第26章 二次函数专题练习（2） 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第26章 二次函数专题练习（2） 抛物线对称性的应用 【例】已知抛物线经过和两点，求与的值. 解题关键： 若抛物线上不重合的两个点的坐标分别为，且，则两点关于抛物线的对称轴对称，且该抛物线的对称轴为直线. 解：由可知抛物线的对称轴为直线________. 由抛物线经过和两点，可知其对称轴为直线________. 抛物线的解析式为________. 将点代入函数解析式，可得________. 1.石家庄外国语校本经典题，二次函数的部分对应值如下表： 则它的图象的对称轴为直线________；当时，对应的函数值为________. 2.如图，二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，那么关于的一元二次方程的解为________. 【拓展提问】不等式的解集为________ 直线与抛物线的交点问题 【例】如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为 (1) 的值为________，方程的解是________ (2) 不等式的解集是________，不等式的解集是________. 方法指导： (1) 若直线与抛物线没有交点，则方程中. (2) 若直线与抛物线只有一个交点，则方程中________. (3) 如图，若直线与抛物线交于点，则方程的根为，不等式的解集为或，不等式的解集为________ 1.已知二次函数的图象与直线交于点. (1) 求二次函数的解析式和的值. (2) 当时，求自变量的取值范围. (3) 将直线沿轴上下平移，当平移后的直线与抛物线只有一个公共点时，求平移后的直线解析式. 求平移、对称后的二次函数解析式 一、求平移后的函数解析式 【例1】在平面直角坐标系中，把抛物线先向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数解析式为________ 方法一：配成顶点式后，再确定平移后的值与顶点坐标，即可确定函数的解析式. 第一步：配成顶点式，________； 第二步：平移后，________，顶点坐标为________； 第三步：写出平移后的函数解析式为________. 方法二： 第一步：向右平移1个单位长度，自变量“左加右减”，变为________； 向下平移1个单位长度，整体“上加下减”，常数项变为________； 第二步：平移后的函数解析式为________ 1.将二次函数的图象向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到抛物线，则的值分别为（ ） A.1，3 B.－5，3 C.4，6 D.－4，6 2.将二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的抛物线的顶点坐标为________. 二、求对称后的函数解析式 【例2】已知抛物线，求该抛物线分别关于轴、轴对称的抛物线的解析式. 方法一：配成顶点式后，再确定关于轴、轴对称后的值与顶点坐标，即可确定函数的解析式. 第一步：配成顶点式，________； 第二步：关于轴对称后，________，顶点坐标为________； 关于轴对称后，________，顶点坐标为________； 第三步：抛物线关于轴对称后的函数解析式为________； 抛物线关于轴对称后的函数解析式为________. 方法二：抛物线关于轴对称，就是将用代入，得，即新抛物线解析式为；抛物线关于轴对称，就是将用代入，得，即新抛物线解析式为. 第一步：关于轴对称，不变，变为________； 关于轴对称，变为________，不变； 第二步：关于轴对称的函数解析式为________； 关于轴对称的函数解析式为________. 3.抛物线关于轴对称后得到的抛物线的解析式为________. 4.将抛物线关于轴对称后得到的抛物线的解析式为________. 5.把二次函数的图象关于轴对称，再向右平移1个单位长度后得到的图象的解析式为________ 二次函数的图象与字母系数之间的关系 【例】二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，分析函数图象，用“＞”“＜”“≥”“≤”或“=”填空. (1) 根据函数图象判断类问题： ①________0，________0，c________0. (2) 类问题： ②________0. ③________0. (3) 类问题： ④________0. (4) 当类问题： ⑤________0，________0， ⑥________0，________0. (5) 最值问题： ⑦(为任意实数). 注意： (1) 由开口方向可判断的正负；对称轴在轴左侧，则，进而可知同号，对称轴在轴右侧，则，进而可知异号(左同右异)；将与1比较，即可得到的取值范围；由抛物线与轴的交点位置可判断的取值范围. (2) 由函数图象与轴的交点个数可判断的取值范围. (3) 令的值为1或－1或2或－2，看函数图象上对应的点的位置，即可判断出对应式子的取值范围. (4) 即抛物线顶点的函数值与其他点的函数值的比较. 1.二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则点c)的位置在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且图象经过点，则下列结论错误的是（ ） A. B. C.若且，则 D.若两点都在抛物线的图象上，则 3.如图，二次函数的图象交轴于两点，点的坐标是，点的坐标是，有下列结论：①；②；③关于的方程的解是；④.其中正确的有________.(填序号) 4.已知抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点在和之间，其部分图象如图所示，则下列结论：③④⑤为任意实数)；⑥当时，.其中正确的是________(填序号). 答案 抛物线对称性的应用 【例】 1. 2. 【拓展提问】或 直线与抛物线的交点问题 【例】(1) 或 方法指导： 1.解：(1) 把代入，得，解得.把代入，得. (2) 如图，根据图象可知，当时，自变量的取值范围是或.(3) 设直线平移后的解析式为.联立得平移后的直线与抛物线只有一个公共点，，解得平移后的直线解析式为. 求平移、对称后的二次函数解析式 【例1】 1.C 2. 【例2】＋3 3. 4. 5. 二次函数的图象与字母系数之间的关系 【例】① ⑦≥ 1.B 2.D 3.①③④ 4.①②⑤ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $