辽宁朝阳市第一高级中学2026-2027学年上学期高三数学第6周周测数学试题

辽宁省朝阳市第一高级中学2026-2027学年上学期高三数学第6周周二全卷测试题 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1．已知复数，则的虚部是（    ） A． B．1 C． D．i 2．向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 3．已知幂函数为偶函数，且，，，则（　 　） A． B． C． D． 4．若，，，则（   ） A． B． C． D． 5．设为正项等差数列的前项和．若，则的最小值为（    ） A． B．5 C．9 D． 6．已知定义在上的函数满足，且，，为的导函数，则下列说法错误的是（   ） A．3为的一个周期 B．关于点对称 C．是偶函数 D． 7．对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”．若函数的图像恰好有2对“隐对称点”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知平面向量，，，且，，已知向量与所成的角为60°，且对任意实数恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知复数，则（    ） A．的虚部是 B． C． D．在复平面内对应点在位于第四象限 10．已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的有（   ） A． B． C．函数的图象关于直线对称 D．函数的图象可由向右平移个单位长度得到 11．已知函数，，则下列说法正确的是（   ） A．当时，函数在上单调递增 B．当时，若存在，使不等式成立，则实数的最小值为0 C．若函数存在两个极值，则实数的最大值为 D．当时，若，则的最小值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．关于的方程的解集中只含有一个元素，则的可能取值构成的集合为________． 13．设，用表示不超过的最大整数，则的实根个数为__________. 14．已知点，，定义为A，B的“镜像距离”.若点A，B在曲线上，且的最小值为2，则实数a的值为____________ 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若对任意的，且，恒有，求的取值范围. 16．（15分）已知函数（，且），且． (1)求的值； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 17．（15分）已知函数，. (1)若函数的最小正周期为π，求函数在上的值域； (2)若，在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，其中A满足，，求的最小值. 18．（17分）已知在正项数列中，且，其中为数列的前n项和. (1)求证：是等差数列，并求； (2)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围； (3)设，，求数列的前n项和. 19．（17分）已知函数 (1)当时，解不等式：； (2)当时，判断的零点个数并证明. 试卷第2页（共3页） 试卷第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省朝阳市第一高级中学2026-2027学年上学期高三数学第6周周二全卷测试题答案 一、单选题 1．已知复数，则的虚部是（    ） A． B．1 C． D．i 【答案】B 【分析】根据求得，再根据虚部的定义即可得到答案． 【详解】因为，所以，根据复数虚部的定义，其虚部为1． 故选：B． 2．向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助向量平行的坐标表示列方程计算即可得. 【详解】由，故，故. 故选：C. 3．已知幂函数为偶函数，且，，，则（　 　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】为幂函数，所以，即， 因式分解得：，解得：或， 为偶函数，所以，， 因为，所以在单调递增，所以，，即得. 4．若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出，再根据得到，代入，根据三角恒等变换公式即可得出答案. 【详解】因为，所以①， 又，所以②， ①②得，所以， 又因为，所以，即， 把代入得 . 故选：B 5．设为正项等差数列的前项和．若，则的最小值为（    ） A． B．5 C．9 D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用等差数列前项和公式及等差数列性质求得，再利用基本不等式“1”的妙用求解. 【详解】依题意，，则，而， 则， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故选：D 6．已知定义在上的函数满足，且，，为的导函数，则下列说法错误的是（   ） A．3为的一个周期 B．关于点对称 C．是偶函数 D． 【答案】D 【分析】对于A，根据题目所给的两个等式，推导与的关系即可；对于B，证明是否成立即可；对于C，对含的表达式两边求导即可；对于D，结合周期性求解即可． 【详解】对于A，由，令，则，即函数关于点中心对称， 结合，， 所以， 因此，3是的一个周期，故A正确； 对于B，由A选项可知，且周期为3，令，得， 又因为，所以，也即关于点中心对称，故B正确； 对于C，由B选项可知，两边对x求导，得，即，因此是偶函数，故C正确； 对于D，由，令，得，即， 由周期为3，且，得， 由，令，可得， 进一步， 根据周期性， ，故D错误． 本题选择错误的，故选：D． 7．对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”．若函数的图像恰好有2对“隐对称点”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意将问题转化为与函数的图象有两个交点，即有两个根，根据图象得到答案. 【详解】依题意，函数关于原点对称的图象与函数 的图象有两个交点，即方程有两个根， 即：，令，， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 又在出的切线方程为，如图， 由图可知，要使方程有两个根，则或. 故选：B. 8．已知平面向量，，，且，，已知向量与所成的角为60°，且对任意实数恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对不等式两边平方，由题意结合一元二次不等式恒成立问题求出，再由向量绝对值不等式即可分析计算求解. 【详解】由题，得到， 则即， 整理得，因为对任意实数恒成立， 所以，所以， 由于，， 当且仅当与共线反向时等号成立. 又， 所以，当且仅当与共线反向时等号成立. 则的最小值为. 二、多选题 9．已知复数，则（    ） A．的虚部是 B． C． D．在复平面内对应点在位于第四象限 【答案】BD 【分析】由复数的概念及四则运算逐个计算判断即可. 【详解】，其虚部是，故A错误； 由A可知，， ，所以，故B正确； ，所以，故C错误； 又，所以 ， 所以在复平面内对应点的坐标为，故在复平面内对应的点位于第四象限，故D正确. 故选：BD. 10．已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的有（   ） A． B． C．函数的图象关于直线对称 D．函数的图象可由向右平移个单位长度得到 【答案】AC 【分析】利用正切函数的图象与性质结合三角函数图象变换一一判定选项即可. 【详解】由图象可知的最小正周期为，所以，即， 所以A正确，B错误； 对于C项：结合图象可知时，， 即，结合已知限定条件知，即， 所以 ， 所以函数的图象关于直线对称，故C正确； 对于D项，易知， 其向右平移个单位长度得到，故D错误. 故选：AC 11．已知函数，，则下列说法正确的是（   ） A．当时，函数在上单调递增 B．当时，若存在，使不等式成立，则实数的最小值为0 C．若函数存在两个极值，则实数的最大值为 D．当时，若，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】对于A，结合导数讨论单调性即可得；对于B，结合的单调性，可转化为当时，能成立，求出的最小值即可得；对于C，由极值点的性质结合导数讨论单调性，求得参数的范围即可判断；对于D，采用同构法可推得，再将多变量化为单变量后结合导数讨论单调性即可得. 【详解】对于A，当时，，则， 设，则， 当时，；当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 故，即函数在上单调递增，故A正确； 对于B，当时，，则， 设，则， 当时，；当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 故，即函数在上单调递增. 若存在，使不等式成立， 等价于存在，成立，也即成立， 由A项已得，在上单调递增，则在上单调递增， 故时，，则可得实数的最小值为0，故B正确； 对于C，由可得， 因函数存在两个极值等价于有2个变号零点， 由，可得， 设，则， 则当时，；当时，， 故在上单调递减；在上单调递增， 故，且当，当， 则有2个变号零点，等价于直线与有两个交点， 即得，也即，故没有最大值，即C错误； 对于D，当时，由A，B项可得为定义域上的增函数， 因，且，则， 由可得，即， 因是上的增函数，故， 又由，故， 设，则， 当时，；当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以在上的最小值为，故的最小值为，即D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．关于的方程的解集中只含有一个元素，则的可能取值构成的集合为________． 【答案】 【分析】根据等式的性质，可得整式方程，再根据一元二次方程性质与分式方程性质分类讨论即可得答案． 【详解】方程两边同时乘以得，即， ①当，即时，方程只有一个解； ②当其中一个解为增根时，方程也只有一个解， （i）若增根为0时，； （ii）若增根为1时，； 故k的值为或0或2，即的可能取值构成的集合为. 13．设，用表示不超过的最大整数，则的实根个数为__________. 【答案】3 【分析】先通过换元将对数方程转化为含取整函数的方程，再利用取整函数性质得到的取值范围，最后分情况讨论求出的值进而得到的值. 【详解】令，原方程转化为：， 根据取整函数的定义：对任意实数，都满足，且是整数， 将代入上述不等式，得：， 所以，解得， 同理，，解得或 ， 结合两个范围，得到的候选区间： 或 ， 再结合是整数分情况讨论： 当时，代入可得， 结合，得，对应，是有效解， 当时，代入得，结合，得， 对应，是有效解， 当时，代入得， 结合，得，对应，是有效解， 综上原方程共有3个实根. 14．已知点，，定义为A，B的“镜像距离”.若点A，B在曲线上，且的最小值为2，则实数a的值为____________ 【答案】/ 【分析】根据距离新定义，将问题化为求上的点到曲线上点的距离最小时对应参数值，即可得． 【详解】由函数得，即， 的反函数为. 由点在曲线上，知点在其反函数上， 相当于上的点到曲线上点的距离，即， 利用反函数性质可得与关于对称， 当与垂直时，取得最小值为2， 因此A，两点到的距离都为1. 过点作切线平行于直线，斜率为1， 由，得，可得， 所以，即， 点到的距离，解得. 当时，与相交，不合题意； 当时，与不相交，符合题意. 综上，. 四、解答题 15．已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若对任意的，且，恒有，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，根据题意可得切点坐标和切线斜率，进而可得切线方程； （2）分析可知在上单调递减，即可得在上恒成立，参变分离可得，令，，利用导数求最大值即可得结果. 【详解】（1）已知函数， 当时，则，， 可得，， 所以切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. （2）因为函数，则， 由于对任意的，且，恒有， 即， 构造函数， 上述条件等价于对任意的，且，恒有， 可知在上单调递减，则在上恒成立， 即在上恒成立， 令，，则， 令，解得， 当时，，可知在单调递增； 当时，，可知在单调递减； 则在处取最大值， 可得，解得， 所以的取值范围为. 16．已知函数（，且），且． (1)求的值； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用结合对数的运算性质，求得的值. （2）根据函数的单调性化简，结合函数的单调性、值域，求得的取值范围. 【详解】（1）由得， 则，因为，且，解得：. （2）在单调递增， 由可得：对任意恒成立， 对任意恒成立等价于对任意恒成立， ， 令，因为， 则， 在时为增函数， ∴，∴， 又∵，∴. 综上所述：实数的取值范围是. 17．已知函数，. (1)若函数的最小正周期为π，求函数在上的值域； (2)若，在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，其中A满足，，求的最小值. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）借助正弦函数性质及辅助角公式计算即可得； （2）结合向量数量积公式、余弦定理与基本不等式计算即可得. 【详解】（1）由题意可得，则， ， 当时，，则， 则函数在上的值域为； （2）由，则，，则， ，则， 则， 当且仅当时，等号成立， 故最小值为. 18．已知在正项数列中，且，其中为数列的前n项和. (1)求证：是等差数列，并求； (2)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围； (3)设，，求数列的前n项和. 【答案】(1) 在数列中，①， 又因为②，， 所以得． 又因为， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以． 当时，， 当时，，也满足上式， 所以数列的通项公式为． (2) (3) 【分析】（1）通过前n项和的差与已知条件相除，推得是等差数列，求出后利用（）得到通项公式； （2）将恒成立问题转化为恒成立，构造数列，分析其单调性找到最大值，确定的取值范围； （3）裂项得，再求和得到即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，， 因为对于任意恒成立，所以恒成立． 设，则， 当和时，，即； 当时，， 所以， 所以数列的最大项是，所以， 即实数的取值范围为． （3）由（1）知，所以． 所以， 所以 . 19．已知函数 (1)当时，解不等式：； (2)当时，判断的零点个数并证明. 【答案】(1) (2)3个；证明如下： 当时，. 因为的图象关于中心对称， 所以只需考虑时，的零点个数. ， 当时，. 令， 当时，， 所以在上单调递减. 因为， 所以存在唯一，使得. 所以当时，，即在上单调递增. 当时，，即在上单调递减. 所以在上没有零点， 又， 所以存在唯一实数使得，即在上有唯一零点， 由（1）知. 所以时，有三个零点：. 【分析】（1）先求得的定义域为，并证得的图像关于中心对称，再确定当时的符号，进而根据对称性得的解集； （2）先通过导数分析的单调性，并根据零点存在性定理确定在上有唯一零点，再根据的图像关于中心对称及，即可得到f（x）的零点个数. 【详解】（1）由得，所以的定义域为， 又 ， 所以函数的图像关于中心对称，且. 因为， 当时， ，所以. 故当时，， 即不等式的解集为. （2）略 试卷第2页（共11页） 试卷第11页（共11页） 学科网（北京）股份有限公司 $