第二章平面几何初步（期中知识清单）高二数学上学期湘教版

第二章 平面解析几何初步　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 直线的斜率 1.1 直线的倾斜角 当直线 与 轴相交时，我们把 轴正向绕交点逆时针旋转到与直线 向上方向首次重合所成的角，叫作直线 的倾斜角。当直线 与 轴平行或重合时，规定倾斜角为 。因此，倾斜角的取值范围是 。 平面直角坐标系内的每一条直线都有一个确定的倾斜角，而且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等，倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等。 示例：直线与 轴正方向成 角（向上方向）时，其倾斜角为 ；与 轴平行时，其倾斜角为 。 1.2 直线的斜率 一条直线的倾斜角 的正切值称为这条直线的斜率，即 。 倾斜角是 的直线没有斜率，倾斜角 的直线都有斜率。倾斜角不同，直线的斜率也不同。因此，可以用斜率来表示直线的倾斜程度。 示例：当直线的倾斜角 时，斜率 ；当直线的倾斜角 时，斜率 。 1.3 直线的斜率公式 设直线 不垂直于 轴，已知直线 上任意两个不同点 ，，由 得 上式即为经过两个不同点 ，（）的直线的斜率公式。 注意：当直线的倾斜角为锐角时，；当直线的倾斜角为钝角时，。斜率公式中分子、分母两个坐标差必须对应同一点（同起同终）。 2. 直线的方程 2.1 直线的点斜式方程 已知直线 的斜率为 ，且 过已知点 ，设 为 上不同于 的任意一点，因为直线 的斜率 ，于是可得 由于该方程由直线上一定点及其斜率确定，因此把方程 称为直线的点斜式方程，简称点斜式。 当直线 与 轴垂直时，斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为 上每一点的横坐标都等于 ，所以它的方程是 。 示例：经过点 、斜率为 的直线的点斜式方程是 。 2.2 直线的斜截式方程 直线 与 轴的交点 的纵坐标称为直线 在 轴上的截距。方程 由直线 的斜率和它在 轴上的截距确定，因此把方程 称为直线的斜截式方程，简称斜截式。 从直线方程的角度来认识一次函数 ，它的图象是一条直线，其中参数 是直线的斜率，常数 是直线在 轴上的截距。 示例：斜率是 、在 轴上的截距是 的直线的斜截式方程是 。 2.3 直线的两点式方程 我们把过任意两个不同的点 ， 的直线方程 称为直线的两点式方程，简称两点式。 如果直线既不平行于 轴也不平行于 轴，则 且 ，两点式方程可以写成 注意：两点式要求 且 ，即直线不能平行于坐标轴；当 时直线方程为 ，当 时直线方程为 。 示例：过点 、 的直线的两点式方程是 ，即 。 2.4 直线的截距式方程 直线 与 轴的交点 的横坐标称为直线 在 轴上的截距，此时直线在 轴上的截距是 ，方程 由直线 在两个坐标轴上的截距 和 确定，称为直线的截距式方程。 注意：截距式要求 且 ，即直线不过原点、也不平行于坐标轴。 示例：在 轴上的截距是 、在 轴上的截距是 的直线方程是 ，即 。 2.5 直线的一般式方程 平面直角坐标系中任意一条直线都可以用关于 ， 的二元一次方程 （， 不同时为 ）来表示；关于 ， 的二元一次方程都表示一条直线。 我们把方程 称为直线的一般式方程，简称一般式。 当 时，方程变形为 ，它表示过点 、斜率为 的直线；当 时，由于 ， 不同时为 ，必有 ，于是方程可化为 ，它表示一条与 轴平行或重合的直线。 示例：直线 化为斜截式为 ，其斜率为 。 2.6 直线的方向向量与法向量 我们把与直线 平行的非零向量都称为 的方向向量，用它们来表示直线的方向。直线 的方向向量并不唯一， 的所有的非零实数倍都是方向向量。反过来，所有的方向向量都与 平行，因此它们相互平行、互为实数倍。斜率为 的直线的方向向量为 的非零实数倍。 与直线 垂直的非零向量 称为直线 的一个法向量。直线的一般式方程 的一次项系数组成的向量 是直线的一个法向量。 反过来，已知直线的法向量 ，就知道了一般式方程 的一次项系数；将直线上任一已知点 的坐标代入该方程，就可由 得到待定常数 ，进而得到直线方程。 示例：直线 的一个方向向量为 ；直线 的一个法向量为 。 3. 两条直线的位置关系 3.1 两条直线平行与垂直的判定 设在平面上的两条直线 ， 的斜率分别为 ，，它们的方程分别是 ，。 的充要条件是 且 ；若 并且 ，那么两条直线重合。如果直线 ， 的斜率都不存在，它们都与 轴垂直但在 轴上的截距不同，这时仍有 。 当两条直线的斜率都存在时，可得到 也可以借助直线的方向向量或法向量来判定。已知两条直线的一般式方程为 ，： （1）判定两条直线平行：法向量平行，（ 为非零实数）； （2）判定两条直线垂直：法向量垂直，。若直线 ， 的斜率分别为 ，，则 ， 分别是方向向量， 即方向向量垂直，即 。 示例：直线 与 的斜率均为 ，故 ；直线 与 满足 ，故它们垂直。 3.2 两条直线的交点坐标 设两条直线的方程分别为 ，。如果这两条直线相交，交点的坐标一定是这两个方程的公共解；反之，若方程组有唯一解，那么以这个解为坐标的点必是直线 和直线 的交点。 方程组 的解的情况 一组解 无解 无数组解 直线 ， 的公共点个数 一个 零个 无数个 直线 ， 的位置关系 相交 平行 重合 示例：解方程组 得 ，故两直线相交，交点坐标为 。 4. 点到直线的距离 4.1 两点间的距离公式 已知两点 ，，将点 ， 的坐标看作向量 的坐标，由向量的坐标运算可得 这就是平面内任意两点间的距离公式。 示例：两点 、 间的距离 。 4.2 点到直线的距离公式 点 到直线 的距离公式为 示例：点 到直线 的距离 ，说明点 在直线上。 4.3 两条平行直线间的距离 两条平行直线 与 的距离是 注意：使用该公式时，两直线方程中 ， 的系数必须化为相同的 ，；否则不能直接代入 。 示例：平行直线 与 的距离 。 5. 圆的方程 5.1 圆的标准方程 圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有的点组成的集合。这个定点即圆心，而定长就是半径。 在平面直角坐标系中，给定圆心 和半径 ，圆上任意一点 满足 ，又 ，这就得到了圆心为 、半径为 的圆的方程 把它叫作圆的标准方程。特别地，圆心在原点 、半径为 的圆的方程为 。 图1：圆的标准方程 注意：点 在圆 内的条件是 ；点 在圆外的条件是 。 示例：以点 为圆心、半径为 的圆的标准方程为 。 5.2 圆的一般方程 将圆的标准方程 展开并移项得 。记 ，，，方程可改写为 。 将方程 配方，得 与圆的标准方程比较，可知： （1）当 时，方程表示以点 为圆心、以 为半径的圆； （2）当 时，方程只有一个解，表示一个点 ； （3）当 时，方程无实数解，不表示任何图形。 综上，我们将方程 （）叫作圆的一般方程。 注意：圆的标准方程明确指出了圆心和半径；而圆的一般方程表明了方程形式上的特点。要给出圆的标准方程，需要确定圆心坐标和半径；而要给出圆的一般方程，则需要确定一般方程中的三个系数 ，，。 示例：方程 配方得 ，故圆心坐标为 ，半径为 。 6. 直线与圆、圆与圆的位置关系 6.1 直线与圆的位置关系 平面上的任意一条直线与圆有三种位置关系： （1）相交，直线与圆恰有两个公共点； （2）相切，直线与圆恰有一个公共点； （3）相离，直线与圆没有公共点。 设圆的半径为 ，圆心 到直线 的距离为 ，则： 位置关系 公共点个数 与 的大小关系 相交 两个 相切 一个 相离 零个 图2：直线与圆的位置关系 在平面上建立直角坐标系之后，直线用二元一次方程 表示，圆用二元二次方程 表示。有两种方法可以判断直线和圆的位置关系： 方法一：将直线 的方程与圆的方程联立，解此方程组看是否有公共解，进而通过解的个数判断直线与圆的位置关系； 方法二：由圆的方程计算出圆心坐标和半径，将圆心到直线的距离 与半径 进行比较，进而判断直线与圆的位置关系。 示例：圆 的圆心 到直线 的距离 ，故直线与圆相交。 6.2 圆与圆的位置关系 设两圆的半径分别是 ，（不妨设 ），两圆圆心的距离为 ，则两圆有如下位置关系： 位置关系 公共点个数 与 ， 的关系 外离 零个 外切 一个 相交 两个 内切 一个 内含 零个 图3：圆与圆的位置关系 当 时，两圆同心，当 时，两圆重合。 示例：圆 ：圆心 、半径 ；圆 ：圆心 、半径 ，则 ，故两圆外切。 7. 用坐标方法解决几何问题 7.1 坐标法 平面解析几何的基本思想方法就是在平面直角坐标系中，把点用坐标表示，将直线与圆等曲线用方程表示，通过研究方程来研究图形的性质，这种代数研究方法被称为坐标法。 用代数方法解决几何问题的基本过程：建立平面直角坐标系（用坐标表示点）→ 用方程表示曲线（直线、圆）→ 通过方程研究曲线的性质、位置关系与度量关系（代数运算）→ 将所得结论翻译成几何语言。 示例：证明直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可先以两条直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，设出各顶点坐标，再用两点间距离公式分别算出斜边长与斜边上中线的长，即可证明两者的一半相等。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 三点共线的斜率判定 三点 ，， 共线的充要条件是 （或 ）。 【使用提醒】 用斜率判定前须确认三点中任意两点横坐标不相等（否则斜率不存在）；出现 坐标相等时，改用坐标成比例 交叉相乘判定。 1.2 与已知直线平行或垂直的直线系 与直线 平行的直线可设为 （）；与直线 垂直的直线可设为 。如与 垂直的直线可设为 。 1.3 过两直线交点的直线系 过 与 交点的直线可设为 。 【使用提醒】 该直线系不含 本身，须单独检验 是否符合题意；同理用”与 平行的直线系”求直线时，所求直线不能取 本身。 1.4 两圆公共弦所在直线 两圆相交时，把两个圆的方程相减（消去二次项），所得二元一次方程就是经过两圆两个交点的直线（公共弦所在直线）的方程。如圆 与 相减得 。 1.5 圆上一点处的切线方程 过圆 上一点 的切线方程为 。 【使用提醒】 该式只适用于圆心在原点的标准方程 ；对一般圆 ，应利用”切线与过切点的半径垂直”求切线，或先把点与圆平移到原点处处理。 1.6 线段垂直平分线的求法 线段 的垂直平分线，是过 中点且与 垂直的直线；也等于以 ， 为圆心、半径相等的两圆的公共弦所在直线。求法：先求 中点与 ，再由 及中点坐标写点斜式。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 求直线方程的选式流程 看条件选形式——已知一点与斜率（或倾斜角）用点斜式；已知斜率与 轴截距用斜截式；已知两点用两点式；已知两坐标轴截距用截距式；已知方向向量或法向量先转成斜率或一般式系数，再写方程，最后统一化为一般式。 2.2 判断直线与圆位置关系 优先用距离法：由圆方程求圆心与半径 ，算圆心到直线距离 ，比较 与 ；比联立方程消元算判别式更简捷。如圆 与直线 ，，故相离。 2.3 求过定点的圆的切线 先设切线为过定点的点斜式，由”圆心到切线距离等于半径”列方程求斜率；当只解出一个斜率时，另一条切线垂直于 轴（斜率不存在），必须单独补写。 【使用提醒】 漏掉”垂直于 轴的切线”是最常见的漏解情形，凡求切线都要先判断该竖直切线是否存在。 2.4 求圆方程的待定系数法 已知圆心与半径（或圆心所在直线、切点等几何关系）时设标准式 ；已知圆上三个点（或三个一般条件）时设一般式 ，代入列方程组求解。 2.5 求轨迹方程的三步 ① 设动点坐标 ；② 把题中的几何条件（距离关系、垂直、定比等）翻译成含 ， 的等式；③ 化简为方程并检验。 【使用提醒】 去分母、两边平方等变形可能引入增根或扩大范围，化简后须检验并说明轨迹的完整性。 3. 大小比较 / 化简 / 运算小技巧 技巧 要点 示例 斜率的正负看倾斜角 ：锐角 ，钝角 ；倾斜角越接近 ， 越大 倾斜角 时 化一般式为斜截式 移项后再除以 的系数，即得斜率与截距 求交点用加减消元 联立方程消去一个未知数，看剩余方程解的情况定相交/平行/重合 无解→平行，恒等→重合 距离公式别丢绝对值 点到直线距离 ，分子必须加绝对值 点 到 ： 圆一般式配方 配方后圆心 、半径 圆心 对称点坐标速记 关于 轴 、关于 轴 、关于原点 、关于 点 关于原点对称得 4. 常见考试模型 4.1 直线与圆相交的弦长模型 公式： 弦长 ，其中 为圆半径， 为圆心到直线的距离。 限定： 仅当直线与圆相交（）时成立；（直线过圆心）时弦长最大，为直径 。 示例： 如直线 被圆 截得的弦长，，弦长 。 4.2 切线长模型 公式： 圆外一点 到圆（圆心 ，半径 ）的切线长为 。 限定： 点 必须在圆外（）；过圆外一点恰有两条切线，且切线长相等。 示例： 如点 到圆 的切线长为 。 4.3 圆上点到直线的距离最值模型 公式： 圆心 到直线 的距离为 、半径为 ，则圆上点到 距离的最大值为 、最小值为 。 限定： 直线与圆相离时最小值为 ，相交（直线穿过圆）时最小值为 ，故统一写 才不漏。 示例： 如圆 上点到直线 的距离，，最值分别为 。 4.4 两圆位置关系的判定模型 公式： 由两圆圆心距 与两半径 的关系判定： 外离， 外切， 相交， 内切， 内含。 限定： 先配方求出两圆各自的圆心与半径，再算圆心距，不可直接拿一般式系数比较。 示例： 如圆 与 ，，故两圆外切。 【使用提醒】 判定相切（外切或内切）后求公切线时，内切、外切的公切线条数不同，且内切两圆有唯一公共点，常先求该切点坐标再求切线。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：忽视直线垂直于 轴时斜率不存在 典例：已知直线 经过点 与 ，求直线 的斜率 。 错解：由斜率公式得 ，因为分母为 ，所以 。 正解：因为 ，两点横坐标相同，直线 垂直于 轴，其倾斜角为 ，此时斜率不存在，不能套用斜率公式。 原因：对斜率的定义理解不完整。斜率 要求倾斜角 ，教材明确”倾斜角是 的直线没有斜率”；而斜率公式 成立的前提是 。学生只记住公式本身，忽视了公式成立的前提，把”分母为 “机械地处理成”结果为 “。纠正要点：代入斜率公式前先比较两点横坐标，若 则直接判定直线垂直于 轴、斜率不存在。 易错点 2：求过定点的切线时漏掉垂直于 轴的那一条 典例：过点 作圆 的切线，求切线方程。 错解：设切线斜率为 ，则切线方程为 ，即 。由圆心到切线的距离等于半径，得 ，解得 ，所以切线方程为 。 正解：同上设点斜式得 ，由 解得 ，得切线 ；又当切线垂直于 轴时，切线为 ，它过点 ，且圆心到它的距离为 （等于半径），所以 也是切线。故切线方程为 与 。 原因：条件遗漏（漏解）。点斜式 本身不含”斜率不存在”的直线，用它设切线时自然漏掉了垂直于 轴的切线，而这类切线往往恰好满足相切条件。学生把”方程有几个解”当成了”切线有几条”，没想到”设点斜式”这一步已经排除了竖直方向。纠正要点：凡求过定点的切线，先检查过该点且垂直于 轴的直线是否也是切线，再设点斜式求其余切线。 易错点 3：判定两直线平行时漏检”重合” 典例：判断直线 与 的位置关系。 错解： 的斜率 ， 的斜率 ，两斜率相等，所以 。 正解：将 两边同除以 得 ，与 完全相同，所以 与 重合，不是平行。也可由斜截式 ， 看出 且 ，判定重合。 原因：条件遗漏。教材的平行判定结论是” 的充要条件是 且 “，学生只记住了”斜率相等”，丢掉了”截距不相等”这一条，把斜率相等直接等同于平行。纠正要点：判定平行必须同时核对斜率与截距——斜率相等且截距不相等才是平行，斜率与截距都相等则是重合。 易错点 4：用平行线距离公式前未把系数 ， 化相同 典例：求两条平行直线 与 之间的距离。 错解：直接代入 。 正解：先把 两边同除以 化为 ，此时两方程中 ， 的系数相同，。 原因：公式使用前提遗漏。距离公式 要求两直线方程对应系数 ， 完全相同，否则分子 没有可比性。学生拿到方程就套公式，没有先统一系数，导致分子出错。纠正要点：代入公式前先把两条平行线的方程化成 ， 系数一致的形式。 易错点 5：把圆的一般方程中”不表示圆”的情形当成圆 典例：判断方程 表示什么图形。 错解：这是形如 的圆的一般方程，其中 ，，，所以它表示一个圆。 正解：配方得 ，右边为负数，方程无实数解，不表示任何图形。或由 ，判断其不表示圆。 原因：概念理解错误。 只在 时才表示圆，等于 时表示一个点，小于 时不表示任何图形。学生只记住了”二元二次方程且 ， 系数相等就是圆”这一表面特征，忽略了判别式符号。纠正要点：判断一般式是否表示圆，先配方或算 的符号，再下结论。 易错点 6：使用截距式时忽视截距为 （直线过原点）的情形 典例：求过点 且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程。 错解：设直线的截距式方程为 ，将 代入得 ，解得 ，故直线方程为 。 正解：除上述 外，当直线过原点时，它在两坐标轴上的截距均为 ，也满足”截距相等”，此时直线为 。故满足条件的直线有两条： 与 。 原因：条件遗漏（漏掉退化情形）。“截距相等”包括两截距都等于 的情况，而截距式 要求 且 ，一旦设成截距式就把”过原点”这条直线排除了。学生把”截距”与”距离”概念混同，或忽视了截距为 的合法情形。纠正要点：遇”截距相等”“截距之和（差）为定值”类问题，先单独讨论直线是否过原点，再用截距式求解其余情形。 学科网（北京）股份有限公司 $