精品解析：陕西咸阳市实验中学2026-2027学年高二上学期第一次质量检测数学试卷

咸阳市实验中学2026—2027学年度第一学期第一次质量检测 高二数学 注意事项： 1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收． 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 直线：在轴上的截距为（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 已知向量是直线的方向向量，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 若向量，，且，则的值是（ ） A. B. 5 C. 3 D. 4. 若向量是空间中的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得：，我们把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标.设向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线：和直线：，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 若点在以，，为顶点的的内部运动（包含边界），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知，均为正方形，二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）． A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 给出下列命题，其中正确的是（ ） A. ，，若与垂直，则 B. 点关于平面的对称点是，则点的坐标是 C. 已知向量，，则在上的投影向量为 D. 若对空间中任意一点，有，则、、、四点共面 10. 已知棱长为的正四面体中，、分别为，中点，为的重心，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与夹角的余弦值是 B. 二面角的余弦值是 C. 正四面体的外接球表面积为 D. 11. 已知正方体的棱长为1， ，其中，点E为线段的中点，则下列选项正确的是（ ） A. 时， B. 时，三棱锥的体积为定值 C. 时，直线与面的交点轨迹长度为 D. 当点P落在以为球心，为半径的球面上时，的最小值为1 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 两平行直线，的距离为_______. 13. 已知，，直线和垂直，则的最小值为______． 14. 四边形和四边形均为正方形，，，动点、分别在和上，，则的最小值为________． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知直线的倾斜角为，，且这条直线经过点. （1）求直线的方程； （2）直线恒过定点，求点到直线的距离. 16. 如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，且，．，，． （1）用，，，表示和； （2）求直线和夹角的余弦值． 17. 已知直线，设直线与的交点为，点的坐标为． （1）求经过点且满足横截距是纵截距2倍的直线方程； （2）求点关于对称点的坐标． 18. 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，，，，分别是线段，，，的中点，在平面内的射影为． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求二面角的余弦值． 19. 如图，在四棱锥中，底面是边长为6的正方形，平面平面，平面平面，点E是棱的中点，点F是棱上的一点（不包含端点）． （1）求证：平面； （2）若，且平面与平面的夹角的余弦值为． （ⅰ）求三棱锥的体积； （ⅱ）记平面交于点G，点H在平面上，求与平面所成角的正弦值的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 咸阳市实验中学2026—2027学年度第一学期第一次质量检测 高二数学 注意事项： 1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收． 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 直线：在轴上的截距为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合截距的概念运算即可得解. 【详解】令，代入，得， 故选：B 2. 已知向量是直线的方向向量，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由直线方向向量与直线斜率以及倾斜角的关系即可求解. 【详解】已知向量是直线的方向向量，则直线的斜率为，故直线的倾斜角为. 故选：A. 3. 若向量，，且，则的值是（ ） A. B. 5 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件结合空间向量共线定理可得，列方程求，由此可得结论. 【详解】因为，所以存在实数，使得， 又，， 所以，，， 解得，，， 因此. 4. 若向量是空间中的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得：，我们把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标.设向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】待定系数法设，结合所给定义及其在基底下的斜坐标计算即可得. 【详解】设， 又， ，解得， 即. 所以向量在基底下的斜坐标为. 故选：D. 5. 如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】建立如图空间直角坐标系， 则， ，. 故点到直线的距离. 6. 已知直线：和直线：，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线平行求得或，再结合包含关系分析充分、必要条件. 【详解】若，则，解得或， 若，则直线：、直线：，可知； 若，则直线：、直线：，可知； 综上所述：或. 因为是的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 7. 若点在以，，为顶点的的内部运动（包含边界），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】的几何意义是点与点之间的斜率，在平面直角坐标系中画出草图，观察可知，点与点重合时，斜率，点与点重合时，斜率，所以的取值范围是. 8. 如图，已知，均为正方形，二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解法一：根据题目条件可知，即为二面角的平面角，将异面直线与所成角的余弦值转化成直线方向向量夹角余弦值的绝对值，结合空间向量线性运算及数量积运算即可求解．解法二：通过补形建立空间直角坐标系，用坐标运算求解. 【详解】解法一：根据题意可知，即为二面角的平面角，所以， 设正方形与边长均为1，异面直线与所成的角为. 因为，，，， 所以， 所以，即. 解法二：不妨假设正方形与的边长均为2， 如图，补形成直三棱柱，以中点为原点，建立空间直角坐标系， 则有，，，，由此可得，. 设异面直线与所成的角为，则. 故选：A. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 给出下列命题，其中正确的是（ ） A. ，，若与垂直，则 B. 点关于平面的对称点是，则点的坐标是 C. 已知向量，，则在上的投影向量为 D. 若对空间中任意一点，有，则、、、四点共面 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A项，与垂直，则，即，解得，故A正确； 对于B项，空间点关于平面对称：x坐标变号，y，z不变，点关于平面的对称点是，故B错误； 对于C项，，，在上的投影向量为，故C正确； 对于D项，空间四点共面判定：若，且，则、、、四点共面，因为则，所以、、、四点共面，故D正确. 10. 已知棱长为的正四面体中，、分别为，中点，为的重心，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与夹角的余弦值是 B. 二面角的余弦值是 C. 正四面体的外接球表面积为 D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】 对于A，取，，为基底； 由正四面体的棱长为1，得，任意两个基底的夹角为， 则； 、分别为，中点，，； ，即； ，即. . 设直线与夹角为，则，故A正确； 对于B，由正四面体的棱长为，得和为等边三角形，边长为； 、分别为，中点，，，； 平面平面，为二面角的平面角. 在中，，，得，故B正确； 对于C，由正四面体，为的重心，得平面. ，为的中点，，. . 正四面体外接球球心在高上，设外接球的球心为，连接，则外接球的半径. 在中，，即，解得. 正四面体外接球的表面积，故C错误； 对于D，为的重心，为的中点， ，故D正确. 11. 已知正方体的棱长为1， ，其中，点E为线段的中点，则下列选项正确的是（ ） A. 时， B. 时，三棱锥的体积为定值 C. 时，直线与面的交点轨迹长度为 D. 当点P落在以为球心，为半径的球面上时，的最小值为1 【答案】ABC 【解析】 【分析】如图，建立以A原点的空间直角坐标系. A选项，验证时，是否等于0即可判断选项正误； B选项，时，通过向量法判断AP是否与平面平行即可判断选项正误； C选项，时，可得点P在线段BD上，连接，分别交，于， 则为交点轨迹； D选项，由题可得，后通过三角换元可得的最小值. 【详解】如图，建立以A原点的空间直角坐标系.则.A选项，因，，则， 又，则. 又，则，即，故A正确. B选项，，，设平面法向量为， 则，取，又时，， 则，即AP平行于平面，得点P到平面距离为定值， 故为定值.故B正确； C选项，因，则，即点P在线段BD上.连接，分别交，于，， 故，即为交点轨迹.又，， 则.故C正确； D选项，因，，点P落在以为球心，为半径的球面上， 则， 令， 因，则. 则， 当且仅当时取等号，则的最小值为，故D错误. 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：本题涉及立体几何中的动点问题，难度较大. AB选项，动点问题常可用坐标法解决，故本题建立了空间直角坐标系，从空间向量角度说明了线线垂直与线面垂直； C选项，线面平行的性质可以用来做两平面交线，后由相似及成比例线段相关知识可求出交线长度； D选项，两变量平方和为定值，常可用三角变换解决相关问题. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 两平行直线，的距离为_______. 【答案】 【解析】 【分析】结合两平行直线间的距离公式即可直接求出结果. 【详解】因为，所以， 又因为，所以 故答案为：. 13. 已知，，直线和垂直，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用两条直线垂直的充要条件求出的关系，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由直线和垂直，得， 即，而，则 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 14. 四边形和四边形均为正方形，，，动点、分别在和上，，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】四边形和四边形均为正方形，，得，；求出的表达式，根据模长公式计算即可. 【详解】四边形和四边形均为正方形，. ，设，则. . ， . . ，，当时，取得最小值，即. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知直线的倾斜角为，，且这条直线经过点. （1）求直线的方程； （2）直线恒过定点，求点到直线的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出直线斜率，由点斜式求出直线方程； （2）直线变形后求出定点坐标，进而由点到直线距离公式求出答案. 【小问1详解】 由题可得，，则，， ∴直线的斜率，且直线过点， ∴由直线的点斜式方程得， 即； 【小问2详解】 ∵直线化简得：， 令，解得，∴定点， 则点到直线的距离， ∴到直线的距离为. 16. 如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，且，．，，． （1）用，，，表示和； （2）求直线和夹角的余弦值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【小问1详解】 由题可知，在平行六面体中， ， ． 【小问2详解】 由题意，， ， ， ， ， 所以， 所以直线和夹角的余弦值为. 17. 已知直线，设直线与的交点为，点的坐标为． （1）求经过点且满足横截距是纵截距2倍的直线方程； （2）求点关于对称点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出交点，再根据已知条件，分截距为0和不为0两种情况讨论求解； （2）利用对称的性质列方程组求解． 【小问1详解】 直线与的交点为，设点， 则，解得，， 直线经过点，记横截距，纵截距，则， 若时，直线过原点，直线方程，一般方程为； 若时，设直线方程为，则，解得， 直线方程，一般方程为； 综上，直线方程为或． 【小问2详解】 设点关于对称点， 则的中点位于直线上，且所在直线垂直于直线， ，解得， ． 18. 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，，，，分别是线段，，，的中点，在平面内的射影为． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明：连接，， 由题意知，分别是线段，的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， ，分别为，的中点，所以， 又因为平面，平面． 所以平面， 又因为，所以平面平面， 所以平面 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用面面平行的判定定理得到平面平面，再利用面面平行的性质即可得到平面； （2）以为坐标原点，，，正方向为，，轴正方向，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式求解即可； （3）求出平面的法向量，利用空间向量求出二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知：平面，； 则以为坐标原点，，，正方向为，，轴正方向，建立如图空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 设平面的法向量， 则，令，解得：，，， 点到平面的距离； 【小问3详解】 由（2）知：平面的一个法向量； ，， 设平面的法向量， ，令，得，， 平面的一个法向量是 设二面角为，由图知为锐角 故 19. 如图，在四棱锥中，底面是边长为6的正方形，平面平面，平面平面，点E是棱的中点，点F是棱上的一点（不包含端点）． （1）求证：平面； （2）若，且平面与平面的夹角的余弦值为． （ⅰ）求三棱锥的体积； （ⅱ）记平面交于点G，点H在平面上，求与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】（1）证明：因为底面是边长为6的正方形，所以，， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又因为平面，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又因为平面，所以， 又因为，，平面，所以平面． （2）（ⅰ）6（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直可证明线面垂直，从而可证明线面垂直； （2）（ⅰ）利用空间向量法来求两平面夹角的余弦值，再计算空间体积即可； （ⅱ）利用空间向量法来求线面角的正弦值，再通过二次函数值域即可求线面角正弦值的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）知平面，又，平面，所以，，又， 则以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系， 可得：，，，，， 所以，，， 设， 则． 设平面的法向量为，则 即， 取，解得，，则， 因为平面，所以是平面的一个法向量． 因为平面与平面的夹角的余弦值为， 所以， 解得或（舍），所以， 所以三棱锥的体积 ． （ⅱ）设，则， 由（i）可知为平面的一个法向量，所以， 所以，解得， 所以， 因为在平面上，所以， 所以． 设平面的法向量，则 即， 取得，，则， 设与平面所成角为， 则． 因为，所以， 即与平面所成角的正弦值的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $