精品解析：四川成都市石室中学2026-2027学年高三上学期10月定时练习数学试题

2026-2027学年度上期高2027届定时练习 数学试卷 （满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】命题“，”为全称命题， 则其否定为“，”. 2. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】. 根据复数虚部的定义，的虚部为. 3. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求解集合A中函数的定义域，利用集合的交集、补集运算即得解 【详解】由题意，集合 集合，故 则 故选：D 4. 函数在上单调递减的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】令，在上单调递增，由复合函数 “同增异减”，的单调递减区间就是的单调递减区间. 二次函数图象开口向上，对称轴，其递减区间为. 若在上单调递减，则，得，即. 题目要求充分不必要条件，也就是选项集合是的真子集，满足. 5. 一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群该塔群随山势凿石分阶而建，依山势自上而下，第一阶1座，第二阶3座，第三阶3座，第四阶5座，第五阶5座，从第五阶开始塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列，总计108座，故名一百零八塔.则该塔的阶数是（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】先求出前四阶共12座，设第五阶塔的数目为，则，设从第五阶开始自上而下，每一层的塔的数目为，由等差数列的前项和可得结果. 【详解】由第一阶1座，第二阶3座，第三阶3座，第四阶5座，则前四阶共12座. 则从第五阶后共有座. 设第五阶塔的数目为，则，设从第五阶开始自上而下，每一层的塔的数目为 由从第五阶开始塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列. 所以 所以 所以由，解得或 （舍去） 所以该塔的阶数是 故选：C 6. 现有五张质地均匀，大小完全相同的卡片，在其正面分别标有数字，，0，2，3，把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽出一张后，不放回，再从中随机抽出一张，则两次抽出的卡片所标数字之和为正数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用古典概型法求解即可. 【详解】由题意可得抽出的可能有：，，，，，， ，，，，，，，，， ，，，，，共20种可能； 要使两个数字和为正数的有：，，，，，， ，，，，，，共12种可能； 所以所求概率为. 7. 若双曲线的两条渐近线与圆共有3个公共点，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出圆心坐标和双曲线渐近线方程，可以得到圆与相切，然后利用圆心到渐近线的距离等于半径列出的一个方程，求解间的关系，最后求离心率. 【详解】双曲线的两条渐近线方程为. 圆的圆心坐标为，半径. 由题意双曲线的两条渐近线与圆共有3个公共点，所以圆与其中一条渐近线相切. 圆心坐标位于第一象限，圆与相交，与相切. 圆心到渐近线的距离等于半径，即，整理得， ，， ， . 8. 已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求证，再结合函数的单调性得出在上恒成立，再构造函数，求函数最值即可. 【详解】， 函数的定义域为，且 ， 则可化为， 因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以在上单调递增，则在上恒成立， 令，则恒成立， ①若， 则当时，， 当时，， 当时，， 故，得； ②若， 则当时，， 当时，， 当时，， 故，得； ③若，则在上恒成立，符合题意； 综上，实数的取值范围是 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，，，则（ ） A. 事件与互斥 B. 事件与对立 C. 事件与互相独立 D. 【答案】CD 【解析】 【分析】利用互斥事件、对立事件、相互独立事件的定义及概率加法公式，结合已知条件分析即可. 【详解】对于A，若事件与互斥，则，由题意知，故A错误； 对于B，因为事件与不互斥，则事件与一定不对立，故B错误； 对于C，因为，所以， 由，故C正确； 对于D，根据概率加法公式得：，故D正确. 10. 下列命题正确的有（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则式子有最小值 D. 若，，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，B，利用作差比较法即可得出答案；对于C，D，根据基本不等式的性质计算即可得出答案. 【详解】对于A，， 因为，， 所以，即，故A正确； 对于B，， 因为，所以，，所以， 所以，即，故B正确； 对于C，因为，所以，原式可转化为， 由基本不等式可得， 当且仅当，即（舍去正值）时等号成立， 此时原式取得最大值，故C错误； 对于D，因为，两边同时加上， 得， 因为， 所以， 因为，，所以， 当且仅当时等号成立，故D正确. 11. 已知函数与及其导函数与的定义域均为.若为奇函数，，，则（ ） A. B. C. 曲线关于点中心对称 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，赋值法令和计算即可；对B，易知为偶函数，不能确定；对C，运用已知条件推出关于中心对称，进而得到关于中心对称；对D，由为偶函数得周期为2，结合条件得到， 求出，进而求. 【详解】对于A，令，令，则，A正确； 对于B，为奇函数，则为偶函数，则求不出，故B错误； 对于C，， 又，则， 则关于中心对称. ，结合函数图象平移， 关于中心对称，C正确； 对于D，由于为偶函数，结合C所得对称中心，知周期为2，且，， 又则，且 ， ， 则D正确. 故选：ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则_________． 【答案】1 【解析】 【详解】对于等式， 令得：， 所以. 13. 一个圆柱的体积和底面周长均为，若该圆柱能够被整体放入一个球内，则该球的最小体积为___________. 【答案】 【解析】 【详解】底面周长， ， 当圆柱与球外接时，球体积最小， 圆柱外接球球心在圆柱上下底面圆心连线中点， 轴截面是矩形长，宽， 矩形对角线就是球的直径， ，， 球体积. 14. 已知，，是函数且的三个零点，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先得到，当时，，设，得到的奇偶性和单调性，求出的单调性和对称性，求出，且，故，令，求导，得到其单调性，，故，所以. 【详解】，当时，， 设，， 即为偶函数， 当时，，， 令，则， 令，则在上单调递增， 故，所以恒成立， 故，所以恒成立，故在上单调递增， 所以关于对称， 且在上递减，在上递增， 所以，且， 故， 令，，即在上递减， 所以，故， 所以. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）设，直线与平面所成的角为，求直线到平面的距离． 【答案】（1）由题意证明如下： 如图，作出符合题意的图形，连接， 在中，，分别为，中点，∴， ∵平面，平面， ∴平面. （2）距离为1. 【解析】 【分析】（1）通过证明，即可得出结论； （2）方法一：设出，建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，得出向量与面的一个法向量的表达式，根据直线与平面所成的角为求出参数，借助几何关系即可求出到面的距离. 方法二：利用直线与平面所成的角为，求出，借助几何关系即可求出到面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一：由题意及（1）得， 在直三棱柱中，，设， 四边形与四边形是矩形， ∴，，， 建立空间直角坐标系，如下图所示， 得到，，，，， ∴，面的一个法向量为， ∵直线与平面所成的角为， 设直线与平面所成的角为 ∴ 解得，∴，，，，， ∵面，∴由几何知识得，到面的距离为. 法二：由题意及（1）得， 在直三棱柱中，，， 四边形与四边形是矩形， ∴，，， ∵，平面，平面，平面， ∴平面，， ∴由几何知识得，即为直线与平面所成的角， 直线与平面所成的角为， 在中，，分别为，中点，， ∴直线与平面所成的角为，即， 在Rt中，，，， ∴， 在Rt中，，， 为等腰直角三角形，过点作， 则点为中点，，， 由几何知识得，到面的距离即为. 16. 某冰糖橙按照等级可分为四类：珍品、特级、优级和一级.某采购商从采购的这批橙子中随机抽取100箱，利用橙子的等级分类标准得到的数据如下表： 等级 珍品 特级 优级 一级 箱数 10 20 30 40 （1）若将频率作为概率，从这100箱橙子中有放回地随机抽取4箱，求恰好有2箱是特极品的概率； （2）用分层随机抽样的方法从这100箱橙子中抽取10箱，再从抽取的10箱中随机抽取3箱，表示抽取的一级品的箱数，求的分布列及均值， 【答案】（1） （2）的分布列为 0 1 2 3 均值为【解析】 【分析】（1）依题意可知抽到特极品的箱数，代入公式计算即可求得概率； （2）易知一级品的箱数服从超几何分布，求出所有可能取值和对应概率即可求得分布列和均值. 【小问1详解】 根据题意可设“从这100箱橙子中任取一箱，取到特极品”为事件，则， 现有放回地随机抽取4箱，若频率作为概率， 设抽到特极品的箱数为，则； 因此恰好有2箱是特极品的概率为 【小问2详解】 分层随机抽样的方法从这100箱橙子中抽取10箱，其中一级品4数，非一级品6箱， 再从中抽取3箱，则一级品的箱数服从超几何分布，且的所有可能取值为0，1，2，3； 可知； ； 所以的分布列为 0 1 2 3 均值为. 17. 已知函数， （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）在中，，，，若的平分线交于，求的长. 【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用二倍角公式、辅助角公式将化简为正弦型函数，再结合三角函数性质求解周期和单调递增区间； （2）先由求出角，再利用三角形面积的拆分关系建立方程求解的长度. 【小问1详解】 函数， 最小正周期， 由 ，解得 ， 即的单调递增区间为. 【小问2详解】 由得，即， 因为为的内角，故，则，因此， 解得， 因为是的角平分线，所以， 由面积关系，则有 ， 得 ，解得. 18. 已知函数. （1）若，求函数在点处的切线方程； （2）若存在，使得成立，求实数的取值范围； （3）若函数有两个不同的零点，，且，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义及导数的运算求解即可. （2）通过参变分离，得到存在，使得成立；构造函数，根据导数与单调性及最值的关系求解即可. （3）通过参变分离，构造函数，，，根据导数与单调性及最值的关系得到；令，结合，构造函数，结合导数与单调性及最值的关系求解即可. 【小问1详解】 当时，，于是. ，于是， 所以函数在处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 存在，使得成立，即存在，使得， 也即存在，使得成立. 令，则. 令，则， 令，即，解得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 故. 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以. 故实数的取值范围为. 【小问3详解】 由，得， 而. 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 于是 令，则. 当时，，单调递增，而， 故，则. 令，则，于是，，且. 故. 令，则. 令，则，故单调递增， 于是，故，在单调递增. 又，于是. 综上，. 19. 由椭圆的光学性质得到：从焦点处发出的一束光线，射向椭圆上的点，经椭圆反射后经过焦点；继续传播，射向椭圆上的点，经椭圆反射后经过焦点；如此反复，设第次入射点为．规定：当为奇数时，记；当为偶数时，记；记，，即：，，，，，，，已知椭圆：，离心率，点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程； （2）椭圆：的方程还可以由椭圆第二定义（椭圆上的动点满足到一个焦点的距离与到定直线的距离之比是常数）得到．求证：为定值； （3）若数列的前项和为，求证： ①数列为等比数列， ②． 【答案】（1） （2）设， 由题意可得、、三点共线， 设该直线为， 联立，消去可得， 则，， 由题意可得，， 由椭圆第二定义可得， ， 则 ， 故为定值； 故， 由椭圆对称性可得也成立，故为定值； （3）①由；则 又由椭圆定义可得， 则，即 则，且 故数列是以为首项，9为公比的等比数列． ②则，整理得 故 即，即得证． 【解析】 【分析】（1）借助离心率与椭圆上的点的坐标，代入计算即可得； （2）由题意可得、、三点共线，设该直线为，联立曲线方程可得与交点纵坐标有关韦达定理，再利用所给椭圆第二定义可用、横坐标表示、，则利用韦达定理对求和即可得，再根据椭圆的对称性计算可解； （3）结合椭圆定义可得，则可表示出，结合等比数列定义可得数列为等比数列，再利用等比数列性质可求出的通项公式，即可得的通项公式，再合理放缩后求和即可得证. 【小问1详解】 椭圆的离心率，且点在椭圆上， 则，， 椭圆方程为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度上期高2027届定时练习 数学试卷 （满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数在上单调递减的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 5. 一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群该塔群随山势凿石分阶而建，依山势自上而下，第一阶1座，第二阶3座，第三阶3座，第四阶5座，第五阶5座，从第五阶开始塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列，总计108座，故名一百零八塔.则该塔的阶数是（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 6. 现有五张质地均匀，大小完全相同的卡片，在其正面分别标有数字，，0，2，3，把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽出一张后，不放回，再从中随机抽出一张，则两次抽出的卡片所标数字之和为正数的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 若双曲线的两条渐近线与圆共有3个公共点，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，，，则（ ） A. 事件与互斥 B. 事件与对立 C. 事件与互相独立 D. 10. 下列命题正确的有（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则式子有最小值 D. 若，，，则 11. 已知函数与及其导函数与的定义域均为.若为奇函数，，，则（ ） A. B. C. 曲线关于点中心对称 D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则_________． 13. 一个圆柱的体积和底面周长均为，若该圆柱能够被整体放入一个球内，则该球的最小体积为___________. 14. 已知，，是函数且的三个零点，则的取值范围是__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）设，直线与平面所成的角为，求直线到平面的距离． 16. 某冰糖橙按照等级可分为四类：珍品、特级、优级和一级.某采购商从采购的这批橙子中随机抽取100箱，利用橙子的等级分类标准得到的数据如下表： 等级 珍品 特级 优级 一级 箱数 10 20 30 40 （1）若将频率作为概率，从这100箱橙子中有放回地随机抽取4箱，求恰好有2箱是特极品的概率； （2）用分层随机抽样的方法从这100箱橙子中抽取10箱，再从抽取的10箱中随机抽取3箱，表示抽取的一级品的箱数，求的分布列及均值， 17. 已知函数， （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）在中，，，，若的平分线交于，求的长. 18. 已知函数. （1）若，求函数在点处的切线方程； （2）若存在，使得成立，求实数的取值范围； （3）若函数有两个不同的零点，，且，求的取值范围. 19. 由椭圆的光学性质得到：从焦点处发出的一束光线，射向椭圆上的点，经椭圆反射后经过焦点；继续传播，射向椭圆上的点，经椭圆反射后经过焦点；如此反复，设第次入射点为．规定：当为奇数时，记；当为偶数时，记；记，，即：，，，，，，，已知椭圆：，离心率，点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程； （2）椭圆：的方程还可以由椭圆第二定义（椭圆上的动点满足到一个焦点的距离与到定直线的距离之比是常数）得到．求证：为定值； （3）若数列的前项和为，求证： ①数列为等比数列， ②． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $