专题02集合第二缉 - 备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)

备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021) 专题02集合第二缉 1．【2018年山西预赛】集合中，末尾数字为8的元素之和是________. 【答案】204626 【解析】 若将所有的这种数划去其尾数8，剩下的数就是0,1,2，…，201，共计划去202个8，因此所求的和值为. 2．【2018年湖南预赛】设集合，若，则实数m的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 由知，，而 . 当时，，即，此时成立. 当时，，即，由，得 解得.又，故得. 综上，有. 故答案为： 3．【2018年福建预赛】将正偶数集合从小到大按第组有个数进行分组：，…，则2018位于第______组． 【答案】27 【解析】 设2018在第组，由2018为第1009个正偶数，根据题意得，即．解得正整数．所以2018位于第27组． 4．【2018年全国】设集合A={1，2，3…，99}，B={2x|x∈ A}，C={x|2x∈A}，则B∩C的元素个数为 【答案】24 【解析】由条件知，. 故B∩C的元素个数为24. 5．【2018高中数学联赛A卷（第01试）】设集合A={1，2，3，…，99}，，则B∩C的元素个数为 . 【答案】24 【解析】由条件知， ， 故B∩C的元素个数为24. 6．【2018高中数学联赛B卷（第01试）】设集合A={2，0，1，8}，B={2a|a∈A}则A∪B的所有元素之和是 . 【答案】31 【解析】易知B={4，0，2，16}，故A∪B={0，1，2，4，8，16}. A∪B的所有元素之和是0+1+2+4+8+16=31. 7．【2017年山西预赛】设是前2017个正整数构成的集合,若从中去掉一个元素后,中剩下的元素之和恰为一个平方数,则去掉的元素是 . 【答案】1677 【解析】提示： 而. 8．【2017年山东预赛】集合,记的所有非空子集为,每一个中的所有元素之积为,则 . 【答案】 【解析】提示:设集合,则，因此： . 9．【2017年福建预赛】已知集合，若,则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】提示：由,得 由,得 若,则或或. 所以时,的取值范围为. 10．【2017年河南预赛】称所有元素的平方和为奇数的非空有限数集为平凡集,若集合,,则的所有真子集中平凡集的个数为 .(允许用数的幂次表示) 【答案】 【解析】提示：对于集合,共有真子集个,设其中平凡集有个不含空集,其他个,则的所有真子集中平凡集包含： ①的真子集中的平凡集,共个; ②为的真子集中的非平凡集,共个. 相加得的所有真子集中平凡集的个数为个. 11．【2017年湖北预赛】已知非空集合,且,则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】提示:,因为且,所以,解得的取值范围是. 12．【2017年四川预赛】设集合,.则集合A中元素的个数是 . 【答案】243 【解析】 注意到,当时,; 当时,; 当时,. 于是,对,均有. 欲使,则必有均模3余0,或模3两两不同余. 故集合中元素的个数为. 13．【2017年广东预赛】已知是正整数集合的无穷子集,满足对任意,将中的元素按照由小到大的顺序排列成的数列记为,且已知,,则 . 【答案】 【解析】提示:由题意对任意可知都是数列中的项，所以. 14．【2017年广西预赛】设和为复数.若集合具有性质“对任意必有,则当时,等于 . 【答案】 【解析】提示:因为,由集合中元素的互异性可知当1时,,所以. “对任意必有”知,即. 所以 15．【2017年浙江预赛】已知两个命题,命题:函数单调递增;命题函数.若为真命题,为假命题,则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】 提示:当且仅当时,命题成立; 当且仅当时,命题成立. 若为真命题,为假命题, 则 16．【2016年福建预赛】已知集合若AB，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【解析】 易知，A={x|1≤x≤2}. 当x∈A时，. 故a>. 从而，a的取值范围是(，+∞). 17．【2016年新疆预赛】设集合.若的两个非空真子集满足,则称的一个划分.若对集合的任一划分,均有中或中存在两个数使得其和为平方数,则n至少为______. 【答案】15 【解析】 当时,取. 易知,中的任意两数之和均不为平方数. 从而,不符合题意. 因而,亦不合题意. 现考虑. 用反证法.假设中的任意两数之和均不为平方数. 不妨设， 由; 由. 但,与中任意两数之和均不为平方数的假定矛盾. 因此,符合题意.从而,n的最小值为15. 18．【2016年吉林预赛】某次英语竞赛后，小明、小乐和小强分列前三名．老师猜测：“小明第一名，小乐不是第一名，小强不是第三名．”结果老师只猜对了一个．由此推断：前三名依次是_______. 【答案】小