4.2.3 二次函数y=ax²+bx+c 的图象与性质（课件）2026-2027学年湘教版九年级数学上册

二次函数 y = ax² + bx + c（a≠0）的图象与性质 湘教·九年级上册 复习回顾 1. 二次函数 y = 2(x + 1)2 －4 的图象大致是 ( ) A B C D D 2. 将二次函数 y ＝ x2＋2x－1 的图象沿 x 轴向右平移 2 个单位，得到的函数表达式是 ( ) D A. y ＝ (x + 3)2－2 B. y ＝ (x + 3)2 + 2 D. y ＝ (x－1)2－2 C. y ＝ (x－1)2 + 2 探究新知 如何画二次函数 y =－2x2 + 6x－1的图像？ y =－2x2 + 6x－1 绘制图像 －2(x－h)2+k 转化 配方： 故对称轴是直线 ， 顶点坐标是 . 如何画二次函数 y =－2x2 + 6x－1的图像？ x ··· ··· 列表：自变量 x 从顶点的横坐标 开始取值. 如何画二次函数 y =－2x2 + 6x－1的图像？ 描点和连线： ① 画出图象在对称轴右边的部分． 图4.2-10 ② 利用对称性， 画出图象在对称轴左边的部分． 向右平移 个单位 向上平移 个单位 归 纳 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图像的画法 描点法 (1) 把二次函数 y = ax2 + bx + c 化成 y =a(x－h)2+k 的形式； (2) 确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3) 在对称轴左右两侧对称描点并用光滑的曲线顺次连结. 归 纳 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图像的画法 平移法 (1) 把二次函数 y = ax2+bx+c 化成 y = a(x－h)2+k 的形式，确定其顶点坐标 (h，k)； (2) 作出二次函数 y = ax2 的图象； (3) 将二次函数 y = ax2 的图象平移，使其顶点平移到(h，k). 针对训练 画出二次函数 的图象. 配方： 所以图像 开口向上 对称轴是直线 x = 6， 顶点坐标是 (6，3) . 画出二次函数 的图象. x ··· ··· 列表：自变量 x 从顶点的横坐标 6 开始取值. 6 3 7 3.5 8 5 9 7.5 10 11 描点和连线： ① 画出图象在对称轴右边的部分． ② 利用对称性， 画出图象在对称轴左边的部分． 观察图 4.2-10，当 x 等于多少时，函数 y =－2x2 + 6x－1的值最大？这个最大值是多少？ 说一说 图4.2-10 当 x 取顶点的横坐标 时，函数值最大，这个最大值等于顶点的纵坐标 . 解 配方可得： 例5 求二次函数 的最大值． 顶点坐标 (2，1) ， 于是当 x = 2 时，y 取最大值 1． 一般地， 对于二次函数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c 进行配方，可得 因此， 二次函数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c 的图像的对称轴是直线 ，顶点坐标是 . 当 时 ， 函数取最大值 (a < 0) 或最小值(a>0)： 一般地， 二次函数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c 的图像是抛物线，它具有下述性质： 抛物线 y = ax2 + bx + c a > 0 a < 0 对称轴 顶点坐标 开口方向 向上 向下 抛物线 y = ax2+bx+c a > 0 a < 0 性质 在对称轴的左边 在对称轴的右边 最大(小)值 y随x的增大而减小 y 随x的增大而增大 y随x的增大而增大 y 随x的增大而减小 针对训练 1. 关于二次函数 y = x2+2x－1，下列说法错误的是 (　　) A. 图像的顶点为 (－1，－2) B. 图像的对称轴是直线 x = 1 C. 图像的开口向上 D. 当 x > －1时，y 随 x 的增大而减小 D 2. 用不同的方法求出二次函数 y =－2x2－5x+7的对称轴、顶点坐标、开口方向，并写出二次函数的增减性及最值. 解法1：配方法 y = －2x2－5x+7 所以函数开口向下，对称轴位直线 顶点坐标为 解法2：公式法 因为 a =－2， b =－5，c = 7， 所以 所以函数开口向下，对称轴位直线 顶点坐标为 2. 用不同的方法求出二次函数 y =－2x2－5x+7的对称轴、顶点坐标、开口方向，并写出二次函数的增减性及最值. 因为 a =－2<0，所以函数图像开口向下，二次函数有最大值，所以当 时，函数值 y 随 x 的增大而增大；当 函数值 y 随 x 的增大而减小. 当 时，函数取得最大值，最大值 练习 1. 写出下列二次函数图象的对称轴、顶点坐标和开口方向，并画出它们的图象. 对称轴 x = 1，顶点坐标 (1，－2) ，开口向上. (1) ； 【选自教材P149 练习 第1题】 对称轴 x = 2，顶点坐标 (2，2) ，开口向下. (2) . 练习 1. 写出下列二次函数图象的对称轴、顶点坐标和开口方向，并画出它们的图象. 【选自教材P149 练习 第1题】 2. 用配方法求下列二次函数的最大值或最小值： (1) y = x2－3x+2； (2) . (1) y = x2－3x+2 顶点坐标 最小值 顶点坐标 (-3，4) 最大值 4 解： 【选自教材P149 练习 第2题】 3. 已知抛物线 y＝－x2＋2x＋2． (1) 通过配方求出它的对称轴、顶点坐标，并画出该抛物线； 解：配方： y ＝－x2＋2x＋2 ＝－(x－1)2＋3 对称轴是直线 x = 1，顶点坐标是 (1，3). (2) 若该抛物线上两点 A (x1， y1), B(x2，y2)的 横坐标满足 x1＞x2＞1，试比较 y1 与 y2 的大小． 因为 x1 > x2 > 1，所以 x1，x2 在对称轴的右边，且在对称轴右边 y 随 x 的增大而减小，所以 y1 < y2. 课堂小结 一般地， 二次函数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c 的图像是抛物线，它具有下述性质： 抛物线 y = ax2 + bx + c a > 0 a < 0 对称轴 顶点坐标 开口方向 向上 向下 课堂小结 抛物线 y = ax2+bx+c a > 0 a < 0 性质 在对称轴的左边 在对称轴的右边 最大(小)值 y随x的增大而减小 y 随x的增大而增大 y随x的增大而增大 y 随x的增大而减小 $