第四章 单元素养测评卷(四)[范围：第四章]（课时跟踪）-【学而思】2026-2027学年高一数学必修第一册课时作业（人教版·新教材）

单元素养测评卷(四) 1.C　[解析] +=|a-b|+(b-a).当a≥b时,原式=a-b+(b-a)=0;当a<b时,原式=b-a+(b-a)=2(b-a).故选C. 2.B　[解析] 因为f(2)=log22+2×2-7=-2<0,f(3)=log23+2×3-7=log23-1=log23-log22>0,所以f(2)f(3)<0,又f(x)=log2x+2x-7在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)=log2x+2x-7的零点所在的区间为(2,3).故选B. 3.D　[解析] 令2x-1=0,解得x=,所以f=a0-2=-1,则f(x)的图象过定点.故选D. 4.B　[解析] 若f(0)=0,取f(x)=x2(x2-1),则f(x)有三个零点,不能得到f(x)有且只有一个零点;若f(x)有且只有一个零点a,a≠0,由f(x)是偶函数,得f(-a)=f(a)=0,所以f(x)有两个零点a,-a,与f(x)有且只有一个零点矛盾,所以a=0,则f(0)=0.故“f(0)=0”是“f(x)有且只有一个零点”的必要不充分条件.故选B. 5.A　[解析] 因为函数y=0.5x为减函数,-1<-0.1<0,所以1=0.50<0.5-0.1<0.5-1=2,即1<a<2.因为函数y=3x为增函数,-1<-<0,所以=3-1<<30=1,即<b<1.因为函数y=lox为减函数,1<2<3,所以-1=lo3<lo2<lo1=0,即-1<c<0.综上,a>b>c.故选A. 6.A　[解析] 由题得,函数f(x)的定义域为{x|x≠0},又f(-x)==-=-f(x),所以f(x)=为奇函数,排除B,D;当x>1时,ln|x|>0,则此时f(x)=>0,排除C.故选A. 7.B　[解析] 因为当I=15 A时,t=18 h,所以C=1×18,所以当I=10 A时,t===×18=2×18=36(h).故选B. 8.B　[解析] 由[f(x)]2+(a-2)f(x)-2a=0,得[f(x)-2][f(x)+a]=0,所以f(x)=2或f(x)=-a.作出f(x)=的图象,如图.因为函数f(x)的图象与直线y=2有3个交点,所以方程f(x)=2有3个不同的实数根,所以f(x)=-a必有1个实数根,即函数f(x)的图象与直线y=-a有1个交点,由图可知-a<0,即a>0,所以实数a的取值范围为(0,+∞).故选B. 9.ABD　[解析] 对于A选项,y=-logax=lox,其与函数y=互为反函数,故A正确;对于B选项,函数y=lox的定义域为(0,+∞),值域为R,函数y=的定义域为R,值域为(0,+∞),故B正确;对于C选项,当a>1时,两函数均在定义域内单调递减,当0<a<1时,两函数均在定义域内单调递增,故C错误;对于D选项,因为两函数互为反函数,所以两函数的图象关于直线y=x对称,故D正确.故选ABD. 10.AB　[解析] 对于选项A,y=-3在定义域内单调递减,当x=1时,y=-3=-1<0,当x=时,y=-3=1>0,所以函数y=-3有零点,且零点能用二分法求近似值.对于选项B,函数y=的图象是连续不断的,当x=2时,y=-2+1=-1<0,当x=时,y=-+1=>0,则函数y=有零点,且能用二分法求零点的近似值.对于选项C,y=x2-3x+3=+>0,故函数y=x2-3x+3没有零点,不能用二分法求零点的近似值.对于选项D,y=|x-2|≥0,函数y=|x-2|有零点,但不能用二分法求零点的近似值.故选AB. 11.ABD　[解析] 对于A,[ch(x)]2-[sh(x)]2=-==1,所以[sh(x)]2-[ch(x)]2=-1,故A正确.对于B,g(x)=ch(2x)-ch(x)=-=[(ex+e-x)2-(ex+e-x)-2],令t=ex+e-x≥2=2,当且仅当ex=e-x,即x=0时等号成立,则y=t2-t-1,t≥2,因为y=t2-t-1在[2,+∞)上单调递增,所以当t=2时,y=t2-t-1取得最小值×4-×2-1=0,即函数g(x)=ch(2x)-ch(x)的最小值是0,故B正确.对于C,因为函数th(x)的定义域为R,th(-x)==-th(x),所以函数th(x)为奇函数,∀x1,x2∈R,且x1>x2,则>>0,所以th(x1)-th(x2)=-=-=>0,即th(x1)>th(x2),所以函数th(x)为R上的增函数,且为奇函数,因为th(ax2)+th(4-2x)>0,所以th(ax2)>-th(4-2x)=th(2x-4),又函数th(x)为R上的增函数,所以ax2>2x-4在R上恒成立,即ax2-2x+4>0在R上恒成立.当a=0时,-2x+4>0,即x<2,不满足题意;当a≠0时,解得a>.综上a>,故C错误.对于D,f(x)=(x-1)[sh(x)+ch(x)]=(x-1)ex,当x>0时,由th(x)=<x,整理可得(x-1)ex>(-x-1)e-x,即f(x)>f(-x),则f>f,故D正确.故选ABD. 12.2　[解析] 由题意可知0<a<b,log2a<log2b.因为方程x2-3x+2=0的两根为1,2,所以得所以logab=log24=2. 13.{a|0<a<1或a>3}　[解析] 由题意可知,f(x)在R上单调递增.若0<a<1,则y=ax在R上单调递减,由题可得a-3<0,则0<a<1;若a>1,则y=ax在R上单调递增,由题可得a-3>0,得a>3.故实数a的取值范围为{a|0<a<1或a>3}. 14.-　[解析] 函数f(x)的定义域为(0,+∞),当0<x<1时,ln x<0,当x=1时,ln x=0,当x>1时,ln x>0.若f(x)≥0恒成立,则当0<x<1时,函数y=x2+ax+b<0,当x>1时,y=x2+ax+b>0,所以x=1为二次函数y=x2+ax+b在(0,+∞)上的唯一一个零点,则1+a+b=0,b=-a-1.又y=x2+ax-(a+1)=(x-1)[x+(a+1)]的图象开口向上,所以-(a+1)≤0,即a+1≥0,解得a≥-1,所以b2-a2=(-1-a)2-a2=(a+2)2-1,当a=-1时,b2-a2取得最小值-. 15.解:(1)×+80.25×+(×)6=(2-3×1+(23)0.25×+(×)6=2++22×33=112. (2)2lg 4+lg+log25·log54=lg 42+lg+·=lg+=lg 10+=1+2=3. 16.解:(1)当a=-1时,f(x)=. 令h(x)=-x2-4x+3,则h(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,+∞)上单调递减, 又y=在R上单调递减, 所以f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,+∞)上单调递增, 故f(x)的单调递增区间是(-2,+∞),单调递减区间是(-∞,-2). (2)令g(x)=ax2-4x+3,则f(x)=,因为f(x)有最大值3,所以g(x)有最小值-1, 因此解得a=1,所以当f(x)有最大值3时,a的值为1. (3)由指数函数的性质知,要使f(x)的值域为(0,+∞),应使g(x)=ax2-4x+3的值域为R,所以a=0(若a≠0,则g(x)为二次函数,其值域不可能为R). 17.解:(1)由-x>0,得>x①, ∵>|x|≥x,即①式恒成立,∴f(x)的定义域为R. (2)证明:∵f(x)+f(-x)=ln(-x)-ax+b+ln(+x)+ax+b=2b+ln[(+x)(-x)]=2b,∴曲线y=f(x)是中心对称图形,对称中心为(0,b). (3)令g(x)=-x,任取x1,x2∈R,且x1<x2, 则g(x1)-g(x2)=(-)-(x1-x2)=-(x1-x2)=, ∵x1<x2,∴x1-x2<0,又x1<,x2<,∴x1+x2<+, 即x1+x2-(+)<0,∴g(x1)-g(x2)>0,即g(x1)>g(x2), ∴g(x)在R上单调递减,∴f(x)在R上单调递减. ∵a=log20.2<log21=0,b=20.2>20=1,0<c=0.20.3<0.20=1,∴a<c<b,∴f(a)>f(c)>f(b). 18.解:(1)由题知函数的定义域为[0,60],最大值为6,其图象过点(0,0),(20,3).对于模型①y=kx+b(k>0),当函数y=kx+b(k>0)的图象同时过点(0,0),(20,3)时, 有得则y=x,当x=60时,y=9>6,不符合题意; 由题图可知,该函数的增长速度越来越慢,由于模型②y=k·1.2x+b(k>0)是指数型函数,且1.2>1,其增长速度呈爆炸性增长,所以②不合适; 模型③y=k·log2+n(k>0)是对数型函数,且2>1,其增长速度越来越慢,符合题意,故选择模型③,因为函数图象过点(0,0),(20,3), 所以 解得故所求函数的解析式为y=3log2-3,x∈[0,60], 当x=60时,y=3log2-3=6,符合题意. 综上所述,函数的解析式为 y=3log2-3 . (2)由该同学每天得分不少于4.5分,得3log2-3≥4.5,即 log2≥,则+2≥=4,即 x≥40-20≈40×1.414-20=36.56, 故该同学每天至少需要锻炼37分钟. 19.解:(1)函数f(x)=loga(ax+1)-=loga(ax+1)-loga=loga=loga(+)的定义域为R, 又f(-x)=loga(+)=f(x), 所以函数f(x)为偶函数. (2)当a=2时,f(x)=log2(+)(x∈R),g(x)=2x. ①令t=+,x∈R,则y=log2t. 因为>0,>0, 所以t=+≥2=2,当且仅当=,即x=0时,等号成立,所以y=log2t≥log22=1, 所以f(x)的值域为[1,+∞). ②由①可知,对任意x∈R,f(x)的最小值为1,即f(2x2)的最小值为1. 若对任意x1∈(1,+∞),存在x2∈R,使得g(2x1)+mg(x1)-f(2x2)>0恒成立, 则对任意x1∈(1,+∞),g(2x1)+mg(x1)>f(2x2)min,即g(2x1)+mg(x1)=+m>1, 所以m>-+. 令h(x1)=-+,因为y=-是减函数,y=是减函数,所以h(x1)是减函数, 又x1∈(1,+∞),所以h(x1)=-+<-2+2-1=-,所以实数m的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元素养测评卷(四)[范围:第四章] (时间:120分钟　分值:150分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.化简+的结果是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.0 B.2(b-a) C.0或2(b-a) D.2(a-b) 2.函数f(x)=log2x+2x-7的零点所在的区间为 (　 ) A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(5,6) 3.函数f(x)=a2x-1-2(a>0,且a≠1)的图象过定点 (　 ) A.(1,-2) B.(1,-1) C. D. 4.设f(x)是定义在R上的偶函数,则“f(0)=0”是“f(x)有且只有一个零点”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.[2026·天津四校高一联考] 已知a=0.5-0.1,b=,c=lo2,则a,b,c的大小关系为 (　 ) A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a 6.[2026·湖南益阳高一期末] 已知函数f(x)=,则它的部分图象大致是 (　 ) A B C D 7.[2026·合肥六中高一质检] Wilhelm Peukert于1897年提出蓄电池的容量C(单位:A·h)、放电时间t(单位:h)与放电电流I(单位:A)之间关系的经验公式C=In·t,其中n=lo2为Peukert常数.在电池容量不变的条件下,当放电电流I=15 A时,放电时间t=18 h,则当放电电流I=10 A时,放电时间为 (　 ) A.21 h B.36 h C.35 h D.32 h 8.[2026·昆明高一期末] 已知函数f(x)=若关于x的方程[f(x)]2+(a-2)f(x)-2a=0有4个不相等的实数根,则实数a的取值范围是 (　 ) A.(-∞,0) B.(0,+∞) C.(0,3) D.[3,4) 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.已知函数y=-logax(a>0,且a≠1)和y=(a>0,且a≠1),则以下结论正确的有 (　 ) A.它们互为反函数 B.它们的定义域与值域正好互换 C.它们的单调性相反 D.它们的图象关于直线y=x对称 10.下列函数中有零点且能用二分法求零点的近似值的是 (　 ) A.y=-3 B.y= C.y=x2-3x+3 D.y=|x-2| 11.[2026·华中科大附中高一检测] 双曲函数是数学中一类重要的函数,在工程技术应用等问题中经常用到.已知双曲正弦函数sh(x)=,双曲余弦函数ch(x)=,双曲正切函数th(x)=,且当x>0时有th(x)<x,则下列说法正确的是 (　 ) A.[sh(x)]2-[ch(x)]2=-1 B.函数g(x)=ch(2x)-ch(x)的最小值是0 C.若对任意实数x,不等式th(ax2)+th(4-2x)>0恒成立,则a> D.若f(x)=(x-1)[sh(x)+ch(x)],则f>f 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知a<b,log2a和log2b是方程x2-3x+2=0的两根,则logab=　　　　.  13.[2026·上海师大附中高一期末] 已知函数f(x)=(a-3)ax(a>0,且a≠1),若对于任意x1,x2∈R且x1≠x2,均有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,则实数a的取值范围为　　　　.  14.已知函数f(x)=(x2+ax+b)ln x,若f(x)≥0恒成立,则b2-a2的最小值为　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)求值: (1)×+80.25×+(×)6; (2)2lg 4+lg+log25·log54. 16.(15分)已知函数f(x)=. (1)若a=-1,求f(x)的单调区间; (2)若f(x)有最大值3,求a的值; (3)若f(x)的值域是(0,+∞),求a的值. 17.(15分)已知函数f(x)=ln(-x)-ax+b(a>0,b∈R). (1)求f(x)的定义域; (2)证明:曲线y=f(x)是中心对称图形; (3)设a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,试比较f(a),f(b),f(c)的大小关系. 18.(17分)学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼,每天能用于锻炼的课余时间有60分钟,现需要制定一个课余锻炼考核评分制度,建立一个每天得分y与当天锻炼时间x(单位:分钟)的函数关系,其图象如图所示,要求如下:(1)函数是区间[0,60]上的增函数;(2)每天锻炼时间为0分钟时,当天得分为0分;(3)每天锻炼时间为20分钟时,当天得分为3分;(4)每天最多得分不超过6分. 现有以下三个函数模型可供选择:①y=kx+b(k>0);②y=k·1.2x+b(k>0);③y=k·log2+n(k>0). (1)请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由,再根据所给信息求出函数的解析式. (2)若某同学每天得分不少于4.5分,则他每天至少需要锻炼多少分钟?(≈1.414,结果保留整数) 19.(17分)[2026·江苏盐城中学高一期末] 已知函数f(x)=loga(ax+1)-(a>0,且a≠1),函数g(x)=ax(a>0,且a≠1). (1)利用公式m=logaam(a>0,且a≠1)化简f(x),并判断f(x)的奇偶性. (2)当a=2时. ①求f(x)的值域; ②若对任意x1∈(1,+∞),存在x2∈R,使得g(2x1)+mg(x1)-f(2x2)>0恒成立,求实数m的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $