第3章勾股定理（单元自测卷）数学新教材鲁教版七年级上册

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第三章勾股定理（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 6 > b 10 B C C C B A B A C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.40 2 36 13.15 14.150 15.(21,220,221) 16.34 三、解答题（共8小题，共72分） 17.(6分) (1)解己知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,由勾股定理得 a2+b2=c2 .a=5,b=12, ∴.c2=169,c=13；(3分) (2)解：在Rt△ABC中，a=15,c=25, .b2=169,b=13.(6分) 18.(6分)解：如图，点E即为所求. 0 (6分) E 19.(8分)解：圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动最短路线是： 1/6 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AC→CD→DB: B 5 D---------- 5 5 3 4 即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，A沿着3个长方形的对角线运动到B的 路线最短；（2分) 2 :圆柱底面半径为元cm :长方形的宽即是圆挂体的底面周长：2π×名4m,4分) π 又，圆柱高为9cm, ∴.小长方形的一条边长是3cm;6分) 根据勾股定理求得4C=CD=DB=V32+平=5(cm), AC+CD+DB=15(cm .(7分) 答：这根棉线的最短长度是15cm.(8分) 20.(8分)解：：一辆装满货物，宽为2.4米的卡车， ∴，欲通过隧道，只要距隧道中线12米处的高度大于车高，(3分) 在Rta0CD中，由勾股定理可得CD=V0C2-0D=V2-12=1.6(米)，(6分) .CH=CD+DH=1.6+2.5=4.1(米)，(7分) .卡车的外形高必须低于4.1米.(8分) 21.(10分)(1)解：：AC⊥BC,AC=8m,BC=6m, 六在R△ABC中，4B=VAC+BC=V8+6=10(m）,(3分) 2/6 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 答：钢丝绳的长度AB为10m.(4分) (2)解：，BD=9m,BC=6m, :.CD=BD+BC=15m,(6分) .AC⊥BC,AC=8m, 六在a4ACD中，D=VAC+CD=⑧+S=17(m),8分) 钢丝绳增加的长度为 D-AB=17-10=7(m),(9分》 答：钢丝绳增加的长度为7m.(10分) 22.(10分)(1)解：PD=PA, .∠A=∠PDA,(1分) EF垂直平分BD, ∴DE=BE, .∠EDB=∠B,(2分) ∠C=90°， ∠A+∠B=90°， .∠PDA+∠EDB=90°，(3分) ∴.∠PDE=180°-（∠PDA+∠EDB)-90° (4分) (2)解：连接PE, 设PA=x,则PD=x,PC=6-x, BC=8,BE=4.5 CE=8-4.5=3.5,DE=4.5,(5分) :∠C=90°， ∴PC2+CE2=PE2 :∠PDE=90°， :.PD2+DE2=PE2, .PC2+CE2 PD2+DE2 ,(7分) 3/6 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴(6-x)2+3.52=x2+4.52 7 解得x=。 3, 7 PA=3:(10分) D B 23.(12分)解：，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形， .∠ECD=∠ACB=90°. .∠1+∠ACD=90°，∠2+∠ACD=90°. CD=CE ∠1=∠2 CB=CA' .△ACE≌aBCD(SAS),(3分) .AE=BD;(4分) E D (2)解：由(1)得△ACE≌aBCD, .∠CAE=LB=45°，AE=BD, .∠EAD=∠DAC+∠CAE=45°+45°=90°， :AE2+AD2=BD2+AD2=DE2,( 又BD=1,AD=3, 4/6 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .DE2=12+32=10;(8分) (3)解：连接E,F,如图所示： A D B :∠DCF=45°，∠ECD=90°. .∠ECF=∠ECD-∠DCF=45°， .∠DCF=∠ECF, CD=CE ∠DCF=∠ECF CF=CF △CEF≌aCDF(SAS) .DF=EF,(10分) 由(1)得BD=AE, 由(2)得∠EAF=90, ∴.在RtAAEF中，AE2+AF2=EF2, 即BD2+AF2=FD2.(12分) 24.(12分)(1)解：：∠ACB=90°，AC=3cm,BC=4cm, AB-VAC+BCi-5cm,( :Sc=4CBC=号ABCD 2 2 CD-4CBC_3x4_12 AB=5=5cm:(4分) 5/6 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2解：梯形BCD的面积为a+ba+b)0+b+, 1 1 1 也可以表示为)ab+二ab+，c2,(6分) 2 +ab+3b-1ab+1ab+c 1 .2 2 2 2 29 即a2+b2=c2;(8分) (3)解：设直角三角形的较长直角边为x,较短直角边为y,斜边为C, 由题意及图形可知，OC为较短直角边，即y=6, 因为外轮廓周长为48，且由4个全等的部分组成，每部分为斜边与较长直角边减6之和，所以 4(c+x-6)=48 (9分) 解得c+x=l8,即C=18-x, 在R1aAOB ，由勾股定理得： x2+y2=c2 代入数据得， x2+62=(18-x)2 解得x=8(10分) 1 所以该图案的面积为：4×)×6×8=96(11分) 2 答：该”勾股风车"图案的面积为96.(12分) 6/6………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第三章 勾股定理 建议用时：120分钟，满分：120分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2.在中， ，则（　　） A． B． C． D． 3.在中，分别表示的对边，则下列各式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 4.一直角三角形的斜边长比其中一直角边长3，另一直角边长为9，则斜边长为（    ） A．10 B．12 C．15 D．18 5.如图是边长为1的正方形网格，已知的三个顶点均在正方形格点上，则边上的高是（     ） A．2.5 B．3.5 C．5 D．4 6.《醉翁亭记》中写道：…射者中…，其中射指投壶，宴饮时的一种游戏，如图示，现有一圆柱形投壶内部底面直径是，内壁高，若箭长，设箭在投壶外面部分长度为，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7.如图，在直线m上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是3，6，9，正放置的四个正方形的面积依次是，，，，则＝（    ） A．6 B．6.5 C．7 D．8 8.如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如①图所示，人只要移至该门铃5m及5m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如②图所示，一个身高1.5m的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则BD的长为（　　） A．3米 B．4米 C．5米 D．7米 第8题图 第9题图 第10题图 9.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，，将折叠，使点B与点A重合，折痕为，则长为（    ） A． B． C． D． 10.如图，在等腰三角形中，，，是高上任意一点，是腰上任意一点．如果，，那么线段的最小值是（    ） A．2.4 B．4 C．4.8 D．3 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.已知一直角三角形的两直角边的长分别是和，则这个三角形的周长为_______． 12.在中，，则点C到的距离是_________． 13.某次机器人创意大赛，如图是一参赛队员设计的机器人比赛时行走的路径， 机器人从点处先往西走，又往北走，遇到障碍后又往东走，再转向 北走后往西拐．走了就到达点，则、两点之间的距离为_____． 14.教学楼的南偏东方向，距离教学楼P，90米有食堂A，它沿北偏东方向走120米到达操场B，此时操场B与教学楼P的距离为_______米． 15.如果把看作a，b，c的方程，那么满足该方程的正整数解a，b，c通常叫做勾股数组，毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式构造出如下勾股数组：，，，…．分析上面勾股数组可以发现，，，，…，分析其中规律，第10个勾股数组为________． 16.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点O．若，则__________． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）在中，，，，的对边分别为a，b，c． (1)若，，求c； (2)若，，求b． 18.（6分）如图，在矩形中，，．请用尺规作图法在边上求作点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 19．（8分）如图，圆柱底面半径为，高为，点A，B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A，B在同一条竖直直线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，求这根棉线的最短长度． 20.（8分）一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图所示的隧道，则卡车的外形高必须低于多少米? 21.（10分）为了防止电线杆倾斜、倒伏，一般会用钢丝绳将其固定．如图，钢丝绳一端固定在电线杆的点处，另一端固定在地面上的点处，电线杆垂直于地面．已知，（钢丝绳不可拉伸，始终处于紧绷状态）． (1)求钢丝绳的长度． (2)为了提升安全性能，有关部门将钢丝绳与地面的固定点由点调整为点（点在的延长线上），点的位置不变．若，两点的距离为，求钢丝绳增加的长度． 22.（10分）如图，在中，，点P在边上运动，点D在边上，始终保持与相等，的垂直平分线，交于点E，交于点F，连接． (1)求的度数． (2)若，，，求线段的长． 23.（12分）如图1，直角三角形和直角三角形的直角顶点重合，点在斜边上，，，连接AE． (1) 求证：． (2) 若，求DE2的长． (3) 如图2，点也在边上，且在点A，D之间，若，求证：． 24．（12分）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． (1)如图②，直角中，，，，则斜边上的高的长为______； (2)图③为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图③推导勾股定理． (3)如图④，将四个全等的直角三角形紧密地拼接，形成“勾股风车”，已知外轮廓（粗线）的周长为48，，求该“勾股风车”图案的面积． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第三章 勾股定理 建议用时：120分钟，满分：120分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】勾股数是指满足勾股定理的三个正整数，逐项判断即可． 【详解】解：对于选项A：，，都不是正整数，不符合题意，故A错误； 对于选项B：，符合题意，故B正确； 对于选项C：不是正整数，不符合题意，故C错误； 对于选项D：，不符合题意，故D错误． 2.在中， ，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理，在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和，即可求解． 【详解】解：在中，，， ． 3.在中，分别表示的对边，则下列各式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定直角的对边为斜边，结合勾股定理判断． 【详解】解：∵ 在中，， ∴ 为斜边，，为直角边， ∴ ． 4.一直角三角形的斜边长比其中一直角边长3，另一直角边长为9，则斜边长为（    ） A．10 B．12 C．15 D．18 【答案】C 【详解】解：设斜边长为，则其中一直角边长为． 根据勾股定理可知， 解得：． 5.如图是边长为1的正方形网格，已知的三个顶点均在正方形格点上，则边上的高是（     ） A．2.5 B．3.5 C．5 D．4 【答案】C 【分析】利用网格通过割补法求出的面积，再利用勾股定理求出的长，最后根据三角形面积公式求解． 【详解】解：由题意可知， 由勾股定理得， 设边上的高为， ， ， ． 6.《醉翁亭记》中写道：…射者中…，其中射指投壶，宴饮时的一种游戏，如图示，现有一圆柱形投壶内部底面直径是，内壁高，若箭长，设箭在投壶外面部分长度为，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，分两种情况讨论：当箭竖直放置时直接求解；当箭斜着放置时结合勾股定理求解即可． 【详解】解：当箭竖直放置时，如图所示： 箭在投壶外面部分长度； 当箭斜着放置时，如图所示： 在中，，，则由勾股定理可得， 箭在投壶外面部分长度； 综上所述，的取值范围是． 7.如图，在直线m上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是3，6，9，正放置的四个正方形的面积依次是，，，，则＝（    ） A．6 B．6.5 C．7 D．8 【答案】A 【分析】运用勾股定理可知，每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，据此即可解答． 【详解】解：如图，观察发现， ∵， ∴，， ∴， 在与中，， ∴（AAS）， ∴， ∵， ∴， 即， 同理，， 则， 则． 故选：A． 8.如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如①图所示，人只要移至该门铃5m及5m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如②图所示，一个身高1.5m的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则BD的长为（　　） A．3米 B．4米 C．5米 D．7米 【答案】B 【分析】根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：由题意可知．，， 由勾股定理得， 故离门4米远的地方，灯刚好打开． 故选：B． 9.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，，将折叠，使点B与点A重合，折痕为，则长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据折叠的性质可得，设，在中利用勾股定理列方程求解． 【详解】解：由折叠的性质可知． 设，则， ． 在中，， 由勾股定理得， 即， 解得， ． 10.如图，在等腰三角形中，，，是高上任意一点，是腰上任意一点．如果，，那么线段的最小值是（    ） A．2.4 B．4 C．4.8 D．3 【答案】C 【分析】依据题意，作点关于的对称点，连接EF′．作于H．根据垂线段最短可知，当共线，且与重合时，的值最小，最小值就是线段的长． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，作于点． ，， ，直线是等腰三角形的对称轴， 点在上， ． 根据垂线段最短可知，当点，，共线，且点与点重合时，的值最小，最小值就是线段的长． 在中，． ， ， 的最小值为． 故选：C. 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.已知一直角三角形的两直角边的长分别是和，则这个三角形的周长为_______． 【答案】 【分析】已知直角三角形两条直角边的长，先利用勾股定理求出斜边长，再将三边长相加得到周长． 【详解】解：设这个直角三角形的斜边长为， ∵三角形是直角三角形，两直角边长分别为和， ∴由勾股定理得 ，解得：， ∵边长为正数， ∴， ∴三角形的周长为 ． 12.在中，，则点C到的距离是_________． 【答案】 【分析】设点C到的距离为h，利用勾股定理求出的长，再根据三角形的面积公式得到，据此求解即可． 【详解】解：设点C到的距离为h， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点C到的距离是． 13.某次机器人创意大赛，如图是一参赛队员设计的机器人比赛时行走的路径，机器人从点处先往西走，又往北走，遇到障碍后又往东走，再转向北走后往西拐．走了就到达点，则、两点之间的距离为_____． 【答案】15 【分析】作于点，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图，作于点， 则，， 在中，由勾股定理可得． 14.教学楼的南偏东方向，距离教学楼P，90米有食堂A，它沿北偏东方向走120米到达操场B，此时操场B与教学楼P的距离为_______米． 【答案】150 【分析】如图，过点作交于，利用平行线的性质以及方位角说明，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点作交于， 根据题意得，， 米，米， ， 在中，根据勾股定理得， （米），即此时与教学楼的距离为150米． 15.如果把看作a，b，c的方程，那么满足该方程的正整数解a，b，c通常叫做勾股数组，毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式构造出如下勾股数组：，，，…．分析上面勾股数组可以发现，，，，…，分析其中规律，第10个勾股数组为________． 【答案】 【分析】由勾股数组：，，，…可知，，，，…可得第n个勾股数中间的数为，据此计算即可得出结论． 【详解】解：由，，， … 第n个勾股数组中间的数为， 第10组勾股数组中间的数为，即勾股数组为． 16.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点O．若，则__________． 【答案】34 【分析】在和中，根据勾股定理得，进一步得，再根据，，然后根据等量代换即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 在和中，根据勾股定理得：， ∴， ∵， ∴ ． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）在中，，，，的对边分别为a，b，c． (1)若，，求c； (2)若，，求b． 【分析】利用直角三角形勾股定理，即两条直角边的平方和等于斜边的平方，已知两条边的长度即可求出第三条边的长度． 【详解】（1）解 已知在中，，，，的对边分别为，，，由勾股定理得 ∵，， ∴； （2）解：在中，，， ． 18.（6分）如图，在矩形中，，．请用尺规作图法在边上求作点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【分析】利用矩形性质和勾股定理构造所求点，矩形中为直角，已知，若，由勾股定理可得斜边，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，该点即为所求． 【详解】解：如图，点即为所求。 ． 19．（8分）如图，圆柱底面半径为，高为，点A，B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A，B在同一条竖直直线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，求这根棉线的最短长度． 【分析】要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将圆柱体展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动最短路线是：； 即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，A沿着3个长方形的对角线运动到B的路线最短； ∵圆柱底面半径为 ∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长： ； 又∵圆柱高为， ∴小长方形的一条边长是； 根据勾股定理求得； ∴. 答：这根棉线的最短长度是15cm. 20.（8分）一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图所示的隧道，则卡车的外形高必须低于多少米? 【分析】由题意可得欲通过隧道，只要距隧道中线米处的高度大于车高，再由勾股定理计算得出米，求出的长，从而即可得出结果． 【详解】解：∵一辆装满货物，宽为2.4米的卡车， ∴欲通过隧道，只要距隧道中线米处的高度大于车高， 在中，由勾股定理可得（米）， ∴（米）， ∴卡车的外形高必须低于米． 21.（10分）为了防止电线杆倾斜、倒伏，一般会用钢丝绳将其固定．如图，钢丝绳一端固定在电线杆的点处，另一端固定在地面上的点处，电线杆垂直于地面．已知，（钢丝绳不可拉伸，始终处于紧绷状态）． (1)求钢丝绳的长度． (2)为了提升安全性能，有关部门将钢丝绳与地面的固定点由点调整为点（点在的延长线上），点的位置不变．若，两点的距离为，求钢丝绳增加的长度． 【分析】（1）在中，利用勾股定理求解即可； （2）先求出的长，再在中，利用勾股定理求出的长，由此即可得． 【详解】（1）解：∵，，， ∴在中，， 答：钢丝绳的长度为． （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴在中，， ∴钢丝绳增加的长度为， 答：钢丝绳增加的长度为． 22.（10分）如图，在中，，点P在边上运动，点D在边上，始终保持与相等，的垂直平分线，交于点E，交于点F，连接． (1)求的度数． (2)若，，，求线段的长． 【分析】（1）先根据等腰三角形的性质证明，，再根据直角三角形的两锐角互余求解即可； （2）连接，设，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ； （2）解：连接， 设，则，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 解得， ． 23.（12分）如图1，直角三角形和直角三角形的直角顶点重合，点在斜边上，，，连接AE． (1) 求证：． (2) 若，求DE2的长． (3) 如图2，点也在边上，且在点A，D之间，若，求证：． 【分析】（1）根据和都是等腰直角三角形，可知，则，，结合已有条件可证（），则； （2）由（1）得，则，，由此可推出，进而可得，根据，，结合勾股定理可知； （3）连接，，如图所示：根据，，可得，则，结合条件可证，则，进而可知，由（1）得，由（2）得∠°，由此根据勾股定理可证． 【详解】解：∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴（）， ∴； （2）解：由（1）得， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴； （3）解：连接，，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）得， 由（2）得∠°， ∴在中，， 即． 24．（12分）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． (1)如图②，直角中，，，，则斜边上的高的长为______； (2)图③为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图③推导勾股定理． (3)如图④，将四个全等的直角三角形紧密地拼接，形成“勾股风车”，已知外轮廓（粗线）的周长为48，，求该“勾股风车”图案的面积． 【分析】（1）根据勾股定理求出，利用面积法求出即可； （2）分别用梯形的面积公式和三个直角三角形面积求出梯形的面积，再根据两次求出的面积相等列出关系式，最后化简即可证明； （3）设直角三角形的较长直角边为x，较短直角边为 y，斜边为c，由题意及图形可知，，因为外轮廓周长为48，得，求得，在中，由勾股定理列等式求出x的值，即可解答 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵ ∴； （2）解：梯形的面积为， 也可以表示为， ∴， 即； （3）解：设直角三角形的较长直角边为x，较短直角边为 y，斜边为c， 由题意及图形可知，为较短直角边，即， 因为外轮廓周长为48，且由4个全等的部分组成，每部分为斜边与较长直角边减6之和， 所以， 解得，即， 在中，由勾股定理得：， 代入数据得， 解得 所以该图案的面积为： 答：该"勾股风车"图案的面积为96. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第三章 勾股定理 建议用时：120分钟，满分：120分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2.在中， ，则（　　） A． B． C． D． 3.在中，分别表示的对边，则下列各式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 4.一直角三角形的斜边长比其中一直角边长3，另一直角边长为9，则斜边长为（    ） A．10 B．12 C．15 D．18 5.如图是边长为1的正方形网格，已知的三个顶点均在正方形格点上，则边上的高是（     ） A．2.5 B．3.5 C．5 D．4 6.《醉翁亭记》中写道：…射者中…，其中射指投壶，宴饮时的一种游戏，如图示，现有一圆柱形投壶内部底面直径是，内壁高，若箭长，设箭在投壶外面部分长度为，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7.如图，在直线m上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是3，6，9，正放置的四个正方形的面积依次是，，，，则＝（    ） A．6 B．6.5 C．7 D．8 8.如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如①图所示，人只要移至该门铃5m及5m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如②图所示，一个身高1.5m的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则BD的长为（　　） A．3米 B．4米 C．5米 D．7米 9.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，，将折叠，使点B与点A重合，折痕为，则长为（    ） A． B． C． D． 10.如图，在等腰三角形中，，，是高上任意一点，是腰上任意一点．如果，，那么线段的最小值是（    ） A．2.4 B．4 C．4.8 D．3 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.已知一直角三角形的两直角边的长分别是和，则这个三角形的周长为_______． 12.在中，，则点C到的距离是_________． 13.某次机器人创意大赛，如图是一参赛队员设计的机器人比赛时行走的路径，机器人从点处先往西走，又往北走，遇到障碍后又往东走，再转向北走后往西拐．走了就到达点，则、两点之间的距离为_____． 14.教学楼的南偏东方向，距离教学楼P，90米有食堂A，它沿北偏东方向走120米到达操场B，此时操场B与教学楼P的距离为_______米． 15.如果把看作a，b，c的方程，那么满足该方程的正整数解a，b，c通常叫做勾股数组，毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式构造出如下勾股数组：，，，…．分析上面勾股数组可以发现，，，，…，分析其中规律，第10个勾股数组为________． 16.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点O．若，则__________． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）在中，，，，的对边分别为a，b，c． (1)若，，求c； (2)若，，求b． 18.（6分）如图，在矩形中，，．请用尺规作图法在边上求作点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 19．（8分）如图，圆柱底面半径为，高为，点A，B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A，B在同一条竖直直线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，求这根棉线的最短长度． 20.（8分）一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图所示的隧道，则卡车的外形高必须低于多少米? 21.（10分）为了防止电线杆倾斜、倒伏，一般会用钢丝绳将其固定．如图，钢丝绳一端固定在电线杆的点处，另一端固定在地面上的点处，电线杆垂直于地面．已知，（钢丝绳不可拉伸，始终处于紧绷状态）． (1)求钢丝绳的长度． (2)为了提升安全性能，有关部门将钢丝绳与地面的固定点由点调整为点（点在的延长线上），点的位置不变．若，两点的距离为，求钢丝绳增加的长度． 22.（10分）如图，在中，，点P在边上运动，点D在边上，始终保持与相等，的垂直平分线，交于点E，交于点F，连接． (1)求的度数． (2)若，，，求线段的长． 23.（12分）如图1，直角三角形和直角三角形的直角顶点重合，点在斜边上，，，连接AE． (1) 求证：． (2) 若，求DE2的长． (3) 如图2，点也在边上，且在点A，D之间，若，求证：． 24．（12分）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． (1)如图②，直角中，，，，则斜边上的高的长为______； (2)图③为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图③推导勾股定理． (3)如图④，将四个全等的直角三角形紧密地拼接，形成“勾股风车”，已知外轮廓（粗线）的周长为48，，求该“勾股风车”图案的面积． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $