4.2.1 课时2 二次函数 y=ax2（a＜0）的图象和性质课件-2026-2027学年湘教版数学九年级上册

4.2 二次函数的图象与性质 4.2.1 课时2 二次函数 y=ax2（a<0）的图象和性质 我们已经会画 的图象，能不能利用轴对称的知识将它变换为二次函数 的图象呢？ (1) 在 的图象上任取一点 P（ ）,它关于x轴的对称点 Q 的坐标是（ ）； (2)点 Q 的坐标是否在 图象上？ 在 (3)由此可知， 的图象与 的图象关于 对称. x轴 探究：如何得到二次函数 的图象，思考并回答下列问题. 只要把 的图象沿着x轴翻折过去，就得到 了 的图象. 思考1：函数 的图象具有哪些性质？ (1)二次函数 的图象是一条_____， 它的_________; (2)图象的对称轴是______; (3)对称轴与图象的交点是___________； 曲线 开口向下 y 轴 原点（0, 0） 思考1：函数 的图象具有哪些性质？ (4)图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而_______； 图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而_______； (5)当 x ＝ 0 时，函数值最大，最大值为___ . 增大 0 减小 函数图象“左升右降” 思考2：当 a ＜ 0 时， y ＝ ax2 的图象是不是都具有上述性质呢？ a取几个不同的值，按“列表、描点、连线” 三个步骤画图试一试. y = ax2(a＜0) 图象的性质： 1.图象开口向下. 2.对称轴是 y 轴，顶点是坐标原点，函数有最高点. 3.当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小，简称右降； 当 x＜0 时，y 随 x 的增大而增大，简称左升. 例2 画出二次函数的图象． 解：列表： 自变量 x 从原点的横坐标 0 开始取值. x 0 1 2 3 4 … 0 　 1 　 4 …　 描点和连线：画出图象在 y 轴右边的部分． 利用对称性，画出图象在 y 轴左边的部分. 这样就得到了的图象,如图. x 0 1 2 3 4 … 0 　 1 　 4 …　 运动场上抛出的篮球，水池里喷水出的水等，这类抛体运动的轨迹都是一条曲线. 思考：观察的图象跟实际生活中的什么场景相像？与同学交流一下. 数学上把形如二次函数 y ＝ ax2 的图象这样的曲线叫作抛物线 ，简称为抛物线 y ＝ ax2． 一般地， 二次函数 y ＝ ax2的图象关于 y 轴对称， 抛物线与它的对称轴的交点 （0，0）叫作抛物线 y ＝ ax2 的顶点. y = ax2(a＜0) 图象的性质： 1.函数 y = x2 的图象是一条曲线，开口______，关于_____轴对称. 向下 2.对称轴与图象的交点是___________. y 原点（0,0） 3.当 x = 0 时，函数值最大，最大值为______. 0 4.当 x＞0 时，y 随 x 的增大而_____，简称右降； 当 x＜0 时，y 随 x 的增大而_____，简称左升. 减小 增大 D 1. 下列关于抛物线 y＝－x2 的说法,错误的是（ ） A．关于 y 轴对称 B．与抛物线 y＝x2 关于原点对称 C．画抛物线 y＝－x2 时,只要先画出 y 轴右边的部分,然后利用 对称性,再画出图象在y 轴左边的部分即可 D．抛物线有一个最低点,其坐标为（0,0） 随堂小练 2. 抛物线 y ＝2x2, y ＝－2x2, y ＝ x2 的共同特征是（ ）A．开口都向上,且都关于 y 轴对称 B．开口都向下,且都关于 x 轴对称 C．顶点都是原点,且都关于 y 轴对称 D．顶点都是原点,且都关于 x 轴对称 C 3. 若二次函数 y ＝ ax2 (a ≠ 0)的图象过点 P (2,－8), 则函数的表达式为___________,抛物线有最____点,当 x______时, y 随 x 的增大而增大． y＝－2x2　 高 ＜0 4.画出二次函数 y ＝－3x2 与 y ＝－6x2 的图象,并从开口方向、对称轴、顶点坐标、最值以及开口大小这几个方面比较它们的共同点与不同点． y＝－3x2 y＝－6x2 解: 画图如图所示． 二次函数 y＝－3x2 与 y＝－6x2 的图象的相同点：开口都向下,对称轴都是 y 轴,顶点坐标都是(0,0), 都有最大值 0； 不同点：开口大小不同． $