4.1 二次函数（课件）2026-2027学年湘教版九年级数学上册

二次函数 湘教·九年级上册 新课导入 观察图片，生活中物体运动的轨迹并不总是直线，它们在空中运行的轨迹就是一条曲线. 已知一矩形的长为200cm，宽为150cm，从中挖去一个圆 (如图4.1-1)，设挖去的圆的半径为 x cm，剩余部分的面积为 S cm2，如何写出 S 与 x 之间的关系式？ 图4.1-1 200cm 150cm x cm 思考 新知探究 由于圆的半径为 x ，于是挖去的圆面积为 πx2， 则剩余部分的面积 S 与圆的半径 x 之间有如下关系： 即 S = －πx2 + 30 000，0 < x ≤ 75. ① S = 200×150－πx2，0 < x ≤ 75， ① 式表示剩余部分的面积 S 与圆的半径 x 之间的关系，而且对于 x 的每一个取值，S 都有唯一确定的值与它对应，即 S 是 x 的函数. 200cm 150cm x cm 做一做 某型号笔记本电脑两年前的售价为 6 000 元，经过两次降价，现在的售价为 y 元，若每年的平均降价率为 x，写出 y 与 x 之间的关系式. 笔记本电脑每次降价后的售价都是降价前的(1－x)倍，于是 第二次降价后的售价 = 原售价×(1－x)2， 由此，我们可以得到两次降价后的售价 y 与年均降价率 x 之间有如下关系: y = 6000×(1－x)2，0 < x < 1， y = 6000×(1－x)2，0 < x < 1 即 y = 6000x2－12 000x + 6 000 ，0 < x < 1 ② ② 式表示两年后的售价 y 与年均降价率 x 之间的关系，而且对于 x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与它对应，即 y 是 x 的函数. 议一议 S = －πx2 + 30 000，0 < x ≤ 75. ① y = 6000x2－12 000x + 6 000 ，0 < x < 1 ② ①式与②式有什么共同点？它们与一次函数的表达式有什么不同？ 函数 ①② 的表达式都是关于自变量 x 的二次多项式，我们把形如 y = ax² + bx + c (a，b，c是常数，a≠0) 的函数称为二次函数. 其中 x 是自变量，a，b，c 分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项，并且称 y = ax² + bx + c (a ≠ 0)为二次函数的一般形式. y = ax² + bx + c (a，b，c是常数，a≠0) 注意：①二次函数中二次项系数不能为 0. ②在指出二次函数中各项系数时，不要漏掉符号. 说一说 当常数a，b，c满足什么条件时，函数y = ax2+bx+c为一次函数？为正比例函数？ 当a = 0，b ≠ 0时，为一次函数； 当a = c = 0，b ≠ 0时，为正比例函数； 二次函数的自变量的取值范围是所有实数，但在实际问题中，自变量的取值范围会有一些限制．例如，前述年均降价率 x 满足0 < x < 1. 1. 二次函数必须同时满足的三个条件： (1) 含自变量的代数式是整式； (2) 化简整理后自变量的最高次数是2； (3) 二次项系数不为0. 2. 二次函数的特殊形式： 只含二次项，即 y = ax2 ( a≠0，b = c = 0) 不含常数项，即 y = ax2 + bx ( a≠0，b ≠0， c ≠ 0) 不含一次项，即 y = ax2 + c ( a≠0，b = 0， c ≠ 0) 随堂诊断 1. 下列函数一定是二次函数的是 ( ) B. y = ax2 + x + c C. y = 8x2 D. y = x2－(x+1)2 C 2. 指出下列函数中哪些是二次函数. （1） （2） （3） （4） （5） √ √ 判定一个函数是否为二次函数的思路: 1. 将函数化为一般形式. 2. 自变量的最高次数是 2 次. 3. 若二次项系数中有字母，二次项系数不能为 0. 3. 写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项. (1) y = 2x2－(x+1)2； (2) y = －(－2x－1)2+1. 解：(1) 化为一般式为 y = x2－2x－1，所以二次项系数为1，一次项系数为－2，常数项为－1. (2) 化为一般式为 y = －4x2 + 4x，所以二次项系数为－4，一次项系数为4，常数项为0. 例 学校准备在校园里利用围墙的一段和篱笆围成 一个矩形植物园，如图 4.1-2 所示，已知篱笆的总长度为100m，设与围墙垂直的一边篙笆的长度为 x m，矩形植物园的面积为 S m²，求 S 与 x 之间的函数表达式. 解 由于与围墙垂直的一边篙笆的长度为x m，因此，与围墙平行的一边篙笆的长度为(100－2x)m.于是面积 S 与 x 之间有如下函数关系： S = x (100－2x)，0 < x < 50， 即 S = －2x2 +100x，0 < x < 50. 图4.1-2 列二次函数解析式的一般步骤 一审 二找 三列 审题，弄清题意，找出已知量和未知量，分析它们之间的关系，把问题中的文字语言或图形语言转化为数学语言. 找到两个未知量之间的关系，用等式表示出来. 结合已给或设出的未知量的字母，根据等量关系列出函数解析式，注意自变量的取值范围. 4. 如图，在一幅长 50 cm，宽 30 cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边， 制成一幅矩形挂画，设整个挂画的总面积为 y cm2，金色纸边的宽为 x cm，则 y 与 x 之间的函数表达式是_______________________． y ＝ 4x2＋160x ＋ 1 500　 随堂诊断 1. 写出下列函数的表达式，并指出哪些是二次函数，哪些是一次函数. 练习 (1) 正方形的面积 S 关于它的边长 x 的函数； (2) 圆的周长 C 关于它的半径 r 的函数； (3) 圆的面积 S 关于它的半径 r 的函数； 解：(1) S = x2；(2) C = 2πr；(3) S=πr2. (1)(3)是二次函数，(2)是一次函数. 2. 已知一个等腰直角三角形的斜边为 x，设它的面 积为 y，求面积 y 与斜边 x 之间的函数表达式. 解 由于等腰直角三角形斜边为x ，根据勾股定理得两直角边的边长为 ，于是面积 y 与 x 之间有如下函数关系： 3. 药店决定对某药物价格分两次降价,若设平均每次降价的百分率为 x, 该药品的原价为 36 元, 降价后的价格 为 y 元, 则 y 与 x 之间的函数表达式为（ ） A．y＝72(1－x) B．y＝ 36(1－2x) C．y＝36(1－x2) D．y＝ 36(1－x)2 D 4. 已知 是关于 x 的二次函数，求出它的解析式. 解：根据二次函数的定义可得 解得 m = 3 或 m = －1. 当 m = 3 时，y = 6x2 + 9；当 m = -1时，y = 2x2－4x+1. 综上所述，该二次函数的解析式为： y = 6x2+9 或 y = 2x2－4x +1. 课堂小结 一般地，形如 y = ax² + bx + c ( a，b，c 是常数，a ≠ 0 )的函数叫作二次函数. 判定一个函数是否为二次函数的思路: 1. 将函数化为一般形式 y = ax2 + bx + c. 2. 自变量的最高次数是 2 次. 3. 若二次项系数中有字母， 二次项系数不能为 0. $