第26章二次函数闯关练习-2026-2027学年人教版数学九年级上册

第26章二次函数闯关练习-2026-2027学年数学九年级上册人教版（2024） 一．选择题（共10小题） 1．（2025秋•龙马潭区期末）抛物线y＝﹣（x+2）2+1的顶点坐标是（　　） A．（﹣2，1） B．（2，1） C．（1，2） D．（1，﹣2） 2．（2025秋•晋中期末）关于二次函数y＝﹣（x+2）2+3，下列说法正确的是（　　） A．该函数的最大值为3 B．该函数图象的对称轴为直线x＝2 C．该函数图象开口向上 D．当x＜﹣2时，函数值y随x的增大而减小 3．（2025秋•金寨县期末）小亮爸爸想用长为80m的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为xm，面积为ym2，则y与x的函数关系式是（　　） A．y＝80x B．y＝80x﹣2x C． D．y＝x（80﹣2x） 4．（2025秋•周村区期末）将抛物线y＝x2向右平移1个单位，得到的抛物线的解析式为（　　） A．y＝x2+1 B．y＝x2﹣1 C．y＝（x+1）2 D．y＝（x﹣1）2 5．（2026•拱墅区校级开学）已知二次函数y＝a（x﹣1）（x﹣a）（a为常数，且a≠0），下列结论一定正确的是（　　） A．若a＞0，则x＜a时，y随x的增大而增大 B．若a＞0，则x＜a时，y随x的增大而减小 C．若a＜0，则a＜x时，y随x的增大而增大 D．若a＜0，则a＜x时，y随x的增大而减小 6．（2026•鼓楼区校级开学）抛物线y＝x2+mx+m﹣2与x轴交于A，B两点，且AB，则m的值为（　　） A．1 B．1或3 C． D．或 7．（2025秋•苍南县校级期末）已知点A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（3，y3）在二次函数y＝x2﹣4x+c的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y1＞y2 D．y2＞y3＞y1 8．（2026•安徽模拟）设函数，，直线x＝1的图象与函数y1，y2的图象分别交于点A（1，c1），B（1，c2），得（　　） A．若1＜a1＜a2，则c1＜c2 B．若a1＜1＜a2，则c1＜c2 C．若a1＜a2＜1，则c1＜c2 D．若a1＜a2＜1，则c2＜c1 9．（2025秋•田阳区期末）将进货价格为30元/个的商品按售价40元/个售出时，能卖出200个．已知该商品的售价每上涨1元，其销售量就减少6个．设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（　　） A．y＝（x+10）（200﹣6x） B．y＝（x+40）（200﹣12x） C．y＝（x﹣30）（200﹣6x） D．y＝（x+10）（200﹣12x） 10．（2025秋•临澧县期末）对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），定义其图象上点（x，y）的“点值”为t＝x+y．已知该抛物线过点（0，2），顶点的“点值”为﹣4，且与x轴的两交点的“点值”之和为4．对于上述二次函数，下列结论中正确的有（　　） ①b＝﹣4； ②其图象与x轴的两个交点均在y轴右侧； ③其图象上有两个点的“点值”为0； ④存在实数t0，使得函数图象上有且仅有一个点以t0为“点值”． A．①③ B．②④ C．②③ D．②③④ 二．填空题（共6小题） 11．（2025秋•长宁区期末）在下列给定的y关于x的函数中：①y＝πx2﹣1，②y＝ax2+bx+c，③x+1，④y，一定是二次函数的是_____ ．（填写序号） 12．（2026秋•西湖区校级单元）函数y＝2x2﹣3x+4的一次项系数是_______ ． 13．（2026秋•柯城区校级月考）当x＝_____ 时，二次函数y＝（x﹣1）2+2有最小值． 14．（2026•鼓楼区校级模拟）已知抛物线y＝﹣x2+2mx+3经过点A（m+2，y1），B（3m﹣4，y2），若3＜y1＜y2，则m的取值范围为__________ ． 15．（2025秋•船营区校级期末）二次函数y＝2（x+1）2的图象如图所示，则△ABO的面积为_____ ． 16．（2026•钦州校级一模）市民广场有一个直径16m的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头（喷水头高度忽略不计），各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物OA的顶端A处汇合，水柱离中心3m处达最高5m，如图所示建立直角坐标系．王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8m的他站立时必须在离水池中心O_____ m以内． 三．解答题（共7小题） 17．（2025秋•临高县期末）已知函数y＝（m﹣1）4x﹣5是二次函数； （1）求m的值； （2）写出这个二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 18．（2025秋•靖边县期末）如图，已知二次函数y＝x2﹣4． （1）先完成下表，然后在坐标系中画出该二次函数的图象； （2）指出图象的开口方向、顶点坐标和对称轴． x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 y 5 0 ﹣3 19．（2026秋•同步）已知二次函数y＝ax2+4的图象经过点A（﹣1，1）． （1）求这个二次函数的表达式； （2）写出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 20．（2026•科左后旗一模）某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系：y＝﹣2x+160，且规定商品的单价不能低于成本价，但不高于50元． （1）销售单价为多少元时，每天能获得800元的利润； （2）若使销售该商品每天获得的利润最大，销售单价应定为多少元？最大利润为多少元？ 21．（2026•鼓楼区校级开学）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝ax2+bx+c（a≠0）顶点为． （1）求b的值，并用含a的式子表示c； （2）已知M是抛物线C1上的点，M的横坐标为t，抛物线C2的顶点为M，且可以由抛物线C1平移得到（特别地，当M是C1的顶点时，C2即为C1）． ①求抛物线C2的解析式（用含t的式子表示）； ②将抛物线C2向右平移t个单位，再向上平移1个单位得抛物线C3．若无论t为何值，抛物线C3都不经过点（0，1），求c的取值范围． 22．（2025秋•沛县期末）如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x（单位：m），与墙平行的一边长为y（单位：m），面积为S（单位：m2）． （1）直接写出y与x，S与x之间的函数解析式（写x的取值范围）； （2）矩形实验田的面积S能达到750m2吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由； （3）当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 23．（2026春•福州校级期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴分别交于点A（1，0）和点B、与y轴交于点C（0，﹣3），连接BC． （1）求抛物线的函数表达式及点B的坐标； （2）如图，点P为线段BC上的一个动点（点P不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（2025秋•龙马潭区期末）抛物线y＝﹣（x+2）2+1的顶点坐标是（　　） A．（﹣2，1） B．（2，1） C．（1，2） D．（1，﹣2） 【解答】解：∵二次函数y＝﹣（x+2）2+1， ∴该函数图象的顶点坐标为（﹣2，1）， 故选：A． 2．（2025秋•晋中期末）关于二次函数y＝﹣（x+2）2+3，下列说法正确的是（　　） A．该函数的最大值为3 B．该函数图象的对称轴为直线x＝2 C．该函数图象开口向上 D．当x＜﹣2时，函数值y随x的增大而减小 【解答】解：根据二次函数顶点式 y＝a（x﹣h）2+k的性质逐项分析判断如下： y＝﹣（x+2）2+3，a＝﹣1＜0， ∴抛物线开口向下，故C错误，不符合题意； 对称轴为直线x＝﹣2，故B错误，不符合题意； 函数有最大值，最大值为 3，故A正确，符合题意； 当x＜﹣2时，y随x增大而增大，故D错误，不符合题意； 故选：A． 3．（2025秋•金寨县期末）小亮爸爸想用长为80m的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为xm，面积为ym2，则y与x的函数关系式是（　　） A．y＝80x B．y＝80x﹣2x C． D．y＝x（80﹣2x） 【解答】解：利用长方形面积等于长乘宽计算可得：y＝x（80﹣2x）， 故选：D． 4．（2025秋•周村区期末）将抛物线y＝x2向右平移1个单位，得到的抛物线的解析式为（　　） A．y＝x2+1 B．y＝x2﹣1 C．y＝（x+1）2 D．y＝（x﹣1）2 【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝x2向右平移1个单位，得到的抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2． 故选：D． 5．（2026•拱墅区校级开学）已知二次函数y＝a（x﹣1）（x﹣a）（a为常数，且a≠0），下列结论一定正确的是（　　） A．若a＞0，则x＜a时，y随x的增大而增大 B．若a＞0，则x＜a时，y随x的增大而减小 C．若a＜0，则a＜x时，y随x的增大而增大 D．若a＜0，则a＜x时，y随x的增大而减小 【解答】解：y＝a（x﹣1）（x﹣a）＝0，解得x＝1或a， ∴对称轴为直线x， ∴当a＜0时，开口向下，a＜x，图象完全在对称轴的左侧， ∴当a＜x时，y随x的增大而增大， 故选项C符合题意． 故选：C． 6．（2026•鼓楼区校级开学）抛物线y＝x2+mx+m﹣2与x轴交于A，B两点，且AB，则m的值为（　　） A．1 B．1或3 C． D．或 【解答】解：抛物线y＝x2+mx+m﹣2与x轴交于A，B两点，则： 设A（x1，0），B（x2，0），则x1，x2是方程x2+mx+m﹣2＝0的两个实数根． ∴x1+x2＝﹣m，x1x2＝m﹣2， ∵， ∴， ∵， ∴（﹣m）2﹣4（m﹣2）＝5， 解得m1＝1，m2＝3， ∵Δ＝m2﹣4（m﹣2）＝（m﹣2）2+4＞0恒成立， ∴m的值为1或3． 故选：B． 7．（2025秋•苍南县校级期末）已知点A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（3，y3）在二次函数y＝x2﹣4x+c的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y1＞y2 D．y2＞y3＞y1 【解答】解：由解析式可知： 当x＝﹣1时，， 当x＝2时，， 当x＝3时，， ∴y1＝5+c，y2＝﹣4+c，y3＝﹣3+c， ∵5＞﹣3＞﹣4， ∴5+c＞﹣3+c＞﹣4+c， ∴y1＞y3＞y2． 故选：B． 8．（2026•安徽模拟）设函数，，直线x＝1的图象与函数y1，y2的图象分别交于点A（1，c1），B（1，c2），得（　　） A．若1＜a1＜a2，则c1＜c2 B．若a1＜1＜a2，则c1＜c2 C．若a1＜a2＜1，则c1＜c2 D．若a1＜a2＜1，则c2＜c1 【解答】解：由题意可得： A．若1＜a1＜a2，如图所示， 则c1＞c2 B．若a1＜1＜a2，如图所示， 则c1＞c2， 故B选项不合题意， C．若a1＜a2＜1，如图所示， ∴c1＜c2，故C选项正确，D选项不正确； 故选：C． 9．（2025秋•田阳区期末）将进货价格为30元/个的商品按售价40元/个售出时，能卖出200个．已知该商品的售价每上涨1元，其销售量就减少6个．设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（　　） A．y＝（x+10）（200﹣6x） B．y＝（x+40）（200﹣12x） C．y＝（x﹣30）（200﹣6x） D．y＝（x+10）（200﹣12x） 【解答】解：根据利润＝每个利润×销售量列出关系式可知： 售价上涨x元后，每个利润为（40+x）﹣30＝（x+10）元， 销售量减少6x个，即为（200﹣6x）个， ∴利润y＝（x+10）（200﹣6x）． 故选：A． 10．（2025秋•临澧县期末）对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），定义其图象上点（x，y）的“点值”为t＝x+y．已知该抛物线过点（0，2），顶点的“点值”为﹣4，且与x轴的两交点的“点值”之和为4．对于上述二次函数，下列结论中正确的有（　　） ①b＝﹣4； ②其图象与x轴的两个交点均在y轴右侧； ③其图象上有两个点的“点值”为0； ④存在实数t0，使得函数图象上有且仅有一个点以t0为“点值”． A．①③ B．②④ C．②③ D．②③④ 【解答】解：∵抛物线过点（0，2）， ∴c＝2， 由题意可知，t＝x+y＝x+ax2+bx+c＝ax2+（b+1）x+c， ∵顶点的“点值”为﹣4， ∴t＝a（）2+（b+1）（）+2＝﹣4， 整理得2＝﹣4，即， 设抛物线与x轴的交点的横坐标为x1，x2， ∴x1+x2，x1x2， ∵与x轴的两交点的“点值”之和为4， ∴t1＝x1+0＝x1，t2＝x2+0＝x2， ∴t1+t2＝x1+x24， ∴b＝﹣4a， ∴6， ∴4a﹣2＝6， 解得a＝2， ∴b＝﹣4a＝﹣8，故①错误； ∵y＝2x2﹣8x+2， 当y＝0时，2x2﹣8x+2＝0，即x2﹣4x+1＝0， ∴x1+x2＝4，x1x2＝1， ∴其图象与x轴的两个交点均在y轴右侧，故②正确； 由题意可知t＝2x2﹣7x+2， 当t＝0时，2x2﹣7x+2＝0， ∵Δ＝（﹣7）2﹣4×2×2＝49﹣16＝33＞0， ∴方程有两个不同的实数根， ∴其图象上有两个点的“点值”为0，故③正确； ∵t＝2x2﹣7x+2＝2（x）2， ∴当t时，方程2x2﹣7x+2＝0有且仅有一个解， ∴存在实数t0，使得函数图象上有且仅有一个点以t0为“点值”，故④正确． 故选：D． 二．填空题（共6小题） 11．（2025秋•长宁区期末）在下列给定的y关于x的函数中：①y＝πx2﹣1，②y＝ax2+bx+c，③x+1，④y，一定是二次函数的是　①　 ．（填写序号） 【解答】解：①y＝πx2﹣1，其中a＝π≠0，是二次函数，符合题意； ②y＝ax2+bx+c，a可能为0，不一定是二次函数，不符合题意； ③，为一次函数，不是二次函数，不符合题意； ④，是分式函数，不是二次函数，不符合题意． 故答案为：①． 12．（2026秋•西湖区校级单元）函数y＝2x2﹣3x+4的一次项系数是　﹣3　 ． 【解答】解：函数y＝2x2﹣3x+4的一次项系数是﹣3， 故答案为：﹣3． 13．（2026秋•柯城区校级月考）当x＝　1　 时，二次函数y＝（x﹣1）2+2有最小值． 【解答】解：根据二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象及性质可知： 二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（1，2）， ∴当x＝1时，二次函数有最小值． 故答案为：1． 14．（2026•鼓楼区校级模拟）已知抛物线y＝﹣x2+2mx+3经过点A（m+2，y1），B（3m﹣4，y2），若3＜y1＜y2，则m的取值范围为　2＜m＜3　 ． 【解答】解：抛物线y＝﹣x2+2mx+3开口向下，对称轴为x＝m，与y轴交点为（0，3）， 将A（m+2，y1）代入解析式： y1＝﹣（m+2）2+2m（m+2）+3， ＝﹣m2﹣4m﹣4+2m2+4m+3 ＝m2﹣1， 由3＜y1得： m2﹣1＞3， m2＞4， m＞2或m＜﹣2， 抛物线开口向下，离对称轴越远，函数值越小， 对称轴为x＝m．点A的横坐标为m+2，点B的横坐标为3m﹣4， y1＜y2意味着点B离对称轴更近，即： |（3m﹣4）﹣m|＜|（m+2）﹣m|＝2， 化简得： |2m﹣4|＜2， ﹣2＜2m﹣4＜2， 1＜m＜3， 联立m＞2或m＜﹣2与1＜m＜3，得2＜m＜3． 故答案为：2＜m＜3． 15．（2025秋•船营区校级期末）二次函数y＝2（x+1）2的图象如图所示，则△ABO的面积为　1　 ． 【解答】解：令y＝0，则2（x+1）2＝0， 解得x＝﹣1， ∴A（﹣1，0）， ∴AO＝1． 令x＝0，则y＝2， ∴B（0，2）， ∴BO＝2， ∴二次函数y＝2（x+1）2的图象如图所示，则． 故答案为：1． 16．（2026•钦州校级一模）市民广场有一个直径16m的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头（喷水头高度忽略不计），各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物OA的顶端A处汇合，水柱离中心3m处达最高5m，如图所示建立直角坐标系．王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8m的他站立时必须在离水池中心O　7　 m以内． 【解答】解：第一象限内抛物线的最高点为（3，5），且经过（8，0）， ∴可设y＝a（x﹣3）2+5， ∴a（8﹣3）2+5＝0， 解得：， ∴， 当y＝1.8时， ， 解得：x1＝7，x2＝﹣1（舍去）， 当x＝0时， ， 第二象限的抛物线同理可求， ∵不被淋湿， ∴为了不被淋湿，身高1.8m的他站立时必须在离水池中心O7m以内； 故答案为：7． 三．解答题（共7小题） 17．（2025秋•临高县期末）已知函数y＝（m﹣1）4x﹣5是二次函数； （1）求m的值； （2）写出这个二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【解答】解：（1）由题意：， 解得m＝﹣1， ∴m＝﹣1时，函数y＝（m﹣1）4x﹣5是二次函数． （2）∵二次函数的解析式为y＝﹣2x2+4x﹣5＝﹣2（x﹣1）2﹣3， ∴这个二次函数的开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣3）． 18．（2025秋•靖边县期末）如图，已知二次函数y＝x2﹣4． （1）先完成下表，然后在坐标系中画出该二次函数的图象； （2）指出图象的开口方向、顶点坐标和对称轴． x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 y 5 0 ﹣3 【解答】解：（1）列表： x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 y 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 5 描点，连线画出该二次函数的图象如图： ； （2）抛物线的图象的开口向上、顶点坐标为（0，﹣4）、对称轴为y轴． 19．（2026秋•同步）已知二次函数y＝ax2+4的图象经过点A（﹣1，1）． （1）求这个二次函数的表达式； （2）写出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+4的图象经过点A（﹣1，1）， ∴a+4＝1， ∴a＝﹣3， ∴这个二次函数的表达式为y＝﹣3x2+4． （2）函数y＝﹣3x2+4的图象的开口方向向下，对称轴为y轴，顶点坐标（0，4）． 20．（2026•科左后旗一模）某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系：y＝﹣2x+160，且规定商品的单价不能低于成本价，但不高于50元． （1）销售单价为多少元时，每天能获得800元的利润； （2）若使销售该商品每天获得的利润最大，销售单价应定为多少元？最大利润为多少元？ 【解答】解：（1）由题意得：（x﹣30）（﹣2x+160）＝800， 整理得：x2﹣110x+2800＝0， 解得x1＝40，x2＝70， ∵商品的单价不能低于成本价，但不高于50元， ∴30≤x≤50， ∴x＝40， 答：销售单价为40元时，每天能获得800元的利润； （2）由题意得：w＝（x﹣30）（﹣2x+160）＝﹣2（x﹣55）2+1250， ∵﹣2＜0， ∴当x＜55时，w随x的增大而增大， ∵30≤x≤50， ∴当x＝50时，w有最大值，此时，w＝1200， 答：若使销售该商品每天获得的利润最大，销售单价定为50元，最大利润1200元． 21．（2026•鼓楼区校级开学）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝ax2+bx+c（a≠0）顶点为． （1）求b的值，并用含a的式子表示c； （2）已知M是抛物线C1上的点，M的横坐标为t，抛物线C2的顶点为M，且可以由抛物线C1平移得到（特别地，当M是C1的顶点时，C2即为C1）． ①求抛物线C2的解析式（用含t的式子表示）； ②将抛物线C2向右平移t个单位，再向上平移1个单位得抛物线C3．若无论t为何值，抛物线C3都不经过点（0，1），求c的取值范围． 【解答】解：（1）由条件可知抛物线C1为 ， 又∵抛物线C1为y＝ax2+bx+c， ∴b＝﹣2，； （2）①将x＝t代入C1的解析式，得， ∵抛物线C2由C1平移得到，且顶点为M（t，yM）， ∴C2的解析式为； ②∵将抛物线C2向右平移t个单位，再向上平移1个单位得抛物线C3， ∴抛物线C3为：， 若抛物线C3经过点（0，1）， 将x＝0，y＝1代入抛物线C3，得， ， ， ∵无论t为何值，抛物线C3都不经过点（0，1）， ∴没有实数根， ∴ ＝4﹣20+20a ＝﹣16+20a， 令Δ＜0，得﹣16+20a＜0， 20a＜16， 解得， ∵， ∴， ∴， 当c+1＞0（即c＞﹣1）时，， ， 解得， 结合c＞﹣1，则此时范围为； 当c+1＜0（即c＜﹣1）时，， ， 解得， 结合c＜﹣1，则此时范围为c＜﹣1； 综上所述，c的取值范围为c＜﹣1或． 22．（2025秋•沛县期末）如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x（单位：m），与墙平行的一边长为y（单位：m），面积为S（单位：m2）． （1）直接写出y与x，S与x之间的函数解析式（写x的取值范围）； （2）矩形实验田的面积S能达到750m2吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由； （3）当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 【解答】解：（1）由劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田可得： 2x+y＝80， ∴y＝﹣2x+80， ∵S＝xy， ∴S＝x（﹣2x+80）＝﹣2x2+80x； ∵y≤42， ∴﹣2x+80≤42， ∴x≥19， ∴19≤x＜40； （2）当S＝750时，﹣2x2+80x＝750， x2﹣40x+375＝0， （x﹣25）（x﹣15）＝0， ∴x＝25或x＝15（舍去）， ∴当x＝25m时，矩形实验田的面积S能达到750m2； （3）将函数解析式化为顶点式可得： S＝﹣2x2+80x＝﹣2（x2﹣40x）＝﹣2（x2﹣40x+400﹣400）＝﹣2（x﹣20）2+800， ∴当x＝20m时，S有最大值800m2． 23．（2026春•福州校级期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴分别交于点A（1，0）和点B、与y轴交于点C（0，﹣3），连接BC． （1）求抛物线的函数表达式及点B的坐标； （2）如图，点P为线段BC上的一个动点（点P不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值． 【解答】解：（1）把A（1，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+2x+c得： ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为y＝x2+2x﹣3， 令y＝0得x2+2x﹣3＝0， 解得x＝1或x＝﹣3， ∴B（﹣3，0）； （2）设直线BC解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴直线BC解析式为y＝﹣x﹣3， 设P（m，﹣m﹣3），其中﹣3＜m＜0，则Q（m，m2+2m﹣3）， ∴PQ＝﹣m﹣3﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m）2， ∵﹣1＜0， ∴当m时，PQ取最大值， ∴线段PQ长度的最大值为． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $