4.4 二次函数与一元二次方程的联系 课件 2026-2027学年湘教版九年级数学上册

二次函数与一元二次方程的联系 湘教·九年级上册 探究新知 画出二次函数 y = x2– 2x – 3 的图象， 你能从图象中看出它与 x 轴的交点吗？二次函数 y = x2– 2x – 3 与一元二次方程 x2 – 2x – 3 ＝ 0 有怎样的关系？ 图4.4-1 y = x2– 2x – 3 二次函数 y = x2 - 2x－3的图象与 x 轴的交点坐标分别是 (-1，0) ，(3，0). 当 x ＝ -1 时， y ＝ 0 ， 即 x2 - 2x - 3 ＝ 0 ， 也就是说，x ＝ -1是一元二次方程 x2 - 2x - 3 ＝ 0 的一个根. 同理， 当 x ＝ 3 时， y ＝ 0 ， 即 x2 - 2x - 3 ＝ 0 ， 也就是说， x ＝ 3 是一元二次方程 x2 - 2x - 3 ＝ 0 的一个根. 一般地， 如果二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴有两个交点(x1，0)，(x2，0)，那么一元二次方程 ax2 + bx + c ＝ 0 有两个不相等的实数根 x ＝ x1， x ＝ x2. y = x2– 2x – 3 图4.4-1 说一说 观察二次函数 y = x2－6x + 9 ， y = x2－2x + 2 的图象(如图4.4-2所示)，分别说出一元二次方程 x2－6x + 9＝0 和 x2－2x + 2＝0 的根的情况. 图4.4-2 y = x2－6x + 9 y = x2－2x + 2 y = x2－6x + 9 y = x2－2x + 2 二次函数 y = x2－6x + 9 的图象与 x 轴有一个交点，其坐标是 (3，0)，而一元二次方程 x2－6x + 9 = 0有两个相等的实数根：x1 = x2 = 3. 二次函数 y = x2－2x +2 的图象与 x 轴没有交点，而一元二次方程 x2－2x +2 = 0 没有实数根. 综上可知，由二次函数 y = ax2+bx +c 的图象与 x 轴的交点情况可以判断一元二次方程 ax2+bx +c = 0 的根的情况. 反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应的二次函数的图像与 x 轴的位置关系. 具体如下表所示： 二次函数 y = ax2 + bx + c (a>0)的图像 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a > 0)的根 判别式 Δ= b2－4ac Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0 x1 x2 x1= x2 有两个不相等的实数根 x1，x2 (x1< x2 ) 有两个相等的实数根 x1= x2= 没有实数根 下列函数的图象与 x 轴是否有公共点？ 针对训练 (1) y = 4x2 + 12x + 5； (2) y = x2 + 2x + 1； (3) y = x2－3x + 1； (4) y = 2x2 + 3x + 2； 解 (1) y = 4x2 + 12x + 5 Δ = b2－4ac = 42－4×4×5 = 64 > 0 函数图像与 x 轴有两个不同的交点. 下列函数的图象与 x 轴是否有公共点？ (1) y = 4x2 + 12x + 5； (2) y = x2 + 2x + 1； (3) y = x2－3x + 1； (4) y = 2x2 + 3x + 2； 解 (2) y = x2 + 2x + 1 Δ = b2－4ac = 22－4×1×1 = 0 函数图像与 x 轴有一个公共点. 下列函数的图象与 x 轴是否有公共点？ (1) y = 4x2 + 12x + 5； (2) y = x2 + 2x + 1； (3) y = x2－3x + 1； (4) y = 2x2 + 3x + 2； 解 (3) y = x2 － 3x + 1 Δ = b2－4ac = (－3)2－4×1×1 = 5 > 0 函数图像与 x 轴有两个不同的交点. 下列函数的图象与 x 轴是否有公共点？ (1) y = 4x2 + 12x + 5； (2) y = x2 + 2x + 1； (3) y = x2－3x + 1； (4) y = 2x2 + 3x + 2； 解 (4) y = 2x2 + 3x + 2 Δ = b2－4ac = 32－4×2×2 = －7 < 0 函数图像与 x 轴没有公共点. 从上面的分析可以看出，二次函数与一元二次方程关系密切，那么解一元二次方程能不能借助二次函数呢？ 求一元二次方程 ax² + bx + c = 0 的根就是求二次函数y = ax² + bx + c 在 y = 0时自变量 x 的值，也就是二次函数图象与 x 轴交点的横坐标，因而可以利用二次函数的图象来求一元二次方程的根. 要注意的是，由于作图或观察容易产生误差，因而利用图像求得的根，一般是近似的。 例1 求一元二次方程 x2－2x－1=0 的根的近似值(精确到0.1). 分析：一元二次方程 x2－2x－1= 0 的根就是抛物线 y = x2－2x－1与 x 轴的交点的横坐标. 因此，我们可以先画出这条抛物线，然后从图象上找出它与 x 轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法. 例1 求一元二次方程 x2－2x－1=0 的根的近似值(精确到0.1). 解 设二次函数 y = x2－2x－1. 图4.4-3 画出二次函数 y = x2－2x－1的图像. 发现：抛物线与 x 轴的一个交点在－1和 0 之间，另一个交点在 2 和 3 之间. 通过观察或测量，可得抛物线与 x 轴的交点 的横坐标约为－0.4 或 2.4，即一元二次方程 x2－2x－1 = 0的实数根为x1 ≈ 0.4， x2 ≈ 2.4. 我们还可以借助计算器来分根解求方程的实数根，将二次函数 y = x²－2x－1在－1至 0 范围内的御处 x 值所对应的 y 值列表如下： x -1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 y 2 1.61 1.24 0.89 0.56 0.25 -0.04 -0.31 -0.56 -0.79 -1 可以发现，当 x =－0.5 时，y = 0.25 > 0； 而当 x =－0.4 时，y = －0.04 < 0. 结合图象可以看出，使 y = 0 的一个 x 值在－0.5 与－0.4 之间，即－0.5 < x < －0.4. x -1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 y 2 1.61 1.24 0.89 0.56 0.25 -0.04 -0.31 -0.56 -0.79 -1 题目只要求精确到 0.1，这时取 x =－0.4 或 x =－0.5 作为所求的根均满足要求．但当 x =－0.4 时，y =－0.04；当 x =－0.5 时，y = 0.25. 前者的函数值 y 更接近于 0，因此选 x =－0.4. 同样，我们可以确定一元二次方程的另一个实数根为 x =2.4. 1. 利用函数图像求一元二次方程 x2－2x－1= 0 的近似根(结果精确到0.1) 针对训练 解 设二次函数 y = x2 －2x－1. 画出二次函数 y = x2 －2x－1的图像. 通过观察或测量，可得抛物线与 x 轴的交点的横坐标约为－0.4 或 2.4，即一元二次方程 x2 －2x－1 = 0的实数根为x1 ≈ －0.4， x2 ≈ 2.4. 那么方程 ax2 + bx + c＝0 其中一个根的取值范围是 ( ) A．1.0＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．1.3＜x＜1.4 2. 下表是一组二次函数 y＝ax2 + bx + c 的自变量 x 与函数值 y 的对应值: B 例2 如图4.4-4，小李扔铅球时，若铅球看作一个点，则铅球被扔出后其运行轨迹可用函数 的图像来刻画，其中 x(m) 是铅球离初始位置的水平距离，y(m)是铅球离地面的高度. (1) 当铅球离地面的高度为 2.1m 时，它离初始位置的水平距离是多少？ 解 由函数的表达式得 即 x2－6x + 5 = 0， 解得 x1= 1， x2= 5. 即当铅球离地面的高度为 2.1m 时，它离初始位置的水平距离是 1m 或 5m. (2) 铅球离地面的高度能否达到 2.5m？若能达到，求此时铅球离初始位置的水平距离. 解 由函数的表达式得 即 x2－6x + 9 = 0， 解得 x1= x2= 3. 即当铅球离地面的高度为 2.5 m 时，它离初始位置的水平距离是 3m. (3) 铅球离地面的高度能否达到 3m？为什么？ 解 由函数的表达式得 即 x2－6x + 14 = 0， 因为 Δ = (－6)2－4×1×14=－20 < 0，所以方程无实数根. 所以铅球离地面的高度不能达到 3m. 从例 2 可以看出，己知二次函数 y = ax² + bx + c 的某一个函数值 y =M，求自变量的对应值时，需要解一元二次方程 ax² + bx + c =M. 这样，二次函数与一元二次方程就紧密地联系起来了. 练习 1. 试判断下列函数的图像与 x 轴的交点情况： 【选自教材P159 练习 第1题】 (1) y = x2－x－2； (2) y = 9x2 + 12x + 4； (3) y = x2－2x + 3； 解 (1) y = x2－x－2 Δ = b2－4ac = (－1)2－4×1×(－2) = 9 > 0 函数图像与 x 轴有两个不同的交点. 练习 1. 试判断下列函数的图像与 x 轴的交点情况： (1) y = x2－x－2； (2) y = 9x2 + 12x + 4； (3) y = x2－2x + 3； 解 (2) y = 9x2 + 12x + 4； Δ = b2－4ac = 122－4×9×4 = 0 函数图像与 x 轴有一个交点. 【选自教材P159 练习 第1题】 练习 1. 试判断下列函数的图像与 x 轴的交点情况： (1) y = x2－x－2； (2) y = 9x2 + 12x + 4； (3) y = x2－2x + 3； 解 (3) y = x2－2x + 3 Δ = b2－4ac = (－2)2－4×1×3 = －8 < 0 函数图像与 x 轴没有交点. 【选自教材P159 练习 第1题】 2. 用图像法求一元二次方程 x2 + x－1= 0 的根的近似值(精确到0.1). 【选自教材P159 练习 第2题】 解 设二次函数 y = x2 + x－1. 画出二次函数 y = x2 + x－1的图像. 通过观察或测量，可得抛物线与 x 轴的交点的横坐标约为－1.6 或 0.6，即一元二次方程 x2 + x－1 = 0的实数根为x1 ≈ －1.6， x2 ≈ 0.6. 【选自教材P159 练习 第3题】 3. 某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，已知可以用 的图象刻画该公司今年的累积利润 y(万元)与销售时间 x (月)之间的关系，如右图所示.试根据图象提供的信息，回答下列问题： (1) 该公司亏损了几个月？几月末开始盈利？ 答：亏损期数是 3 个月，4 月末开始盈利. (2) 求截止到几月末公司累计利润达到 30 万元. 解 由函数的表达式得 即 x2－4x － 60 = 0， 解得 x1=10， x2= －6(舍去). 答：截止到 10 月末公司累计利润达到 30 万元. (3) 该公司第 8 月末所获利润是多少？ 解 由函数的表达式得 16 － 10.5 = 5.5 (万元) 答：该公司第 8 月末所获利润是 5.5 万元. 4. 根据表格中所给的对应值， 判断方程 ax2+bx+c＝2 (a ≠ 2，a，b，c 为常数)的根的个数是 ( ) C A. 0 B. 1 C. 2 D. 1或2 二次函数 y = ax2 + bx + c (a>0)的图像 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a > 0)的根 判别式 Δ= b2－4ac Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0 x1 x2 x1= x2 有两个不相等的实数根 x1，x2 (x1< x2 ) 有两个相等的实数根 x1= x2= 没有实数根 课堂小结 $