学易金卷：高二数学上学期期中模拟卷·拔高卷（全国通用，人教A版，范围：选择性必修第一册第一章～第三章）

2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D C B A A B B B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AD ACD BC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． / 13． 14．② ④ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1） 设圆心M到直线l的距离为d，则，故， 由得或， 故直线l的方程为或．（4分） （2）（ⅰ）设圆M与圆N交点分别为P，Q，圆H面积最小时，圆H是以为直径的圆， ，即，① 圆，即，② ①−②得公共弦所在直线方程：， 圆M圆心、圆N圆心，两点连线的斜率， 所以直线，直线垂直平分，故圆心H就是直线与的交点， 联立解得． 将代入， 得，即，所以， 所以圆H的方程为．（8分） （ⅱ）假设存在点E，使得y轴平分，满足，设，，， 则，将，代入， 得，即．（*） 联立，得，． 根据根与系数的关系，得，， 所以，代入（*）式，得， 即，因为对任意k，等式恒成立，所以， 解得，因此存在定点满足条件．（13分） 16．（15分） 【解析】（1）在直三棱柱中，，，两两垂直， 以为空间直角坐标原点，以，，方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系. ，，，， 则，， 设平面的法向量为， 则，则有， 令，可得， 又，所以点到平面的距离为， 所以，点到平面的距离为.（7分） （2）①，，则， 设， 则， 因为平面， 所以，，即 ， 得， 所以，得，所以. ②因为，，点为棱上的动点， 可设点的坐标为. 又，，， 所以，. 设平面的法向量为， 则，令，则. 又，设直线与平面所成角为， 则. 当时，； 当时，，当，取得最大值. 综上. 即直线与平面所成角的正弦值的取值范围为.（15分） 17．（15分） 【解析】（1）抛物线：，，准线方程为． 设，抛物线上点到准线距离等于． 点到准线距离为，所以，得． 代入，得，． 所以点到轴的距离为．（5分） （2）设直线的方程为，，，， 联立，得，所以，． 设直线的方程为，联立，得， 所以，由，两式相除可得，所以， 所以，化简得，解得， 又因为点在第一象限，所以，则，代入到中， 所以，解得，所以直线的方程为．（10分） （3）假设存在这样的，设，， 所以， 即， 化简得， 即， 即对任意恒成立， 所以，解得， 所以假设成立，即存在．（15分） 18．（17分） 【解析】（1）因为平面平面PAC，平面平面， ，且平面PAO，则平面PDB， 又因为平面PDB，所以， 在正方形ABCD中，，， 平面PAC，平面PAC，则平面PAC；（5分） （2）以AB为x轴，以AD为y轴，过点A的平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系， 如图，则，，，， 设，则，， 因为，所以①， 因为，所以②， 因为平面PAC，所以平面PAC法向量， 设平面BPC法向量，，， 则，则， 不妨取，则．所以, 因为二面角为， 所以③， 由①②③解得，，，或，，， 即或 ①当时，，，， 设平面DPC法向量，有， 则，不妨取，则，，所以， 则， 设PB与平面PCD所成角为，， 又因为，所以； ②当时，，，， 设平面DPC法向量，有， 则，不妨取，则，，所以， 则， 设PB与平面PCD所成角为，， 又因为，所以； 综上，PB与平面PCD所成角为或；（10分） （3）因为面，面，所以， 又因为，，，面， 所以面，又面，所以， 以为正交基建立空间直角坐标系， 因为，平面PAD，平面PAD，所以平面， 又因为平面PBC，且平面平面，所以，， 设，，，，，， 则，， 设平面法向量，有， 则，不妨取，则，所以， 因为平面PAC，所以平面法向量， 因为二面角为60°，所以， 即，解得，即， 设，，， 设平面ABQ法向量，有， 则，不妨取，则，所以， ，， 设平面CDQ法向量，有， 则，不妨取，则，所以， 则， 设，，， 则 ， 由，当且仅当时，等号成立， 故，即最小值为．（17分） 19．（17分） 【解析】（1）因为椭圆的离心率，当时，，解得； 当时，，解得．则或；（5分） （2）易得，所以直线的方程分别为，， 联立，消去并整理得， 因为直线与椭圆相切，所以，故， 因为，即， 联立， 消去并整理得， 因为直线与椭圆相切，所以，， 因为，即，则， 所以，当且仅当时，等号成立，此时． 故当时，取得最小值， 最小值为．（14分） （3）设，，联立直线方程和椭圆方程后结合韦达定理可求的坐标，同理可求的坐标，从而可用的坐标表示，结合在椭圆上化简前者可得时定值为.（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A]B][C][D] 6[A[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 双阙 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][C]D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) D C E B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) C D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册第一章~第三章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（热点）设、分别为椭圆的左、右焦点，，、两点均在椭圆上且满足，，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．（新情景）在正三棱台中，．若点P满足，则面积的最小值为（   ） A．6 B．8 C．12 D．16 3．（新考法）已知直线与曲线交于，两点，平面上的动点满足，，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 4．（改编题）已知在平行六面体中，底面，，，点P是棱上的动点，则平面与平面的夹角的正弦值的最大值为（） A． B． C． D． 5．（新文化）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点，及动点，若（且），则点的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）.在平面直角坐标系中，已知，，直线：，直线：，若为，的交点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（新定义）已知圆上的动点和定点，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 7．已知实数，，，满足，，，则的最大值为（   ） A． B．14 C． D．12 8．已知为双曲线：（，）右支上一点，，分别为左、右焦点，直线交轴于点，为坐标原点．若满足，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知圆：，直线：（），则下列结论正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．点为圆上一动点，则到直线距离的最大值为5 C．当时，圆上恰有两个点到直线的距离都等于 D．直线上存在点，使过点所作的圆的两条切线相互垂直，则 10．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，过 的直线 与椭圆相交于 两点， 则下列说法正确的有（      ） A． 的周长为 16 B． 内切圆半径的最大值为 2 C．若点 ，则 的最大值 9 D．若 ，则 11．如图，在三棱锥中，平面平面，与均为等腰直角三角形，且，，下列结论正确的有（    ） A．三棱锥的各条棱中，最长的棱长度为 B．二面角的正切值为 C．点为底面（包括边界）上的动点，，则点的轨迹长度为 D．点是线段上的动点，若线段上存在点，使得异面直线与成的角，则线段长的取值范围是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在空间直角坐标系中，已知，，，，则点到平面的距离是_________．若空间中点满足，则的最大值是_________． 13．如图，对垂直于球门底线的射线，当与底线的交点在线段的延长线上时，可以证明总能在上找到唯一的最佳射门点，即使最大的点.而当小申同学考察沿着直线在点右侧平行移动的情况时，发现相应的点都落在某条圆锥曲线上.则该曲线的离心率为_________. 14．已知函数给出下列四个命题： ①； ②函数是偶函数； ③存在，，，使得以点，，为顶点的三角形是等腰直角三角形； ④存在，，，，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形. 其中，所有真命题的序号是____. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知圆，，， (1)直线被圆M截得的弦长为，求直线l的方程； (2)圆H过圆M与圆N交点， （ⅰ）当圆H面积最小时，求圆H的方程； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，若直线与圆H交于C，D两点，探究当k不断变化时，在y轴上是否存在一定点E，使得y轴平分？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 16．（15分） 如图，在直三棱柱中，，，，为棱的中点. (1)求点到平面的距离； (2)若点在上，且平面. ①求的值； ②设点为棱上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 17．（15分） 已知抛物线：的焦点为．过点的直线与抛物线交于，两点，点在第一象限． (1)抛物线上一点到准线距离为4，求点到轴的距离； (2)直线与抛物线的另一个交点为，当时，求直线的方程； (3)是否存在定点，使得直线与斜率互为相反数，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 18．（17分） 已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，其中，二面角的大小为，平面平面PAC，面面，． (1)证明：面PAC； (2)若，求直线PB与平面PCD所成角的大小； (3)如图，若，平面平面，Q为l上一动点．平面ABQ与平面CDQ夹角的大小为，求的最小值． 19．（17分） 将离心率相等的所有椭圆称为“一簇椭圆系”．已知椭圆的左顶点为，上顶点为，左、右焦点分别为.点是椭圆上位于第一象限内的一点． (1)若椭圆与椭圆在“一簇椭圆系”中，求常数的值； (2)设椭圆，过作斜率为的直线与椭圆有且只有一个公共点，过作斜率为的直线与椭圆有且只有一个公共点，求当为何值时，取得最小值，并求其最小值； (3)设直线与椭圆交于另外一点，直线与椭圆交于另外一点，为直线上一点（为坐标原点），问是否存在实数满足，使得为定值？若存在，求出和定值；若不存在，请说明理由． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册第一章~第三章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（热点）设、分别为椭圆的左、右焦点，，、两点均在椭圆上且满足，，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．（新情景）在正三棱台中，．若点P满足，则面积的最小值为（   ） A．6 B．8 C．12 D．16 3．（新考法）已知直线与曲线交于，两点，平面上的动点满足，，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 4．（改编题）已知在平行六面体中，底面，，，点P是棱上的动点，则平面与平面的夹角的正弦值的最大值为（） A． B． C． D． 5．（新文化）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点，及动点，若（且），则点的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）.在平面直角坐标系中，已知，，直线：，直线：，若为，的交点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（新定义）已知圆上的动点和定点，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 7．已知实数，，，满足，，，则的最大值为（   ） A． B．14 C． D．12 8．已知为双曲线：（，）右支上一点，，分别为左、右焦点，直线交轴于点，为坐标原点．若满足，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知圆：，直线：（），则下列结论正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．点为圆上一动点，则到直线距离的最大值为5 C．当时，圆上恰有两个点到直线的距离都等于 D．直线上存在点，使过点所作的圆的两条切线相互垂直，则 10．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，过 的直线 与椭圆相交于 两点， 则下列说法正确的有（      ） A． 的周长为 16 B． 内切圆半径的最大值为 2 C．若点 ，则 的最大值 9 D．若 ，则 11．如图，在三棱锥中，平面平面，与均为等腰直角三角形，且，，下列结论正确的有（    ） A．三棱锥的各条棱中，最长的棱长度为 B．二面角的正切值为 C．点为底面（包括边界）上的动点，，则点的轨迹长度为 D．点是线段上的动点，若线段上存在点，使得异面直线与成的角，则线段长的取值范围是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在空间直角坐标系中，已知，，，，则点到平面的距离是_________．若空间中点满足，则的最大值是_________． 13．如图，对垂直于球门底线的射线，当与底线的交点在线段的延长线上时，可以证明总能在上找到唯一的最佳射门点，即使最大的点.而当小申同学考察沿着直线在点右侧平行移动的情况时，发现相应的点都落在某条圆锥曲线上.则该曲线的离心率为_________. 14．已知函数给出下列四个命题： ①； ②函数是偶函数； ③存在，，，使得以点，，为顶点的三角形是等腰直角三角形； ④存在，，，，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形. 其中，所有真命题的序号是____. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知圆，，， (1)直线被圆M截得的弦长为，求直线l的方程； (2)圆H过圆M与圆N交点， （ⅰ）当圆H面积最小时，求圆H的方程； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，若直线与圆H交于C，D两点，探究当k不断变化时，在y轴上是否存在一定点E，使得y轴平分？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 16．（15分） 如图，在直三棱柱中，，，，为棱的中点. (1)求点到平面的距离； (2)若点在上，且平面. ①求的值； ②设点为棱上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围 17．（15分） 已知抛物线：的焦点为．过点的直线与抛物线交于，两点，点在第一象限． (1)抛物线上一点到准线距离为4，求点到轴的距离； (2)直线与抛物线的另一个交点为，当时，求直线的方程； (3)是否存在定点，使得直线与斜率互为相反数，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 18．（17分） 已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，其中，二面角的大小为，平面平面PAC，面面，． (1)证明：面PAC； (2)若，求直线PB与平面PCD所成角的大小； (3)如图，若，平面平面，Q为l上一动点．平面ABQ与平面CDQ夹角的大小为，求的最小值． 19．（17分） 将离心率相等的所有椭圆称为“一簇椭圆系”．已知椭圆的左顶点为，上顶点为，左、右焦点分别为.点是椭圆上位于第一象限内的一点． (1)若椭圆与椭圆在“一簇椭圆系”中，求常数的值； (2)设椭圆，过作斜率为的直线与椭圆有且只有一个公共点，过作斜率为的直线与椭圆有且只有一个公共点，求当为何值时，取得最小值，并求其最小值； (3)设直线与椭圆交于另外一点，直线与椭圆交于另外一点，为直线上一点（为坐标原点），问是否存在实数满足，使得为定值？若存在，求出和定值；若不存在，请说明理由. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ ____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册第一章~第三章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（热点）设、分别为椭圆的左、右焦点，，、两点均在椭圆上且满足，，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 1．【答案】D 【解析】因为，所以设，则． 由椭圆的定义，得，， 在中，， 因为，所以．① 在中，，即．② 联立①②，解得，， 又因为，所以椭圆的离心率． 故选：D 2．（新情景）在正三棱台中，．若点P满足，则面积的最小值为（   ） A．6 B．8 C．12 D．16 2.【答案】C 【解析】设， 因为，所以在等腰梯形中， 故，， 因为，所以， 则，因为，所以，则， 则， 则， ， 故点到直线的距离为， 故面积为， 故当时，面积有最小值，最小值为. 故选：C 3．（新考法）已知直线与曲线交于，两点，平面上的动点满足，，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 3.【答案】B 【解析】由可知，直线过定点，设定点为，则为， 由可知，曲线由反比例函数平移得到，则曲线对称中心为，即为点， 所以点为，两点中点，则由向量中点公式可得， 又，所以，即，所以动点在以为圆心，半径的圆内含边界， 因为，所以. 故选：B 4．（改编题）已知在平行六面体中，底面，，，点P是棱上的动点，则平面与平面的夹角的正弦值的最大值为（） A． B． C． D． 4.【答案】A 【解析】已知底面，，设，， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，设， 得到，，， 记平面和平面的夹角为． 记平面的法向量为，则 令，则，，所以，则． 记平面的法向量为，则 令，则，，所以，则， 所以，， ， 当且仅当时，不等式取等号，所以，故平面与平面的夹角的正弦值的最大值为. 故选：A 5．（新文化）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点，及动点，若（且），则点的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）.在平面直角坐标系中，已知，，直线：，直线：，若为，的交点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5.【答案】A 【解析】设． 由，解得 于是 所以点的轨迹在以为圆心、为半径的圆上，轨迹如图所示； 由上面的参数式反解得，故除点外，圆上的点均可取得． 取点． 由得 因此即． 于是 又，，故线段与圆有唯一交点． 该点纵坐标为正，故，可以由某个实数取得； 此时在线段上，等号成立． 所以的最小值为，A正确． 故选：A 6．（新定义）已知圆上的动点和定点，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 6.【答案】B 【解析】 如图，取点，连接， ，， ，， ， ， ，当且仅当三点共线时等号成立, 的最小值为的长， ， ，即的最小值为. 故选：B 7．已知实数，，，满足，，，则的最大值为（   ） A． B．14 C． D．12 7.【答案】B 【解析】设，由可知点在以原点为圆心，半径为的圆上， 又，所以，即， 设点到直线的距离分别为，则， 所以， 取的中点，则点到直线的距离， 又，即点在以原点为圆心，半径为的圆上，设点到直线的距离为， 则点到直线的距离的最大值为，即， 因为，所以，所以， 所以， 即的最大值为. 故选：B 8．已知为双曲线：（，）右支上一点，，分别为左、右焦点，直线交轴于点，为坐标原点．若满足，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 8.【答案】B 【解析】如图，连接，由双曲线定义，， 因，则， 由对称性可知，，设， 在等腰三角形中，，即（*） 在中，由余弦定理，， 即， 将（*）代入，可得， 整理得，则有， 故. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知圆：，直线：（），则下列结论正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．点为圆上一动点，则到直线距离的最大值为5 C．当时，圆上恰有两个点到直线的距离都等于 D．直线上存在点，使过点所作的圆的两条切线相互垂直，则 9.【答案】AD 【解析】对于A，直线：，即 ， 由解得， 所以直线恒过定点，故A正确； 对于B，圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 当时，，当时，， 所以， 则圆上一动点到直线距离的最大值小于，故B错误； 对于C，当时，， 圆心到直线的距离为， 因为， 所以圆上恰有个点到直线的距离都等于，所以C错误； 对于D，设， 因为过点所作的圆的两条切线相互垂直， 所以由圆的性质可知两切点与两点形成正方形，且边长为， 则， 平方化简得， 根据点的存在性可知方程有解， 所以， 整理得，解得， 即，所以D正确. 故选：AD 10．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，过 的直线 与椭圆相交于 两点， 则下列说法正确的有（      ） A． 的周长为 16 B． 内切圆半径的最大值为 2 C．若点 ，则 的最大值 9 D．若 ，则 10.【答案】ACD 【解析】由 ，知. 所以 的周长为， 故A正确； 设内切圆半径为，， 的周长为， 面积为， 所以，得. 所以 内切圆半径的最大值小于 2，故B错误； 由椭圆的定义，得， 所以， 当为延长线与椭圆的交点时取等号，故最大值为，故C正确； 设， 由 ，得，所以. 当直线的斜率不存在时，其方程为， 代入，得，. 所以，不合题意； 当直线的斜率存在时，设其方程为， 由，得. 所以. 因为， 所以， 即，， 所以或. 当时，，无解； 当时，，，， 所以，故D正确. 故选：ACD 11．如图，在三棱锥中，平面平面，与均为等腰直角三角形，且，，下列结论正确的有（    ） A．三棱锥的各条棱中，最长的棱长度为 B．二面角的正切值为 C．点为底面（包括边界）上的动点，，则点的轨迹长度为 D．点是线段上的动点，若线段上存在点，使得异面直线与成的角，则线段长的取值范围是 11.【答案】BC 【解析】平面平面，与均为等腰直角三角形， 且，，则， ，平面平面， 平面，又平面， ，则， 故最长的棱长度为，故A错误； 以为坐标原点，所在直线分别为轴， 过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系， ， 则，， 易知平面的一个法向量， 设平面的一个法向量， ，不妨取，则， 设二面角为， 又，二面角为锐角， ，，故B正确； 设的中点为，中点为，连接，， 又为等腰三角形，， ，， 又平面平面，平面平面， 平面，又平面， ，，解得， 则的轨迹是以为圆心，半径为的弧上，如图： 易得，则，则，故C正确； ，， 设，与为异面直线，故， ，，， 则，， 所以，解得， 所以，， 因为异面直线与成的角， 所以， 故，， 其中，故，又， 解得， ，故 线段长的取值范围是，故D错误． 故选：BC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在空间直角坐标系中，已知，，，，则点到平面的距离是_________．若空间中点满足，则的最大值是_________． 12.【答案】 / 【解析】①，，. 设平面的法向量为， 则，即，令，则，所以. 所以点到平面的距离为. ②设，由题意得的中点，的中点， ， 又，则， 即点在以为球心，半径的球面上. 同理，， 又， 则， ， 故， 所以的最大值为. 13．如图，对垂直于球门底线的射线，当与底线的交点在线段的延长线上时，可以证明总能在上找到唯一的最佳射门点，即使最大的点.而当小申同学考察沿着直线在点右侧平行移动的情况时，发现相应的点都落在某条圆锥曲线上.则该曲线的离心率为_________. 13.【答案】 【解析】如图，建立直角坐标系. 设，，， 要使最大，则点为过、的圆与直线的切点. 设过、的圆的圆心为，因为为圆与直线的切点，所以. 又，所以. 即点在等轴双曲线上，所以点所在圆锥曲线的离心率为. 14．已知函数给出下列四个命题： ①； ②函数是偶函数； ③存在，，，使得以点，，为顶点的三角形是等腰直角三角形； ④存在，，，，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形. 其中，所有真命题的序号是____. 14.【答案】② ④ 【解析】① 当时，，∴；当时，，∴；∴① 错误； ② 当时，，∴，当时，，∴，∴，，∴函数是偶函数，② 正确； ③ 当时，，显然三点共线，不能组成三角形， 同理当时，，三点共线，不能组成三角形； 所以只有可能是：两个有理数和一个无理数或者一个有理数和2个无理数. 当中有两个有理数和一个无理数时，不妨设，，， 即，，，即，，， 显然不可能为直角. 要想三角形是等腰直角三角形，则为直角，且， 因为线段轴，∴关于对称， 所以，因为等式左边为有理数右边为无理数，等式不成立， 所以三角形不是等腰直角三角形； 当中有一个有理数和两个无理数时，不妨设，，， 即，，，即，，， 显然不可能为直角， 若是以为直角顶点的等腰直角三角形，其中，. 则需满足且.这等价于且. 联立可得且.即且. 由于是有理数，这要求也必须是有理数，与矛盾.故不存在这样的三角形; 综上所述，不存在，，，使得三角形是等腰直角三角形；③ 错误； ④ 设，，，，则，，，， 则，且， ∴四边形为菱形，④ 正确. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知圆，，， (1)直线被圆M截得的弦长为，求直线l的方程； (2)圆H过圆M与圆N交点， （ⅰ）当圆H面积最小时，求圆H的方程； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，若直线与圆H交于C，D两点，探究当k不断变化时，在y轴上是否存在一定点E，使得y轴平分？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】（1） 设圆心M到直线l的距离为d，则，故， 由得或， 故直线l的方程为或． （2）（ⅰ）设圆M与圆N交点分别为P，Q，圆H面积最小时，圆H是以为直径的圆， ，即，① 圆，即，② ①−②得公共弦所在直线方程：， 圆M圆心、圆N圆心，两点连线的斜率， 所以直线，直线垂直平分，故圆心H就是直线与的交点， 联立解得． 将代入， 得，即，所以， 所以圆H的方程为．（8分） （ⅱ）假设存在点E，使得y轴平分，满足，设，，， 则，将，代入， 得，即．（*） 联立，得，． 根据根与系数的关系，得，， 所以，代入（*）式，得， 即，因为对任意k，等式恒成立，所以， 解得，因此存在定点满足条件． 16．（15分） 如图，在直三棱柱中，，，，为棱的中点. (1)求点到平面的距离； (2)若点在上，且平面. ①求的值； ②设点为棱上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围 【解析】（1）在直三棱柱中，，，两两垂直， 以为空间直角坐标原点，以，，方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系. ，，，， 则，， 设平面的法向量为， 则，则有， 令，可得， 又，所以点到平面的距离为， 所以，点到平面的距离为. （2）①，，则， 设， 则， 因为平面， 所以，，即 ， 得， 所以，得，所以. ②因为，，点为棱上的动点， 可设点的坐标为. 又，，， 所以，. 设平面的法向量为， 则，令，则. 又，设直线与平面所成角为， 则. 当时，； 当时，，当，取得最大值. 综上. 即直线与平面所成角的正弦值的取值范围为. 17．（15分） 已知抛物线：的焦点为．过点的直线与抛物线交于，两点，点在第一象限． (1)抛物线上一点到准线距离为4，求点到轴的距离； (2)直线与抛物线的另一个交点为，当时，求直线的方程； (3)是否存在定点，使得直线与斜率互为相反数，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【解析】（1）抛物线：，，准线方程为． 设，抛物线上点到准线距离等于． 点到准线距离为，所以，得． 代入，得，． 所以点到轴的距离为． （2）设直线的方程为，，，， 联立，得，所以，． 设直线的方程为，联立，得， 所以，由，两式相除可得，所以， 所以，化简得，解得， 又因为点在第一象限，所以，则，代入到中， 所以，解得，所以直线的方程为． （3）假设存在这样的，设，， 所以， 即， 化简得， 即， 即对任意恒成立， 所以，解得， 所以假设成立，即存在． 18．（17分） 已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，其中，二面角的大小为，平面平面PAC，面面，． (1)证明：面PAC； (2)若，求直线PB与平面PCD所成角的大小； (3)如图，若，平面平面，Q为l上一动点．平面ABQ与平面CDQ夹角的大小为，求的最小值． 【解析】（1）因为平面平面PAC，平面平面， ，且平面PAO，则平面PDB， 又因为平面PDB，所以， 在正方形ABCD中，，， 平面PAC，平面PAC，则平面PAC； （2）以AB为x轴，以AD为y轴，过点A的平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系， 如图，则，，，， 设，则，， 因为，所以①， 因为，所以②， 因为平面PAC，所以平面PAC法向量， 设平面BPC法向量，，， 则，则， 不妨取，则．所以, 因为二面角为， 所以③， 由①②③解得，，，或，，， 即或 ①当时，，，， 设平面DPC法向量，有， 则，不妨取，则，，所以， 则， 设PB与平面PCD所成角为，， 又因为，所以； ②当时，，，， 设平面DPC法向量，有， 则，不妨取，则，，所以， 则， 设PB与平面PCD所成角为，， 又因为，所以； 综上，PB与平面PCD所成角为或； （3）因为面，面，所以， 又因为，，，面， 所以面，又面，所以， 以为正交基建立空间直角坐标系， 因为，平面PAD，平面PAD，所以平面， 又因为平面PBC，且平面平面，所以，， 设，，，，，， 则，， 设平面法向量，有， 则，不妨取，则，所以， 因为平面PAC，所以平面法向量， 因为二面角为60°，所以， 即，解得，即， 设，，， 设平面ABQ法向量，有， 则，不妨取，则，所以， ，， 设平面CDQ法向量，有， 则，不妨取，则，所以， 则， 设，，， 则 ， 由，当且仅当时，等号成立， 故，即最小值为． 19．（17分） 将离心率相等的所有椭圆称为“一簇椭圆系”．已知椭圆的左顶点为，上顶点为，左、右焦点分别为.点是椭圆上位于第一象限内的一点． (1)若椭圆与椭圆在“一簇椭圆系”中，求常数的值； (2)设椭圆，过作斜率为的直线与椭圆有且只有一个公共点，过作斜率为的直线与椭圆有且只有一个公共点，求当为何值时，取得最小值，并求其最小值； (3)设直线与椭圆交于另外一点，直线与椭圆交于另外一点，为直线上一点（为坐标原点），问是否存在实数满足，使得为定值？若存在，求出和定值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）因为椭圆的离心率，当时，，解得； 当时，，解得．则或； （2）易得，所以直线的方程分别为，， 联立，消去并整理得， 因为直线与椭圆相切，所以，故， 因为，即， 联立， 消去并整理得， 因为直线与椭圆相切，所以，， 因为，即，则， 所以，当且仅当时，等号成立，此时． 故当时，取得最小值， 最小值为． （3）设，，联立直线方程和椭圆方程后结合韦达定理可求的坐标，同理可求的坐标，从而可用的坐标表示，结合在椭圆上化简前者可得时定值为. / 学科网（北京）股份有限公司 $