河北丰润车轴山中学2026-2027学年第一学期高二年级9月月考数学试卷

2026-2027学年度高二年级第一学期月考试卷 数学 注意事项： 1.本试卷共4页，19题，满分150分。 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选 项符合题目要求。 1.在空间四边形PABC中，PB-AB-CA=() A.AP B.PC C.AB D.AC 2.若{a,6,©，构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（) A.B,a-b,a+c B.aa+b,a+c C.a-B,a+B,c D.B,a,a+b 3.如图，空间四边形0ABC中，OA=aO8=6,OC=d,点M在OA上，且OM=MA,点N为BC 中点，则M示等于() A.5a+36+c 322 B.1 +号+5e 2-.1x,1 C.- 1,1，1」 =a+-b+-C D. 322 3a+2b+20 4.如图，在空间四边形OABC中，OA=d,OB=b,OC=c,点M在OA上，且 OM=2MA,N为BC的中点，则M等于() A.a-2+c B. 2a+26-1 23°21 332 C.-2a++1 1,1x1」 -a+-b+-C D. a十b-C 322 222 5.三棱锥A-BCD的所有棱长都为2，E,F分别是AB,AD的中点，则EF.CB=（) A.-1 B.1 C.-2 D.2 6.在空间四边形O-ABC中，点M在OA上，点N在BC上，且OM=2M4,BN=2NC,则向量M 高二数学试卷第1页（共4页) 等于（) A.-204+108+20C 2oA+0i+20C 3 3 3 B. 3 3 3 o-10+oc 3 3 D 20C 7.在棱长为1的正方体ABCD-AB,C,D,中，M,N分别为AA,CC的中点，O为底面ABCD的 中心，点P在正方体的表面上运动，且满足NP⊥MO,则下列说法正确的是() D A B M B A.点P可以是棱BB,的中点 B.线段P的最大值为 2 C.点P的轨迹是平行四边形 D.点P轨迹的长度为1+√2 8.在空间四边形ABCD中，已知AB⊥BD,BD⊥DC,且√5AC=2BD,则BD在AC上的投影向量 为() A.AC B.AC c. 3AC D.AC 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项 符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分。 9.关于空间向量，下列说法错误的是（) A.对于任意的空间向量a,,c,都有(a-列c=a-(-c) B.若空间向量a,b满足a.b>0,则a与b的夹角为锐角 C.若m=(2,4,-2)是直线1的方向向量，n=（-1,-2,1)是平面x的法向量，则1⊥a D.若直线1的方向向量为m,平面a的法向量为n,则“m⊥n”是“l∥a”的充要条件 10.已知空间向量a=(-2,-1,1),b=(3,4,5),下列结论正确的是（) A.a-b=5 B.a+6=35 高二数学试卷第2页（共4页) C.若i=(4,2,k),且m1a,则k=-2 D.若直线1的方向向量为a,平面a的法向量为n=(1,l,t),且l川a,则1=3 11.在正四棱柱ABCD-AB,CD中，底面边长为√2，侧棱长为1，则下列结论正确的是（) A.点B到平面AC8,的距离是5 B.平面BC,D与平面B,CD,垂直 C.记底面ABCD的中心为O,则直线D,0与直线BC,所成角的余弦值为 3 D.若F为线段AB的中点，点P在正四棱柱表面上运动，若PFI平面AC,D,则点P的轨迹 是六边形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在空间直角坐标系中，已知A(2,1,1),B(L,2,3),点A关于y轴对称的点为C,则B,C两点间 的距离为、 13.长方体ABCD-A,B,C,D中，AA=AD=1,AB=2,则点D,到直线AC的距离等于 14×已知向量a=(1,-2,1),i=(2,k,1),(a+b)1(a-),则k= 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知a=(x,-1,3),6=(1,2,-1),c=(1,0,1)且c112a+b) (1)求实数x的值； (2)若(a-b)1(aa+b),求实数2的值， C 16.(15分)如图，在直三棱柱ABC-AB,C中，BA⊥BC,BA=BC=BB=2. (I)求异面直线AB,与AC所成角的大小： -=B (2)求点B到平面AB,C的距离. 高二数学试卷第3页（共4页) 17.（15分)如图，三棱柱ABC-AB,C的所有棱长都是2，A4⊥平面ABC,D,E分别为AB,BB,的 中点， C (I)求证：AE⊥平面ADC; B (2)求点C到平面ADC的距离. B 18.（17分)已知平行六面体ABCD-AB,C,D中，底面是边长为√2的正方形，侧棱长为2， ∠AAB=∠AAD=120°. D C A B (I)求证：AA⊥BD; (2)求异面直线BD,与AC所成角. D 。 9 B 19.(17分)如图，正三棱柱ABC-A4B,C的所有棱长均为2，点D,E分别为AB,CC的中点. (1)证明：DE11平面ABC; (2)求直线BA与平面ABE所成角的正弦值. D E 高二数学试卷第4页（共4页) 2026-2027学年度高二年级第一学期月考试卷 数 学 注意事项： 1.本试卷共4页，19题，满分150分。 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1．在空间四边形中，（ ） A． B． C． D． 2．若，构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则等于（   ） A． B． C． D． 4．如图，在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则等于（ ） A． B． C． D． 5．三棱锥的所有棱长都为分别是的中点，则（　　） A．-1 B．1 C．-2 D．2 6．在空间四边形中，点在上，点在上，且，则向量等于（    ） A． B． C． D． 7．在棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，为底面的中心，点在正方体的表面上运动，且满足，则下列说法正确的是（    ） A．点可以是棱的中点 B．线段的最大值为 C．点的轨迹是平行四边形 D．点轨迹的长度为 8．在空间四边形中，已知，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分。 9．关于空间向量，下列说法错误的是（    ） A．对于任意的空间向量，都有 B．若空间向量满足，则与的夹角为锐角 C．若是直线的方向向量，是平面的法向量，则 D．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的充要条件 10．已知空间向量，下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，且，则 D．若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则 11．在正四棱柱中，底面边长为，侧棱长为1，则下列结论正确的是（   ） A．点B到平面的距离是 B．平面与平面垂直 C．记底面的中心为，则直线与直线所成角的余弦值为 D．若为线段的中点，点在正四棱柱表面上运动，若平面，则点的轨迹是六边形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在空间直角坐标系中，已知，，点关于轴对称的点为，则，两点间的距离为______． 13．长方体中，，，则点到直线的距离等于__________. 14．已知向量，，，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知且 (1)求实数的值； (2)若，求实数的值． 16．（15分）如图，在直三棱柱中，，． (1)求异面直线与所成角的大小； (2)求点B到平面的距离． 17．（15分）如图，三棱柱的所有棱长都是，平面，分别为的中点， (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 18．（17分）已知平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱长为2，． (1)求证：； (2)求异面直线与所成角． 19．（17分）如图，正三棱柱的所有棱长均为2，点分别为的中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 高二数学试卷第1页（共3页） 高二数学试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度高二年级第一学期月考试卷 数学 注意事项： 1.本试卷共4页，19题，满分150分。 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选 项符合题目要求。 1.在空间四边形PABC中，PB-AB-CA=() A.AP B.PC C.AB D.AC 2.若{a,6,©，构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（) A.B,a-b,a+c B.aa+b,a+c C.a-B,a+B,c D.B,a,a+b 3.如图，空间四边形0ABC中，OA=aO8=6,OC=d,点M在OA上，且OM=MA,点N为BC 中点，则M示等于() A.5a+36+c 322 B.1 +号+5e 2-.1x,1 C.- 1,1，1」 =a+-b+-C D. 322 3a+2b+20 4.如图，在空间四边形OABC中，OA=d,OB=b,OC=c,点M在OA上，且 OM=2MA,N为BC的中点，则M等于() A.a-2+c B. 2a+26-1 23°21 332 C.-2a++1 1,1x1」 -a+-b+-C D. a十b-C 322 222 5.三棱锥A-BCD的所有棱长都为2，E,F分别是AB,AD的中点，则EF.CB=（) A.-1 B.1 C.-2 D.2 6.在空间四边形O-ABC中，点M在OA上，点N在BC上，且OM=2M4,BN=2NC,则向量M 高二数学试卷第1页（共4页) 等于（) A.-204+108+20C 2oA+0i+20C 3 3 3 B. 3 3 3 o-10+oc 3 3 D 20C 7.在棱长为1的正方体ABCD-AB,C,D,中，M,N分别为AA,CC的中点，O为底面ABCD的 中心，点P在正方体的表面上运动，且满足NP⊥MO,则下列说法正确的是() D A B M B A.点P可以是棱BB,的中点 B.线段P的最大值为 2 C.点P的轨迹是平行四边形 D.点P轨迹的长度为1+√2 8.在空间四边形ABCD中，已知AB⊥BD,BD⊥DC,且√5AC=2BD,则BD在AC上的投影向量 为() A.AC B.AC c. 3AC D.AC 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项 符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分。 9.关于空间向量，下列说法错误的是（) A.对于任意的空间向量a,,c,都有(a-列c=a-(-c) B.若空间向量a,b满足a.b>0,则a与b的夹角为锐角 C.若m=(2,4,-2)是直线1的方向向量，n=（-1,-2,1)是平面x的法向量，则1⊥a D.若直线1的方向向量为m,平面a的法向量为n,则“m⊥n”是“l∥a”的充要条件 10.已知空间向量a=(-2,-1,1),b=(3,4,5),下列结论正确的是（) A.a-b=5 B.a+6=35 高二数学试卷第2页（共4页) C.若i=(4,2,k),且m1a,则k=-2 D.若直线1的方向向量为a,平面a的法向量为n=(1,l,t),且l川a,则1=3 11.在正四棱柱ABCD-AB,CD中，底面边长为√2，侧棱长为1，则下列结论正确的是（) A.点B到平面AC8,的距离是5 B.平面BC,D与平面B,CD,垂直 C.记底面ABCD的中心为O,则直线D,0与直线BC,所成角的余弦值为 3 D.若F为线段AB的中点，点P在正四棱柱表面上运动，若PFI平面AC,D,则点P的轨迹 是六边形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在空间直角坐标系中，已知A(2,1,1),B(L,2,3),点A关于y轴对称的点为C,则B,C两点间 的距离为、 13.长方体ABCD-A,B,C,D中，AA=AD=1,AB=2,则点D,到直线AC的距离等于 14×已知向量a=(1,-2,1),i=(2,k,1),(a+b)1(a-),则k= 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知a=(x,-1,3),6=(1,2,-1),c=(1,0,1)且c112a+b) (1)求实数x的值； (2)若(a-b)1(aa+b),求实数2的值， C 16.(15分)如图，在直三棱柱ABC-AB,C中，BA⊥BC,BA=BC=BB=2. (I)求异面直线AB,与AC所成角的大小： -=B (2)求点B到平面AB,C的距离. 高二数学试卷第3页（共4页) 17.（15分)如图，三棱柱ABC-AB,C的所有棱长都是2，A4⊥平面ABC,D,E分别为AB,BB,的 中点， C (I)求证：AE⊥平面ADC; B (2)求点C到平面ADC的距离. B 18.（17分)已知平行六面体ABCD-AB,C,D中，底面是边长为√2的正方形，侧棱长为2， ∠AAB=∠AAD=120°. D C A B (I)求证：AA⊥BD; (2)求异面直线BD,与AC所成角. D 。 9 B 19.(17分)如图，正三棱柱ABC-A4B,C的所有棱长均为2，点D,E分别为AB,CC的中点. (1)证明：DE11平面ABC; (2)求直线BA与平面ABE所成角的正弦值. D E 高二数学试卷第4页（共4页)数学参考答案 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D c y B c ABD CD 题号 11 答案 ABD 12.26 13. 3v5 14.±1 15.(1)2: A房 【分析】(1)根据空间向量平行的性质、空间向量线性运算公式进行求解即可： (2)根据空间向量垂直的坐标表示公式、空间向量线性运算公式即可求解。 【详解】(1)2à+b=2(x,-1,3)+(1,2,-1)=(2x+1,0,5), :c/(2a+b): ∴设c=m(2a+b)j(m≠0）)， .0)=(m(2x+1).0,5m）-m2x+)=l→m= → 5 5m=1 x=2 ∴.x的值为2. (2)由(1)a=(2,-1,3),则ā-b=(2,-1,3)-(1,2,-1)=(1,-3,4), ā+b=(2,-1,3)+(1,2,-1)=(22+1,-元+2,32-1)， .(a-B)L(aa+B) 2+1-3(-元+2)+4(32-1)=0， 16,肾 (2)√2 【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线AB,与AC所成角的大小； (2)利用向量法求得点B到平面ABC的距离. 1 【详解】(1)依题意可知BA,BB,BC两两相互垂直， 以B为空间坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， Z C A2,0,0),B(0,2,0),A(2,2,0),C(0,2,2), B AB,=（-2,2,0),4C=(-2,0,2), 设异面直线AB,与AC所成角为0， AB·AC 4 1 则cos0= AB·AC 22x2V22' 由于0<0≤，所以0= 3 (2)AB,=（-2,0,0),C(0,0,2),AC=(-2,-2,2),BB=(0,2,0), 设平面AB,C的法向量为n=（x,y,z), i·AB=-2x=0 则 i:AC=-2x-2y+2z=0' 故可取i=(0,1,), 所以点B到平面ABC的距离为 BBn-2=12 网2 17.(1) AA⊥平面ABC,AAc平面AAB,B,.平面AAB,B⊥平面ABC: :△ABC为等边三角形，D为AB中点，.CD⊥AB, 又平面AABB∩平面ABC=AB,CDC平面ABC,∴.CD⊥平面AABB, 取A,B中点D,连接DD,则DD∥AA,.DD⊥平面ABC, 则以D为坐标原点，DA,DD,DC为x,y,z轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系， 2 B B D.y A 则A1,0,0),E(-1,l,0),A(1,2,0),D(0,0,0),C0,05, AE=(-21,0,DA=(,2,0),DC=(0,0,5, AE.DA=-2+2+0=0 ,.AE⊥DA,AE⊥DC, AE.DC=0+0+0=0 DA∩DC=D,DA,DCc平面ADC,.AE⊥平面ADC. )36 5 【分析】(1)由等腰三角形三线合一性质可知CD L AB,由面面垂直的判定与性质可证得CD⊥平面AAB,B, 取AB,中点D,可知DD,⊥平面ABC,则以D为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用向量数量积坐标 运算可证得AE⊥DA,AE⊥DC,由线面垂直的判定可证得结论： (2)根据点到平面距离的向量求法直接求解即可. 【详解】(1)略 (2)由(1)知：平面4DC的一个法向量为AE=(-2,1,0): 又C(0,2,5),.DC=(0,2,V5), ∴点C到平面ADC的距离d= DC·AE22W5 AE55 18.(1)证明：设AB=a,4D=i,d=c,则d=5l=V2,=2, (a,b=90°，(a,c=(6,c=120°. .a.b=0,ac=b.c=2×V2xcos120°=-V2. (1)BD=AD-AB=b-a, ..AA.BD=c(b-a)=b.c-a.c=0, AA⊥BD,即AA⊥BD D C A 3 D --- B (2)60°. 【分析】(1)在A点建立基底，AB=a,AD=b,AA1=C,分别表示向量AA,BD,计算出向量数量积即可判 断垂直. (2)表示向量BD,AC,用夹角余弦公式代入计算即可. 【详解】(1)略； D B D (2)BD=BD+DD,=b-a+c,AC=AD+AB=b+a ∴.BD-AC=(6-a+c(6+a=b2-+b.c+ac=-2v2, BD=V(c+B-a)=22,AC=2, BD1.AC-2√2 ∴.cos(BD,AC)= 1 BD4C22x2=2 ∴.异面直线BD与AC所成角为60°. 19.(1) 取AB的中点F,连接DF,FC, :D,F分别为AB,AB的中点， DFWa4.且DF=4M 4 又G6 MNCE--4. .DF∥CE且DF=CE, .四边形DECF为平行四边形，则DE∥FC, :DEd平面ABC,FCc平面ABC, :DE‖平面ABC B (2V6 4 【分析】(1)取AB的中点F,连接DF,FC,构造平行四边形可以证得线面平行. (2)建立空间直角坐标系，求出平面ABE的法向量，代入公式即可求得线面角， 【详解】(1)略 (2)取BC的中点O,则OA⊥BC. 以O为原点，以OB,OA为x,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系. 则0(0,0,0，B1,0,0),A0,0,5； G(-1,2,0),E(-11,0),A(0,2,3) 、.F B B x 所以BA=（-1,2,3),AB=(1,0,-V5),AE=（-11,-V3) 设平面ABE的法向量为m=(x,y,z) x-V5z=0, 则 ABm=0,即 A正m=0, -x+y-V3z=0, 取z=1,则m=（V5,23, 又BA=(-1,2,3, 设直线B4与平面ABE所成的角为0，则si血8=cos(BA,刷 BA·m_6 BAnm4 故BA与平面ABE所成角的正弦值为√6 6