周测评(二十六)成对数据的统计分析-【衡水真题密卷】2027届高三数学学科素养周测评（A版）

2026一2027学年度学科素养周测评（二十六） 数学·成对数据的统计分析 本试卷总分100分，考试时间40分钟。 一、选择题：本题共6小题，每小题6分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 题号 1 3 答案 1.对两个变量x和y进行回归分析，得到一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,yn), 下列统计量的数值能够刻画其经验回归方程的拟合效果的是 () A.平均数 B.相关系数 C.决定系数R2 D.方差 2.现有一组样本数据点(-1，号)，(3,2)，(5,8)，(6,3)，则该组样本数据点的相关系数， A.-1 B.一3 D.1 3.根据如表所示的样本数据： 3 4 5 6 2 4 2.5 -0.5 -2 -3 得到的线性回归方程为y=x十a,则 A.a>0,b>0 B.a>0,b<0 C.a<0,b>0 D.a<0,b<0 4.根据分类变量I与Ⅱ的统计数据，计算得到x2=2.954,则 ( 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A.变量I与Ⅱ相关 B.变量I与Ⅱ相关，这个结论犯错误的概率不超过0.1 C.变量I与Ⅱ不相关 D.变量I与Ⅱ不相关，这个结论犯错误的概率不超过0.1 5.已知变量c,y线性相关，其一组样本数据(z,y)(i=1,2,…,9)满足x:=33,用最小 二乘法得到的经验回归方程为y=2x一1.若增加一个数据（一3,3）后，得到修正后的回 归直线的斜率为1.9，则数据点(4,8)关于修正后的回归直线的残差为 () A.-0.2 B.-0.1 C.0.1 D.0.2 学科素养周测评（二十六）数学第1页（共4页） 并雅天赋使然，而是“踏实十策略” 6.如图，由观测数据(x:,y:)(i=1,2,3,4,5,6)的散点图可知，y与x的关系可以用模型 班级 y=blnx十a拟合，令之=lnx,利用最小二乘法求得y关于之的回归方程y=bz十1.若 2r2xax4x5x6=e,2y:=18,则6 姓名 得分 0 A品 B品 C.1 D 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 7 8 答案 7.下列说法正确的是 () A.样本甲中有m件样品，其方差为s,样本乙中有n件样品，其方差为s,则由甲、乙组 成的总体样本的方差为n后·i十网n·道 B.一组数据(1,3)，(2,8)，(3,10)，(4,14)，(5,15)的经验回归方程为y=3x+a,则当 x=5时，残差为一1 C.一组数据x1,x2,…,xm的均值为x,标准差为s,则数据x,x号，…，x员的均值为s2十x2 D.按从小到大排序的两组数据，甲组数据为29,31,37,40,41,50；乙组数据为24,30， 33,44,48,52,60,68,70,80.则甲组数据的第30百分位数和乙组数据的第40百分位 数之和为75 8.某医学研究团队为探究新型降压药的疗效与患者年龄的关联，将120名高血压患者按 年龄分为“中青年组（小于60岁）”和“老年组（大于或等于60岁）”，记录用药后的疗效 (“有效”或“无效”)，具体数据如列联表所示： 疗效 患者 总计 有效 无效 中青年组 10 40 50 老年组 40 30 70 总计 50 70 120 n(ad-bc)2 附：x2=a+b)c+l)a十c)+d,其中n=a+b+c+d. a 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 则下列说法中正确的是 学科素养周测评（二十六）数学第2页（共4页） A A.若在老年组中按疗效分层随机抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，则至少抽 到1名无效患者的概率为 B.从所有患者中随机抽取1人，设事件A=“该人在中青年组”，事件B=“该药对此人 有效”，则事件A与B相互独立 C.根据小概率值α=0.05的独立性检验，认为“降压药疗效与患者年龄有关”，且该推断 犯错误的概率不超过5% D.若将列联表中“中青年组有效”的人数改为15，“中青年组无效”的人数改为35，则所 得X值比原值大 三、填空题：本题共2小题，每小题6分，共12分。 9.针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”进行了一次调 查，其中女生人数是男生人数的？，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占 女生人数的号，若根据小概率值。=0.01的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则 男生至少有 人 n(ad-bc)2 附：x=a+b)c+d)a十c)6+d,其中n=a+6+c+d. a 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 10.已知高中学生的数学成绩、物理成绩、化学成绩两两成正相关关系，随机抽取10名同 4 学，数学成绩x和物理成绩y的样本相关系数为5，物理成绩y和化学成绩之的样本 相关系数为3，则x,2的样本相关系数的最大值为 12 (x:-x)(y:一y） 附：样本相关系数r i=1 2(x,-)2,2(y:-)2 A 四、解答题：本题共2小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 11.(20分)春节将至，某水果店对潮州柑进行试销，得到一组销售数据，如表所示： 试销单价x/元3 4 6 7 产品销量y/件201615126 (1)经计算得相关系数r≈一0.97，变量x,y的线性相关程度很高，求y关于x的经验 回归方程； (2)用(1)中所求的经验回归方程来拟合这组成对数据，当样本数据的残差的绝对值大 于1.2时，称该对数据为一个“次数据”，现从这5个成对数据中任取3个进行残差 分析，求取到的数据中“次数据”的个数X的分布列和数学期望 参考公式：在线性回归方程y=x十a中，b,a的最小二乘估计值分别为= 2xy:一nxy i= ,a=y-bx. 2x-n' i= 参考数据：2xy,=313. A 学科素养周测评（二十六）数学第3页（共4页） 12.(20分)某市体育局为调研市民体育锻炼情况与健康水平的关联性，随机抽取了120名 18岁~60岁市民进行调查.将每周锻炼不少于3次的市民归为“高频锻炼组”，不足3 次的归为“低频锻炼组”；体质检测达到《国民体质测定标准》优秀和良好等级的定为 “体质达标”，否则为“体质不达标”.调查结果如2×2列联表所示 健康水平 锻炼情况 合计 体质达标 体质不达标 高频锻炼组 心 15 60 低频锻炼组 25 v 合计 s t 120 (1)请根据列联表中的数据，写出m,v,s,t,u的值； (2)依据小概率值α=0.001的独立性检验，分析该市市民体育锻炼情况是否与健康水 平有关联； (3)该市体育局计划从抽到的120人中体质不达标的市民中抽取部分人员开展“科学 健身指导”活动，现按高频锻炼组和低频锻炼组分层，通过分层随机抽样抽取10人 开展指导活动，再从这10人中随机抽取3人进行专项访谈，求抽取的3人中至多有 1人来自高频锻炼组的概率. n (ad-bc)2 附：X2= (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 其中n=a+b+c+d. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 学科素养周测评（二十六）数学第4页（共4页）2027 学科素养周测评 (2)解：（ⅰ）最终标号不大于k等价于m次抽取 当n=1时，P(X=1)=1,E(X)=1×1=1, 的所有结果都不大于飞，每次抽到不大于的概 事为， 故E(X)=0-”2成立 (16分) 当n≥2时，设f(x)=x+(1-x)",x∈(0,1)， 因此P(X≤)=（货）》”k=1,23,4 (9分) 则f'(x)=n[x"-1-(1-x)-1门， (i)由于P(X=k)=P(X≤k)-P(X≤k-1) 当x(o,2)时，f'(a)<0,fx)单调递减： =(经)-(（)k=1,23,4, 当x∈（分，1）时，f'(x)>0,f(x)单调递增。 则随机变量X的期望为E(X)=之·P(X=) 所以f)=x+1-x)≥f(g)=2 =1(”+[()”-()]+() 设M=(月广+()++元”+(”， ()]+41-()门 则M=(元+)++()”+()”， =4-1+2m+3m (14分) 4m 所以2M≥a-1D·，所以M≥”2， (3)证明：P(X=k)=P(X≤k)一P(X≤k一1) =(货）°-(n广，k=1,2…m, 所以Ex=n-[（)”+()”++）门] 则随机变量X的期望为E(X)-之·P(X=k) n-M≤n-n-l 2n =1·(分)”+2·[（号）-（月门++n· 综上所述，E(X)≤n-”-1 2n (20分) 1-=m-(》-()--( 2026一2027学年度学科素养周测评（二十六） 数学·成对数据的统计分析 一、选择题 4.B【解析】零假设为H。:变量I与Ⅱ不相关，因 1.C【解析】平均数与方差是用来反馈数据集中趋 为X2=2.954>2.706,所以依据a=0.1的独立性 势与波动程度大小的统计量；变量y和x之间的 检验，可推断H。不成立，即认为变量I与Ⅱ相关，这 相关系数r的绝对值越大，则变量y和x之间的 个结论犯错误的概率不超过0.1. 线性相关关系越强；决定系数R2用于刻画拟合效 5.C【解析】由多x,=3,可得c=33=1 果，R2越大说明拟合效果越好 93,则y= 2.D【解析】根据题意可知该组样本数据，点均在直 3119 2x-1=2×1 ,增加数据(-3,3)后，变 线y=3十1上，故=1，由直线的鲜率为正， 量工的平均数为=38.3=3，变量y的平均数 10 可知r>0,所以r=1. +3 3.B【解析】由题表中的数据可得，变量y随着x 3 为y'= 10 一=6，设修正后的回归直线方程为 的增大而减小，剥6<0.2-2+3+4+5+6=4,3 5 y=1.9x十a,则6=1.9×3+a,解得a=0.3,所 _4+2.5-0.5-2-3=0.2,又线性回归直线y 以修正后的回归直线方程为y=1.9x十0,3，当x 5 =4时，y=1.9×4+0.3=7.9,所以数据点(4,8) =bx十a经过样本中心点(4,0.2)，故a>0. 的残差为8-7.9=0.1. A ·44· ·数学· 参考答案及解析 6.C【解析】由含y:=18,得y- ：18 16.555>3.841,所以根据小概率值a=0.05的独 =1 立性检验，可以认为“降压药疗效与患者年龄有 6 3,由 6 关”，且该推断犯错误的概率不超过5%，故C正 In zi 确；对于D,若将“中青年组有效”的人数改为15， x1x2x3x4x5x6=e2,得= i=1 =1 6 6 “中青年组无效”的人数改为35，则新列联表中a In(ziz2z3xazsx6)In e12 12 =15,b=35,c=40,d=30,n=120,此时X= =2,因为回归方 6 66 120×(15×30-35×40)2 ≈8.66，而原来的X2≈ 程y=b2十1必过样本中心点（z,y),即点(2,3)， 50×70×55×65 所以3=26+1，解得6=1. 16.56,所以修改数据后的值比原来的小，故D 二、选择题 错误. 7.BC【解析】对于A,记样本甲、乙的平均数分别 三、填空题 为x,y,由甲、乙组成的总体样本的平均数为ω， 9.48【解析】设男生人数为x,则女生人数为，男 则由甲、乙组成的总体样本的方差为” m+n 生追星人数为行，不追星人数为行，女生追星人数 5i+(x-u)2]+” m+n ·s号+(y-w)2],故A 2.= 错误；对于B,由题意得，-1+2+3十4十5 得列联表： 5 3,y =3+8+10+14+15-10,则a=y-3x=10-3 追星情况 性别 合计 5 追星 不追星 ×3=1,所以y=3x十1.令x=5,得y=16,所以 男生 x 2x 3 x 残差为15-16=-1，故B正确；对于C,52=1. 女生 x x ,-x)=2(x-2x,x+)=12x4 3 6 2 i=1 ni-1 n i-1 总计 2x 5x 3x ,1x 122x,+12x2=1x-2x·1 3 6 2 72i=1 n i=1 n i=1 n i=1 则由独立性检验相关计算公式结合题设，可得 十2.121=2x-,所以教据x,x,…, 3x(x ni-1 ni-1 243.x ≥6.635，解得 x?的均值为s2十x2,故C正确；对于D,因为6X x 2x 5x x· 5x 201 30%=1.8,10×40%=4,所以甲组数据的第30 23·6 18 百分位数为31，乙组数据的第40百分位数为 x≥44.23.又需要保证所有人数为正整数，则x需 为6的倍数，故x≥48，故男生至少有48人. 4十48=46，则31+46=77，故D错误. 2 l0.63 5【解析】设x=(1,x2,…,xn),y=(y1,y2, 8.AC【解析】对于A,老年组中疗效有效与无效的人 数比为40：30=4：3，按疗效分层随机抽样抽取7 …yn),z=(（之1，之2，…，之n),则x’=(x1一x,x2 人，则应抽到4人有效，3人无效，再从这7人中随机 x,…,xw一x),y’=(y1-y,y2-y,…,yn-y),z 抽取2人，至少抽到1名无效患者的概率为1一 =（之1一之，之2一之，…，之m一之)，由相关系数r= 1一员-号威A正痛对于BP-因-品 2(x,-x)0:-） i=1 ,可知r=c0s〈x’,y Pea)P)品-立wrr ②，②，-y 设x’与y’的夹角为a,y’与z’的夹角为B,又x =吕X品-额≠位*PA)≠PAPB,两以 和y的样本相关系数为，所以0sQ一5y和● 事件A与B不相互独立，故B错误；对于C,由题中 12 列联表得，a=10,b=40,c=40,d=30,n=120,所以 的样本相关系数为，所以C0sB一13，因为这两个 X-120X(10X30-40×40)y2 夹角为锐角，所以α>B,所以x’与z’夹角的可能 50×70×50×70 ≈16.555，因为 为a一B,a十B,则x’与z?的夹角的余弦值最大为 ·45· A 2027 学科素养周测评 4.12,3 cos(a-B)=cos acos B+sin asin B= 5×13+51 0 2 563 3 3 1365 10 10 四、解答题 1 3 3 6 1,解：1)由题意得x=3+4+5+6+7-5, 所以E(X)=0× 0+15+2× 105 (20分) y=20+16+15+12+6_69 =13.8, (4分) 12.解：(1)由列联表数据关系可知， 5 则65 m=60-15=45,u=120-60=60,0=60-25=35, s=45+25=70,t=15+35=50. 综上，m=45,v=35,s=70,t=50,u=60.(5分) 2x-52 (2)零假设为H。:该市市民体育锻炼情况与健康 313-5×5×13.8 32+42+52+62+72-5X5=-3.2,(8分) 水平无关联 则x2=120×46×35-15×25) ≈13.714. a=y-7x-13.8+3.2×5=29.8, (9分) 60×60×70×50 故y关于x的经验回归方程为y=一3.2x十29.8. 由于x2≈13.714>10.828，则根据小概率值a= (10分) 0.001的独立性检验，判断H。不成立，即认为该 (2)由(1)可得数据如表所示： 市市民体育锻炼情况与健康水平有关联，此推断 犯错误的概率不大于0.001. (12分) 试销单价x/元 3 4 5 6 (3)体质不达标者，高频锻炼组15人，低频锻炼 产品销量y/件 20 16 15 12 6 组35人，按分层随机抽样抽取10人，则高频锻 2 20.2 17 13.8 10.6 7.4 炼组抽取的人数为3人，低频锻炼组抽取的人数 ly-3 0.2 1 1.2 1.4 1.4 为7人. 可知这5个成对数据中有2个“次数据”， 从这10人中随机抽取3人进行专项访谈，事件 总数有C。=120种， (14分) 故X的可能取值为0,1,2， 设“抽取的3人中至多有1人来自高频锻炼组” x-90-8-0 为事件A,则事件A包含“0人来自高频锻炼组” 和“1人来自高频锻炼组”两种情况， P(X=1)=C=5' C号C23 则P(A)=CgC号+CgC49 12060 CgC号3 所以抽取的3人中至多有1人来自高频锻炼组 P(X=2)=Cg=10' 的概率为60 49 (20分) 故X的分布列为 2026一2027学年度学科素养周测评（二十七） 数学·综合测试一 一、选择题 1.B【解析】对于A,当a=-2,b=1时，a>b成 1,b=2时0>b成立，但方>。不成立，故 立，但a>b不成立，故充分性不成立，反之，当a >b时，a≥a>b成立，故必要性成立，故|a> 要性不成运，所以行是。>6的既不充分电不必 b是a>b的必要不充分条件，故A错误；对于B, 要条件，故C错误；对于D,因为y=logx在(0， 因为y=x在R上单调递增，所以a>b是a> 十∞)上单调递增，所以由loga>logb,可得a>b> b的充要条件，故B正确；对于C,当a=-3,b=1 0,故充分性成立，但当a>0>b时，log3a>logb不成 立，故必要性不成立，所以log3a>logb是a>b的充 时，>减之包。>b不成立，收充分性不成立，当 分不必要条件，故D错误. 2.C【解析】由题意得抛物线y2=12x的焦点为 风 ·46·