第十五章 轴对称 知识清单 2026-2027学年人教版数学八年级上册

第十五章　轴对称　知识清单 依据人教版《义务教育教科书·数学》八年级上册（2024年版新教材）编写，供复习备考使用。 一、章知识概览 【学习内容】本章共三节：15.1图形的轴对称（轴对称及其性质、线段的垂直平分线）；15.2画轴对称的图形；15.3等腰三角形（等腰三角形、等边三角形）。本章类比平移研究轴对称这种图形变化，并利用轴对称研究等腰三角形的性质与判定。 【考点地位】轴对称的性质、线段垂直平分线、等腰三角形的性质与判定是中考几何的高频考点，常与全等三角形、坐标变换、尺规作图综合考查。 【学习目标】①理解轴对称图形、两个图形成轴对称的概念，掌握轴对称的性质；②理解线段垂直平分线的概念，掌握其性质与判定；③能画出简单图形关于给定对称轴的对称图形，掌握关于坐标轴对称的点的坐标规律；④掌握等腰三角形、等边三角形的性质与判定；⑤掌握直角三角形中30°角所对直角边的性质。 【知识结构图】一图速查本章全貌，下表按“章→节→核心知识点”三层呈现。 第十五章　轴对称 15.1　图形的轴对称 轴对称图形/两个图形成轴对称；对称轴、对称点；成轴对称的两图形全等 性质：连接对称点的线段被对称轴垂直平分 线段垂直平分线：线上点到两端距离相等；到两端距离相等的点在线上 15.2　画轴对称的图形 作对称点：过点作对称轴垂线，截取对称点；关于坐标轴对称的点的坐标规律 15.3　等腰三角形 等腰三角形：等边对等角；三线合一；等角对等边 等边三角形：三个角都等于60°；判定（等角或60°的等腰） 直角三角形30°角所对直角边等于斜边的一半 二、核心公式定理 【速查表】本章核心性质、判定集中列表如下，逐条对照教材。 名称 定理·性质内容 说明与易错提示 轴对称的性质 成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分 成轴对称的两个图形全等；对称轴是对称点连线的垂直平分线 线段垂直平分线性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 由SAS证三角形全等得到 线段垂直平分线判定 与线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 两者互逆；垂直平分线可看作到两端距离相等的点的集合 坐标对称规律 点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y)；关于y轴的对称点为(-x,y) 关于x轴对称：横坐标不变；关于y轴对称：纵坐标不变 等腰三角形性质 等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）；底边上的中线、高、顶角平分线重合（三线合一） 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边上的中线所在直线 等腰三角形判定 有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） 把“等边对等角”反过来即得 等边三角形 三个角都相等，且每个角都等于60°；三个角都相等或有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 等边三角形是特殊的等腰三角形 含30°角的直角三角形 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 由等边三角形性质证得 三、考点知识梳理 （一）15.1　图形的轴对称 【轴对称图形与两个图形成轴对称】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，折叠后重合的点叫对称点。把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，就说这两个图形关于这条直线成轴对称。轴对称图形指一个图形两部分重合，两个图形成轴对称指两个图形的位置关系；成轴对称的两个图形全等。 【轴对称的性质】成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分。经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线。 【线段垂直平分线】性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。判定：与线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。两个命题的题设与结论正好相反，互为逆命题；若一个定理的逆命题经过证明是真命题，则它们互为逆定理。 （二）15.2　画轴对称的图形 【作对称点与坐标规律】作一个点关于对称轴的对称点：过该点画对称轴的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA′＝OA，A′就是对称点。在平面直角坐标系中：点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，-y)；关于y轴对称的点的坐标为(-x，y)。 （三）15.3　等腰三角形 【等腰三角形的性质】等腰三角形有两条重要性质：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）；等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合（简写成“三线合一”）。等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线所在直线就是它的对称轴。 等腰三角形底边上的三线合一 【等腰三角形的判定】有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）。 【等边三角形】等边三角形三边都相等。等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°。判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 【含30°角的直角三角形】在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 四、重点知识记忆方法 【记忆口诀】轴对称：沿轴折叠两重合，对称点连线轴垂直平分。垂直平分线：线上点到两端等，到两端等在线上。坐标对称：关于x轴对称横不变，关于y轴对称纵不变。等腰三角形：等边对等角，三线合一巧，等角对等边。30°直角：三十度对直角边，恰是斜边一半长。 【对比记忆】等腰三角形与等边三角形对比如下表。 项目 等腰三角形 等边三角形 边 有两边相等 三边都相等 角 两底角相等 三个角都等于60° 特殊线段 底边上“三线合一” 三条边上都“三线合一” 对称轴 1条（底边中线所在直线） 3条 【易混对比】“等边对等角”是由边相等推出角相等，“等角对等边”是由角相等推出边相等，二者互为逆命题，不可混淆方向。 五、解题方法总结 题型1　利用轴对称性质求对称点坐标 【解题方法】①关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标取反；②关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标取反；③关于某条平行于坐标轴的直线对称时，先平移再对称。 【数学思想】数形结合思想：把点的坐标变化与图形翻折对应起来。 题型2　利用线段垂直平分线求线段长 【解题方法】①见垂直平分线，立刻把线上点到两端的两条线段等量转移；②把三角形周长中的未知边转化为已知边；③遇到“到两点距离相等”，直接判定该点在垂直平分线上。 【数学思想】转化思想：利用垂直平分线把相等的线段进行等量代换。 题型3　等腰三角形中求角的度数 【解题方法】①设最小角为x，用“等边对等角”把各角用x表示；②利用三角形内角和或外角性质列方程；③注意等腰三角形顶角可以是钝角，底角只能是锐角，遇100°等钝角只能作顶角。 【数学思想】方程思想、分类讨论思想：已知等腰三角形一个角时，要分这个角是顶角还是底角讨论。 题型4　利用“三线合一”证垂直或平分 【解题方法】①等腰三角形中，底边上的中线、高、顶角平分线知一推二；②证垂直时，可先说明线段是底边中线（或顶角平分线），再由三线合一得高。 【典型例题指引】例：AB＝AC，D是BC中点，则AD⊥BC且AD平分∠BAC。 题型5　含30°角直角三角形的计算 【解题方法】①认准30°角及其所对的直角边；②直角边＝斜边，由此已知斜边求直角边，或已知直角边求斜边。 【数学思想】数形结合思想、转化思想：把边角数量关系通过图形直观转化。 六、易错点清单 【清单】逐条对照教材与常见易错情形，复习时先自查再对照下表。 常见易错点 正确做法 混淆“轴对称图形”与“两个图形成轴对称” 前者是一个图形自身两部分重合，后者是两个图形之间的位置关系 关于坐标轴对称时坐标符号写反 关于x轴对称(x,-y)，关于y轴对称(-x,y)，按“哪根轴对称，哪根坐标不变”记忆 等腰三角形已知一角时不分类 已知角可能是顶角也可能是底角，要分类讨论；钝角只能作顶角 误把“等边对等角”用反方向 由等边推等角，不能由等角直接推等边而忽略“等角对等边”的条件 忽略“三线合一”中“底边”这一前提 三线合一指的是底边上的中线、高与顶角平分线，不是任意边上的 30°直角边性质找错对应边 30°角所对的直角边才等于斜边一半，不是任意直角边 垂直平分线判定与性质混用方向 线上→距离相等（性质）；距离相等→在线上（判定），方向不能反 七、高频考点速记 ①沿一条直线折叠，直线两旁部分能互相重合的图形叫轴对称图形。 ②成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分。 ③线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；反之亦然。 ④点(x，y)关于x轴对称点为(x，-y)，关于y轴对称点为(-x，y)。 ⑤等腰三角形两个底角相等（等边对等角）。 ⑥等腰三角形底边上的中线、高、顶角平分线重合（三线合一）。 ⑦有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。 ⑧等边三角形每个角都等于60°；直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半。 八、学情自测 （一）选择题（每题2分，共5题） 1．“说好中国话，写好中国字”，在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．点关于y轴对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 3．如图，在 中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，点E，作直线 交于点F，连接，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，以点B为圆心，以长为半径作弧，交于点和点，连接，再分别以点和点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点．若，则的大小为（     ）． A． B． C． D． 5．如图，在折纸活动中，将一组对边互相平行的纸带进行了两次折叠，折痕分别为，．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． （二）填空题（每空2分，共5题） 1．在中，是边上的中线，，则的面积为_______． 2．轴对称图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相________。 3．成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴________。 4．线段垂直平分线上的点，与这条线段两个端点的距离________。 5．等腰三角形的两个底角相等，简写成“_________”；底边上的中线、高、顶角平分线重合，简写成“________”。 （三）解答题（每题8分，共2题） 1．如图，在中，，，．分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点和，作直线交于点，连接． (1)求的度数； (2)求的长． 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD。求△ABC各角的度数。 九、参考答案 【选择题】 1．【答案】A 解题步骤： ①A、是轴对称图形，符合题意； ②B、不是轴对称图形，不符合题意； ③C、不是轴对称图形，不符合题意； ④D、不是轴对称图形，不符合题意；故选A． 【知识点睛】轴对称图形的识别：沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合的图形是轴对称图形，逐个判断四个汉字即可。 2．【答案】B 解题步骤： ①∵在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为， ②又∵点的坐标为， ③∴ 对称点的横坐标变为，纵坐标保持不变， 【知识点睛】坐标与轴对称：关于y轴对称的两点，纵坐标不变、横坐标互为相反数，即点(x，y)的对称点为(−x，y)。 3．【答案】B 解题步骤： ①由作图可知直线DE是线段AB的垂直平分线，点F在DE上，∴AF=BF． ②∵AF=BF，∴∠BAF=∠B=50°．在△ABC中，∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−50°−60°=70°． ③∴∠CAF=∠BAC−∠BAF=70°−50°=20°，故选B． 【知识点睛】垂直平分线性质：垂直平分线上的点到线段两端距离相等，由此得等腰三角形，再结合三角形内角和求角。注意作图痕迹识别垂直平分线。 4．【答案】C 解题步骤： ①∵AB=AC，∠A=50°，∴∠ABC=∠C=(180°−50°)÷2=65°． ②由作图可知BD=BC（以点B为圆心、BC长为半径作弧），∴∠BDC=∠C=65°，在△BDC中，∠DBC=180°−65°−65°=50°． ③由作图可知BF平分∠DBC，∴∠EBC=∠DBC=×50°=25°，故选C． 【知识点睛】等腰三角形与角平分线综合：由等边对等角求底角，再由同圆半径相等得等腰三角形，结合角平分线定义求角。注意作图痕迹中哪条线是角平分线。 5．【答案】C 解题步骤： ①∵AB∥CE，根据两直线平行、内错角相等，得∠ACE=∠CAB=36°． ②由折叠的性质可知，折痕CD平分∠BCE，即∠DCB=∠DCE=∠BCE． ③又∵纸带上下两边互相平行，∠BCE=∠ACE=36°，∴∠CDB=∠DCB=×36°=18°，故选C． 【知识点睛】折叠与平行线综合：折叠前后对应角相等（折痕平分折叠角），结合平行线的内错角相等，由已知角推算折痕处角。关键是识别折叠角与已知角的倍分关系。 【填空题】 1．【答案】 解题步骤： ①∵AD是BC边上的中线，BC=6，∴BD=BC=3． ②过点A作AE⊥BC于E．在Rt△ABE中，∠B=30°，∴AE=AB=×2=1． ③∴S△ABD=×BD×AE=×3×1=． 【知识点睛】中线与含30°角直角三角形综合：中线平分底边得BD长度，作高构造含30°角直角三角形求高，再用三角形面积公式计算。 2．【答案】重合。 解题步骤： ①轴对称图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合。 【知识点睛】轴对称图形的定义：沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合。 3．【答案】垂直平分。 解题步骤： ①成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分。 【知识点睛】轴对称的性质：对称点所连线段被对称轴垂直平分。 4．【答案】相等。 解题步骤： ①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 【知识点睛】线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点距离相等。 5．【答案】等边对等角；三线合一。 解题步骤： ①等腰三角形两个底角相等，简写“等边对等角”；底边上的中线、高、顶角平分线重合，简写“三线合一”。 【知识点睛】等腰三角形的性质：等边对等角、三线合一。 【解答题】 1．【答案】(1)90°，(2)BD=1 解题步骤： ①(1)∵AB=AC，∴∠B=∠C=30°，∠BAC=180°−30°−30°=120°．由作图可知MN是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠BAD=∠B=30°． ②∴∠CAD=∠BAC−∠BAD=120°−30°=90°． ③(2)在Rt△ACD中，∠C=30°，∴CD=2AD．又AD=BD，∴CD=2BD．∵BC=BD+CD=BD+2BD=3BD=3，∴BD=1． 【知识点睛】等腰三角形与垂直平分线综合：等边对等角求底角，垂直平分线得AD=BD，再由含30°角直角三角形性质（30°对直角边是斜边一半）建立BD与CD关系。 2．解：∵AD＝BD，∴∠A＝∠ABD（等边对等角）。 ∵BD＝BC，∴∠C＝∠BDC。而∠BDC是△ABD的外角，∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2∠A，故∠C＝2∠A。 又AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝2∠A。 在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠C＝∠A＋2∠A＋2∠A＝5∠A＝180°，解得∠A＝36°。 ∴∠A＝36°，∠ABC＝∠C＝72°。 【知识点睛】等腰三角形求角度综合：①由“等边对等角”把相等边对应角表示出来（本题设∠A＝∠ABD，则∠C＝∠BDC＝2∠A，∠ABC＝∠C＝2∠A）；②利用三角形外角等于不相邻两内角之和建立角的关系；③最后用三角形内角和定理列方程求出各角。注意“等边对等角”与“等角对等边”方向不可混淆。 学科网（北京）股份有限公司 $