辽宁省朝阳市2026-2027学年高三上学期10月巩固训练数学试题

绝密★启用前 高三年级巩固训练 数学 本卷满分150分，考试时间120分钟． ☆注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置．考试结束后，将答题卡交回． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1．半径为2，圆心角为1 rad的扇形面积为 A．1 B．2 C．4 D．8 2．复数满足，则 A． B． C． D． 3．设集合，，则 A． B． C． D． 4．命题“所有函数在定义域内均存在零点”的否定为 A．所有函数在其定义域内处处为0 B．所有函数在其定义域内均没有零点 C．存在一个函数在其定义域内处处为0 D．存在一个函数在其定义域内没有零点 5．设函数，则曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 A． B． C． D． 6．设函数的定义域为．已知存在函数满足，则 A．3 B．9 C．36 D．72 7．设函数，，，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．平面直角坐标系内，两射线，的夹角为60°，点P，Q分别在射线，上，且．则的最大值为 A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．设函数，则 A．有且仅有2个零点 B．有且仅有1个极值点 C．不等式恒成立 D．在上单调递减 10．在以O为原点的平面直角坐标系中，，，，其中，若，则 A．为钝角三角形 B．的面积为 C．外接圆的半径大于1 D．的周长大于4 11．设等差数列的前n项和为．当且仅当时，取得最大值．若为公比为q的正项等比数列，记数列的前n项和为，则 A．数列存在最小项，当且仅当 B．数列存在最大项，当且仅当 C．对任意数列，均不存在整数，使得在处取得最大值 D．对任意整数，均存在数列，使得在或处取得最大值 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知平面向量与的夹角为60°，则______． 13．若对任意，存在使得，则k的取值范围是______． 14．若，，成等比数列，则的最小值为______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分） 已知函数（）的最小正周期为． （1）求； （2）在中，，，当取得最大值时，求的长度． 16．（本小题满分15分） 已知数列满足，且为首项与公差相等的等差数列． （1）求的通项公式； （2）记的前n项和为，求． 17．（本小题满分15分） 已知函数． （1）证明：曲线过定点； （2）当时，证明：． 18．（本小题满分17分） 已知在中，． （1）证明：或； （2）若，． （ⅰ）求； （ⅱ）求的面积． 19．（本小题满分17分） 设函数的定义域为D，若存在非零实数，对任意不等实数，都有，则称具有性质P． （1）判断函数是否具有性质P，并证明； （2）已知，在D上可导，且在D上无零点． （ⅰ）若具有性质P，证明：存在，使得； （ⅱ）记，若，证明：具有性质P． 学科网（北京）股份有限公司 $高三年级巩固训练 数学 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力V,空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.核心素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 核心素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) IⅢNVM①②③④⑤⑥ 档次 系数 1 单选题 5 扇形面积的计算 / 易 0.95 2 单选题 5 复数的计算 易 0.92 3 单选题 5 集合的运算 L 易 0.87 4 单选题 命题的否定 易 0.80 5 单选题 5 导数的几何意义 易 0.75 6 单选题 函数性质 √W 中 0.65 三角恒等变换与充要条件的 7 单选题 5 0.55 结合 8 单选题 5 平面向量与不等式综合 难 0.35 9 多选题 6 函数导数综合 易 0.85 10 多选题 平面向量与解三角形综合 中 0.55 11 多选题 6 数列综合 难 0.25 12 填空题 5 平面向量综合 易 0.70 13 填空题 函数导数中的存在性问题 中 0.65 三角恒等变换与等比数列 14 填空题 5 难 0.35 综合 15 解答题 13 三角函数与解三角形综合 L 中 0.65 16 解答题 15 数列综合 中 0.55 17 解答题 15 函数导数综合 中 0.45 18 解答题 17 解三角形综合 难 0.25 19 解答题 17 抽象函数与导数综合 难 0.15 ·%1 参考答案及解析 ·高三数学· 参考答案及解析 高三数学 一、单选题 =0d-02,故20D-40d-P6=30币-500 1.B【解析】扇形面积S=合r0=号×2×1=2.故 =√3，平方得9.x2十25y2-15xy=3.又|PQ12=x2十 选B. y2-xy,而3(9x2+25y2-15xy)-25(x2十y2-xy) 2.A【解析】设x=a十bi(a,b∈R),则由z十=2得a =2(x-5)≥0，故25PQ≤9，即PQ≤号，当x =1,由g=2得a2+b2=2,故b2=1,于是（之-1）2= =5y时，9.x2十25y2-15xy=175y=3,等号可以取 (b)2=-b2=-1.故选A 3.B【解析】由x2=x得x=0或x=1,故A={0,1}; 得，故P咬的最大值为号故选C. 当x=0时，2+x=1,当x>0时，2十x>1,当x<0 二、多选题 时，2十x<1,故B={0},从而A∩B={0.故选B. 9.BD【解析】函数f(x)=x3(lnx-1)的定义域为 4.D【解析】“所有函数在定义域内均存在零点”的否 (0,十∞).由f(x)=0,得x3(lnx-1)=0,又x>0, 定为“存在函数在定义域内不存在零点”，也等价于D 故lnx-1=0,解得x=e,所以f(.x)有且仅有1个零 选项的表述.故选D, 点，故A错误；f(x)=3.x2(lnx-1)十x2=x2(3lnx 5.D【解析】求导得了(x)=(2xx-恶）· -2),令f(x)=0,得x=e,当0<x<e京时，f(x) <0,f(x)单调递减；当x>e子时，f(x)>0,f(x)单 os(r-吾n）f0=asx=-g, 6 调递增，所以f(x)在x=e处取得极小值，且仅有1 =sin元=0，可得切线方程为y=-11严(x-1),当y 6 个极值点，故B正确；因为f(1)=-1,且1<é号，而 f(x)在(0，e)上单调递减，所以当1<x<e时， =0时，x=1:当x=0时，y=,可得三角形面积S 6 f(x)<f1)=-1,故不等式f(x)≥-1不恒成立， =×1X号-竖故选D, 2 故C错误；当0<x<1时，因为1<e,所以0<x<1 6.C【解析】因为(2)=4，所以由g(f(x)=3x得 <e,从而f(x)<0,故f(x)在区间(0,1)上单调递 g(4)=g(f(2)=6,从而f(g(4)=f(6)=36.故 减，故D正确.故选BD. 选C. 10,ABC【解析】因为0<x<y,所以BA·BC=一x(y 7.A【解析】f(-a)=cos(g-2a),若B=2a,则f(一a) -x)<0,则∠B为钝角，故A正确；记BC=a,AC= =1,故充分性成立：取B=2a十2π，仍有f(-a)=1, b,AB=c,则△ABC的面积S=号，则esin A=y 但B≠2a,故必要性不成立，因此“B=2a”是“f(一a) 1”的充分不必要条件.故选A. -x,因为A市.A花-bce0sA=2,所以1anA= 8.C【解析】设O币=x,O0=y,则x,y≥0，且P戒 =S,故B正确：因为0<cosA<1,由bccos A=2,得 ·%1 ·高三数学· 参考答案及解析 c>2,由S=号=合esin A,得a=灰sinA,再由正 √5.故答案为-2-√5， 13.(1,十∞) 【解析】当x=1时，即存在x∈[1,3]使 弦定理得2R=品=c>2,故R>1,故C正确：由 得x2<k,此时取x=1即得k>1,而当1<x≤3时， 题意可得AB·AC=xy十1=2，则xy=1,取x= 问题转化成-6a山，即对任意0>0，品士气 子y=号此时△AC的周长为是+号+正= 3 7 a,即≤0，x≤k,此时由存在性知取>1符合 In x <4,故D错误，故选ABC 题意，故答案为(1，十∞). 11.ACD【解析】由S>S1及S>S,得a,>0>as, 故公差d=a6-a5<0,从而an>0(n≤5)，an<0(n 14.2 【解析】由条件得siny=sin xsin(x十y)= ≥6).设cn=an十bn,则Tn一T-1=cn.对A,当0<q sin (sin rcos ycos xsin y)-cosy.I-cos 2 2 ≤1时，bn≤b1,又an=a1十(n-1)d,可取整数N使 1 av十b1<-1,则n≥N时cn<-1,故T,不断下降 siny·zsin2x,可得2sin'y-cosy=-sin ysin2x 且不存在最小项：当q>1时，令r=q一1>0，D= cos ycos2x=-cos(2x+y)≤1，即2-2cos2y 一d>0,K=,>0,由二项式定理知n≥3时b.= cosy-1≤0,2cos2y十cosy-1≥0，可得cosy≤-1 2 b(1十r)-1≥K(n-1)(n-2),取整数N使K(N 或cos≥2，当cosy=-1时，siny=0,与题干中 2)>D十a,则n≥N时bn>-an,故cn>0,于是 等比数列矛盾，故可得osy的最小值为号，当 T,从某项起递增，最小项必在前面有限项中取得， 故A正确：对B,取q=1,则cn=an十b仍为公差d c0s(2x十y)=-1时等号成立.故答案为子 <0的等差数列，可取整数N使n≥N时cm<0,于 四、解答题 是T。从某项起递减，故必有最大项，故B错误；对 15,解：1)由辅助角公式得f()=2sin(x十号)， C,n≤5时am>0且bn>0,故cm>0,于是Ti<T2< (2分) T<T1<T,任意m<5均不可能为最大值点，故C 正确：对D,任取整数m≥5，取q=1并令b. 于是T=元=2红，w=2. (4分) -am+1>0,则cn=an-am+1,故n≤时cn>0,cm+l (2)此时BC=2sin(2A+S)≤2， =0,nm十2时cn<0,于是T1<…<Tm=Tm+i> Tm+2>…,故D正确.故选ACD. 由A∈(o,)得2A+号∈（受，2x): 三、填空题 结合正弦函数图象可知当且仅当2A十受=受， 12.-25【解析】由题意，k≠0，且、2k+2兰 2√2√+ 即A=时，等号成立， (7分) 之则21+)=1十6，即2+十1=0，解得及 故此时BC=2,A=立 (8分) 一2士√3.又夹角为60°，故a·b>0,即(1十k)>0. 由于1<3<2，k=-2十√5不满足，故k=-2 面如是-如（任一吾）-62 (9分) ·%2· 参考答案及解析 ·高三数学· 由正弦定理有 BC AC 所以(1-2x2)2-x=(1-x)(1-4x2-4x3)<0, sin A sin B' 即(1-2x2)2<x,与x<(1-2x2)2矛盾， 于是AC 2 2 =√6+√2. (13分) 6-2 所以0°<B<30°或150°<B<180° (6分) 4 (2)()a=BC,b=CA,c=AB, 16.解：(1D由4=2，得数列{径}的首项为受=1， 则a十c=9,b=4√2， 又其首项与公差相等，故公差为1， (2分) 由正弦定理可得a十c_sinA十sinC=os'2B b sin B sin B' 所以2=1十(n-1)=n,故a,=n·2, (5分) 所以9 cos22B (8分) √2 sin B' (2)由(1)得Sn=1·2十2·22+3·23+…+n·2. (8分) 1 设x=sinB.由(1)知，0<x<2: 则2Sn=1·2+2·23+3·21十…十(n-1)·2m十 故1-2x)2=9 n·2m+1. (11分) 42 两式相减，得Sn=n·2m+1-(2十22十…十2) 记f(x)=1-2.x2) =n·2m+1-(2m+1-2)=(n-1)2m+1+2. (15分) 17.解：(1)注意到f(0)=0,可得曲线y=f(x)过定点 对任意0K<<号，有0K1-2<1-2, (0,0). (3分) 从而f(x2)= 1-2x)21-2z)2(1-2x) (2)此时f(x)=(x3+x)e,f(x)=(x3+3.x2十x十 1)e, (5分) =f(x1), 故只要证(3.x2十1)e>ex,而(3.x2十1)e≥e,故只 所以f(x)在(0，)上单调递减， (10分) 要证e≥ex, (9分) g(x)=e*-ex,g(r)=e-e, (11分) x∈(-o∞，1)时，g'(x)<0,g(x)单调递减； 42 x∈(1，十∞)时，g'(x)>0,g(x)单调递增，(13分) 可得g(x)≥g(1)=0,即e≥ex, (12分) 于是f(x)≥f(x)十e≥f(x)十ex, (i)由余弦定理，b2=a2十c2-2 accos B=(a十c)2- 易知等号无法连续成立，得证. (15分) 2ac(1十cosB). 18.解：(1)由题得sinB<cos22B=1-sin2B 代入a十c=9,b=4√2，得32=81-2ac(1+cosB), =1-4sin Bcos B=1-4sin B-+4sinB 所以2ac(1十cosB)=49. (13分) =(1-2sinB)2, (2分) 若150°<B<180°，则c0sB<0, 设x=sinB,则0<x≤1，且x<(1-2x2). 于是49=2ac(1+cosB)<2ac. 假设30≤B<150,则号≤x≤1. 又由(a-c)≥0，得4ac≤(a十c)2=81, 此时4x+4x≥4（分）”+4（分）广'=多>1， 所以2ac<<49,矛盾。 ·3· ·高三数学· 参考答案及解析 因此0<B<30,从而cosB=√个-simB=☑ 即xf(x1)-x1f(xo)≤xwf(x)-x2f(xo), 4 则y=xf(x)一xf(x)在(0，十oo)上单调递减， (15分) 可得[xf(x)-xf(xo)]'≤0， (7分) 将cosB=厘代入2ac(1十cosB)=49, 于是可得x0f(x)≤f(xo). (8分) 4 得ac= 98 =49(4-√14). ()计算得'(x)=2zf)-x∫( (10分) f(x) 4十√/14 所以Sc=方asin B=子X49(4-Vm)×层 注意到f(x)(x)=2x))-[xDP-P(x） f(x) 4 -22E-7. (13分) (17分) +1=[@]+11 当且仅当f(x)-xf(x)=0时，等号成立.(14分) 19.解：(1)由题得8）-g》=1十，）=， x一x 于是ff@=0,即[四]-0， (2分) 取x1=xo,x2=1时可得矛盾，故g(x)不具有性质 可知四=C,其中C为常数， (16分) P. (4分) 此时f）-f）-】=C,符合条件， XI-T2 (2)(1)不妨设x1>x2>0, 故f(x)具有性质P. (17分) 则x[f(x1)-f(x2)]≤(x1-x2)f(xo),(5分) ·4