周测评(六)一元函数导数的综合应用-【衡水真题密卷】2027届高三数学学科素养周测评（A版）

2026一2027学年度学科素养周测评（六） 数学·一元函数导数的综合应用 本试卷总分100分，考试时间40分钟。 一、选择题：本题共6小题，每小题6分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 答案 1.某跳水运动员在10米高的跳台起跳后，其速度v(单位：米/秒)与时间t(单位：秒)之间 的函数关系式为v(t)=一9.8t十4.7，则该运动员（身高忽略不计）在t=1秒时距离水 面的高度为 () A.9.6米 B.9.7米 C.9.8米 D.9.9米 2.已知函数f(x)=xlnx一ax有极值-e,则a= () A.1 B.2 C.e D.3 3.已知函数f(x)=lnx一√x,则f(2),f(4),f(8)的大小关系为（参考数据：√2≈1.41， ln2≈0.69) () A.f(8)<f(2)<f(4) B.f(8)<f(4)<f(2) C.f(2)<f(4)<f(8) D.f(4)<f(2)<f(8) 4.若命题“]x∈(0，十∞)，使a≤logax(a>0且a≠1)成立”是假命题，则实数a的取值 范围是 () A.（e,+o∞） B.(e,+o∞)） c.(1,e) D.(1,e) 5.某游乐场一段滑水道的示意图如图所示，A点和B点分别为这段滑道的起点和终点，它 们在竖直方向的高度差为40m.两点之间为滑水弯道，相应的曲线可近似看作某三次函 数图象的一部分（该三次函数在A,B两点处取得极值），考虑到安全性与趣味性，在滑 道最陡处，滑板与水平面成45°夹角，则A,B两点在水平方向的距离约为 () B A.30m B.40m C.60m D.120m 学科素养周测评（六）数学第1页（共4页） 笔尖刻下的不是字，是未来的轮廓 8In a 7 Inb 6 In c 6.已知ab,c∈1，+oo),a=n10'6=n17'=n12则 班级 A.c>b>a B.a>b>c C.b>c>a D.c>a>b 姓名 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 得分 题号 1 8 答案 e 7.已知函数f(x)与其导函数f'(x)的图象如图所示，设函数g(x)=F()则 曲线M 曲线W a2 h A.曲线M为f(x)的图象 B.曲线N为f(x)的图象 C.g(x)在区间[0,2]上是增函数 D.g(x)在区间[a,b]上是减函数 8.已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,函数g(x)=f'(x),若Hx∈R,f(x)= f(6-x),g(4+x)=g(4-x),则 () A.f(-2)=f(8) B.g(-1)+g(3)=2 c骂e)=0 D.f(0)+f(4)=2 三、填空题：本题共2小题，每小题6分，共12分。 9.若曲线y=e2-2x在点(0，l)处的切线与曲线y=lnx在点(xo,lnxo)处的切线的倾 斜角互补，则xo= 10.在数学建模探究课上，某小组同学将一张矩形纸片的右下角折起，使得该角的顶点落在 矩形的左边上（如图所示），其中AB=12cm,若∠FEB=否，则△FAP的面积是 cm.随着点P的位置不同，折痕EF的长度在改变，其最小是 cm. 学科素养周测评（六）数学第2页（共4页） A 四、解答题：本题共2小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 1.(20分)已知函数f(x)=ax-1 -(a+1)lnx,a∈R. (1)若a=0,求y=f(x)的单调区间； 1 (2)若a≥1，且fx)>1在区间。e上恒成立，求a的取值范围. A 学科素养周测评（六）数学第3页（共4页） 12.(20分)帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法， 在计算机数学中有着广泛的应用.已知函数f(x)在x=0处的[，n]阶帕德近似定义 为：R(x)=ao十a1x十…十amxm 1+61c+…+b,x,且满足：f(0)=R(0),f'(0)=R'(0),f0(0)= R2(0),…,fm+m(0)=Rm+)(0).其中f2)(x)=[f'(x)]',f3)(x)=[f2(x)]',…, fm+m)(x)=[fm+m-D(.x)]'.已知f(x)=ln(x十1)在x=0处的[2,2]阶帕德近似为 1 R(x)= .1 1+x+6x (1)求实数a,b的值. (2)设h(x)=f(x)-R(x),证明：xh(x)≥0. (3)已知x1x:x是方程nx=X(-)的三个不等实根，求实数入的取值范围，并 证明1十>1 3 学科素养周测评（六）数学第4页（共4页）·数学· 参考答案及解析 (0,+∞)时，f'(x)>0,f(x)单调递增；当x∈ √1-a,当x∈(1,1+√1-a)时，g'(x)<0, (-,0)时，f'(x)<0,f(x)单调递减，所以当x g(x)单调递减；当x∈(1+√/1-a,十o∞)时， =0时，f(x)取得最小值，即f(0)=4,所以a(e°+ e)=4,解得a=2.又曲线y=f(x)在x=2ln3 g'(x)>0,g（x)单调递增，故g(x)mn=g(1十 √1-a)<g(1)=0,与题意不符，舍去.(18分) 处切线的斜率为兮，即f(21n3)=ab(e:m8- 综上，a的取值范围为[1，十∞)， (20分) 12.解：(1)由于函数f(x)=(x+1)e, e6·m3)=ah(30-30)=3,又a=2,所以26. 则f'(x)=(x十2)e. 0-3）-8解得6=±又b≥0，所以么 令f'(x)=0,得x=-2. 当x<-2时，f'(x)<0,f(x)单调递减； 当x>-2时，f'(x)>0,f(x)单调递增，(4分) 2 四、解答题 故了)的极小值为了（一2》=吉无极大值。 (6分) 11.解：(1)因为f(x)=x-a-21nx定义域为 x (2)由(1)知，f(x)在(-∞，一2)上单调递减，在 (0,十o), (一2,0]上单调递增， 则f(x)在x=一2处取得最小值一区 1 以f'(x)=1+2-名=x一 x2 因为f(x)在x=3处取得极小值，所以f'(3)= 又f(0)=1,当x→-∞时，f(x)→0， 9-6十a=0,解得a=-3. 17 (5分) 所以当x≤0时，f(x)的值域为 9 (12分) 此时f(x)=x+3 -2lnx,定义域为(0，+∞)， (3)由上述分析可知，当x<一1时，f(x)<0;当 f(x)-1-3-2--2x-3 x=-1时，f(x)=0;当x>-1时，f(x)>0. x2- 2 结合D中f(c)的单调性和极小值∫(-2)三一， x-3)x+1,当x∈(0,3)时，f(x)<0, 作出f(x)的大致图象如图所示， f(x)单调递减；当x∈(3，十∞)时，f'(x)>0, f(x)单调递增，故f(x)在x=3处取得极小值， 经验证符合题意，故a=一3. (8分) 2)因为z-2-2nx-1+a≥0对Vx∈1， y-f(x) -4-3-2- 十∞)恒成立， 令g)=x-至-2hx-1+ax[1,+m). 方程f(x)=a解的个数等价于函数y=f(x)的图 ,（）=1士2一二24 象与直线y=a的交点个数： x2 (x-1)2+a-1 (11分) 当a<-怎时，无交点，即方程无解； x 1 当a-1≥0，即a≥1时，g'(x)≥0恒成立，g(x) 当一。<a<0时，有2个交点，即方程有2个解； 在1，+∞)上单调递增，所以g(x)≥g(1)=0 恒成立，符合题意 (14分) 当a=-或a≥0时，有1个交点，即方程有1 1 当a-1<0,即a<1时，令g'(x)=0,得x=1+ 个解 (20分) 2026一2027学年度学科素养周测评（六）】 数学·一元函数导数的综合应用 一、选择题 2.B【解析】由题意得f'(x)=lnx十1-a(x>0), 1.C【解析】设高度h与时间t的函数关系式为h(t), 显然f'(x)单调递增，又f(x)有极值，则f'(x)=0 则h'(t)=v(t)=-9.8t十4.7，故可设h(t)=-4.9t 十4.7t+k,因为h(0)=k=10,所以h(t)=-4.92十 有正根，不妨设为x=xo,则 no十1-a=0,解得 xoln xo-axo=-e, 4.7t十10，则该运动员在t=1秒时距离水面的高度 xo=e, 为h(1)=-4.9十4.7+10=9.8米. a=2. ·9. A 2027 学科素养周测评 3.A【解析】函数f(x)=lnx一√元的定义域为(0， 6 Inc +∞)，又f(x)=1-1=2-2 c=n12,所以alha=8ln10,blnb=71n1l,clnc ,则当0<x< x 2x 2x =6ln12,即f(a)=g(10),f(b)=g(11),f(c)= 4时，f'(x)>0,f(x)单调递增；当x>4时，f'(x) g12),g)=-1nz+18-1,显然g)在 x <0,f(x)单调递减，则f(2)<f(4),f(8)<f(4), 10,十∞)上单调递减，g'(x)≤g'(10)<0,所以 又f(2)-f(8)=ln2-√2-ln8+√8=2-2ln2 g(x)在[10，十∞)上单调递减，所以g(10)> ≈1.41-0.69×2>0，所以f(8)<f(2)<f(4). g(11)>g(12),即f(a)>f(b)>f(c),又 4.B【解析】由命题“]x∈(0，十∞)，使a≤log.x f'(x)=lnx+1,当x>1时，f'(x)>0,所以 成立”是假命题，可得命题“Hx∈(0，十∞)，都有 f(x)在(1，十∞)上单调递增，所以a>b>c. a>-logax成立”是真命题，显然a>1,如图所示， 二、选择题 ly=a 7.BD【解析】对于A,B,因为当f(x)>0时，f(x) 1=X 单调递增，当f'(x)<0时，f(x)单调递减，所以由 图可知曲线M为f'(x)的图象，曲线N为f(x)的 图象，故A错误，B正确；对于C,D,由图可知当xE v=log x (0,a)时，f(x)-f'(x)>0;当x∈(a,b)时，f(x) -f'(x)<0,又因为g'(x)=efx)-f'(x] f2(x) 因为y=a2与y=logx的图象关于直线y=x对 所以当x∈(0，a)时，g'(x)>0,当x∈(a,b)时， 称，故可转化为a>x,两边取以e为底的对数， g'(x)<0,所以g(x)在区间[0，a]上是增函数， 可得xna>nx,所以na>h工.令画数g(c) 在区间[a,b门上是减函数，故C错误，D正确. 8.AC【解析】因为f(x)=f(6-x),所以f(x)的 x>0,则gd=1h,当x0e时， In x 图象关于直线x=3对称.令x=一2，得f(一2) =f(8),故A正确；因为f(x)=f(6一x),所以 g'(x)>0,g(x)单调递增；当x∈(e,十o∞)时， f'(x)=-f'(6-x),即g(x)=-g(6-x),所以g(4 g'(x)<0,g(x)单调递减，所以g(x)mx= 十x)=一g(2-x),因为g(4十x)=g(4一x),所以g(4 g0-。,所以1na>,解得a>c. -x)=-g(2-x),即g(x十2)=-g(x),所以g(x+ 4)=一g(x+2)=g(x),则g(x)的一个周期为4.因为 5.C【解析】设A(x1,y1),B(x2y2),三次函数为 f(x)的图象关于直线x=3对称，所以x=3是f(x) y=ax3+bx2+cx+d,可得y'=3ax2+2bx+c, 的一个极值点，所以g(3)=f'(3)=0,所以g(一1) 设f(x)=3ax2+2bx十c,可得f'(x)=6ax+ =g(3)=0,则g(-1)十g(3)=0,故B错误；由g(x +2)=-g(x),得g(1)+g(3)=0,g(2)+g(4)=0, 2b,因为A,B为极值点，所以x1十x2= 3a 2025 即g(1)+g(2)+g(3)+g(4)=0,所以∑g(i)= x1x:=3a,令f'(x)=6ax+2b=0,可得f(x)在 506[g(1)+g(2)+g(3)+g(4]+g(1)=g(1)=0, 故C正确；设h(x)=f(x)十c(c为常数)，定义域为 工=处取得极值，将x=一代入了(2)，可 3a R,则h'(x)=f'(x)=g(x),h(3+x)=f(3十x)十c, 得。十c=一1，米以=一1+名则- 2b2_262 h(3-x)=f(3-x)+c,又f(3十x)=f(3-x),所以 h(3+x)=h(3-x),显然h(x)=f(x)十c也满足题 a(x-x)+b(x-x)十c(x1-x2)=40,即 设，即f(x)上下平移均满足题设，显然f(0)十f(4) 的值不确定，故D错误. a(x1-x2)(x星+x1x2+x)+b(x1-x2)(x1十x2) +c(x1-x2)=40, 三、填空题 「/462c12b2 9.1【解析】设函数f(x)=e-2x,g(x)=lnx,则 =40, f'(x)=e-2,所以f'(0)=e°-2=一1，所以曲 b217 线y=e-2x在，点(0,1)处的切线方程为y=一x 即(x1一x2) =40, 3a/ 1,又gG)所以g)三所以曲线 2 可得-3(x1一x2)=40,解得x2一x1=60,即A, =lnx在点(xo,lnxo)处的切线方程为y-lnxo B两，点在水平方向的距离约为60m, =二（红一），又直线y=一工十1的斜率为-1， 6.B【解析】设函数f(x)=xlnx(x>l),g(x)= 8 In a 7 Inb 倾斜角为135°，曲线y=e-2x在点(0,1)处的切 (18-x)1nx(x≥10)，因为 9a-n10'6=n11' 线与曲线y=lnx在点(xo,lnxo)处的切线的倾斜 A ·10· ·数学· 参考答案及解析 1 递减，在(1，e)上单调递增， 角互补，所以直线y一lnxo=一(x-xo)的倾斜角 xo 所以f(x)≥f(1)=a-1>1,解得a>2,所以a 为45°，斜率为an45°=1，即】=1，则x。=1. ≥e; (16分) 10.8√3；9√3【解析】设∠FEP=∠FEB=0,EF ②当。>。，即1<a<e时fx)在（日，）上 a =l,则FP=BF=lsin0,又因为∠AFP=20,所 以AF=FP·cos29=lsin0cos20.又由 单调通增，在（合，）上单调递减，在1，。上单调 AF+BF-lsin0cos20十lsin0=12,解得l= 递增， sin0(1+cos29)·若0- 12 6,则1=16，所以FP= -e+a+1>1, 16sin答-8，所以AF=4,AP=45,所以 f(1)=a-1>1, 解得a>2,所以2<a<e. (18分) △FAP的面积为4X4Xg-8v5cm.因为L 综上，a的取值范围是(2，十∞) (20分) 12.(1)解：依题意可知，f(0)=0,R(0)=a, 12 12 因为f(0)=R(0),所以a=0, (1分) sin0(1+cos29),所以1= sin 0X2 cos20 6bx+3x2 6 sin9X(1-sin9)令y=t-t(0<t<1),则y1 此时R(x)=6+6x+x2 1 -1-30<I,当eb,9）时y>0y 因为f'(x)=1十x' (18-6b)x2+36x+36b R'(x)= 单调逸堵：当停1时<0y单调递流， (x2+6x+6)2 所以f'(0)=1,R'(0)=b, 因为f'(0)=R'(0),所以b=1. (4分) 所以当= 3 L时，ymx= 23 9 ,故lmin=9√3cm. (2)证明：依题意，h(x)=f(x)一R(x)=ln(1+ 四、解答题 x)- 3.x2+6.x x2+6.x+6’ 11.解：(1)当a=0时，f(x)= -nx,x>0, 1 112(x2+3.x+3) 则f'(x)=1-1=1-x 则h'(x)=1十x-(x2+6x+6) x2xx2’ (2分) x4 令r)-0解得1 =1+x)6+6x+6)≥0， 故h(x)在(-1，十∞)上单调递增， (6分) 则当x∈(0,1)时，f'(x)>0,f(x)单调递增；当 由于h(0)=0,故Hx∈(-1,0)，h(x)<0;Hx x∈(1，十∞)时，f′(x)<0,f(x)单调递减. ∈(0，+∞)，h(x)>0. (5分) 综上，Hx>-1,xh(x)≥0. (8分) 即f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间 (3)证明：不妨设x1<x2<x3,令t(x)=lnx 为(1，十∞). (6分) 1 》 (2)由f(x)=a.x- x -(a+1)lnx,x>0,得f'(x) 1a+1(a.x-1)(x-1) 则)=A+)-n+2≥0. x2 =a十 x2 (8分) x x2 当λ≤0时，t'(x)>0,此时t(x)单调递增，t(x) =0不存在三个不等实根； (10分) 令x)=0,解得三 当λ>0时，令s(x)=一Ax2十x-A,其判别式 故当a=1时，x1=x2=1,此时f'(x)≥0恒成 △=1-4λ2， 立，即f(x)在(0，十∞)上单调递增， 又xe[日e所以f)m-f日） 若4=1-秋<0，即A≥2则(x)0恒成立， -e+2 e 即t'(x)≤0恒成立，此时t(x)单调递减，t(x)= <1,不符合题意； (12分) 0不存在三个不等实根； 当a>1时，<，此时f)在，)和 若△=1-4以>0，即0<<号，则：Cx)=0存 1,十∞)上单调递增，在（日，1）上单调递减 在两个不等正实根r1,r2(r1<r2), 此时有当x∈(0，r1)时，t'(x)<0,t(x)单调递 (14分) 减；当x∈(r1,r2)时，t'(x)>0,t(x)单调递增； ⑩当<即a≥e时fe)在（上单调 当x∈(r2,十∞)时，t'(x)<0,t(x)单调递减， 又t(1)=0,且t'(1)=1-2λ>0，故t(r1)<0, ·11· A 2027 学科素养周测评 t(r2)>0. (13分) 1<2-1. 放当且仅当0<A<名时，hx=A()存在三 因为lnx<x-1(x≠1)，所以ln √x 个不等实根，且满足<2=1<x且z一 即lax>2-名 (17分) 所以a)=n-》>2-是+是 由(2)可知，当x>0时，ln(1+x)> 3x2+6x x2+6x+6’ =2-)+(侵2>0， 因此lnx> 3x2-3 x2+4+7>1), 所以3x1∈(4，r1),满足t(x1)=0, (15分) 叉因为()=h是-a(-)=-x十 孩》> 3x号-3 化筒可得<++1-，十4十十 A(e-》=-x, x3 x2十x3十3， 故存在x一c,满足t(x）=0, 因此21十十x>}-1,命题得证. 3 7 (20分) 2026一2027学年度学科素养周测评（七） 数学·三角函数的概念及诱导公式 一、选择题 1.C【解析】由cos0<0,得角0的终边在第二或第 即sin0十cos0=35,故，十3，=4e0s5i0十 三象限或x轴非正半轴；由tan0>0,得角0的终 3√5 边在第一或第三象限，所以当cos0<0,tan0>0 asin30=a (sin0+cos)(1-sin 0cos 0)=a. 5 时，0为第三象限角. 2.B【解析】设α的终边上有一点P(x,y),则点P x39 ,解得a=5. 关于直线y=一x的对称点P(一y,一x)在B的终 -y -y 边上，此时osB=√-y年(-x+可 5.D【解折】因为cosa一sin&-号，所以（cos。 一na=- 3 ,即1-2 n=-是，所以sin co5a sin a)2=1 3 3.D【解析】如图，作出辅助线，根据图形的对称 8,所以sin acos&3 以2。-41十。* 性，可知该阴影区战的面积为8×(2X?_1X1 22 得tana 4+万或tana= 4-√7 3 3,因为a∈(0， X'）=12-2 ,且osa-ma=号>0，所以e∈b,）,所以 4-√7 0<tana<l,所以tana=3 6.C【解析】根据题意，易得△OMP△OAT △SBO∽△PNO.对于A,因为1-cos0=1 OM=MA,即versin0=MA,故A错误；对于 B,根据三角函数定义和相似三角形相似比可 8a2 9 得x6=点6p-08-05,故B 4.D【解析】由于x0y=125z0十y=5,故x> 1 0,y>0,又xo=acos30,y0=asin30,则cos0>0, 送；对于C,cot0an0anZ0sBS,改C 8a2 2 正确；对于D,根据三角函数定义结合相似三角 sin6>0,acos0·usin39=125,即sin8cos0=5, 49 形相似比可得，sc0=1。=1=OA_OT (sin 0+cos 0)2-1+2sin 0cos0=1+55 cos 0 OMOM OP =OT,故D错误. ·12·