大单元复习（空间向量与立体几何、直线和圆的方程）期中重点精练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2026-2027学年高二年级上学期大单元复习——期中重点精练 考点一：向量法求二面角 一、解答题 1．如图，平面平面，四边形与都是直角梯形，． (1)求证：，，，四点共面； (2)设，求平面与平面夹角的余弦值． 2．如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，点在线段上，平面. (1)证明：为的中点； (2)若，二面角的余弦值为，求的长. 3．如图，在四棱锥中，，，，是边长为4的等边三角形，平面平面.    (1)证明：； (2)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 4．如图，四棱锥中，，底面，，且，，． (1)证明：平面； (2)线段上是否存在一点E，使得二面角的平面角的正弦值为；若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 参考答案 1．(1)由平面 平面， ，得 平面，以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系： 设， 则， 故，， 共面. (2) 【分析】(1)以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系,设,通过向量法可证得，即共面; (2)分别求出平面 与平面的法向量，用向量夹角的余弦公式求解即可. 【详解】（1）略 （2）设，故， 设平面 的法向量为， 由， 得，取，可得； ， 设平面的法向量为， 由， 得，取 ，所以， ， 设平面 与平面夹角为 , 即平面 与平面夹角的余弦值. 2．(1) 连接交于点，连接． 因为底面为菱形，所以为的中点． 又因为平面，平面，平面平面， 所以， 所以为的中点. (2) 【分析】（1）连接交于点，连接，根据线面平行的性质得到，即可得证； （2）取中点，连接，即可得到，建立空间直角坐标，设，求出平面、平面的法向量，利用空间向量法求出二面角的余弦值，即可求出. 【详解】（1）略 （2）取中点，连接． 在菱形中，，所以，则为正三角形， 所以，又，所以． 又因为平面，如图建立空间直角坐标系． 设， 则，，，， 则，，， 则平面的一个法向量为． 设平面的一个法向量为， 则，取， 因为二面角的余弦值为， 所以，解得（负值已舍去）， 所以． 3．(1)取中点为，连接， 是边长为4的等边三角形，， 又平面平面，平面平面，平面， 又，，是平行四边形，. 又，， 又平面且，平面， 又平面，. (2)存在， 【分析】（1）利用面面垂直的性质得到线面垂直，再利用线面垂直定理和性质即可证明； （2）以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，令，由二面角的向量公式求得，即可求解的值. 【详解】（1）略 （2）由题意知以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，    则， 则， 令，, 设平面的法向量为，则， 取，得， 又平面的一个法向量为， ，化简得， 又，故解得， 故线段上存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为， 此时. 4．(1)底面，平面， ； 在四边形中，，，， ， ； 在中，， ， ，且，平面． 平面； (2)存在， 【分析】小问（1）运用线面垂直的判定定理；小问（2）根据第一问建立空间直角坐标系得出相关坐标点及相关向量再设，因为P，E，C三点共线，所以求出就是题目的比值. 【详解】（1）略 （2）如图建立空间直角坐标系，由题可知：，，， ，，，，； ，，， 设，； 设平面的法向量为，则， 所以平面的一个法向量为，，； 由题可得平面的一个法向量为；设二面角的平面角为， 解得所以 考点二：空间线面平行 / 垂直证明（向量法） 一、解答题 1．如图，在直三棱柱中，，，．是的中点，是与的交点． (1)求直三棱柱的体积； (2)若是的中点，证明：平面； 2．如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别是棱，，的中点，点G在棱上，且．证明：． 3．如图，在平行六面体中，向量，，两两之间的夹角均为，，，． (1)求线段的长度； (2)求证：． 4．如图，长方体中，，， (1)求证：平面平面; (2)线段上，是否存在点，使得平面. 参考答案 1．(1) (2) 由题意，以原点，所在直线分别为轴， 建立空间直角坐标系，如下图： 所以 ， 所以， 设平面的法向量，则， 令，则， 因为，所以， 且平面，则平面. 【分析】（1）棱柱体积等于底面乘以高，进而计算可得体积； （2）先求平面的法向量，进而证明即可得证. 【详解】（1）. （2）略 2． 证明：由题意可知，，两两垂直，则以为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系．设，则． 所以，，，，则，． 因为， 所以，即． 【分析】建立空间直角坐标系，用向量的方法判断两条直线的垂直关系可得. 【详解】略 3．(1) (2)证明：由（1）知，，， ， 所以 ， 所以，故． 【分析】（1）由空间向量基本定理得到，通过平方结合向量数量积的运算即可求解； （2）结合（1）通过，即可求证. 【详解】（1）因为在平行六面体中， 由，， 可得：， 所以 = 因为，向量，，两两之间的夹角均为60°， 则， 所以 ， 故线段MN的长度为． （2）略 4．(1)证明见解析 (2)存在. 【分析】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系，分别求平面和平面的法向量，利用法向量平行即可证明面面平行； （2），当垂直与平面的法向量时平面，求的值即可. 【详解】（1）因为长方体，所以，，两两垂直， 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系： 由题知， 则， 设平面的法向量为， 则，故可取， 设平面的法向量为， 则，故可取， 因为，所以平面平面. （2）设线段上存在点使得平面， 由（1）得，，平面的法向量， 所以， 由解得， 即为线段中点时，平面. 考点三：向量法求线面角 一、解答题 1．三棱锥中，平面，，，，． (1)求证：； (2)求直线与平面所成的角的正弦值． 2．如图，在边长为2的正方体中，是棱上的点，平面交棱于点.    (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度. 3．如图，在直四棱柱中，四边形ABCD是梯形，，，E为矩形两条对角线的交点，且平面．    (1)证明：； (2)若，直线与平面ABE所成角的正弦值为，求； (3)平面ABE将该四棱柱分成上､下两部分，求上､下两部分的体积之比． 4．如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，． (1)若为的中点，求证：平面； (2)若平面，． （i）求直线与平面所成角的余弦值； （ii）求点到平面的距离． 参考答案 1．(1) 因为平面，平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以. (2) 【分析】（1）先证明平面，结合线面垂直的性质可证结论； （2）建立坐标系，求出法向量，利用线面角的向量公式可求答案. 【详解】（1）略 （2）以A为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则, , 设平面的一个法向量为，则， 令，则， 设直线与平面所成的角为，所以， 即直线与平面所成的角的正弦值为. 2．(1) 证明：由正方体性质可知，因为平面，平面， 所以平面， 因为平面，平面平面， 所以. (2)1 【分析】（1）先证明线面平行，利用线面平行的性质定理可证结论； （2）建立坐标系，求出平面法向量，利用线面角的向量求法可得答案. 【详解】（1）略 （2）以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设的长为， 则, ； 设平面的一个法向量为，则， 令，可得； 设直线与平面所成角为，则， 解得，即线段的长度为1.    3．(1)证明：如图，连结，因为E为矩形两条对角线的交点，所以E为的中点． 取的中点M，连结，则，且， 因为，所以． 因为平面，平面，平面平面， 所以，且，所以四边形是平行四边形， 所以． (2)或 (3) 【分析】（1）应用线面平行性质定理得出，再应用平行四边形计算边长关系； （2）建立空间直角坐标系，结合线面角正弦公式计算求解边长； （3）应用柱体及锥体体积公式计算求解比值. 【详解】（1）略 （2）因为直四棱柱中，且，故以D为原点， 为正交基底建立如图空间直角坐标系． 则，，设，则，，． 所以，，． 设平面的一个法向量，则即， 令，则，，所以． 设直线与平面所成角为，则， 化简整理得，得或，解得或． 所以或． （3）取的中点N，CD的中点F，连结BF，EF，NF． 由（1）证明过程可知，平面ABE截四棱柱的截面为四边形， 截得下面部分为直三棱柱和四棱锥． 设，，，则． 所以三棱柱的体积 ， 四棱锥的体积， 所以下面部分的体积为． 而四棱柱的体积， 所以上面部分的体积为， 所以上､下两部分的体积之比为． 4．(1)如图取的中点，连接， 由题意不妨设， 则，且， 可知， 由中位线的性质可知，所以， 即四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，所以平面； (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据等腰直角三角形的特征判定底面中，再借助中位线判定线面平行即可； （2）建立空间直角坐标系，利用线面夹角的向量法计算即可；利用点到面的距离公式计算即可. 【详解】（1）略 （2）（i）取中点G，由上可知， 因为平面，平面，故， 可以以为中心建立如图所示的空间直角坐标系， 所以， 则， 设平面的一个法向量为，则有， 取，则，即， 设直线与平面所成角为，则， 则； （ii）点到平面的距离. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 考点四：向量法求异面直线所成角 一、单选题 1．在直三棱柱中，分别是棱的中点，且.若，则与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 2．在正方体中，若点P（异于点B）是棱上一点，则满足与所成的角为的点P的个数为（   ） A．0 B．3 C．4 D．6 二、多选题 3．在直二面角中，，，，点M，N分别在线段和上移动，且，则（   ） A．直线与所成的角为 B． C．当时，的长最小，且最小值为 D．当的长最小时，点D到平面的距离为 4．如图，设动点在棱长为的正方体的对角线上，，当为锐角时，可以取（    ） A． B．0 C． D． 三、填空题 5．如图，在正方体中，分别为的中点，则异面直线与所成的角的大小为________. 6．棱长为2的正方体中，是棱上的动点，是棱的中点，当直线与所成角最小时，的面积为________． 参考答案 1．C 【分析】由直三棱柱顶点建立空间直角坐标系，得到点坐标和向量坐标，由空间向量的数量积求得线线所成角的余弦值. 【详解】在直三棱柱中，平面，平面， 所以且， 所以如图，以为顶点建立空间直角坐标系， 设， 所以， 所以， 所以， 设与所成角为，则. 2．B 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用线线角的向量求法建立点坐标间的等式，再分类讨论得解. 【详解】在正方体中，以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 令，则，设， ，，于是， 整理得，显然点不能在坐标轴上，否则， 当时，， 而，无解，即点不能在棱上； 当时，， 若，则；若，则无解；若，则， 于是点不能在棱上，可以在棱上； 当时，， 若，则无解；若，则，于是点不能在棱上，可以在棱上， 所以可以在棱上，点P的个数为3. 故选：B 【点睛】思路点睛：建立空间直角坐标系，利用空间向量结合线线角的求法建立等式，分类讨论求解. 3．BC 【分析】通过建系求异面直线所成角的余弦值判断选项A；利用向量坐标表示并验证判断选项B；将化为关于的二次函数求最小值判断选项C；在最值点处求平面的法向量，用点到平面距离公式验证选项D． 【详解】在直二面角中，，， ，，两两垂直，以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，故，， 对于A，设直线与所成的角为，且， 则，，故A错误； 对于B，，，，， ，，， 又，，，故B正确； 对于C，，， 由二次函数性质得当时，取得最小值，即取得最小值， 得到，故C正确； 对于D，当时，，得到，， 设平面的法向量为，则， 令，解得，则， ，点D到平面的距离，故D错误． 4．BD 【分析】如图建立空间直角坐标系，表示出，利用可得范围，即可得答案. 【详解】如图建立空间直角坐标系， 则. 由图，，又， 则，即， 则.因为锐角， 则 或， 又由题可知，则. 故选：BD 5． 【分析】如图建立空间直角坐标系，找到坐标，据此可得答案. 【详解】如图，建立以为原点的空间直角坐标系，设正方体棱长为2， 则，. 则异面直线与所成的角满足：， 又，则. 6． 【分析】根据给定的几何体，建立空间直角坐标系，利用线线角的向量求法求得点位置即可得解. 【详解】建立如图所示的空间直角生标系， 则，设， ，，设直线与所成的角为， 则 ，当时，， 当时，，函数在上单调递减， 则当时，，此时为最大，即角最小， 点与点重合，是以为直角的直角三角形，， 所以的面积为. 故答案为： 考点五：空间向量探索性动点问题 一、解答题 1．如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 2．如图，在四棱锥中，平面平面，，为棱PC的中点. (1)证明：平面PAD； (2)求平面PDM和平面BDM的夹角的余弦值； (3)在线段PA上是否存在点，使点到平面BDM的距离是？若存在，求PQ的长；若不存在，说明理由. 3．如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角； (3)棱上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 4．如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，. (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 参考答案 1．(1)证明：如图，在梯形ABCD中，连接DE，因为E是BC的中点，所以， 又，所以， 又因为，所以四边形是平行四边形， 因为，所以四边形是菱形，从而， 沿着AE翻折成后，有 又平面，所以平面， 由题意，易知，所以四边形是平行四边形， 故，所以平面. (2) (3)存在，. 【分析】（1）作出辅助线，得到四边形是菱形，，得到，证明出平面，再证明出四边形是平行四边形，故，所以平面； （2）证明出两两垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出两平面的法向量，利用面面角的余弦向量公式求出平面与平面夹角余弦值； （3）假设线段上存在点，使得平面，作出辅助线，得到四点共面，四边形为平行四边形，所以，所以是的中点，求出. 【详解】（1）略 （2）因为平面，平面，则有， 由（1）知，故两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为，所以为等边三角形，同理也为等边三角形， 则， 设平面的一个法向量为， 则， 令得，故， 又平面的一个法向量为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为； （3）假设线段上存在点，使得平面， 过点作交于，连接，如图所示： 所以，所以四点共面， 又因为平面，所以， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以是的中点， 故在线段上存在点，使得平面，且. 2．(1)证明：取的中点，连接， 因为为棱PC的中点，所以且， 又，故， 又，故， 所以四边形为平行四边形， 故， 又平面，平面， 所以平面； (2) (3)存在点，使点到平面BDM的距离是，PQ的长为 【分析】（1）作出辅助线，由中位线得到线线平行和边长关系，故四边形为平行四边形，，从而证明出线面平行； （2）由面面垂直得到线面垂直，进而得到线线垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出两平面的法向量，求出面面角的余弦值； （3）设，，求出，在（2）基础上，平面的一个法向量，利用点到平面的距离向量公式得到方程，求出，求出. 【详解】（1）略 （2）平面平面，交线为，又，平面， 故平面， 因为平面，所以，， 又，故两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 其中平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，，故， 设平面PDM和平面BDM的夹角为， 则； （3）设，，， 故，所以， 故， 由（2）知平面的一个法向量为， 点到平面BDM的距离是， 解得或（舍去）， 此时 若存在点，使点到平面BDM的距离是，PQ的长为 3．(1)证明：取AD中点，连接，. 是以为斜边的等腰直角三角形，，，. ，，，四边形是矩形，. ，，. ，、底面，故底面. 以O为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系. ，，，，，，为中点：. ，，. 设平面法向量，则 ， 令，则，代入得，. ， ，又平面，故平面. (2)平面与平面的夹角为. (3)存在，. 【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，求平面法向量，证明与法向量垂直，得到线面平行； （2）求两个平面各自法向量，套二面角公式计算； （3）参数表示，用点到平面距离公式列方程，解，求. 【详解】（1）略. （2）， 设平面法向量，则 ，，取，，. ，， 设平面法向量， ，，取，，. .     平面与平面的夹角为. （3），设，，. 平面法向量，取平面内点，向量. 点到平面距离： ，令， 解得，所以存在点，使得点到平面的距离是. 此时点坐标为. ，. 【点睛】（1）先利用长度关系证明底面，建立空间直角坐标系，线面平行证向量与平面法向量垂直； （2）二面角用两平面法向量夹角求解； （3）动点存在性依靠参数设点，借助点面距离公式列方程，最后检验参数范围判断点是否在线段上. 4．(1) (2)存在，. 令，. ，. 设平面的法向量为， 则， 取，得. 平面的法向量为. 于是. 化简得，又，解得，即. 所以线段上存在点E，使得平面与平面夹角的余弦值为，. 【分析】（1）建立空间直角坐标系利用坐标法求直线与平面所成角的正弦值； （2）设，利用坐标法结合两平面夹角余弦值列方程，解得即可. 【详解】（1）取的中点O，连接. 由为等边三角形，得. 而平面平面，平面平面，平面， 则平面. 由，，得四边形是平行四边形. 于是，而，则，直线两两垂直. 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，. 则，，. 设平面的法向量为， 则，取，得. 设直线与平面所成角为， 则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. （2）略 考点六：向量法求空间距离（点面距为主） 一、解答题 1．如图，已知正三棱柱中，，点为的中点. (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离. 2．如图，在长方体中，是AB的中点. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 3．在长方体中，，，，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面的夹角的正弦值； (3)求三棱锥的体积． 4．如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离． 参考答案 1．(1) 方法一： 取的中点，根据正三棱柱性质可得互相垂直，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则有，即， 令，则，，即， 因为，又平面， 所以平面； 方法二： 如图，连接交于点，连接， 易知为的中点，又点为的中点，故， 而平面，平面， 所以平面； (2) 【分析】（1）方法一：建立空间直角坐标系，根据空间向量的位置关系证明可得结果； 方法二：连接交于点，连接，利用线面平行的判定定理证明可得结论. （2）方法一：由点到平面距离的向量求法直接计算可得结果； 方法二：利用等体积法计算即可. 【详解】（1）略 （2）方法一： 点到平面的距离. 方法二： 因为平面，故到平面的距离即为到平面的距离，设为， 因为，，平面， 故平面，平面，故， 由题意知，，所以， ，， 由， 代入解得. 2．(1) 建立如下图所示的空间直角坐标系， ， ， 设平面的法向量为， ，取，则， 所以， 因为， 所以，又因为平面， 所以平面； (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用平面向量的法向量和直线方向向量之间的关系进行运算证明即可； （2）利用空间向量点到面距离公式进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知平面的法向量为，， 所以点到平面的距离为. 3．(1)以为原点，、、分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系， 由题设，，，，，，， 点在上，且，所以，则， 点在上，且，所以，得到点， 所以，， ，所以， ，所以， 因为平面，平面，且， 所以平面； (2) (3)2 【分析】（1）构建合适的空间直角坐标系，应用向量法证明、，再由线面垂直的判定定理证明结论； （2）根据（1）写出平面的法向量、直线的方向向量，再应用向量法求其夹角的正弦值； （3）由三角形面积公式求，向量法求点到平面的距离，最后应用棱锥的体积公式求体积. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，可取作为平面的法向量， 直线的方向向量，设直线与平面的夹角为， 则， 所以直线与平面的夹角的正弦值为； （3）由（1）知，，， 所以，则， 而点到平面的距离，则， 所以三棱锥的体积为. 4．(1)设的中点为，连接、，因为为的中点，所以，且， 又，且，所以，且， 所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面， 所以平面． (2) (3) 【分析】（1）设的中点为，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，再结合线面平行的判定定理可证得结论成立. （2）记的中点为，连接，推导出，然后以为原点，以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值. （3）设，利用空间向量法可求出的值，再利用空间向量法可求出点到平面的距离． 【详解】（1）略 （2） 记的中点为，连接，因为，，， 所以四边形是矩形，则，， 以为原点，以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，如图， 则、、、，则，，， 设平面的一个法向量为，所以 ， 令，则， 设平面的一个法向量为，所以 ， 令，则， 所以， 由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为． （3） 依题意，设，则， 又由（2）得平面的一个法向量为， 记直线与平面所成角为， 所以，解得（负值舍去）， 所以，则， 而由（2）得平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为． 考点七：空间向量基础运算（坐标、数量积、共线共面） 一、单选题 1．已知空间向量，，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 2．在三棱柱中，设，，，M是上靠近B点的三等分点，则可表示为（     ） A． B． C． D． 3．已知，，则等于（     ） A． B． C． D． 二、多选题 4．在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（    ） A． B． C．若，且，则 D．若且，则 5．已知是空间的一个基底，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．向量、、一定共面 C．向量在基底下的坐标是 D．对空间中任意向量，都存在唯一的有序实数组，使得 6．下列命题为真命题的是（   ） A．若空间向量，满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量，，满足，，则 D．空间中任意两个单位向量必相等 三、填空题 7．已知四点满足任意三点均不共线，但四点共面，为平面外任意一点，且，则实数的值为______． 8．已知为空间中四点，任意三点不共线，对于平面外一点，，若四点共面，则的值为____________ 9．已知为非零不共面向量，若向量， 则记向量以为基底时的坐标为，若向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标为______． 参考答案 1．D 【详解】因为，，所以在方向上的投影向量为. 2．A 【分析】根据条件，利用空间向量的线性运算，即可求出结果. 【详解】根据题意，. . 3．A 【详解】因为，，所以，故. 4．ACD 【分析】利用空间向量的坐标运算逐一判断即可. 【详解】对于A，由，可知，， 故，正确； 对于B，由，可知，，, 所以，错误； 对于C，若，且，则，即，正确； 对于D，若且，则设，那么， ，正确. 5．ACD 【分析】利用空间向量基底的概念逐项判断即可. 【详解】对于A，因为是空间的一个基底，若， 假设、、不全为零，不妨设，则， 所以、、共面，矛盾，故，同理可得，，即，A对； 对于B，假设、、共面， 则存在、，使得， 即， 根据A可知，该方程组无解，假设不成立， 故向量、、不共面，B错； 对于C，向量在基底下的坐标是，C对； 对于D，由B可知，向量、、一定不共面， 则可作为空间向量的一组基底， 故空间中任意向量，都存在唯一的有序实数组， 使得，D对. 6．BC 【详解】A，根据向量相等的定义知，模相等且方向相同为相等向量，而A中向量与的方向不一定相同，假命题； B，由正方体的结构特征知，与的方向相同，模也相等，故，真命题； C，向量的相等满足传递性，真命题； D，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同故不一定相等，假命题． 7． 【分析】整理可得，结合四点共面的结论列式求解即可. 【详解】， 因为四点共面，所以，解得． 8．4 【详解】因为四点共面，且， 所以由共面定理可得，，即. 9． 【分析】利用空间向量基本定理的坐标表达式列方程求解即得. 【详解】依题意，可得，设， 则，故有，解得， 即以为基底时的坐标为. 考点八：直线与圆位置关系判定 + 参数范围 一、单选题 1．若关于的方程恰有1个实数根．则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．若曲线上存在两点到直线的距离为6，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 二、多选题 3．已知圆：，直线：（），则下列选项中正确的是（    ） A．存在实数，使得圆关于对称 B．若与圆相切，则 C．存在实数，使圆上存在点到的距离为 D．若与圆相交于两点，且，则 4．已知动点与两定点，的距离的比为，设点所构成的曲线为，则（ ） A．曲线的方程为 B．曲线上的点到直线的最小距离为 C．曲线上恰有三点到直线的距离为，则 D．若点坐标为，则的最小值为 三、填空题 5．若直线与曲线有两个交点，则实数k的取值范围是______． 6．已知圆C：，点在直线上运动.若C上存在点Q，使，则的取值范围是___________. 参考答案 1．A 【分析】首先将方程的根的个数转化为函数图象的交点个数，根据图象计算临界情况，确定实数的取值范围. 【详解】 方程恰有1个实数根，等价于函数与函数的图象只有一个交点， 由，两边平方得， 即函数的图象是圆心在原点，半径为2的上半圆，， 函数是斜率为1的平行线系，纵截距为， 直线过左端点，代入直线方程得， 直线过右端点，代入直线方程得， 直线与上半圆相切，，解得， 根据图象可得方程恰有1个实数根，或. 2．C 【分析】先构造与原直线距离为6的平行线，舍去无交点的那条；再结合直线与整圆相交条件，再利用韦达定理，保证两个交点横坐标都大于等于0，取交集得到参数范围． 【详解】曲线表示半圆，圆心为，半径， 点到直线的距离公式为， 曲线上存在两点到直线的距离为6，即， 故，即所在直线为：， ， 其中到圆心距离为，故与圆无交点， 故与右半圆有两个交点，到圆心距离， 解得， 联立到圆的方程得：， 整理得， 由韦达定理得 曲线是右半圆，即，则， 解得，（1） 且或，（2） 故， 综上可得． 3．BCD 【分析】根据给定条件，由圆心与直线位置关系判断A；利用点到直线的距离公式，结合圆的几何性质求解判断BCD. 【详解】圆：的圆心，半径， 对于A，不满足方程，即直线不过圆心，因此圆关于不对称，A错误； 对于B，由与圆相切，得，解得，B正确； 对于C，圆心到直线的距离，圆上的点到直线距离的最大值为，令，得有解，C正确； 对于D，，圆心到直线的距离为，由，解得，D正确. 4．ABD 【分析】根据已知条件求出曲线C的方程，利用两点之间线段最短以及点到直线的距离公式对各个选项逐个计算即可求解. 【详解】设点的坐标为，根据题意，，即， 所以， 整理得，即， 因此，曲线是以为圆心，为半径的圆，故A正确； 圆心到直线的距离为：， 则曲线上的点到直线的最小距离为，故B正确； 圆心到直线的距离为：， 若曲线上恰有三点到直线的距离为，则， 所以，即，解得或，因此，的取值不唯一，故C错误； 曲线的方程，， 因此， 因为，，所以， 因此，故D正确. 5． 【分析】先求出直线所过定点，再将曲线转化为，可知其为半圆，结合图像，即可求出的取值范围. 【详解】由题意得，直线的方程可化为，所以直线恒过定点， 又曲线可化为，其表示以为圆心，半径为2的圆的右半部分，如图. 当与该曲线相切时，点到直线的距离，解得或， 由题意可知点，则， 由图可得，若要使直线与曲线有两个交点，须得，即. 6． 【分析】过点作于点，在中根据得到，结合求出的范围，最后利用两点间距离公式建立不等式计算求解. 【详解】由题可知圆心，半径， 过点作于点，连接， 在中，，所以， 又，所以， 又在直线上，所以， 所以， 所以， 解得，所以的取值范围是. 考点九：圆的弦长计算 一、单选题 1．已知直线：被圆截得的弦长为，则直线的斜率为（     ） A． B． C． D． 2．已知圆的圆心为，且截轴所得弦长为，若圆上恰好有 4 个不同的点到直线的距离为 2，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、多选题 3．设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线，，切点为，为圆上任意两点，则下列说法中正确的有（   ） A．的取值范围是 B．四边形面积的最小值为 C．满足的点有两个 D．的面积最大值为 4．已知点，圆，则下列结论正确的有（   ） A．点与圆上的点之间距离的最大值为 B．点在圆内部 C．若过点的直线截圆的弦长为，则的方程为 D．以为中点的弦所在的直线方程为 三、填空题 5．已知圆的圆心在直线上，若圆与轴相切，且被轴截得的弦长为，则圆的半径为________． 6．已知直线：，圆：，若圆被直线分成的两段圆弧弧长之比为3:1，则______. 参考答案 1．B 【分析】根据给定条件，利用圆的弦长公式及点到直线距离公式列式求解. 【详解】由直线被圆截得的弦长为， 得圆心到直线的距离为， 因此，整理得，解得， 所以直线的斜率. 2．C 【分析】先利用垂径定理求出圆的半径，再由条件推出圆心到直线的距离即可. 【详解】圆心到轴的距离为2， 又圆截轴所得弦长为， 由垂径定理得， 即圆的半径，又∵圆上 恰好有4个不同的点到直线的距离为2， ∴圆心到直线的距离， 即，解得. 3．ACD 【分析】根据切线长公式、两点间距离公式可判断A，B，C，根据三角形的面积公式可求解D. 【详解】 对于A，圆心C到直线的距离为， 所以，因为圆的半径为， 根据切线长公式可得，当时取等号， 所以的取值范围是，故A正确； 对于B，因为，，，， 所以四边形面积为，故B错误； 对于C，因为，所以， 在直角三角形中，，所以，设， 因为，整理得， 则有，所以满足条件的点有两个，故C正确； 对于D，， 所以当时，即，面积最大值为， 此时四边形为正方形，则满足要求，故D正确. 4．BD 【分析】A.先求出点到圆心的距离，则点到圆上点最大距离是；B.把点代入圆的方程，，所以点在圆内部；C. 先由弦长公式求出圆心到直线的距离，接着分斜率存在和斜率不存在设出对应的方程，求解方程 ； D.由为中点的弦得到弦所在的直线与直线垂直，从而得到斜率，由点斜式求出直线方程. 【详解】已知点，圆 ，则圆心 ，半径 ， 选项 A，， 则点到圆上点最大距离是，故 A 错误； 选项 B，因为，所以点在圆内部，故B 正确； 选项 C，弦长 ，由弦长公式， ，即圆心到直线距离， 直线过，当直线的斜率存在时，设的方程是， 即，圆心到直线距离， ， ， 所以直线的方程是即， 当直线的斜率不存在时，直线的方程是 ，圆心到它的距离 ，也满足条件， 所以的方程为： 或 ，故 C 错误； 选项 D，以为中点的弦，则弦与垂直，， 所以弦所在的直线的斜率 ，又过，所以该直线方程为， 即，故D 正确. 5．4 【分析】设出圆心的坐标，再由弦长公式计算可得半径为4. 【详解】由圆心在直线上可设，且圆的半径设为； 又圆与轴相切，所以， 则被轴截得的弦长为，解得, 所以圆的半径为. 6．或 【分析】先根据弧长之比等于对应圆心角之比，可判断为等腰三角形，再根据圆心到直线的距离为半径的，建立关于的等量关系求解即可. 【详解】设直线与圆M交于A，B两点，圆心为，半径， 因为圆M被直线截得两段弧长之比为3:1，而弧长之比等于对应圆心角之比， 所以两段弧所对的圆心角之比为3:1，故较小弧所对的圆心角为. 设N为弦的中点，则，并且在等腰三角形中，平分圆心角， 所以， 在直角三角形中，， 这说明圆心到直线的距离为. 直线：可化为. 由点到直线的距离公式，得，解得或. 考点十：圆的切线问题（切线方程、切线长、切点弦） 一、单选题 1．已知点是圆上一点，则过点且与圆相切的直线的方程为（ ） A． B． C． D． 2．已知点P是直线上的动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为M，N，则四边形的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．已知圆和直线：，点在直线上运动，直线，分别与圆相切于点，，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．四边形的面积的最小值为4 D．的最大值为4 4．已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为，，直线与交于点，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为5 B．若圆上存在点，使得，则的取值范围为 C．四边形的面积最小时，直线的方程为 D．若，则的最大值为 三、填空题 5．已知圆的圆心为，且与直线相切，则圆被直线截得的弦长为_____. 6．已知集合，，且的非空子集的个数为3，则整数b的一个可能取值为_______． 参考答案 1．A 【分析】根据点P在圆上，代入可得m值，根据圆的几何性质可得过点P的直线l与直线CP垂直，根据斜率的关系，求出直线l的斜率，即可得答案. 【详解】因为点在圆上， 所以，解得，即圆C的方程为， 则圆心，所以直线CP的斜率， 则过点P与圆相切的直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 2．A 【分析】由四边形面积最小，则切线长最小，从而最小，最小值即为圆心到直线的距离，由此计算即可. 【详解】由圆，得圆心，半径， 由题意，四边形的面积为， 在中， 因此，要使四边形的面积最小，只需要最小即可， 此时，即， 所以，， 则四边形的面积的最小值为 3．BC 【分析】分析可知，当时，取最小值，结合勾股定理可判断A选项；推导出，可得出，利用三角形的面积公式可判断B选项；分析可知，当最小时，四边形为正方形，求出线段的中点坐标，结合直线的点斜式方程可判断C选项；分析可知，，可判断D选项. 【详解】圆心为，半径为，连接、，则. 对于A选项，由勾股定理可得， 当时，取最小值，此时，也取最小值， 且，则，A错； 对于B选项，越小，越大，越大. ， ，，，故B正确. 对于C选项，由切线长定理可得， 又因为，，所以，， 故， 当且仅当时，等号成立，故四边形面积的最小值为4,C对； 对于 D 选项，设， 因为，则， 因为，则，且E为的中点， 所以，，()，D 错. 4．BD 【分析】由勾股定理表示出即可判断A；由余弦定理及根的判别式即可判断B；得出，即可判断C；求得点坐标，得出的轨迹方程为圆，即可求解的最大值． 【详解】对于A，圆的圆心为，半径， 点在轴上，过作圆的切线，切线长， 其中，故， 当时，取得最小值，故A错误； 对于B，圆上存在点使得， 所以，所以，故，又， 所以， 故，故B正确； 对于C，四边形的面积， 当时面积最小，此时， 切点弦的方程为，与选项中不符，故C错误； 对于D，直线的方程为， 当时，直线的方程为，此时，， 当时，直线的方程为， 联立得交点的坐标：， 消去参数得的轨迹方程为圆：， 圆心为半径，点到的距离为， 故的最大值为，故D正确； 故选：BD． 5．4 【分析】根据直线和圆的位置关系先求出圆的半径及圆心到直线的距离，再结合求解弦长. 【详解】因为圆与直线相切， 所以圆的半径为， 而圆心到直线的距离为， 所以圆被直线截得的弦长为. 故答案为：4. 6．（或） 【分析】根据交集的元素个数转化为直线与半圆的交点个数，再利用数形结合，即可求解. 【详解】由的非空子集的个数为3，所以中有2个元素， 即直线与半圆有2个交点， 如图，当直线过点时，此时， 当直线与半圆相切时，，得，（正值舍）， 所以若直线与半圆有2个交点，则    所以整数的一个可能值为. 故答案为：（或） 考点十一：求圆的方程（标准方程 / 一般方程） 一、解答题 1．的三个顶点分别是、、． (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)求过点、，且圆心在直线上的圆的标准方程； (3)求的外接圆方程． 2．已知为坐标原点． (1)求直线的方程，并求直线中垂线的方程； (2)求的周长与面积； (3)求的外接圆方程与内切圆方程． 3．已知为圆：上一动点，点，为的中点. (1)求的轨迹方程； (2)若为圆上一动点，在直线：上存在点，使得最小，求的最小值. 4．已知圆的圆心为点，其在直线上，且与轴交于两点、． (1)求的面积； (2)求圆的标准方程； (3)已知，点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 5．已知圆的圆心在直线上，且圆过点，. (1)求圆的一般方程； (2)若圆与圆关于直线对称，求圆的标准方程. 6．已知点是直线与直线的交点. (1)求过点且与直线平行的直线的方程； (2)求过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程； (3)若点在圆的外部，求实数的取值范围. 参考答案 1．(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出直线的斜率，再利用点斜式求出方程即可； （2）根据直线的斜率，求出的中垂线斜率，结合的中点，得到的中垂线方程，其与直线的交点即为圆心，即为半径，根据圆心半径写出圆的标准方程即可. （3）由（2）得圆心的坐标，结合的距离等于半径，判断得到的外接圆方程. 【详解】（1）边的中点．中线过与，斜率， 故：，即． （2）的中点为，的斜率为，故的垂直平分线方程为． 圆心在直线上，联立 解得．半径，故圆的标准方程为． （3）由（2）得圆心，又， ，， 故三点均在圆上，所以的外接圆就是圆，方程为． 2．(1)； (2)周长；面积 (3)外接圆方程；内切圆方程 【分析】（1）先求出直线及其中垂线的斜率，再求出的中点坐标，即可根据点斜式求出直线方程； （2）根据两点间距离公式分别求出，即可得的周长，根据即可求出的面积； （3）设外接圆的圆心为，根据的中垂线与的中垂线的交点即为外接圆的圆心求出，再求出其半径，即可得外接圆方程；设的内切圆的圆心为，利用三角形的面积公式求出内切圆半径，再根据点到的距离等于，列出方程求出，即可得内切圆方程. 【详解】（1）    因为，所以， 所以直线的方程为，整理可得. 因为的中垂线和直线垂直，所以中垂线的斜率为， 又因为的中点，所以直线中垂线的方程为， 整理可得； （2）因为，， . 所以的周长为， 的面积为； （3）    设外接圆的圆心为，半径为. 由（1）知中垂线的方程为①， 又因为的中垂线方程为，将其代入①可得， 所以外接圆的圆心为. 其外接圆的半径， 所以的外接圆方程为.    设的内切圆的圆心为，半径为. 由（2）知的周长为20，面积为， 所以的面积 ，解得. 又因为点到的距离等于， 则，解得. 所以的内切圆的方程为. 3．(1) (2) 【分析】（1）相关点法求轨迹方程即可; （2）先求对称点,再应用数形结合得出距离和最小值. 【详解】（1）设，，则得 因为A在圆O上，所以，则，化简得， 故Q的轨迹方程为. （2）如图，设圆的圆心为， 设O关于对称的点为，则得，即. 易得，则当，M，N三点共线时，最小， 最小值为. 因为，所以的最小值为. 4．(1) (2) (3) 【分析】（1）求出线段的中垂线方程，分析可知点为直线与线段中垂线的交点，联立两直线方程，可得出点的坐标，即可求得的面积； （2）求出圆的半径，即可得出圆的标准方程； （3）设点、，利用中点坐标公式得出，再将点的坐标代入圆的方程，化简可得出点的轨迹方程. 【详解】（1）因为、，所以线段的中垂线方程为， 易知点为直线与直线的交点， 联立得，故点，故. （2）由（1）可知圆的半径为， 故圆的标准方程为. （3）设点、，由线段中点坐标公式可得，所以， 因为点在圆上，所以，化简得. 故点的轨迹方程为. 5．(1) (2) 【分析】（1）设圆的一般方程，结合已知列方程求解的值，即可求得圆的一般方程； （2）由于圆与圆关于直线对称，根据点关于直线对称坐标特点求得的坐标，则得圆心，由对称可知半径不变，故可得圆的标准方程. 【详解】（1）设圆C的方程为，其圆心为， 已知圆的圆心在直线上，且圆过点，， 则，解得，即圆C的方程为； （2）由（1）得圆C的圆心，半径， 设圆的圆心坐标为，∵圆与圆C关于直线对称， 则有，解得，即. ∴圆的标准方程为. 6．(1) (2)或 (3) 【分析】（1）联立，求得交点P的坐标，设与直线平行的直线为，代入P点坐标，求出m值，即可得答案. （2）当截距为0时，设直线方程为，代入点P坐标，求出k值，可得直线方程，当截距不为0时，设直线方程为，点P坐标，求出a值，可得直线方程，综合即可得答案. （3）根据点P在圆外部，代入圆的方程，可求出t的范围，根据方程表示圆，可得t的范围，综合即可得答案. 【详解】（1）联立方程组，解得，所以交点P的坐标为 设与直线平行的直线为， 代入点的坐标得：，解得， 所以过点且与直线平行的直线的方程为. （2）若直线在两坐标轴上截距为0，即直线经过原点时，设直线方程为， 代入得，解得， 所以直线方程为，即； 若直线的截距不为0时，设直线方程为， 将点代入，得，此时直线方程为， 所以过点P且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或. （3）因为点在圆C的外部，     所以，解得 又方程表示圆， 所以，解得 故实数的取值范围为：. 考点十二：圆中的最值问题（距离最值、斜率最值） 一、单选题 1．若复数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．已知直线与曲线交于两点，平面上的动点满足，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，点M在圆心为C的圆上．若动点P满足，则对于，点P到直线的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．设是圆上的动点，是圆上的动点，为坐标原点，则最小值是_________. 5．已知点是圆上的动点，若为定值，则的最小值为________． 6．已知点和圆C：，一束光线从点A发出，射到直线l：后反射（入射点为B），反射光线经过圆周C上一点P，则折线ABP的最短长度是__________； 参考答案 1．A 【详解】在复平面中对应点，， 即，表示点Z在以为圆心，以为半径的圆上. 表示点Z到原点的距离，所以的最小值即为圆M上的点Z到原点O的距离最小值，. 2．B 【详解】已知直线，整理为，则直线恒过定点； 已知曲线，整理为，对称中心恰好为. 由于直线过双曲线中心，所以交点关于对称，即是中点. 根据向量中点性质，可知， 代入条件，得，即， 即动点的轨迹是以为圆心，半径的圆及其内部. 则原点到圆心的距离为：， 从而. 3．A 【分析】先求出圆C的圆心和半径，根据数量积的几何意义，可得，进而可得点P的轨迹方程，根据直线恒过定点，结合点与圆的位置关系，分析求解，即可得答案. 【详解】圆C的方程变形为，圆心，半径， 又，， 所以，即在方向上的投影为， 所以，又，所以， 则点P的轨迹是以C为圆心，2为半径的圆， 又直线恒过定点， 所以， 则P到直线的距离的最大值为. 4．8 【分析】由题可知圆即以和，满足的阿氏圆，将问题转化为求即可求解. 【详解】圆的方程为，其圆心，半径． 设，根据两点间距离公式，由可得：， 两边平方整理得， 因为在圆（即）上， 将代入得：， 即． 由于该式对圆上所有成立， 所以且，解得，即点，且满足． 所以， 而，所以. 5． 【分析】表示出，根据为定值，可得，结合圆的性质可求答案. 【详解】设，则，即， 所以， 因为为定值，所以，解得， 此时，则， 由圆，即，圆心为，半径为， 显然点在圆内部，且，则的最小值为， 所以的最小值为． 6． 【分析】根据光的反射定律，求出点关于直线对称点，再利用圆的性质求解. 【详解】圆C：的圆心，半径， 设点关于直线l：的对称点为， 由，解得，即点， ， 当且仅当为线段的中点时取等号， 所以折线ABP的最短长度是. 故答案为： 考点十三：两圆位置关系 一、单选题 1．若圆与交于两点，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 2．已知圆与圆交于两点，若点在直线上，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 3．已知圆，若圆上存在点使，则正数的取值范围是______. 4．已知圆与圆相交于两点，且，则___________． 三、解答题 5．已知圆：（为实数）． (1)若直线被圆截得的弦长为，求的值； (2)若过点的圆与圆相切于点，求圆的标准方程． 6．已知圆经过两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)已知圆，判断圆与圆的位置关系，并写出一条圆与圆的公切线方程. 参考答案 1．A 【分析】易知，通过联立圆方程得到直线方程，进而计算得到和长度，最终计算四边形面积. 【详解】如图所示，连接交于点，则， 联立，则直线方程为， ，，， 则. 2．A 【分析】两圆方程相减可得直线的方程，代入点，可得的关系式，利用函数单调性可求答案. 【详解】两圆方程相减得，，令，则. 由两圆相交知，，解得， 又，则，易得在上单调递增， 且，所以. 3． 【详解】因为，， 所以点的轨迹是以A、B为直径端点，圆心为原点O的圆，则点P的轨迹方程为， 又点P在圆C上，所以圆与 圆有交点， 因为，且，所以， 又，解得. 当时，两圆外切，，满足条件； 当时，两圆内切，，满足条件. 所以. 4．2 【分析】利用两圆的相交关系，求出相交弦方程，再由已知及点线距离公式列方程求参数r. 【详解】由圆，得圆心为，半径， 由圆，得圆心为，半径为， 所以两圆的圆心距， 两圆方程相减，得公共弦的方程：， 化简得，则到直线的距离为， 要使两圆相交，需使,解得， ，可得，因，则， 由，解得，满足， 因此的值为. 5．(1) (2). 【分析】（1）根据圆的方程得到圆心坐标，然后利用距离公式得到圆心到直线的距离，再利用勾股定理得到半径，最后列方程求即可； （2）根据相切得到圆心在直线上，在的中垂线上，然后联立方程得到圆心坐标，再计算半径，写标准方程即可. 【详解】（1）由题意得圆：（为实数）． 圆的圆心， 则到直线的距离， 所以圆的半径， 则， 解得. （2）因为圆与圆相切， 所以圆的圆心在直线上， 又因为，， 所以, 所以直线的方程为， 即为①， 因为圆与圆相切于点， 所以为圆上的点，又圆过点， 所以圆圆心在的中垂线上， ，中点坐标为， 所以的中垂线方程为②， 联立① ②得 ， 所以圆圆心为，半径， 所以圆的标准方程为. 6．(1) (2)圆与圆外切，. 【分析】（1）由题可知直线的方程为， 中点的坐标为，线段的中垂线方程为，与已知直线联立，解得圆心，计算，得到半径； （2）圆心距，恰好等于两圆半径之和，因此两圆外切；设公切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出方程组：解得三组解即得. 【详解】（1）由题可知直线的方程为， 中点的坐标为， 线段的中垂线方程为，所以圆心在直线上， 又圆心在直线上，所以直线与直线的交点就是圆心. 由得即. 又， 所以圆的方程为. （2）由题可知， 所以， 两个圆的半径之和为， 所以圆与圆外切， 所以圆与圆有三条公切线，设其中有斜率的公切线方程为， 由圆心到切线的距离等于半径，得， 解得或或 所以公切线的方程为或或， 故其中一条公切线方程为：.（也可答另外两条中的其中一条） 考点十四：直线基础：倾斜角、斜率、直线方程、平行垂直 一、单选题 1．经过点作直线，若直线与连接 两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知点，，，是的垂心，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 3．一条光线从点射出，与轴交于点，经轴反射，则反射光线经过的点的坐标可以为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．已知两点 ，过点 的直线 与线段 总有公共点，则直线 倾斜角的取值范围是_____. 5．已知，，直线和垂直，则的最小值为______． 6．若直线与平行，则______． 参考答案 1．D 【分析】分别求出的斜率，根据斜率范围求解倾斜角的范围即可. 【详解】设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则， 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 又因为直线经过点，且与线段总有公共点，所以. 2．D 【详解】设，因为，且，所以. 又因为，，所以，解得，因此. 3．A 【分析】根据题意，得到点关于轴对称的点为，利用反射光线经过点和点即可求解. 【详解】 如图所示，点关于轴对称的点为， 因为反射光线同时经过点和点，且，所以反射光线所在直线的方程为，即， 所以反射光线经过的点的坐标为，故反射光线经过的点的坐标可以为，故A正确. 4． 【分析】由图结合题设可得斜率范围，然后可得倾斜角范围. 【详解】如图结合斜率公式可得，则斜率范围为. 设直线倾斜角为，当时，因，，则此时范围为：； 当时，因，则此时范围为：. 综上可得：. 5．/ 【分析】利用两条直线垂直的充要条件求出的关系，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由直线和垂直，得， 即，而，则 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 6．或 【分析】由直线平行的条件求解参数，再将参数代入直线验证即可. 【详解】根据两直线平行，得，解出或. 当时，直线，，此时与平行； 当时，直线，，此时与平行. 考点十五：定点、定值问题（直线过定点、圆过定点） 一、单选题 1．已知直线与圆交于点M，N．当k变化时，的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 2．已知直线，圆，若直线与圆交于M，N两点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．已知为坐标原点，直线与圆相交于、两点，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．已知点在直线上运动，过点作圆的切线，切点为，直线过定点______． 5．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过的定点坐标为____. 6．设圆，直线，P为上的动点，过点作圆的两条切线，，切点分别为，则直线过定点______． 参考答案 1．B 【详解】由，得， 所以圆心为，半径为. 设圆心到直线的距离为，则， 所以当取最大值时，最小. 因为直线过定点，所以的最大值为， 所以的最小值为. 2．D 【分析】根据直线方程确定其所过的定点，再判断定点与圆的位置关系，结合直线与圆相交弦长最小时定点与圆心连线与l垂直，最后应用几何法求弦长. 【详解】由题知即， 令得，所以直线过定点， 而圆，圆心为，半径为， 所以，即定点在圆C内， 所以定点与圆心的距离， 要使最小，即定点与圆心的连线与垂直，此时. 故选：D. 3．D 【分析】分析可知圆心为线段的中点，可得出，即可得出答案. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为， 易知直线过圆心，所以为线段的中点， 所以 ， 故选：D. 4． 【分析】先求出切点弦的方程，再联立已知直线方程进行消参，最后求出定点坐标. 【详解】设，则， 过点作圆的切点弦方程为， 联立，得， 当时，即，无论如何变化， 恒等于0，所以直线过定点.    5． 【分析】设出点坐标，得到以为直径的圆的方程，与已知圆的方程联立，可得直线的方程，再由直线系方程求解． 【详解】圆的圆心为，设， 则以为直径的圆的方程为， 即， 又圆，代入上式可得，即 即，令，解得， 所以直线经过定点． 6． 【分析】设，进而求得以为直径的圆的方程，并与圆的方程作差即可得直线的方程，再根据方程判断定点问题即可. 【详解】由题可设，则以为直径的圆的圆心为，半径为， 所以以为直径的圆的方程为，化简得， 所以为圆C和以为直径的圆的公共弦， 联立可得，两式相减可得，即， 因该式对任意成立，故，解得定点为， 故直线过定点． 故答案为： 考点十六：对称问题（点关于直线、直线关于直线、圆对称） 一、单选题 1．圆关于直线对称，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．8 2．已知直线与直线关于点对称，则实数（　　） A．2 B．1 C． D． 3．若动点，分别在直线：和：上移动，则线段的中点点到原点的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．圆关于点对称的圆的标准方程为___________ 5．直线关于点对称的直线的方程为________． 6．直线关于直线对称的直线的方程为___________．（用一般式表示） 参考答案 1．C 【详解】圆的标准方程为，所以该圆圆心为，半径为， 圆关于直线对称，所以圆心在该直线上，所以，即， 因为，，所以， 当且仅当，即时等号成立， 的最小值为4. 2．C 【分析】根据题意得到直线与直线平行，从而得到，再根据直线上取一点，得到关于点的对称点，代入直线即可得到答案. 【详解】因为不在直线上， 且直线与直线关于点对称， 所以直线与直线平行， 即，解得. 在直线上取一点， 关于点的对称点为, 将代入直线，解得. 故选：C 3．A 【分析】先分析出M的轨迹，再求到原点的距离的最小值. 【详解】由题意可知：M点的轨迹为平行于直线和且到、距离相等的直线l， 因为直线和在轴上的截距分别为， 所以直线l在轴上的截距为，故其方程为：， 故到原点的距离的最小值为. 故选：A 4． 【分析】先将圆的方程化为标准方程得到圆心和半径，再求出圆心关于的对称点即可得到对称的圆的标准方程. 【详解】由，所以， 得圆心为，半径为， 由关于点对称点为， 所以关于对称的圆的标准方程为：， 故答案为：. 5． 【分析】根据直线关于点对称，设上的点坐标，写出关于对称的点坐标，根据点在已知直线上求直线方程. 【详解】设为上任意一点，则关于点的对称点为， 因为在直线l上，所以，即直线的方程为． 故答案为： 6． 【分析】根据已知直线平行，并求出它们的距离，再设所求直线为，根据对称性及平行线的距离公式求参数，即可得. 【详解】由、，显然两条直线平行，且它们的距离， 可设所求直线为，则或（舍）， 所以，所求直线为. 故答案为： 考点十七：轨迹方程（与圆相关动点轨迹） 一、解答题 1．已知的斜边为，且，求： (1)若边所在直线的一个方向向量为，求边所在直线方程; (2)求直角顶点的轨迹方程. 2． 已知圆过，两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆C上运动，求线段AB中点P的轨迹方程. 3．已知圆P经过点和，且圆心在直线：上. (1)求圆的标准方程； (2)若线段的端点D的坐标是，端点C在圆P上运动，求的中点的轨迹方程，并指出它的轨迹是什么图形. 4．已知圆经过点，，圆心在直线上. (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)求圆的方程； (3)若点，是圆上任意一点，线段的中点为，求动点的轨迹方程. 5．已知圆过，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 6．已知圆E经过点，且恒被直线（）平分. (1)求圆E的标准方程； (2)设P是圆E上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程.（当点P经过点A时，规定点M与点P重合） 参考答案 1．(1)； (2). 【分析】（1）由方向向量确定直线斜率，进而由点斜式即可求解； （2）法一：由即可求解，法二：设线段的中点为，由，结合圆的方程即可求解. 【详解】（1）设直线的斜率为， 因为直线的一个方向向量为，所以， 所以直线的方程为，即； （2）方法一：设，因为三点不共线，所以. 因为，且斜率均存在，所以， 又，所以，化简得， 因此，直角顶点C的轨迹方程为，即. 方法二：线段的中点为，由中点坐标公式得， 由直角三角形的性质知, 由圆的定义知，动点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆 （由于三点不共线，所以应除去与x轴的交点）. 所以直角顶点的轨迹方程为. 2．(1) (2) 【分析】（1）先求得线段的垂直平分线的方程，通过联立垂直平分线的方程和直线的方程求得圆心的坐标，进而求得半径，从而求得圆的标准方程. （2）设出点的坐标，求得点的坐标，将点的坐标代入圆的方程，化简求得点的轨迹方程. 【详解】（1）线段的中点的坐标为， 直线的斜率为， 所以线段的垂直平分线的斜率为， 所以线段的垂直平分线的方程为，即 由，解得，所以， , 所以圆的标准方程为. （2）设，，由于是线段的中点，已知， 则，即，所以， 将点的坐标代入圆的方程得， 整理得点的轨迹方程为：. 3．(1) (2)，的轨迹是以为圆心，1为半径的圆. 【分析】（1）设圆心的坐标为，通过半径列出等式求解即可； （2）设线段中点，由中点坐标公式求得坐标，代入（1）所得方程即可. 【详解】（1）设圆心的坐标为， 则有， 整理求得，故圆心为， 半径r满足， 则圆P的方程为. （2）设线段中点，， 由可知，， ∵点C在圆上运动，∴， ∴的轨迹方程为. ∴的轨迹是以为圆心，1为半径的圆. 4．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用中点在直线上和垂直直线的斜率关系，由点斜式可得； （2）待定系数法求解圆的方程； （3）相关点法求动点的轨迹方程. 【详解】（1）线段的中点，， 所以线段的垂直平分线的方程为，即. （2）设圆的方程为， 由题意可知，解得， 所以圆的方程为. （3）设点的坐标为，点的坐标为， 因为点的坐标是，点是线段的中点，所以， 即， 因为端点在圆上运动，所以， 代入可得，即， 因此线段的中点的轨迹方程为. 5．(1)； (2)，轨迹形状为以为圆心，为半径的圆. 【分析】（1）设圆的标准方程为，根据条件联立方程求解圆心和半径； （2）通过向量关系设点和的坐标，利用代入法求点的轨迹方程. 【详解】（1）设圆的圆心为，半径为，其标准方程为， 因为圆心在直线上，因此，即，圆心可表示为， 因为圆经过和，则圆心到、的距离相等，由距离公式得： 解得，代入，得，即圆心为， 半径， 因此，圆的方程为； （2）设，则， 由，其中，则向量关系为：， 即， 解此方程组，用表示：， 代入圆的方程，得：， 化简得：. 所以点的轨迹方程为， 其轨迹为以为圆心，为半径的圆. 6．(1) (2) 【分析】（1）分析可知圆心坐标为，进而可得半径，即可得圆的方程； （2）设，根据中点坐标公式可得，代入圆的方程运算求解即可. 【详解】（1）因为直线（）可化为：， 所以直线恒过点， 又因为圆E恒被直线（）平分，则（）恒过圆心， 可知圆心坐标为，且圆E经过点，所以圆的半径， 所以圆E的方程为. （2）设， 因为M为线段AP的中点，且，则， 因为点P是圆E上的动点，则，即， 所以M的轨迹方程为. 考点十八：圆的公切线问题 一、单选题 1．已知圆与圆（，）交于，两点，若存在实数，使得公共弦长，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．已知圆与恰有一条公切线，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（   ） A．1 B． C． D．2 二、多选题 4．在平面直角坐标系中，圆，点为直线上一动点，则（   ） A．点到圆上的点的最短距离是 B．圆上有且仅有两个点到直线的距离为2 C．过点作圆的一条切线，切点为可以为 D．过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线恒过定点 5．已知关于直线对称，，则（    ） A． B．经过的直线方程为 C．与的公切线的数量为3 D．若，分别是圆与圆上的点，则的最大值为 6．圆与圆相交于，两点，下列说法正确的是（    ） A．的直线方程为 B．公共弦的长为 C．圆与圆的公切线段长为1 D．线段的中垂线方程为 三、填空题 7．已知圆与，则圆与圆的公共弦长为________． 8．若圆与圆有且仅有3条公切线，则的最大值为______． 9．圆，圆，且，分别为两圆半径，圆和圆有且仅有一条公切线，则直线的方程为__________. 参考答案 1．A 【详解】由和的标准方程可知，的圆心为，圆心在y轴上，半径， 的圆心为，圆心在x轴上，半径.公共弦长， 说明是的直径.连接，则， ，由垂径定理可知，连接，. 则，即， 结合下图可知，b增大时，a缩小，b缩小时，a增大，b取0时， 即的圆心为时，a取最大或最小值3或， 即a的取值范围是. 2．C 【分析】解法一：先根据圆与圆的位置关系得到，令，，结合辅助角公式，正弦函数的性质即可求解． 解法二：先根据圆与圆的位置关系得到，令，从而得到关于的一元二次方程，再结合，求解即可． 解法三：先根据圆与圆的位置关系得到，令，，结合求解即可． 【详解】解法一：依题意，圆心分别为，，半径，， 因为两圆恰有一条公切线，所以两圆内切，所以， 即，解得， 令，，（其中为参数）， 则（其中）． 解法二：依题意，圆心分别为，，半径，， 因为两圆恰有一条公切线，所以两圆内切，所以， 即，解得， 令，则，代入， 整理得， 由，解得， 所以，所以． 解法三：依题意，圆心分别为，，半径，， 因为两圆恰有一条公切线，所以两圆内切，所以， 即，解得， 令，， 又，则， 当且仅当，共线，且时，即，取得最大值． 3．C 【分析】两圆只有一条公切线可得两圆内切，，再利用圆的切线长的公式可解. 【详解】由题，圆与圆内切，所以，即，所以点， 又圆的半径为1，所以切线长为， 故选：C． 4．BD 【分析】求得圆心到直线的距离判断A；根据与平行且到距离为2的直线与圆的交点有2个判断B；根据求得的范围判断C；根据弦是以为直径的圆与圆的公共弦求解方程并判断。 【详解】由题知，圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 对于A，点到圆上的点的最短距离是，故错误； 对于B，如图，圆上的点到直线距离为2的点，对应的是与平行且到距离为2的直线与圆的交点， 此时圆心到的距离为或， 当满足与圆相交，有2个交点，当，与圆相离，无交点； 综上，圆上有且仅有两个点到直线的距离为2，正确； 对于C，过点作圆的一条切线，切点为，此时为直角三角形，， 由于，所以，即，故错误； 对于D，设，因为， 所以四点共圆，圆心为中点，半径为， 所以所在圆的方程为， 因为在圆上，所以弦为两个圆的公共弦， 所以弦所在直线方程为：， 即，整理得， 所以，解得，即弦：过定点，故D选项正确； 故选：BD 5．ABD 【详解】对A，因为关于直线对称，所以圆心在直线上， 所以.故A正确； 对B，根据两点式，直线的方程为：即.故B正确； 对C，因为，，，所以， 所以与相交，故两圆有2条公切线.故C错误； 对D，.故D正确. 6．AC 【分析】对于A，两圆方程相减可求出直线的方程，对于B，利用弦心距、弦和半径的关系可求公共弦的长，对于C，求出，再由可求得结果，对于D，线段的中垂线就是直线，求出直线的方程即可. 【详解】由，得，则，半径， 由，得，则，半径， 对于A，公共弦所在的直线方程为， 即，所以A正确， 对于B，到直线的距离， 所以公共弦的长为，所以B错误， 对于C，因为，，， 所以圆与圆的公切线长为，所以C正确， 对于D，根据题意可知线段的中垂线就是直线，因为， 所以直线为，即，所以D错误， 故选：AC. 7． 【分析】将两圆方程作差得到公共弦所在直线的方程，再利用点到直线距离公式和勾股定理求弦长即可. 【详解】将两圆方程作差得公共弦所在直线的方程， 圆，其圆心，半径， 则圆心到直线的距离为，则两圆的公共弦长为． 8． 【分析】判断出圆与圆的位置关系，利用三角换元法求得的最大值. 【详解】圆的圆心为，半径. 圆的圆心为，半径. 由于两圆有且仅有3条公切线，所以两圆外切， 所以，即， 设， 所以 ， 其中（为锐角）， 所以， 所以当时，取得最大值为. 9．或 【分析】联立两圆方程，由条件，可得两圆的位置关系，即可得的关系，代入求解，即可得答案. 【详解】联立，①-②得， 由，得， 因为圆和圆有且仅有一条公切线：， 所以圆和圆相内切，故， 即或， 代入公切线方程得， 则直线的方程为或 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二年级上学期大单元复习——期中重点精练 考点一：向量法求二面角 一、解答题 1．如图，平面平面，四边形与都是直角梯形，． (1)求证：，，，四点共面； (2)设，求平面与平面夹角的余弦值． 2．如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，点在线段上，平面. (1)证明：为的中点； (2)若，二面角的余弦值为，求的长. 3．如图，在四棱锥中，，，，是边长为4的等边三角形，平面平面.    (1)证明：； (2)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 4．如图，四棱锥中，，底面，，且，，． (1)证明：平面； (2)线段上是否存在一点E，使得二面角的平面角的正弦值为；若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 考点二：空间线面平行 / 垂直证明（向量法） 一、解答题 1．如图，在直三棱柱中，，，．是的中点，是与的交点． (1)求直三棱柱的体积； (2)若是的中点，证明：平面； 2．如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别是棱，，的中点，点G在棱上，且．证明：． 3．如图，在平行六面体中，向量，，两两之间的夹角均为，，，． (1)求线段的长度； (2)求证：． 4．如图，长方体中，，， (1)求证：平面平面; (2)线段上，是否存在点，使得平面. 考点三：向量法求线面角 一、解答题 1．三棱锥中，平面，，，，． (1)求证：； (2)求直线与平面所成的角的正弦值． 2．如图，在边长为2的正方体中，是棱上的点，平面交棱于点.    (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度. 3．如图，在直四棱柱中，四边形ABCD是梯形，，，E为矩形两条对角线的交点，且平面．    (1)证明：； (2)若，直线与平面ABE所成角的正弦值为，求； (3)平面ABE将该四棱柱分成上､下两部分，求上､下两部分的体积之比． 4．如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，． (1)若为的中点，求证：平面； (2)若平面，． （i）求直线与平面所成角的余弦值； （ii）求点到平面的距离． 考点四：向量法求异面直线所成角 一、单选题 1．在直三棱柱中，分别是棱的中点，且.若，则与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 2．在正方体中，若点P（异于点B）是棱上一点，则满足与所成的角为的点P的个数为（   ） A．0 B．3 C．4 D．6 二、多选题 3．在直二面角中，，，，点M，N分别在线段和上移动，且，则（   ） A．直线与所成的角为 B． C．当时，的长最小，且最小值为 D．当的长最小时，点D到平面的距离为 4．如图，设动点在棱长为的正方体的对角线上，，当为锐角时，可以取（    ） A． B．0 C． D． 三、填空题 5．如图，在正方体中，分别为的中点，则异面直线与所成的角的大小为________. 6．棱长为2的正方体中，是棱上的动点，是棱的中点，当直线与所成角最小时，的面积为________． 考点五：空间向量探索性动点问题 一、解答题 1．如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 2．如图，在四棱锥中，平面平面，，为棱PC的中点. (1)证明：平面PAD； (2)求平面PDM和平面BDM的夹角的余弦值； (3)在线段PA上是否存在点，使点到平面BDM的距离是？若存在，求PQ的长；若不存在，说明理由. 3．如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角； (3)棱上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 4．如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，. (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 考点六：向量法求空间距离（点面距为主） 一、解答题 1．如图，已知正三棱柱中，，点为的中点. (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离. 2．如图，在长方体中，是AB的中点. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 3．在长方体中，，，，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面的夹角的正弦值； (3)求三棱锥的体积． 4．如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离． 考点七：空间向量基础运算（坐标、数量积、共线共面） 一、单选题 1．已知空间向量，，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 2．在三棱柱中，设，，，M是上靠近B点的三等分点，则可表示为（     ） A． B． C． D． 3．已知，，则等于（     ） A． B． C． D． 二、多选题 4．在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（    ） A． B． C．若，且，则 D．若且，则 5．已知是空间的一个基底，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．向量、、一定共面 C．向量在基底下的坐标是 D．对空间中任意向量，都存在唯一的有序实数组，使得 6．下列命题为真命题的是（   ） A．若空间向量，满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量，，满足，，则 D．空间中任意两个单位向量必相等 三、填空题 7．已知四点满足任意三点均不共线，但四点共面，为平面外任意一点，且，则实数的值为______． 8．已知为空间中四点，任意三点不共线，对于平面外一点，，若四点共面，则的值为____________ 9．已知为非零不共面向量，若向量， 则记向量以为基底时的坐标为，若向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标为______． 考点八：直线与圆位置关系判定 + 参数范围 一、单选题 1．若关于的方程恰有1个实数根．则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．若曲线上存在两点到直线的距离为6，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 二、多选题 3．已知圆：，直线：（），则下列选项中正确的是（    ） A．存在实数，使得圆关于对称 B．若与圆相切，则 C．存在实数，使圆上存在点到的距离为 D．若与圆相交于两点，且，则 4．已知动点与两定点，的距离的比为，设点所构成的曲线为，则（ ） A．曲线的方程为 B．曲线上的点到直线的最小距离为 C．曲线上恰有三点到直线的距离为，则 D．若点坐标为，则的最小值为 三、填空题 5．若直线与曲线有两个交点，则实数k的取值范围是______． 6．已知圆C：，点在直线上运动.若C上存在点Q，使，则的取值范围是___________. 考点九：圆的弦长计算 一、单选题 1．已知直线：被圆截得的弦长为，则直线的斜率为（     ） A． B． C． D． 2．已知圆的圆心为，且截轴所得弦长为，若圆上恰好有 4 个不同的点到直线的距离为 2，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、多选题 3．设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线，，切点为，为圆上任意两点，则下列说法中正确的有（   ） A．的取值范围是 B．四边形面积的最小值为 C．满足的点有两个 D．的面积最大值为 4．已知点，圆，则下列结论正确的有（   ） A．点与圆上的点之间距离的最大值为 B．点在圆内部 C．若过点的直线截圆的弦长为，则的方程为 D．以为中点的弦所在的直线方程为 三、填空题 5．已知圆的圆心在直线上，若圆与轴相切，且被轴截得的弦长为，则圆的半径为________． 6．已知直线：，圆：，若圆被直线分成的两段圆弧弧长之比为3:1，则______. 考点十：圆的切线问题（切线方程、切线长、切点弦） 一、单选题 1．已知点是圆上一点，则过点且与圆相切的直线的方程为（ ） A． B． C． D． 2．已知点P是直线上的动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为M，N，则四边形的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．已知圆和直线：，点在直线上运动，直线，分别与圆相切于点，，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．四边形的面积的最小值为4 D．的最大值为4 4．已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为，，直线与交于点，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为5 B．若圆上存在点，使得，则的取值范围为 C．四边形的面积最小时，直线的方程为 D．若，则的最大值为 三、填空题 5．已知圆的圆心为，且与直线相切，则圆被直线截得的弦长为_____. 6．已知集合，，且的非空子集的个数为3，则整数b的一个可能取值为_______． 考点十一：求圆的方程（标准方程 / 一般方程） 一、解答题 1．的三个顶点分别是、、． (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)求过点、，且圆心在直线上的圆的标准方程； (3)求的外接圆方程． 2．已知为坐标原点． (1)求直线的方程，并求直线中垂线的方程； (2)求的周长与面积； (3)求的外接圆方程与内切圆方程． 3．已知为圆：上一动点，点，为的中点. (1)求的轨迹方程； (2)若为圆上一动点，在直线：上存在点，使得最小，求的最小值. 4．已知圆的圆心为点，其在直线上，且与轴交于两点、． (1)求的面积； (2)求圆的标准方程； (3)已知，点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 5．已知圆的圆心在直线上，且圆过点，. (1)求圆的一般方程； (2)若圆与圆关于直线对称，求圆的标准方程. 6．已知点是直线与直线的交点. (1)求过点且与直线平行的直线的方程； (2)求过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程； (3)若点在圆的外部，求实数的取值范围. 考点十二：圆中的最值问题（距离最值、斜率最值） 一、单选题 1．若复数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．已知直线与曲线交于两点，平面上的动点满足，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，点M在圆心为C的圆上．若动点P满足，则对于，点P到直线的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．设是圆上的动点，是圆上的动点，为坐标原点，则最小值是_________. 5．已知点是圆上的动点，若为定值，则的最小值为________． 6．已知点和圆C：，一束光线从点A发出，射到直线l：后反射（入射点为B），反射光线经过圆周C上一点P，则折线ABP的最短长度是__________； 考点十三：两圆位置关系 一、单选题 1．若圆与交于两点，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 2．已知圆与圆交于两点，若点在直线上，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 3．已知圆，若圆上存在点使，则正数的取值范围是______. 4．已知圆与圆相交于两点，且，则___________． 三、解答题 5．已知圆：（为实数）． (1)若直线被圆截得的弦长为，求的值； (2)若过点的圆与圆相切于点，求圆的标准方程． 6．已知圆经过两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)已知圆，判断圆与圆的位置关系，并写出一条圆与圆的公切线方程. 考点十四：直线基础：倾斜角、斜率、直线方程、平行垂直 一、单选题 1．经过点作直线，若直线与连接 两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知点，，，是的垂心，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 3．一条光线从点射出，与轴交于点，经轴反射，则反射光线经过的点的坐标可以为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．已知两点 ，过点 的直线 与线段 总有公共点，则直线 倾斜角的取值范围是_____. 5．已知，，直线和垂直，则的最小值为______． 6．若直线与平行，则______． 考点十五：定点、定值问题（直线过定点、圆过定点） 一、单选题 1．已知直线与圆交于点M，N．当k变化时，的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 2．已知直线，圆，若直线与圆交于M，N两点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．已知为坐标原点，直线与圆相交于、两点，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．已知点在直线上运动，过点作圆的切线，切点为，直线过定点______． 5．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过的定点坐标为____. 6．设圆，直线，P为上的动点，过点作圆的两条切线，，切点分别为，则直线过定点______． 考点十六：对称问题（点关于直线、直线关于直线、圆对称） 一、单选题 1．圆关于直线对称，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．8 2．已知直线与直线关于点对称，则实数（　　） A．2 B．1 C． D． 3．若动点，分别在直线：和：上移动，则线段的中点点到原点的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．圆关于点对称的圆的标准方程为___________ 5．直线关于点对称的直线的方程为________． 6．直线关于直线对称的直线的方程为___________．（用一般式表示） 考点十七：轨迹方程（与圆相关动点轨迹） 一、解答题 1．已知的斜边为，且，求： (1)若边所在直线的一个方向向量为，求边所在直线方程; (2)求直角顶点的轨迹方程. 2． 已知圆过，两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆C上运动，求线段AB中点P的轨迹方程. 3．已知圆P经过点和，且圆心在直线：上. (1)求圆的标准方程； (2)若线段的端点D的坐标是，端点C在圆P上运动，求的中点的轨迹方程，并指出它的轨迹是什么图形. 4．已知圆经过点，，圆心在直线上. (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)求圆的方程； (3)若点，是圆上任意一点，线段的中点为，求动点的轨迹方程. 5．已知圆过，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 6．已知圆E经过点，且恒被直线（）平分. (1)求圆E的标准方程； (2)设P是圆E上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程.（当点P经过点A时，规定点M与点P重合） 考点十八：圆的公切线问题 一、单选题 1．已知圆与圆（，）交于，两点，若存在实数，使得公共弦长，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．已知圆与恰有一条公切线，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（   ） A．1 B． C． D．2 二、多选题 4．在平面直角坐标系中，圆，点为直线上一动点，则（   ） A．点到圆上的点的最短距离是 B．圆上有且仅有两个点到直线的距离为2 C．过点作圆的一条切线，切点为可以为 D．过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线恒过定点 5．已知关于直线对称，，则（    ） A． B．经过的直线方程为 C．与的公切线的数量为3 D．若，分别是圆与圆上的点，则的最大值为 6．圆与圆相交于，两点，下列说法正确的是（    ） A．的直线方程为 B．公共弦的长为 C．圆与圆的公切线段长为1 D．线段的中垂线方程为 三、填空题 7．已知圆与，则圆与圆的公共弦长为________． 8．若圆与圆有且仅有3条公切线，则的最大值为______． 9．圆，圆，且，分别为两圆半径，圆和圆有且仅有一条公切线，则直线的方程为__________. 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $