由即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵四边形是矩形， ∴， 在中，， ∵四边形是菱形， ∴，，，， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， 在中，， ∴． 25. 定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． （1）下列方程中，按上述定义 （填序号）是“邻根方程”． ①；②；③． （2）若是“邻根方程”，求的值． （3）若一元二次方程（，，均为常数，）为“邻根方程”，求出，，应满足的数量关系． 【答案】（1）①③ （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义列出关于的一元一次方程，求解即可； （3）设方程的两个根为、，根据“邻根方程”的定义得，利用根与系数的关系，结合完全平方公式即可得到，，的数量关系． 【小问1详解】 解：①解方程得，， ， 方程是“邻根方程”； ②解方程得， ， 方程不是“邻根方程”； ③解方程得，， ， 方程是“邻根方程”． 综上可知，“邻根方程”为：①③． 【小问2详解】 解：解方程得：，， 该方程是“邻根方程”， 或， 解得：或． 【小问3详解】 解：一元二次方程为“邻根方程”， ∴， 设方程的两个根为、，则，，， ∴， ∴， ∴． 26. 如图①，在矩形ABCD中，AB=8，AD=4．点P从点A出发，沿A→D→C→D运动，速度为每秒2个单位长度；点Q从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度．P、Q两点同时出发，点Q运动到点B时，两点同时停止运动，设点Q的运动时间为t（秒）．连结PQ、AC、CP、CQ． (1)点P到点C时，t=　 　；当点Q到终点时，PC的长度为　 　； (2)用含t的代数式表示PD的长； (3)当三角形CPQ的面积为9时，求t的值． 【答案】(1)6s ；4；（2）PD=4-2t（0≤t≤2）；PD=2t﹣4（2＜t＜6）；PD=20﹣2t（6≤t≤8）；（3）t=1或t=. 【解析】 【分析】（1）点P到点C时，所走路程为AD+CD=12，点P的速度为每秒2个单位长度；当点Q到终点时，t=8s，据此求解出DP长度并运用勾股定理即可求解PC的长度； （2）分点P在AD、DC、由C点回头（CD）这三段不同的运动情况进行解答即可； （3）以上问的结论作为基础，由S△CPQ=S矩形ABCD- S△PAQ- S△PDC- S△CBQ进行解答即可. 【详解】解：（1）在矩形ABCD中，AB=8，AD=4 ∴CD=AB=8点P到点C时，所走路程为AD+CD=12， ∴t==6s 当点Q到终点时，t=8s，P点回到CD中点， ∴DP=4， 由勾股定理得PC==4 （2）当0≤t≤2时，PD=4﹣2t 当2＜t＜6时，PD=2t﹣4 当6≤t≤8时，PD=8﹣（2t﹣12）=20﹣2t （3）当0≤t≤2时，AP=2t，PD=4﹣2t，AQ=t，Q=8﹣t，则， S△CPQ=4×8﹣t.2t﹣（8﹣t）.4﹣（4﹣2t ）.8=﹣t2+10t=9，t1=1，t2=9（舍去） 当2＜t＜6时，PC=12﹣2t S△CPQ=（12﹣2t）4=24﹣4t=9，t= 当6≤t≤8时，PC=2t﹣12 S△CPQ=（2t﹣12）4=4t﹣24=9，t=（舍去） 综上所述，当三角形CPQ的面积为9时t=1或t=. 【点睛】动点问题一定要注意运动的范围，由此可能需要进行分类讨论；此外多点同时运动时，要注意运动的时间范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $