4.2.1.1 二次函数 y = ax²（a＞0）的图象与性质（课件）2026-2027学年湘教版九年级数学上册

二次函数 y = ax²(a＞0) 的 图象与性质 湘教·九年级上册 复习导入 用描点法画函数图象的一般步骤是什么？ 我们学过的一次函数的图象是什么图形？ ①列表；②描点；③连线 一条直线 那么，二次函数的图象会是什么样的图形呢？如何画一个二次函数的图象呢？ 探究新知 列表： 对于二次函数 y = x2， 其自变量 x 可以取任意实数. 因此让 x 取 0 和一些互为相反数的数， 并且算出相应的函数值， 列成下表： x ··· 0 ··· y = x2 ··· 0 ··· 探究 如何在平面直角坐标系中画出二次函数 y = x2的图象？ －1 1 －2 4 －3 9 1 1 2 4 3 9 描点： 在平面直角坐标系内， 以 x 取的值为横坐标， 相应的函数值为纵坐标， 描出相应的点，如图 4.2-1 所示. 2 4 6 y 8 O -2 2 x 4 -4 x ··· 0 ··· y = x2 ··· 0 ··· －1 1 －2 4 －3 9 1 1 2 4 3 9 图 4.2-1 观察图4.2-1. 2 4 6 y 8 O -2 2 x 4 -4 A′ A B B′ 图4.2-1 A′ (－3，9) A(3，9) B′ (－2，4) B(2，4) 关于 y 轴对称 关于 y 轴对称 一般地，在 y = x2的图象上任取一点P(d，e)，则e=d2，点 P 关于 y 轴的对称点 P′ 的坐标为(－d，e).由于e = d2 =(－d)2因此点P′也在 y = x2 的图象上，由此得出： y = x2 的图象关于 y 轴对称. 2 4 6 y 8 O -2 2 x 4 -4 A′ A B B′ 图4.2-1 观察图 4.2-1中 y 轴右边描出的各点，可以发现： 一般地，对于二次函数 y = x²，若自变量取任意实数x1，x2，相应的函数值为y1，y2， 当横坐标增大时，纵坐标也增大， 设 0<x1<x2，由于x12< x1 x2 ， x1 x2<x22， 因此 x12 < x22，即 y1 < y2. 由此得出：y = x² 的图象在 y 轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而增大，简称为“右升”. 连线： 根据前面的分析，我们可以用一条光滑曲线把原点和 y 轴右边各点顺次连接起来；然后利用对称性，画出图象在 y 轴左边的部分(把y轴左边的点和原点用一条光滑曲线顺次连接起来)这样就得到了y = x2的图象，如图如图4.2-2所示. 2 4 6 y 8 O -2 2 x 4 -4 A′ A B B′ 图4.2-2 y = x2 思考 观察图4.2-2，二次函数 y = x2 的图象除了具有关于 y 轴对称和“右升”外，还具有哪些性质？ 2 4 6 y 8 O -2 2 x 4 -4 A′ A B B′ 图4.2-2 y = x2 二次函数 y = x2 的图象是一条曲线， 它的开口______， 关于_____轴对称. 向上 对称轴与图象的交点是原点_______. y (0，0) 当 x = 0 时，函数值最小，最小值 为______. 0 2 4 6 y 8 O -2 2 x 4 -4 A′ A B B′ 图4.2-2 y = x2 从图4.2-2，可以看出 左降右升 图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而_____减小，简称为“_______”； 图象在 y 轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而增大，简称为“右升”. 2 4 6 y 8 O -2 2 x 4 -4 A′ A B B′ 图4.2-2 y = x2 减小 左降 一般地，当 a > 0 时，y = ax2的图象都具有上述性质.于是我们画 y = ax²(a>0) 的图象时，可以先画出图象在 y 轴右边的部分，然后利用对称性，再画出图象在 y 轴左边的部分.在画右边部分时，只需“列表、描点、连线”三个步骤. 列表 描点 连线 让 x 取一些具有代表性的值，求出对应的 y 值，列出表格. 以自变量 x 的取值为横坐标，以相应的函数值 y为纵坐标描出相应的点. 按自变量由小到大(或由大到小) 的顺序，用平滑的曲线顺次连接所描的点，并向两端无限延伸 (因为自变量的取值范围是全体实数) 画二次函数 y =ax2 的图象的一般步骤 x 0 ··· 0 ··· 1 2 3 2 例1 画出二次函数 的图象. 解 列表：因为二次函数 的图象关于 y 轴对称， 因此列表时， 自变量 x 可以从原点的横坐标 0 开始取值. 描点和连线：画出图象在 y 轴右边的部分，如图 4.2-3(1) 所示. x 2 y -2 2 4 (1) x 2 y -2 2 4 利用对称性， 画出图象在 y 轴左边的对称点， 并用一条光滑曲线把 y 轴左边的点和原点顺次连接起来， 这样就得到了 的图象，如图4.2-3(2)所示. (2) y = ax2 (a > 0) 开口方向：________ 对称轴：________ 顶点坐标：________ 当 x＞0 时，y 随 x 的增大而______，简称______； 当 x＜0 时，y 随 x 的增大而______，简称______. 向上 y 轴 (0，0) 增大 右升 下降 左降 随堂诊断 1. 已知二次函数 y＝ax2 (a＞0) 过 A (－2， y1)， B (1，y2) 两点，则下列关系式中正确的是（ ） A．y1＞0＞y2 B．y2＞0＞y1 C．y1＞y2＞0 D．y2＞y1＞0 C 2. 二次函数 y ＝ x2 不具有的性质是（ ） A．对称轴是 y 轴 B．开口向上 C．当x＜0时, y 随 x 的增大而减小 D．有最大值 D 1. 画出二次函数 y=2x2 的图象，并填空： 练习 (1) 图象的对称轴是___________，对称轴与图象的交点是____________. (2) 图象的开口向___________. (3) 图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而________；图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而___________. 1. 画出二次函数 y=2x2 的图象，并填空： x ··· 0 ··· y = 2x2 ··· 0 ··· －1 2 －2 8 －3 18 1 2 2 8 3 18 x y 2 4 6 -2 -4 -6 2 4 6 8 10 12 14 16 18 y = 2x2 (1) 图象的对称轴是______，对称轴与图象的交点是_______. (2) 图象的开口向_______. (3) 图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而______；图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而________. y 轴 (0，0) 上 减小 增大 y = 2x2 2. 在同一平面直角坐标系中画出二次函数 y = 3x2及 的图象，并比较它们的共同点与不同点. y ＝ 3x2 y ＝ x2 相同点：(1)当 x＝0时， y 都有最小值，最小值是 0． (2) 两个函数都关于 y 轴对称，并且当 x ＞0 时，y 都随 x 的增大而增大；当 x＜ 0 时， y 都随 x 的增大而减小． y ＝ 3x2 y ＝ x2 不同点：y = 3x2的图象开口更大. 3. 画出二次函数 y ＝ x2 的图象，并回答下列问题: (1) 当 x 取何值时， y 有最小值，最小值是多少？ (2) 当 x＞0时， y 随 x 的增大怎样变化？ 当 x ＜ 0 时呢？ (1) 当 x＝0时，y 有最小值，最小值是 0． (2) 当x＞0时，y 随 x 的增大而增大； 当x＜0时，y 随 x 的增大而减小． y ＝ x2 课堂小结 y = ax2 (a > 0) 开口方向：________ 对称轴：________ 顶点坐标：________ 当 x＞0 时，y 随 x 的增大而______，简称______； 当 x＜0 时，y 随 x 的增大而______，简称______. 向上 y 轴 (0，0) 增大 右升 下降 左降 $