上海市七宝中学2026-2027学年高三上学期10月月考数学试卷

2026学年(2026.10)七宝中学高三数学月考试卷 (满分150分，考试时间120分钟) 一、填空题（本大题共12题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分。考生应在答题纸相应位置直接填写 结果) 4 1.已知sima=写则cos2a= 2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=52,则a,=一 3.已知向量ā，满足同-1，=V5,la-2=3,则a-6= 4.已知x∈R,不等式x+2026-x≤2026的解集为 5.△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、C.若2a-c=2 bcos C,则角B的大小是一 6.(x+2)4(x-1)的展开式中x2的系数为 (结果用数值表示) 7.复数z满足|iz=2,则|z+4-3川的取值范围是 5的最小值为 1 8.已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2°+ 9.已知△ABC的外接圆为单位圆，且圆心为0,2A0=B+AC,AB=V3A⊙，点D是线段BC上一动点， 则DADB的最小值是 10.从1,2,3，，10这10个数中任取4个不同的数a,a2,a3,a4,则事件“存在1≤i<j≤4，i,jeN”,使 得a-a=1”的概率为 x+2,x≤0 已知函数/()-nx>08()=+1,若函数y=f()3()的图象经过四个象限，则实数 k的取值范围是 12.清凉夏日，上海玛雅海滩水公园是很多小朋友的避暑天堂.水公园的圆锥形翻水桶（左图），母线长为 120cm,开口直径为80cm.水桶转动过程中时，当水面与水桶内壁所形成的椭圆经过母线中点时（右图）， 椭圆的离心率等于一 第1页 “水面 二、选择题（本大题共4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，每题有且只有一个正确选项。考 生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑) 13.设xeR,则“2-x≥0”是“x+1≤1”的( ). A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 14.已知直线1：+y-3=0经过点(a,b-2),则原点到点P(a,b)的距离可以是( A.4 B.2 C. 2 ，D.3 15.一枚质地均匀的正方形骰子，其六个面分别刻有1,2,3,4,5,6六个数字，投掷这枚骰子两次，设 事件M为“第一次朝上的数字是奇数”，则下列事件中与M相互独立的事件是(). A.第一次朝上的数字是偶数 B.第一次朝上的数字是1 C.两次朝上的数字之和是8 D.两次朝上的数字之和是7 16.数列a,}中，4=2a1=g-0,+1,记5=2++…+，=21 ,给出以下命题： a a2 an a az an 1 命题乃1：S2026+T2026<1；命题P2:S2026-T2026> 2下列选项中正确的是() A.乃真P2真 B.P真P2假 C.P假P2真 D.乃假P2假 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分。解答下列各题必须在答题纸的 相应位置写出必要的步骤) 17.(第1小题满分6分，第2小题满分8分) 将边长为1的正方形ABCD绕边AB所在直线旋 行，得到如图所示的几何体，它是圆 2 柱的一部分 (1)求该几何体的表面积： (2)求异面直线AE与BC所成角的大小. 第2页 18.(第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分) “金秋时节蟹正肥，膏育满溢惹人垂”，10月又到吃螃蟹的季节，某蟹塘随机捞出100只大闸蟹，其质量 分别在100,150)，[150,200)，[200,250)，[250,300)，[300,350)，[350,400)（单位：克）中，经统计得 到的频率分布直方图如图所示，以各组数据的中间数代表这组数据的平均值. 频率组距 0.006 0.005 0.004 0.003 0.0014 0.0006---☐ 0100150200250300350400质量/克 (1)求抽取的100只蟹质量的平均数和中位数；（若有小数，保留一位） (2)若按分层随机抽样从质量为[200,250)，[250,300)的蟹中随机抽取5只，再从这5只中随机抽取2只，求 这2只蟹都来自同一个质量区间的概率； (3)某经销商来收购大闸蟹，该蟹塘中大约还有10000只蟹待捕捞，用样本估计总体.经销商对未捕捞的蟹 提出以下两种收购方案： 方案①：所有蟹以90元/千克收购； 方案②：对质量低于250克的蟹以20元/只收购，对质量高于或等于250克的蟹以30元/只收购. 如果你是蟹塘老板，你会选择哪种方案，说明理由. 19.(第1小题满分6分，第2小题满分8分) 已知f(x)=sin(wx+p)(w>0,0<p<), (1①若@=1,9=写求函数y=倒在0上的值域： 2 (②)若函数y=/冈的最小正周期为3元，且f)=三在x∈0,2026]上恰好有1351个解，求P的取值范围. 2 第3页 20.(第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 已知双曲线r:号-号=l,过点M(m,)的直线I与Γ交于不同两点从R 22 (1)求双曲线的焦距和离心率； (2)若点A坐标为(V5,,点B在双曲线右支上，且B为线段AM的中点，求直线1的斜率； (3)若m>0,点F、F分别是双曲线的左、右焦点，点A是点A关于y轴的对称点，若存在直线1，使得 F4.EB=0,求m的取值范围. (m,0） 21.(第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 对于定义域为D的函数y=f(x),若存在实数x∈D,使f(xo)f(x。+)=1,其中为非零常数， 则称x为“f(x)的定积点”.已知g(x)=e*,h(x)=x+a(a>0), (1)若任意实数x均为“∫(x)的2定积点”.求证：y=f(x)为周期函数； (2)若√2为“()的-2定积点”，且化=hP()只有两个不同的解，求实数m的值： g(x) g(x),x≥0 (3)设o(x)= h<0若“（闭的1定积点”怡有3个，求实数a的取值范围. 1 第4页 2026学年(2026.10)七宝中学高三数学月考试卷及答案 (满分150分，考试时间120分钟) 一、填空题（本大题共12题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分。考生应在答题纸相应位置直接填 写结果) 4 1.已知sima=兮，则cos2a- 管刻乃 2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S13=52,则a=一·【答案】4 3.已知向量ā，方满足同=1，=5，a-2=3,则a-6=一·【答案】1 4.已知x∈R,不等式x+2026-≤2026的解集为一， 【答案】[0,2026] 5.△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、C.若2a-c=2 bcosC,则角B的大小是」 π3 6.(x+2)4(x-1)的展开式中x2的系数为 (结果用数值表示) 【答案】8 7.复数z满足|z卡2，则川z+4-3川的取值范围是 【答案】[3,7刀 8.已知a,beR,且a-3b+6=0,则2°+5的最小值为 9.已知△ABC的外接圆为单位圆，且圆心为0,20=B+AC,-V5d, 点D是线段BC上一动 点，则DADB的最小值是」 [答案！6 10.从1,2,3，，10这10个数中任取4个不同的数a,a2,a,a4,则事件“存在1≤i<j≤4，i,jeN, 使得a,-a=1”的概率为 【答案】 6 11.已知函数f(x)= nx>08(✉)=+1，若函数y=∫()-g(x)的图象经过四个象限，则实 x+2,x≤0 数k的取值范围是 【答案( 12.清凉夏日，上海玛雅海滩水公园是很多小朋友的避暑天堂.水公园的圆锥形翻水桶（左图），母线长为 120cm,开口直径为80cm.水桶转动过程中时，当水面与水桶内壁所形成的椭圆经过母线中点时（右 图)，椭圆的离心率等于一 七宝中学高三数学10月月考答案 第1页 …水面 【答案】37 17 二、选择题（本大题共4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，每题有且只有一个正确选项。 考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑) 13.设x∈R,则“2-x≥0”是“x+1≤1”的(B). A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 14.已知直线1：+y-3=0经过点(a,b-2),则原点到点P(a,b)的距离可以是（B) A.4B.2 C.2 D克 15.一枚质地均匀的正方形骰子，其六个面分别刻有1,2,3,4,5,6六个数字，投掷这枚骰子两次，设 事件M为“第一次朝上的数字是奇数”，则下列事件中与M相互独立的事件是(D). A.第一次朝上的数字是偶数 B.第一次朝上的数字是1 C.两次朝上的数字之和是8 D.两次朝上的数字之和是7 16.数列{0n}中，a1=2,an1=a-an+1,记Sn =+2++, 1.1…1 Tn= a az an 4a,给出以下命 1 题：命题乃1：S2026+T026<1；命题P2:S2026-T026>亏.下列选项中正确的是() 2 A.P1真P2真 B.乃真卫，假 C.P假P2真D.乃假P2假 【答案】C 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分。解答下列各题必须在答题纸 的相应位置写出必要的步骤) 17.(第1小题满分6分，第2小题满分8分) 将边长为1的正方形ABCD绕边AB所在直线旋转2 ,得到如图所示的几何体，它是圆柱的一部分 (1)求该几何体的表面积； (2)求异面直线AE与BC所成角的大小， 七宝中学高三数学10月月考答案 第2页 D B E 详解)1)几何体的表面积为2x2πx+2x+2×1x1经+2…6分 23 (2)因为ADIIBC,所以异面直线ABE与BC所成的角即∠DAE或其补角，连接EC,ED,8分 EC2=EB+BC2-2EB.BCcos2=3, 3 所以ED2=EC2+CD2=4,又AE2=AB2+EB2=2, 所以cOS∠DAE= AD2+AE2-DE2_1+2-4_V2 …12分 2AD·AE 22 4 所以异面直线AB与BC所成角的大小为arccos互 …14分 4 18.(第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分) “金秋时节蟹正肥，膏肓满溢惹人垂”，10月又到吃螃蟹的季节，某蟹塘随机捞出100只大闸蟹，其质 量分别在[100,150)，[150,200)，[200,250)，[250,300)，[300,350)，[350,400)（单位：克）中，经统 计得到的频率分布直方图如图所示.以各组数据的中间数代表这组数据的平均值. 频率/组距 0.006 0.005 0.004 0.003 0.0014 0.0006 0100150200250300350400质量/克 (1)求抽取的100只蟹质量的平均数和中位数；（若有小数，保留一位） (2)若按分层随机抽样从质量为[200,250)，[250,300)的蟹中随机抽取5只，再从这5只中随机抽取2只， 求这2只蟹都来自同一个质量区间的概率； (3)某经销商来收购大闸蟹，该蟹塘中大约还有10000只蟹待捕捞，用样本估计总体.经销商对未捕捞的 蟹提出以下两种收购方案： 方案①：所有蟹以90元/千克收购； 方案②：对质量低于250克的蟹以20元/只收购，对质量高于或等于250克的蟹以30元/只收购， 如果你是蟹塘老板，你会选择哪种方案，说明理由， 【详解】(1)抽取的100只蟹质量的平均数为 x=(125×0.0014+175×0.003+225×0.004+275×0.006+325×0.005+375×0.0006)×50=255;…2分 七宝中学高三数学10月月考答案第3页 因为质量小于250的频率为(0.0014+0.003+0.004)×50=0.42， 所以中位数位于250,30)，设中位数为x,则-250_0.08 中位数x=263.3…4分 500.3 (2)因为[200,250)的频率为0.2，[250,300)的频率为0.3，所以分层抽样比例为2：3， 记A=“这两只蟹取自同一组”，则这2只蟹都来自同一个质量区间的凝率为P(4)-C+C。? 5；8分 (3)因为蟹质量的平均数为255克， 所以按方案@获利为255X10000×90=29500元：…10分 1000 按方案②：质量低于250克的频率为0.07+0.15+0.2=0.42， 质量大于等于250克的频率为1-0.42=0.58， 所以按方案②获利为10000×0.42×20+10000×0.58×30=258000元，…12分 又因为258000>229500，所以选择方案②获利更多.…14分 19.(第1小题满分6分，第2小题满分8分) 已知f(x)=sin(ox+p)(w>0,0<p<), )若@=1，p=骨求函数y=在[0上的值域： ②若函数y=的最小正周期为3，且/)-三在xeD2026网上怡好有1351个解，求p的取值范 围。 【解1当=p=写时，-m+引x引则x+ 由正孩函数单调性，s血ξ分s血子=1，放血(<+引[ …6分 22 (2②)由周期7-3-，得@-子则=sn仔x+ 2 ，…8分 方程如仔+9）-的解为x+=+2咖号+p-+2,k乙。 4 解得=引任-p+2成x-引-p+2】 当x∈[0,2026m时，1= 区间长度含675个周期(1350元)，贡献1350个解，要求在区间0，p+ 2π 3 内恰好有一个解，…10分 在05〉 结合0<p<元分析，im1= 2 3 内的解为空3红 44 <行：仅孕落在区间%P+ 若0<p< 2π 4 , 恰好1个解，符合： 吕5印5行·吾普都落在区间，共2个解，不符合， 若子印5受：仅宁落在区侧，简好1个解，符合： 七宝中学高三数学10月月考答案 第4页 若红<0<元：区间内无解，不符合。 4 综上所述，9的取值范国为}任贸] …14分 20.(第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 已知双曲线r:女上=l,过点M(m0)的直线与r交于不同两点A& 22 (1)求双曲线的焦距和离心率； (2)若点A坐标为(V5,,点B在双曲线右支上，且B为线段M的中点，求直线1的斜率； (3)若m>0,点耳、F分别是双曲线的左、右焦点，点是点A关于y轴的对称点，若存在直线1，使得 FA·FB=0,求m的取值范围. 【详解】(1)由题可知，a2=b2=2,c2=a2+b=4→c=2,所以焦距2c=4.…2分 离心率e=S=2 =√2.…4分 a2 (2)因为B是线段AM的中点，所以xn= 3+m 2=2 同时B又在双曲线右支上，所以有 5+my2 2 ),且V3+>0,解得m=-3+3，-8分 2 2 12 25 所以1斜率k=万--3+3)3 +1.…10分 (3)F(-2,0),F(2,0),设4(x,y,Bx2,y2),1:x=y+m, 则A(-x,y),FA=(-x+2y),EB=(x2-22), 双曲线和直线1联立得少+m_号=1，化简得到(-y2+2m+m2-2=0, 22 因此有%+%=X%-子封，12分 △=41m2-42-10m2-2）=4m2+212-2)>0=2>2-m …13分 2 由F·FB=0得(-x+2)(x-2)+y2=0, 代入=%+m并化简得C2-y2+0m-20+为)+m-2y=0, x2=2+m 再代入另+2，yy2并化简得m2-2m=2-1,…15分 方程有解，代入t的范围，得到m2-2m>-贮 ⊙mm-争>0且m2-2m*0. 4 由于m>0,所以m的取值范围为m>且m≠2.…18分 七宝中学高三数学10月月考答案 第5页 21.(第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 对于定义域为D的函数y=f(x),若存在实数o∈D,使f(xo)f(x+)=1,其中元为非零常数， 则称x为“f(x)的定积点”.已知g(x)=e,h(x)=x+a(a>0). (1)若任意实数x均为“f(x)的2定积点”.求证：y=f(x)为周期函数： (2)若、5为“)的-2定积点”，且m=()只有两个不同的解，求实数m的值： 8(x) 「g(x)x20 (3)设o(x)= 1 x)<0’右“0(x)的1定积点”恰有3个，求实数a的取值范围， 【详解】(1)(x)f(x+2)=1对x∈R成立，得f(x)= 1 6+2)f6x+4), 所以4为函数f(x)的周期.…4分 (2)由√2为“h(x)关于-2定积点”，得h(W2)h(2-2)=1， 即(N2+a)(W2-2+a)=1.a2+(2W2-2)a+1-22=0, 即(a+2√2-1)(a-1)=0,得a=1,…6分 设p(x)=e*(x+1)2的定义域为R,求导得p'(x)=e*(x+1)2+2e*(x+1)=e*(x+1)(x+3), 当x∈（∞，-3）时，p'(x)>0,(x)严格递增； x∈(-3，-1)时，p'(x)<0.p(x)严格递减； x∈(-1，+)时，p'(x)>0,p(x)严格递增， 所以p(x)的单调递增区间为(-∞，-3)，(-1，+∞)，递减区间为(-3，-1)， 所以p(x)的极大值为(-3)=4伦3，极小值为(-1)=0，…8分 当x→-0时，y→0，当x→+0时，y→+0， 作出函数p(x)的大致图象如下， y=0(x) y=m -10 m、=h2(x)只有两个不同的解转化为o(x)=(x+1)2之0与y=m有两个交点， g(x) 所以m=(-3)=4e3.…10分 e*,x≥0 (3)依题意，o(x)= 1 ,x<0 x+a 由p(x)恰有3个“0(x)的1定积点”，得方程0(x)0(x+1)=1恰有3个不等实数根， 七宝中学高三数学10月月考答案第6页 ①当x20时，x+1>0,方程o(x)(x+1)=1可化为e2xH=1,解得x=- 这与x≥0不符，因此在[0，+0)内0(x)0(x+1)=0没有实数根；…12分 ②当-1≤x<0时，x+1≥0，方程o0)o(c+1)=1可化为e 一=1， x+a 该方程又可化为a=e1-x· 设k(x)=eH-x,则K()=eH-1, 因为当xe(-l,0)时，K(x)>0,所以k(x)在[-l,0)内严格递增，k(x)∈[2，e), 因此，当a∈[2，e)时，方程0(x)a(x+1)=1在[-1,0)内恰有一个实数根； 当a∈(0,2)U[e,+0)时，方程0(x)o(x+1)=1[-l,0)内没有实数根.…14分 ®当x<-1时，x+1<0,方程o()0(x+1)=1可化为1.1 =1, x+a x+a+1 化为x2+(2a+1)x+a2+a-1=0,于是此方程在(-o,-1)内恰有两个实数根， (2a+1)2-4(a2+a-1>0 则有 _2a+1<-1 2 ,解得a>1+V5 2 1-(2a+1)+a2+a-1>0 因此当a>1+5时，方程6(W0x+)=1在(-2，-少内恰有两个实数根， 2 当0<a≤1+5时，方程00k+1)=1在(-2，-内至多有一个实数根，…16分 综上，a的取值范围为[2，e)⌒ 1+5, 2,+o2,.…18分 七宝中学高三数学10月月考答案 第7页