4.2.2.2 二次函数 y=a(x-h)²+k 的图象与性质（课件）2026-2027学年湘教版九年级数学上册

二次函数 y = a(x－h)² + k 的图象与性质 湘教·九年级上册 抛物线 对称轴 顶点坐标 开口方向 性质 在对称轴的左边 在对称轴的右边 x = h (h，0) 向上 y 随 x 的增大而减小 y 随 x 的增大而增大 x = h (h，0) 向下 y 随 x 的增大而增大 y 随 x 的增大而减小 复习回顾 如何由 y = a(x－h)2 (a ≠ 0) 的图象平移得到 y = a(x－ h)2 +k的图象？ （a ＞ 0） （a ＜ 0） 探究新知 如何画二次函数 的图象 ？ 先来探究二次函数 与 之间的关系. 二次函数 图象上的点 横坐标 x 纵坐标 y d d 从上表看出： 对于 x 的每一个给定的值， 函数 的值都要比函数 的值大 3. 向上平移 3 个单位 图4.2-8 图4.2-8 因此二次函数 的图象也是抛物线. 对称轴____________ 顶点坐标____________ 开口向____________ x = 1 (1，3) 上 一般地，二次函数　　　　　　 的图象是抛物线，它具有下述性质： 抛物线 对称轴 顶点坐标 开口方向 性质 在对称轴的 左边 在对称轴的 右边 a > 0 直线 x = h (h， k) 向上 y 随 x 的增大而减小 y 随 x 的增大而增大 a < 0 向下 y 随 x 的增大而增大 y 随 x 的增大而减小 针对训练 1. 二次函数 y = a(x + 2)2－1(a > 0) 的图象大致为 ( ) A B C D D 2. 对于二次函数 正确的有 ( ) ① 图象的开口向下； ② 图象的对称轴为直线 x = 2； ③ 图象的顶点为 (2，6)； ④ 当 x > 2时，y 随 x 的增大而减小； A. 1 个 B . 2个 C . 3个 D . 4个 D 3. 对于二次函数 y＝－(x－1)2 ＋ 2 的图象与性质， 下列说法正确的是（ ） B A. 对称轴是直线 x ＝ 1，最小值是 2 B. 对称轴是直线 x ＝ 1，最大值是 2 C. 对称轴是直线 x ＝－1，最小值是 2 D. 对称轴是直线 x ＝－1，最大值是 2 知识点睛 由二次函数 y＝a(x－h)2＋ k 推断它的图象和性质： ① 由 a 的正负性判断抛物线的开口方向、开口大小； ② 由 h 的值确定抛物线的对称轴为直线 x = h 和顶点的横坐标； ③ 由 k 的值确定顶点的纵坐标ꎬ从而得到抛物线的顶点坐标 (h，k)； ④ 由 a 的正负性和 k 的值共同确定函数的最值； ⑤ 由 a 的正负性和 h 的值共同判断函数的增减性. 知识点睛 由二次函数 y＝a(x－h)2＋ k 推断它的图象和性质： 如何画 y = a(x－h)2 + k 的图象？ 第一步，写出对称轴和顶点坐标， 并且在平面直角坐标系内画出对称轴，描出顶点； 第二步 列表(自变量 x 从顶点的横坐标开始取值) ， 描点和连线， 画出图象在对称轴右边的部分； 第三步 利用对称性， 画出图象在对称轴左边的部分(只要先把对称轴左边的对称点描出来，然后用一条光滑曲线顺次连接它们和顶点即可)． 想一想 解 对称轴是直线 x = -1，顶点坐标是 (－1，－3). 列表：自变量 x 从顶点的横坐标 －1 开始取值. x -1 0 1 2 3 ··· -3 -2.5 -1 1.5 5 ··· 例4 画二次函数 的图象． x y 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –1 –2 –3 –4 O 描点和连线： ① 画出图象在对称轴右边的部分． ② 利用对称性， 画出图象在对称轴左边的部分． 图4.2-9 练习 1. 写出下列二次函数图象的对称轴、顶点坐标和开口方向： (1) 对称轴 x = 9，顶点坐标 (9，7)，开口向上. (2) 对称轴 x = －18，顶点坐标 (－18，－13)， 开口向下. (1) ；(2) . 【选自教材P146 练习 第1题】 2. 画出二次函数 y ＝ －2( x － 2 )2 + 3 的图象. y ＝ －2( x － 2 )2 + 3 【选自教材P146 练习 第2题】 3. 将抛物线 y ＝ 2x2 向右平移 3 个单位，再向下平移 5 个单位，得到的抛物线的表达式为（ ） A. y ＝ 2(x－3)2－5 B. y ＝ 2(x＋3)2＋5 C. y ＝ 2(x－3)2＋5 D. y ＝ 2(x＋3)2－5 A 4. 已知二次函数图象的顶点坐标为 (－2，－3)， 且图象经过点 (－3，－2)． (1) 求此二次函数的表达式； (2) 画出这个函数的图象； (3) x 取什么值时，函数值 y 随 x 的增大而减小？ (1) y = (x + 2)2 －3 (2) 画图如图所示 (3) 当 x < －2 时，y 随 x 的增大而减小. 二次函数 y = a(x－h)2 + k 的图象与性质 课堂小结 抛物线 对称轴 顶点坐标 开口方向 性质 在对称轴的 左边 在对称轴的 右边 a > 0 直线 x = h (h， k) 向上 y 随 x 的增大而减小 y 随 x 的增大而增大 a < 0 向下 y 随 x 的增大而增大 y 随 x 的增大而减小 $