18.4 第 1 课时 整数指数幂 教学设计 2026-2027 学年人教版八年级数学上册

18.4 第1课时 整数指数幂 教学设计 2026—2027学年人教版数学八年级上册 课题名称 整数指数幂 课型 新授课 教学资源 多媒体课件 教学内容解析 内容：负整数指数幂的意义；整数指数幂的运算性质及其运用。 内容解析 本课时是人教版（2024）八年级上册第十八章18.4节的第一课时。教材P158通过a³÷a⁵的两种算法（约分和除法法则），引出负整数指数幂的意义：a⁻ⁿ=（a≠0，n为正整数）。接着通过P159的思考栏目，验证同底数幂乘法性质对整数指数仍然成立，进而将五条正整数指数幂的运算性质推广到全体整数，并归结为三条。最后通过P160例1进行整数指数幂的计算。本课时将指数的取值范围从正整数扩充到全体整数，是对幂运算体系的完善，也为下一课科学记数法表示较小的数奠定基础。 目标与目标解析 1. 数学抽象：经历从a³÷a⁵的两种算法出发，归纳出负整数指数幂意义的过程，理解a⁻ⁿ=的合理性。 2. 逻辑推理：通过验证同底数幂乘法性质对负整数指数成立的过程，体会从特殊到一般的归纳推理方法。 3. 运算能力：掌握整数指数幂的运算性质，能正确进行简单的整数指数幂运算，结果化为只含正整数指数幂的形式。 4. 运算习惯：注意底数不为零的条件，养成运算后检查结果中指数是否为正整数的习惯。 单元整体目标 对应课标要求：了解整数指数幂的意义和基本性质。本节完善了幂的运算体系，为分式方程和后续函数学习奠定基础。 教学重点 负整数指数幂的意义；整数指数幂的运算性质。 教学难点 负整数指数幂意义的理解；含负指数幂的混合运算。 学情分析 学生在七年级已经学习了正整数指数幂的五条运算性质（同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂除法、分式乘方），也学习了零指数幂a⁰=1（a≠0）。本课时将指数范围从正整数扩充到负整数，学生理解上需要一个适应过程。容易出现的错误：①把a⁻ⁿ误认为是负数；②运算结果忘记化为正整数指数幂；③底数为负数时符号判断错误。 困惑点 ①不理解为什么要规定a⁻ⁿ=，觉得是“人为规定”；②负指数幂运算时指数加减出错；③结果中仍保留负指数幂，不知道要化为正整数指数幂形式；④忽视底数不能为零的条件。 教学策略分析（为什么学·学什么·怎么学） 为什么学：将指数范围从正整数扩充到全体整数，使幂的运算性质统一，为科学记数法表示较小的数和后续函数学习奠定基础。 学什么：a⁻ⁿ=（a≠0，n为正整数）；整数指数幂的三条运算性质。 怎么学：以a³÷a⁵的两种算法为切入点，通过类比和归纳得出负整数指数幂的意义；通过具体算式验证运算性质对整数指数成立；讲练结合，强调结果化为正整数指数幂。 教学环节 学习任务设计 师生活动 评价要点 设计意图 一、 复习导入 （约5分钟） 【复习回顾】 正整数指数幂的运算性质（m，n为正整数）： （1）aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ； （2）(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ； （3）(ab)ⁿ = aⁿbⁿ； （4）aᵐ÷aⁿ = aᵐ⁻ⁿ（a≠0，m＞n）； （5）a⁰ = 1（a≠0）。 思考：在性质（4）中要求m＞n。如果m≤n，比如计算a³÷a⁵，该怎样算？ 教师提问，学生口答五条性质。 教师追问：m≤n时怎么办？由此导入新课。 学生能否准确回忆正整数指数幂的运算性质。 复习旧知，引出问题。 二、 探究一： 负整数指 数幂的意 义（约10 分钟） 【教材P158 思考】计算a³÷a⁵（a≠0）： 方法一：用分式约分计算： a³÷a⁵ = = = 。 方法二：如果把除法法则aᵐ÷aⁿ=aᵐ⁻ⁿ中的m＞n条件去掉： a³÷a⁵ = a³⁻⁵ = a⁻²。 两种方法结果应相等，即 a⁻² = 。 【归纳】负整数指数幂的意义： 一般地，当n是正整数时，a⁻ⁿ = （a≠0）。 这就是说，a⁻ⁿ（a≠0）是aⁿ的倒数。 【注意】①底数a不能为0；②a⁻ⁿ是正数（a≠0时），不是负数；③引入负整数指数幂后，指数范围扩充到全体整数。 【口答】 （1）2⁻³ = ？ （2）10⁻⁵ = ？ （3） = ？ 答案： （1）2⁻³ = = ；（2）10⁻⁵ = = 0.00001；（3） = 3² = 9。 教师引导学生用两种方法计算a³÷a⁵。 学生通过比较两种结果，自己发现a⁻²=1/a²。 教师给出负整数指数幂的定义。学生口答练习。 学生能否理解负整数指数幂的意义；能否正确计算简单的负整数指数幂。 通过两种方法对比，让学生理解定义的合理性。 三、 探究二： 整数指数 幂的运算 性质（约12 分钟） 【教材P159 思考】引入负整数指数幂后，aᵐ·aⁿ=aᵐ⁺ⁿ能否推广到m、n为任意整数？ 验证： （1）a³·a⁻⁵ = a³ · = = a⁻² = a³⁺⁽⁻⁵⁾； （2）a⁻³·a⁻⁵ = · = = a⁻⁸ = a⁽⁻³⁾⁺⁽⁻⁵⁾； （3）a⁰·a⁻⁵ = 1 · = a⁻⁵ = a⁰⁺⁽⁻⁵⁾。 【归纳】aᵐ·aⁿ=aᵐ⁺ⁿ对m、n为任意整数仍然成立。类似地，其他性质也成立。 整数指数幂的运算性质（m、n为整数，a≠0，b≠0）： （1）aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ； （2）(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ； （3）(ab)ⁿ = aⁿbⁿ。 【说明】同底数幂的除法aᵐ÷aⁿ=aᵐ⁻ⁿ可以转化为aᵐ·a⁻ⁿ，分式乘方也可转化为积的乘方，因此五条性质归结为以上三条。 教师引导学生通过具体例子验证乘法性质。 学生小组讨论，验证其他性质是否成立。 师生共同归纳出三条运算性质。 学生能否正确验证运算性质；理解为什么五条归结为三条。 经历从特殊到一般的验证过程。 四、 例题与 练习（约15 分钟） 【教材P160 例1】计算： （1）a⁻²÷a⁵； （2）()⁻²； （3）(a⁻¹b²)³； （4）a⁻²b²·(a²b⁻²)⁻³。 解： （1）a⁻²÷a⁵ = a⁻²⁻⁵ = a⁻⁷ = ； （2） ⁻² = = ； （3）(a⁻¹b²)³ = a⁻³b⁶ = ； （4）a⁻²b²·(a²b⁻²)⁻³ = a⁻²b²·a⁻⁶b⁶ = a⁻⁸b⁸ = 。 【注意】计算结果一般要化为只含正整数指数幂的形式。 【练习1】填空： （1）3⁰ = ___；3⁻² = ___； （2）(−3)⁰ = ___；(−3)⁻² = ___； （3）b⁰ = ___（b≠0）；b⁻² = ___（b≠0）。 答案： （1）1； （2）1； （3）1；。 【练习2】计算： （1）x²y⁻³·(x⁻¹y)³； （2）(2ab⁻²)⁻³÷(a⁻²b)³。 答案： （1）原式 = x²y⁻³·x⁻³y³ = x⁻¹y⁰ = ； （2）原式 = 2⁻³a⁻³b⁶÷a⁻⁶b³ = 。 【练习3】辨析：下列计算是否正确？ a⁻³ = −a³，对吗？ 答案：不对。a⁻³ = ，是a³的倒数，不是−a³。负指数不代表负数。 学生尝试完成例1，教师板书规范步骤。 学生独立完成练习，教师巡视。 选取典型错误（结果未化正指数、符号错误）讲评。 学生能否正确运用三条性质计算；结果是否化为正整数指数幂。 讲练结合，及时巩固。 五、 反思总结 与作业 （约3分钟） 【课堂小结】 1. 负整数指数幂：a⁻ⁿ = （a≠0，n为正整数）。 2. 整数指数幂运算性质（m、n为整数）： ①aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ；②(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ；③(ab)ⁿ = aⁿbⁿ。 3. 注意：底数不为零；结果化为正整数指数幂；负指数不代表负数。 【布置作业】 1. 教材第161页 练习第1、2题； 2. 习题18.4 第1、2、3题； 3. 思考：怎样用10的负整数次幂表示0.0001？ 学生自主归纳，教师补充。 学生能否完整叙述负整数指数幂的意义和三条性质。 构建知识体系。 板书设计 18.4 第1课时 整数指数幂 一、负整数指数幂： a⁻ⁿ = （a≠0，n为正整数） 二、整数指数幂运算性质： ①aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ ②(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ ③(ab)ⁿ = aⁿbⁿ 三、注意：底数≠0；结果化为正整数指数幂 学科网（北京）股份有限公司 $