专题7 垂直平分线的综合计算（重难点培优讲义） 2026-2027学年人教版八年级数学上册

专题7 垂直平分线的综合计算 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型01 利用垂直平分线的性质求长度 题型02 利用垂直平分线的性质求角度 题型03 线段垂直平分线中的最值问题 题型04 线段垂直平分线中的证明题 题型05 尺规作图——作线段垂直平分线或垂线 题型06 线段垂直平分线的判定与性质综合 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点1 线段垂直平分线的定义及其性质 1. 定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． 2. 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB． 3. 尺规作线段的垂直平分线： （1）以点 为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于 两点； （2）作为直线 ，为所求直线． 【针对训练】 【例1】如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为（　　） A．13 B．17 C．18 D．21 【变式训练】如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点E、D，连接BD，若△ABC的周长为28cm，△BCD的周长为24cm，则AE的长为（　　） A．2cm B．4cm C．9cm D．10cm 知识点2 线段的垂直平分线的判定 1. 线段垂直平分线的判定 方法①：根据定义证明一条直线经过线段的中点且与线段垂直。 方法②：到线段两端点距离相等的点一定在这条线段的 垂直平分线 上。证明一个点到线段的两个端点的距离相等。 注意：证明线段的垂直的平分线必须证明两个点到线段的端点距离相等。若只证明一个点，则只能说明在个点在垂直平分线上，不能得到垂直平分线。 【针对训练】 【例2】如图，AD与BC相交于点O，OA＝OC，∠A＝∠C，BE＝DE．求证：OE垂直平分BD． 【变式训练】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E． （1）若∠BAC＝40°，求∠EDA的度数； （2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线． 典例精析 题型1：利用垂直平分线的性质求长度 【例1】如图，在中，，垂直平分，垂足为E，交于D，若的周长为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】如图，在中，的垂直平分线与交于点，与交于点，连接，F为的中点，若，则的长为（    ） A．4 B． C．3 D． 题型2：利用垂直平分线的性质求角度 【例2】如图，在中，，P为内一点，过点P的直线分别交，于点E，F．若点E，F分别在，的垂直平分线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】如图，中，是腰的垂直平分线，则（    ） A． B． C． D． 题型3：线段垂直平分线中的最值问题 【例13】如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为 ． 【变式训练】如图，点为直线外一点，，连接，，点，分别是，的中点，连接，交于点，已知图中阴影部分的面积为5． （1）的面积为 ； （2）线段长的最小值为 ． 题型4：线段垂直平分线中的证明题 【例4】如图，平分，P是上任意一点，过P向，作垂线，垂足分别为D，E，连接．求证：垂直平分． 【变式训练】如图，点P是外的一点，平分，于点D，且，交的延长线于点B，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型5：尺规作图——作线段垂直平分线或垂线 【例5】如图，在中，分别以顶点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点M，N，连接，分别与边相交于点D，．若，的周长为18，则的周长为（   ） A．20 B．24 C．25 D．30 【变式训练】如图，在中，分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点，作直线分别交于点，连接．若，的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 题型6：线段垂直平分线的判定与性质综合 【例6】如图，在中，边的垂直平分线分别交边，于点，，过点A作，垂足为点，且点为线段的中点，连接．若，，则的长为（  ） A．8 B．10 C．12 D．14 【变式训练】如图，在中，点D是AC的中点，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于F，直线FD交BC于点E，连接，若，的周长为16，则的周长为(　　) A．9 B．10 C．11 D．12 1．如图在中，的垂直平分线交于，交于，，连接，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，．若的周长为，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 3．如图，已知线段，利用尺规作的垂直平分线，步骤如下：①分别以点A和点B为圆心，以一定长度m为半径作弧，两弧相交于点C和点D；②作直线，直线就是线段的垂直平分线．下列各数中，m的值可能是（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 4．如图，在中，分别以的端点A，B为圆心，以大于长为半径在两边画弧，使两弧相交于点M，N；作直线交于点P，连接．已知点P是的中点，，则的长是（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 5．如图，在中，，，为边的中垂线．若，则的周长为________． 6．如图，在中，，，，是线段的垂直平分线，交于点D，交于点E，则的周长为________． 7．如图，在中，，，根据图中尺规作图的痕迹，可得_____． 8．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、．作直线，交于点，交于点，连接．若，，，则的周长为_______． 9．如图，是的垂直平分线，的周长为，求的长． 10．如图张阿姨有一块果园，她在边中点处拉了一条垂直于的细绳，另一端连在边的点，再用围栏连接，把围成苹果园．已知米，区域的围栏总长度为10米，则的长度为（   ） A．2米 B．4米 C．6米 D．8米 11．如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，若的周长为20，，则的周长为（     ） A．17 B．18 C．16 D．12 12．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交于点，连接．若，，则的周长为（   ） A．20 B．15 C．10 D．25 13．如图，在中，以点为圆心，适当长为半径作弧，与交于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交于点．则（   ） A． B． C． D．平分 14．如图，等腰中，，的垂直平分线交于点，则周长是__________． 15．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，点，过这两个点作直线，交于点，连接．若，，则的长为_____． 16．如图，在中，用尺规作图的方式得到点，若的周长为9，，则___________． 17．如图，在中，，，依据尺规作图的痕迹，作直线，交于点F，则的度数为______． 18．如图，在中，，边的垂直平分线交和于点D，E，并且平分．若，求的长． 19．如图，已知，垂直平分，交于点，交于点，垂直平分，交于点，交于点，连接． (1)连接，，若，求的周长； (2)若，求证：平分． 20．如图，等腰的周长为20，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的周长为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 21．如图，点E为的边上一点，的垂直平分线刚好经过点C且与边交于点D，连接，若，，，则的周长是（    ） A．10 B．15 C．14 D．12 22．如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 23．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，垂足分别为，．则的周长是_____________． 24．如图，在中，的垂直平分线分别交线段，于点，，的垂直平分线分别交线段，于点，，，的周长为16，则的长度为_____． 25．如图，在中，，，以点为圆心，的长为半径作圆弧，交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，作直线交于点．则的周长为________． 26．如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)请说明与的大小关系； (2)若的周长为42cm，，求的长． 27．教材呈现：如图是八年级上册数学部分内容． 2．线段垂直平分线 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．如图，直线是线段的垂直平分线，是上任一点，连结、．将线段沿直线对折，我们发现与完全重合．由此即有：绕段垂直平分线的性质定理  线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 已知：如图，，垂足点为C，，点P是直线的任意一点，求证：． AI 分析：图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证明． （1）请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程． 定理应用： （2）如图②，在中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，垂足分别为M，N，，则的周长为________． （3）如图③，在中，，，E、P分别是AB、AD上任意一点，若，的面积为30，则的最小值是________． 试卷第1页（共2页） 试卷第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7 垂直平分线的综合计算 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型01 利用垂直平分线的性质求长度 题型02 利用垂直平分线的性质求角度 题型03 线段垂直平分线中的最值问题 题型04 线段垂直平分线中的证明题 题型05 尺规作图——作线段垂直平分线或垂线 题型06 线段垂直平分线的判定与性质综合 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点1 线段垂直平分线的定义及其性质 1. 定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． 2. 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB． 3. 尺规作线段的垂直平分线： （1）以点 为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于 两点； （2）作为直线 ，为所求直线． 【针对训练】 【例1】如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为（　　） A．13 B．17 C．18 D．21 【答案】A 【解答】解：∵AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，AC＝8，BC＝5， ∴AE＝BE， ∴C△BCE＝BE+CE+BC＝AE+CE+BC＝AC+BC＝8+5＝13． 故选：A． 【变式训练】如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点E、D，连接BD，若△ABC的周长为28cm，△BCD的周长为24cm，则AE的长为（　　） A．2cm B．4cm C．9cm D．10cm 【答案】A 【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴AD＝BD，AE＝BE， ∵△ABC的周长28cm， ∴AB+AC+BC＝28cm， ∵△BCD的周长24cm， ∴BD+BC+CD＝AD+BC+CD＝AC+BC＝24cm， ∴AB＝28﹣24＝4cm， ∴， 故选：A． 知识点2 线段的垂直平分线的判定 1. 线段垂直平分线的判定 方法①：根据定义证明一条直线经过线段的中点且与线段垂直。 方法②：到线段两端点距离相等的点一定在这条线段的 垂直平分线 上。证明一个点到线段的两个端点的距离相等。 注意：证明线段的垂直的平分线必须证明两个点到线段的端点距离相等。若只证明一个点，则只能说明在个点在垂直平分线上，不能得到垂直平分线。 【针对训练】 【例2】如图，AD与BC相交于点O，OA＝OC，∠A＝∠C，BE＝DE．求证：OE垂直平分BD． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：在△AOB与△COD中， ， ∴△AOB≌△COD（ASA）， ∴OB＝OD， ∴点O在线段BD的垂直平分线上， ∵BE＝DE， ∴点E在线段BD的垂直平分线上， ∴OE垂直平分BD． 【变式训练】．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E． （1）若∠BAC＝40°，求∠EDA的度数； （2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线． 【答案】（1）66°； （2）见解析． 【解答】（1）解：∵∠BAC＝40°，AD平分∠BAC， ∴∠EAD∠BAC＝20°， ∵DE⊥AB， ∴∠AED＝90°， ∴∠EDA＝90°﹣20°＝70°． （2）证明：∵DE⊥AB， ∴∠AED＝90°＝∠ACB， 又∵AD平分∠BAC， ∴∠DAE＝∠DAC， 在△AED和△ACD中， ， ∴△AED≌△ACD（AAS）， ∴AE＝AC， ∵AD平分∠BAC， ∴AD⊥CE，AD平分线段EC， 即直线AD是线段CE的垂直平分线． 典例精析 题型1：利用垂直平分线的性质求长度 【例1】如图，在中，，垂直平分，垂足为E，交于D，若的周长为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解答本题的关键． 利用线段垂直平分线的性质得，再利用已知条件三角形的周长计算． 【详解】解：∵垂直平分， ∴． ∵的周长， ， ， ， ， 故选：B． 【变式训练】如图，在中，的垂直平分线与交于点，与交于点，连接，F为的中点，若，则的长为（    ） A．4 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形的中位线定理，解题的关键是掌握垂直平分线到两端距离相等，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． 根据垂直平分线的性质得出，点D为中点，进而得出，即可解答． 【详解】解：∵为垂直平分线， ∴，点D为中点， ∵F为的中点，， ∴， ∴， 故选：A． 题型2：利用垂直平分线的性质求角度 【例2】如图，在中，，P为内一点，过点P的直线分别交，于点E，F．若点E，F分别在，的垂直平分线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质和三角形内角和定理．利用数形结合的思想是解题关键．由线段垂直平分线的性质可知，．再根据平角和三角形内角和定理计算即可得出答案． 【详解】解：∵点E，F分别在，的垂直平分线上， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，即， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【变式训练】如图，中，是腰的垂直平分线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质，已知，可得，再由线段垂直平分线的性质可求出，易求，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键． 【详解】解：，， 又垂直且平分， ， ， ，即的度数是， 故选：C． 题型3：线段垂直平分线中的最值问题 【例3】如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质，垂线段最短，平行线的性质，过作于，由平行线的性质推出，由角平分线的性质推出，，得到 ，由垂线段最短得到，即可得到的最小值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解: 过作于， ∵，， ∴， ∵和分别平分和， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为， 故答案为：． 【变式训练】如图，点为直线外一点，，连接，，点，分别是，的中点，连接，交于点，已知图中阴影部分的面积为5． （1）的面积为 ； （2）线段长的最小值为 ． 【答案】 5 6 【分析】本题考查了三角形的中线与面积、垂线段最短，熟练掌握三角形的中线与面积是解题关键． （1）先根据三角形的中线可得，，则可得，由此即可得； （2）过点作，交延长线于点，连接，先根据三角形的中线可得，，则可得，从而可得，再根据三角形的面积公式可得，然后根据垂线段最短即可得． 【详解】解：（1）∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵图中阴影部分的面积为5， ∴的面积为5， 故答案为：5． （2）如图，过点作，交延长线于点，连接， ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 由垂线段最短可知，线段长的最小值为， 故答案为：6． 题型4：线段垂直平分线中的证明题 【例4】如图，平分，P是上任意一点，过P向，作垂线，垂足分别为D，E，连接．求证：垂直平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质和角平分线的性质，先证明，可得，，再证明，得到，，进而即可得出结论． 【详解】证明：平分，，， 则在和中， ，，， ， ，， 则在和中， ，，， ， ，， 垂直平分， 即垂直平分． 【变式训练】如图，点P是外的一点，平分，于点D，且，交的延长线于点B，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了垂直平分线的性质、角平分线的性质定理、全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质即可证明； （2）作于点，根据角平分线的性质定理可得，通过证明和，得到，，再利用线段的和差以及等量关系得到，代入数据即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴是的垂直平分线， ∴； （2）解：如图，作于点， ∵平分，，， ∴，， 由（1）得，， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：． 题型5：尺规作图——作线段垂直平分线或垂线 【例5】如图，在中，分别以顶点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点M，N，连接，分别与边相交于点D，．若，的周长为18，则的周长为（   ） A．20 B．24 C．25 D．30 【答案】B 【分析】本题考查中垂线的性质，根据作图可知垂直平分线段，进而得到，，推出，再根据三角形的周长公式进行计算即可． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段， ，， ， 的周长， ， 的周长 故选：B 【变式训练】如图，在中，分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点，作直线分别交于点，连接．若，的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了尺规作图——作垂直平分线，垂直平分线的性质，由作图可知是的边的垂直平分线，则有，，即，然后通过的周长为，则有，再代入即可求解，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：由作图步骤可得是的边的垂直平分线， ∴，，即， ∵， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴的周长为， 故选：． 题型6：线段垂直平分线的判定与性质综合 【例6】如图，在中，边的垂直平分线分别交边，于点，，过点A作，垂足为点，且点为线段的中点，连接．若，，则的长为（  ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定和性质，熟练掌握是解题的关键． 先证明垂直平分，得，再根据垂直平分，得，根据，即得． 【详解】解：∵，且点为线段的中点， ∴垂直平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【变式训练】如图，在中，点D是AC的中点，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于F，直线FD交BC于点E，连接，若，的周长为16，则的周长为(　　) A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形三线合一性质，垂直平分线判定和性质，掌握相关知识是解题的关键．先证明垂直平分得到，由求出，从而得到的周长为：，继而得解． 【详解】连接、， 依题意可知：， 又∵点D是AC的中点， ∴垂直，， ∴垂直平分， ∴， ∵的周长为16， ∴， ∴， ∴的周长为： 1．如图在中，的垂直平分线交于，交于，，连接，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】线段垂直平分线的性质 【详解】解：连接，   是的垂直平分线，， ∴． 2．如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，．若的周长为，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质 【详解】解：∵的垂直平分线分别交，于点， ∴ ∵的周长为 ∴ ∴的周长为． 3．如图，已知线段，利用尺规作的垂直平分线，步骤如下：①分别以点A和点B为圆心，以一定长度m为半径作弧，两弧相交于点C和点D；②作直线，直线就是线段的垂直平分线．下列各数中，m的值可能是（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】D 【知识点】作已知线段的垂直平分线 【分析】利用基本作图得到，从而可对各选项进行判断． 【详解】解：根据题意得， 即， 故选项D符合题意． 4．如图，在中，分别以的端点A，B为圆心，以大于长为半径在两边画弧，使两弧相交于点M，N；作直线交于点P，连接．已知点P是的中点，，则的长是（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】根据作图，得到直线是线段的垂直平分线，得到，结合点P是的中点，，得到，求解即可． 【详解】解：根据作图，得到直线是线段的垂直平分线， ， 由点P是的中点，， ． 5．如图，在中，，，为边的中垂线．若，则的周长为________． 【答案】20 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，然后将的周长转化为即可． 【详解】解：∵为边的中垂线 ∴ ∵， ∴的周长． 6．如图，在中，，，，是线段的垂直平分线，交于点D，交于点E，则的周长为________． 【答案】14 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】先得出，再根据三角形的周长公式求解即可得． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴的周长为． 7．如图，在中，，，根据图中尺规作图的痕迹，可得_____． 【答案】53 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、作垂线(尺规作图) 【分析】本题主要考查了尺规作图，直角三角形的两锐角互余．根据作图痕迹知，再利用直角三角形的两锐角互余求角度即可． 【详解】解：根据作图痕迹知， ∴， ∵， ∴， 故答案为：53． 8．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、．作直线，交于点，交于点，连接．若，，，则的周长为_______． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】根据题意可得，垂直平分，于是可得，再根据的周长等于，即可得解． 【详解】解：根据题意可得，垂直平分， ， 的周长， 又，， 的周长． 9．如图，是的垂直平分线，的周长为，求的长． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】利用线段垂直平分线的性质可得，然后根据的周长为，可得，即可得出答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∵， ∴． 10．如图张阿姨有一块果园，她在边中点处拉了一条垂直于的细绳，另一端连在边的点，再用围栏连接，把围成苹果园．已知米，区域的围栏总长度为10米，则的长度为（   ） A．2米 B．4米 C．6米 D．8米 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】根据线段垂直平分线的性质得出，则可求，然后结合即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵区域的围栏总长度为10米， ∴， ∴， 即的长度为4米． 11．如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，若的周长为20，，则的周长为（     ） A．17 B．18 C．16 D．12 【答案】D 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】根据线段垂直平分线的概念和性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：是的垂直平分线， ，， 的周长为20， ， ， ， 的周长． 12．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交于点，连接．若，，则的周长为（   ） A．20 B．15 C．10 D．25 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查基本尺规作图作垂直平分线、线段垂直平分线的性质，得到是线段的垂直平分线是解答的关键． 先根据作图痕迹可得是线段的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质证得即可求解． 【详解】解：根据作图痕迹，是线段的垂直平分线， ， ∵，， 的周长为， 故选：B． 13．如图，在中，以点为圆心，适当长为半径作弧，与交于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交于点．则（   ） A． B． C． D．平分 【答案】A 【知识点】作垂线(尺规作图) 【详解】解：由作图知，， 不能得到，，平分， 综上，只有选项A符合题意． 14．如图，等腰中，，的垂直平分线交于点，则周长是__________． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等腰三角形的性质，熟记性质是解题的关键． 先根据线段垂直平分线的性质得到，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， 在等腰中，∵， ∴， ∵， ∴的周长为． 故答案为：． 15．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，点，过这两个点作直线，交于点，连接．若，，则的长为_____． 【答案】4 【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、尺规作图等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 首先求出，由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得． 【详解】解：∵，， ∴， 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴． 故答案为：4． 16．如图，在中，用尺规作图的方式得到点，若的周长为9，，则___________． 【答案】5 【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和线段垂直平分线的尺规作图，由作图方法可知，点D在线段的垂直平分线上，则，根据三角形的周长公式可得，据此可得答案． 【详解】解：由作图方法可知，点D在线段的垂直平分线上， ∴， ∵的周长为9， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 故答案为：5． 17．如图，在中，，，依据尺规作图的痕迹，作直线，交于点F，则的度数为______． 【答案】/10度 【知识点】等边对等角、直角三角形的两个锐角互余、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查了等边对等角，作垂线，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合作图痕迹，得出，因为，故，因为，所以，然后把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：观察作图痕迹，得出， 即， ∵， ∴， ∵，， ∴， 则， 故答案为：． 18．如图，在中，，边的垂直平分线交和于点D，E，并且平分．若，求的长． 【答案】2 【知识点】角平分线的性质定理、全等的性质和HL综合（HL）、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质．根据线段垂直平分线的性质得出线段的数量关系和直角，利用角平分线的性质证明，可证明得出对应边相等，即可求解． 【详解】解：∵垂直平分线段， ∴，，， ∵平分，且，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 19．如图，已知，垂直平分，交于点，交于点，垂直平分，交于点，交于点，连接． (1)连接，，若，求的周长； (2)若，求证：平分． 【答案】(1)15 (2) 证明：，垂直平分，垂直平分，， ，， ． 平分． 【知识点】线段垂直平分线的性质、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的判定定理，熟练掌握线段垂直平分的性质是解题关键． （1）先根据线段垂直平分线的性质可得，，再根据三角形的周长公式即可得； （2）先根据已知可得，，，，从而可得，再根据角平分线的判定定理即可得证． 【详解】（1）解：垂直平分， ． 同理：． 的周长； （2）略 20．如图，等腰的周长为20，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的周长为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】D 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】由垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可得，根据题目条件求出，再根据的周长，求出结果即可． 【详解】解：∵等腰的周长为20，， ∴， ∴， 是的垂直平分线， ， 的周长． 21．如图，点E为的边上一点，的垂直平分线刚好经过点C且与边交于点D，连接，若，，，则的周长是（    ） A．10 B．15 C．14 D．12 【答案】D 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，，进而求出的长，最后利用三角形周长公式及线段和差关系求解即可． 【详解】解：的垂直平分线经过点且与边交于点， 垂直平分， ，， ，， ， ， ， 的周长． 22．如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线、作线段(尺规作图) 【分析】由作图可得，垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用等量代换即可得到的周长． 【详解】解：由作图可得，垂直平分， ∴， ∴的周长为． 23．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，垂足分别为，．则的周长是_____________． 【答案】6 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，，再结合三角形的周长公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴的周长是． 24．如图，在中，的垂直平分线分别交线段，于点，，的垂直平分线分别交线段，于点，，，的周长为16，则的长度为_____． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得到，根据三角形周长的定义和线段的和差得到，即可求出的长度． 【详解】解：∵垂直平分垂直平分， ∴， ∵的周长为16， ∴ ∵， ∴ 故答案为： 25．如图，在中，，，以点为圆心，的长为半径作圆弧，交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，作直线交于点．则的周长为________． 【答案】22 【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】由作图可得，垂直平分，得到，然后等量代换即可得到的周长． 【详解】解：由作图可得，垂直平分， ， 的周长为． 26．如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)请说明与的大小关系； (2)若的周长为42cm，，求的长． 【答案】(1)； (2)13cm． 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． （1）由线段垂直平分线的性质推出，，得到； （2）由的周长得到，结合，，求出的长即可． 【详解】（1）（1）解：，理由如下： 垂直平分， ， ，， 垂直平分， ， ； （2）（2）解：的周长，， ， ， ． 27．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容． 2．线段垂直平分线 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．如图，直线是线段的垂直平分线，是上任一点，连结、．将线段沿直线对折，我们发现与完全重合．由此即有：绕段垂直平分线的性质定理  线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 已知：如图，，垂足点为C，，点P是直线的任意一点，求证：． AI 分析：图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证明． （1）请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程． 定理应用： （2）如图②，在中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，垂足分别为M，N，，则的周长为________． （3）如图③，在中，，，E、P分别是AB、AD上任意一点，若，的面积为30，则的最小值是________． 【答案】（1）证明：在和中 ， ∴， ∴； （2）24； （3） 【知识点】全等三角形综合问题、线段垂直平分线的性质、最短路径问题 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质、最短路径等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质是关键． （1）证明即可得证； （2）利用线段垂直平分线的性质得出，，然后根据三角形的周长和线段的和差关系即可求解； （3）在上取点F，使，过点B作于H，证明得出，证明得出，则，故当B、P、F三点共线，且时，最小，最小值为，然后根据三角形面积求出即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵、的垂直平分线分别交于点、， ∴， ∴， ∵， ∴，即的周长为24． 故答案为：24； （3）解：在上取点F，使，过点B作于H， 在和中 ， ∴， ∴，， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， 当B、P、F三点共线，且时，最小，最小值为， ∵，的面积为30， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $