精品解析：河南省信阳市羊山中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026-2027下学年九年级上学期第一次月考数学试卷 一．选择题（共10小题，30分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，理解并掌握一元二次方程的定义是关键． 含有一个未知数，未知数的最高次数为2次的整式方程即为一元二次方程，由此即可求解． 【详解】解：A、含有一个未知数，未知数的最高次数为2次，是整式方程，故是一元二次方程，符合题意； B、含有一个未知数，未知数的最高次数为2次，不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意； C、含有两个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意； D、当时，原式为，故不是一元二次方程，不符合题意； 故选：A  2. 二次函数的图象的顶点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数顶点式的顶点坐标为，求出该二次函数的顶点坐标，再根据坐标符号判断顶点所在象限即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为，可变形为，符合顶点式的形式， ∴该二次函数图象的顶点坐标为， ∵顶点横坐标，纵坐标，符合第二象限内点的坐标特点， ∴顶点在第二象限． 3. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】先求一元二次方程的判别式，由判别式与0的大小关系来判断方程根的情况即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 方程没有实数根． 4. 中国声谷是合肥高新区的国家级人工智能产业基地，是合肥“科创名城”的核心名片．在2025年“中国声谷杯”全国大学生人工智能创新大赛的初赛阶段，参赛的每两个队伍之间都需要进行一场项目路演答辩（单循环赛制），共进行了105场比拼．设共有个队伍参加初赛，则下列方程符合题意的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据实际问题列一元二次方程． 【详解】解：∵共有个队伍参加比赛，单循环赛制中每个队伍需要和除自身外的个队伍各比赛一场， 又∵每场比赛由2个队伍共同参与，直接计算会重复计算每一场比赛， ∴总比赛场数为， 已知总比赛场数为场， ∴可得方程． 5. 下列关于抛物线的叙述，正确的是（ ） A. 开口向下 B. 抛物线的对称轴在轴左侧 C. 与轴正半轴可以相交 D. 当时，随的增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】先通过配方得到抛物线的顶点式，可确定抛物线对称轴、开口方向和增减性，从而判断A、B、D选项，再求得抛物线与y轴的交点坐标即可判断C选项． 【详解】解：先对抛物线配方得：， ∴抛物线开口方向向上，对称轴为且在轴左侧，即选项A错误，选项B正确； ∴当时，y随x的增大而增大， ∴当时，随的增大而增大，即选项D错误； 当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标为，即抛物线与轴的负半轴可以相交，故选项C错误。 6. 秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，关键是根据传染模型正确列出方程．初始有人患流感，每轮传染中平均一个人传染人，经过两轮传染后总人数为，据此列方程． 【详解】解：设每轮传染中平均一人传染人． 初始患病人数为， 第一轮后患病人数为：， 第二轮新增患病人数为：， 两轮后总患病人数为：． 故选：B． 7. 设a，b是方程的两个实数根，则的值为（　　） A. 2019 B. 2018 C. 2015 D. 2016 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出、，将其代入中即可求出结论． 【详解】∵a，b是方程的两个实数根， ∴ ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解及根与系数的关系找出是解题的关键． 8. 将抛物线向右平移3个单位，再向下平移5个单位后，得到的抛物线表达式为，则原抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”求解． 【详解】解：∵将抛物线向右平移3个单位，再向下平移5个单位后，得到的抛物线表达式为， ∴原抛物线的表达式为． 9. 已知，，三点均在抛物线上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】分别将三个点的横坐标代入抛物线的解析式中求得，，，再比较大小即可求解． 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴． 10. 新定义：若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，则代数式的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，求代数式的值，掌握新概念的含义是关键； 根据“倍根方程”的定义，设方程的两个根为和（），将方程表示为 ，展开后与原方程比较系数，得到关于的方程，解出的值，再代入关系式求，最后计算代数式的值． 【详解】解：∵方程 是“倍根方程”， ∴设两根为和 （）， 则方程可写为，即， 与原方程比较系数得： ①， ，即②， 将②代入①得：， 两边除以（）：， 即，解得或． ， 当时，由 ②得，此时， ∴． 当 时，由 (2) 得，此时， ∴. 综上，代数式的值为或. 故选 B. 二．填空题（共5小题，15分） 11. 已知是二次函数，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义可得且，即可求解． 【详解】解：∵是二次函数， ∴且， 解得， 故答案为：． 12. 已知 是关于x的一元二次方程的一个根，则b的值为_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， 解得：． 13. 抛物线与y轴交点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据进行计算即可． 【详解】解：当时，， 与y轴交点坐标为． 14. 二次函数，当时，y的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性求出最小值和最大值即可． 【详解】解：∵， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴时，取得最大值为5， 时取得最小值为， ∵， ∴y的取值范围是． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性和对称性，确定出对称轴从而判断出取得最大值和最小值的情况是解题的关键． 15. 已知二次函数(）的图象如图所示，有下列个结论： ①；②；③；④；⑤，的实数．其中正确结论的序号为______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，根据抛物线开口向下，与轴交于正半轴，对称轴为直线，即可得出的符号，即可判断①，根据时，，即可判断②，根据时，即可判断③，根据时，，即可判断④，根据抛物线开口向下，时，的值最大，即可判断⑤． 【详解】解：①由图象可知：，， ， ，故①正确； ②当时，，故，故②正确； ③由对称知，当时，函数值大于，即，故③错误； ④由对称知，当时，函数值小于，，且， 即，代入得，得，故④正确； ⑤当时，的值最大．此时，， 而当时， ， 所以， 故，即，故⑤错误． 故①②④正确． 故答案为：①②④． 三．解答题（共8小题，75分） 16. 用指定的方法解方程． （1）（直接开平方法）； （2）（配方法）； （3）（公式法）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， 解得； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 解得； 【小问3详解】 解：， ∵， ∴， ∴， 解得． 17. 解方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解： 或 解得： 【小问2详解】 解： 或 解得： 【小问3详解】 解： 或 解得： 18. 已知二次函数． （1）用配方法将其化成顶点式_______，顶点坐标是_______； （2）选取适当数据填入下表，并在如图所示平面直角坐标系内描点，画出该函数图象； x … … y … … （3）若该抛物线上两点、的横坐标满足，则与的大小关系为_______． 【答案】（1）， （2） x … … y … … （3） 【解析】 【分析】（1）将解析式化为顶点式，结合二次函数的性质即可得出结果； （2）由（1）可得对称轴为直线，故选取，，，，这五个关于对称轴对称的整点，先求出当，，，，时对应的的值，再填入表格，最后描点、连线即可； （3）根据二次函数的图象即可得出结果． 【小问1详解】 解：， 故用配方法将其化成顶点式，顶点坐标是； 【小问2详解】 解：由（1）可得对称轴为直线， 故选取，，，，这五个关于对称轴对称的整点， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， x … … y … … 图略； 【小问3详解】 解：∵该抛物线上两点、的横坐标满足， ∴由该抛物线的图象可得． 19. 已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2． （1）求实数k的取值范围； （2）若x1，x2满足x12+x22=16+x1x2，求实数k的值． 【答案】(1) k≤;(2)-2. 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=﹣4k+5≥0，解之即可得出实数k的取值范围； （2）由根与系数的关系可得x1+x2=1﹣2k、x1x2=k2﹣1，将其代入x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=16+x1x2中，解之即可得出k的值． 【详解】（1）∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2， ∴△=（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）=﹣4k+5≥0，解得：k≤， ∴实数k的取值范围为k≤． （2）∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2， ∴x1+x2=1﹣2k，x1x2=k2﹣1． ∵x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=16+x1x2， ∴（1﹣2k）2﹣2×（k2﹣1）=16+（k2﹣1）， 即k2﹣4k﹣12=0， 解得：k=﹣2或k=6（不符合题意，舍去）． ∴实数k的值为﹣2． 20. 阅读下列材料： 北京市为了紧抓疏解非首都功能这个“牛鼻子”，迁市场、移企业，人随业走．东城、西城、海淀、丰台…人口开始出现负增长，城六区人口2021年由升转降． 而现在，海淀区许多地区人口都开始下降．统计数字显示：2020年该区常住外来人口约为150万人，同比下降，减少万人，首次实现了负增长． 和海淀一样，丰台也在2020年首次实现了常住外来人口负增长，同比下降，减少万人； 东、西城，常住外来人口同样呈下降趋势：2020年东城同比下降，减少5000人，西城则同比下降，减少万人； 石景山，常住外来人口近年来增速放缓，预计到2021年年底，全区常住外来人口可降至万，比2020年减少万人，首次出现负增长； … 2021年初，市发改委透露，2021年本市将确保完成人口调控目标−−城六区常住人口较2020年下降，迎来人口由升转降的拐点． 人口下降背后，是本市紧锣密鼓疏解非首都功能的大战略． 根据以上材料解答下列问题： （1）石景山区2020年常住外来人口约为 万人； （2）2020年东城、西城、海淀、丰台四个城区常住外来人口同比下降率最高的是 区；根据材料中的信息估计2020年这四个城区常住外来人口数最多的是 区； （3）如果2022年海淀区常住外来人口降到121．5万人，求从2020年至2022年平均每年外来人口的下降率． 【答案】（1） （2）西城，海淀 （3）10% 【解析】 【分析】（1）由2021年全区常住外来人口万，比2015年减少万人，列式为； （2）依次把四个区人口的同比下降率作比较即可得出同比下降率最高的是西城区，再计算四个城区2020年的人口数进行比较； （3）设海淀平均每年常住外来人口的下降率为x，原数为150万人，后来数为万人，下降了两年，根据降低率公式列方程解出即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 因为海淀区同比下降，丰台同比下降，东城同比下降，西城则同比下降， 所以同比下降率最高的是西城， 2020年这四个城区常住外来人口数：海淀区：约为150万人， 丰台：（万人）， 东城：（万人）， 西城：（万人）， 则常住外来人口数最多的是海淀区； 故答案为：西城，海淀； 【小问3详解】 设海淀平均每年常住外来人口的下降率为x． 由题意，得． 解得，，（不合题意，舍去） 答：海淀平均每年常住外来人口的下降率为． 【点睛】本题是一元二次方程的应用，属于变化率问题；本题叙述较长，不容易读懂题意，要认真阅读，理清北京市四个城区2020年同期人口变化情况；明确变化率分为增长率和降低率两种，本题是降低率；注意降低率问题． 21. 已知：如图，在中，，，．点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动． （1）如果，分别从，同时出发，那么的面积能否等于？说明理由． （2）如果，分别从，同时出发，那么几秒后，的长度等于？ 【答案】（1），分别从，同时出发，的面积不能等于，理由如下： 设，分别从，同时出发，后的面积等于， 由题意可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴该方程无实数解， ∴，分别从，同时出发，的面积不能等于； （2），分别从，同时出发，或后的长度等于 【解析】 【分析】（1）设，分别从，同时出发，后的面积等于，根据三角形面积公式列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果； （2）设，分别从，同时出发，后的长度等于，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：设，分别从，同时出发，后的长度等于， 由题意可得，， ∴， 由勾股定理可得， ∴， 解得或， ∴，分别从，同时出发，或后的长度等于． 22. 如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚．搭建要求：一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口后，不锈钢栅栏的形状如“山”字形．设车棚的宽为． （1）求车棚的长；（用含x的代数式表示） （2）若矩形车棚的面积为，求车棚的长和宽； （3）在搭建要求不变的情况下，若学校利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）自行车车棚的长为，宽为； （3） 不能，理由如下： 要围成面积为的自行车车棚，则由（1）可得： ， 整理得：， ， 故此方程没有实数根， 不能围成面积为的自行车车棚． 【解析】 【分析】本题考查用代数式表示式，一元二次方程的应用，根的判别式，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题关键． （1）根据题干条件可得自行车车棚由三条宽和一条长构成，且左右两条宽边需要开出一个的出口，然后根据自行车车棚不锈钢栅栏总长减去三条宽边长即可得出长边的长； （2）根据（1）结果即可列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，解出一元二次方程即可得出自行车车棚的长和宽，需注意的是一元二次方程的解需满足自行车车棚的长不超过； （3）根据（2）中方法列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，再利用根的判别式判断，即可解题． 【小问1详解】 解：搭建自行车车棚为矩形，车棚宽度为，左右两侧各开一个的出口， 不锈钢栅栏总长，不锈钢栅栏状如“山”字形， ， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可得，车棚面积为：， 解得：或， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意，舍去， 自行车车棚的长为，宽为； 【小问3详解】 解：略． 23. 已知抛物线经过点． （1）该抛物线与轴交点为_______，对称轴为直线_______． （2）当时，若点在抛物线上，求的最小值． （3）若存在实数，当，且时，的取值范围是，请直接写出a，n的值． 【答案】（1）， （2） （3），或， 【解析】 【分析】（1）求出当时的值即可得出该抛物线与轴交点坐标，再结合二次函数的对称性即可得出对称轴； （2）先求出该抛物线的解析式为，再将点代入抛物线解析式计算即可得出结果； （3）先求出抛物线的解析式为，再分两种情况：当时和当时，分别结合二次函数的性质计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：在中，当时，， ∴该抛物线与轴交点为； ∵抛物线经过点， ∴该抛物线的对称轴为直线； 【小问2详解】 解：由（1）可得该抛物线的对称轴为直线， 当时，， ∴， ∴此时该抛物线的解析式为， ∵点在抛物线上， ∴ ， ∵， ∴， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：由（1）可得该抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∵，且， ∴当时，抛物线的图象开口向上，在对称轴上取得最小值，为，即， 解得， ∵，， ∴， ∴当，且时，抛物线在时取得最大值，为，即， 代入得， 整理得， 解得或（不符合题意，舍去）； 当时，抛物线的图象开口向下，在对称轴上取得最大值，为，即， 解得， ∵，， ∴， ∴当，且时，抛物线在时取得最小值，为，即， 代入得 整理得， 解得或（不符合题意，舍去）； 综上所述，，或，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027下学年九年级上学期第一次月考数学试卷 一．选择题（共10小题，30分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的图象的顶点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 4. 中国声谷是合肥高新区的国家级人工智能产业基地，是合肥“科创名城”的核心名片．在2025年“中国声谷杯”全国大学生人工智能创新大赛的初赛阶段，参赛的每两个队伍之间都需要进行一场项目路演答辩（单循环赛制），共进行了105场比拼．设共有个队伍参加初赛，则下列方程符合题意的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列关于抛物线的叙述，正确的是（ ） A. 开口向下 B. 抛物线的对称轴在轴左侧 C. 与轴正半轴可以相交 D. 当时，随的增大而减小 6. 秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 设a，b是方程的两个实数根，则的值为（　　） A. 2019 B. 2018 C. 2015 D. 2016 8. 将抛物线向右平移3个单位，再向下平移5个单位后，得到的抛物线表达式为，则原抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 9. 已知，，三点均在抛物线上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法判断 10. 新定义：若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，则代数式的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二．填空题（共5小题，15分） 11. 已知是二次函数，则实数______． 12. 已知 是关于x的一元二次方程的一个根，则b的值为_________． 13. 抛物线与y轴交点坐标为________． 14. 二次函数，当时，y的取值范围是________． 15. 已知二次函数(）的图象如图所示，有下列个结论： ①；②；③；④；⑤，的实数．其中正确结论的序号为______． 三．解答题（共8小题，75分） 16. 用指定的方法解方程． （1）（直接开平方法）； （2）（配方法）； （3）（公式法）． 17. 解方程： （1）； （2）； （3）． 18. 已知二次函数． （1）用配方法将其化成顶点式_______，顶点坐标是_______； （2）选取适当数据填入下表，并在如图所示平面直角坐标系内描点，画出该函数图象； x … … y … … （3）若该抛物线上两点、的横坐标满足，则与的大小关系为_______． 19. 已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2． （1）求实数k的取值范围； （2）若x1，x2满足x12+x22=16+x1x2，求实数k的值． 20. 阅读下列材料： 北京市为了紧抓疏解非首都功能这个“牛鼻子”，迁市场、移企业，人随业走．东城、西城、海淀、丰台…人口开始出现负增长，城六区人口2021年由升转降． 而现在，海淀区许多地区人口都开始下降．统计数字显示：2020年该区常住外来人口约为150万人，同比下降，减少万人，首次实现了负增长． 和海淀一样，丰台也在2020年首次实现了常住外来人口负增长，同比下降，减少万人； 东、西城，常住外来人口同样呈下降趋势：2020年东城同比下降，减少5000人，西城则同比下降，减少万人； 石景山，常住外来人口近年来增速放缓，预计到2021年年底，全区常住外来人口可降至万，比2020年减少万人，首次出现负增长； … 2021年初，市发改委透露，2021年本市将确保完成人口调控目标−−城六区常住人口较2020年下降，迎来人口由升转降的拐点． 人口下降背后，是本市紧锣密鼓疏解非首都功能的大战略． 根据以上材料解答下列问题： （1）石景山区2020年常住外来人口约为 万人； （2）2020年东城、西城、海淀、丰台四个城区常住外来人口同比下降率最高的是 区；根据材料中的信息估计2020年这四个城区常住外来人口数最多的是 区； （3）如果2022年海淀区常住外来人口降到121．5万人，求从2020年至2022年平均每年外来人口的下降率． 21. 已知：如图，在中，，，．点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动． （1）如果，分别从，同时出发，那么的面积能否等于？说明理由． （2）如果，分别从，同时出发，那么几秒后，的长度等于？ 22. 如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚．搭建要求：一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口后，不锈钢栅栏的形状如“山”字形．设车棚的宽为． （1）求车棚的长；（用含x的代数式表示） （2）若矩形车棚的面积为，求车棚的长和宽； （3）在搭建要求不变的情况下，若学校利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 23. 已知抛物线经过点． （1）该抛物线与轴交点为_______，对称轴为直线_______． （2）当时，若点在抛物线上，求的最小值． （3）若存在实数，当，且时，的取值范围是，请直接写出a，n的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $