2.3 课时2 点到直线的距离、平行线间的距离公式 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦点到直线的距离公式和平行线间的距离公式，通过“如何求点到直线距离”“用向量方法推导”等探究问题导入，以问题链为支架衔接直线方程知识，引导学生从已有认知过渡到公式推导与应用。 其亮点在于以数学思维（推理能力）和数学语言（模型观念）为核心，通过向量推导公式培养逻辑推理，结合例1点到特殊直线距离、例3公路修建实际问题，将公式转化为解决问题的模型。采用“探究-应用-综合”递进式教学，帮助学生深化理解，教师可借助多样化例题提升教学效率。

第二章 直线和圆的方程 2.3 直线的交点坐标与距离公式 课时2 点到直线的距离、平行线间的距离公式 1 如图，是直线外的一点 问题1 我们该如何求到直线的距离？ 探究1 点到直线的距离公式 问题2 能否用向量方法求点到直线的距离？ 点到直线的距离 . 当，或时，上述公式仍然成立. 分子的式子是直线方程的一般式形式 分母的式子是直线方程的一般式的系数平方和，开根号 4 点到直线的距离 . 点到几种特殊直线的距离： （1）点到轴的距离 ； （2）点到轴的距离 ； （3）点到直线的距离 ； （4）点到直线的距离 . 5 例1 求点 到下列直线的距离： （1）；（2）；（3） . 课本77页 6 巩固训练1 已知点，向量，过点作以向量 为方向向量的直 线，则点到直线 的距离为( ) . B A.0 B. C. D. [解析] 由题知点，向量，过点作以向量 为方向向量的 直线 ， 所以直线的斜率 ， 所以直线的方程为，即 . 因为 ， 所以 ，故选B. 7 巩固训练2 已知直线与直线 . （1）求经过直线与的交点，且与直线垂直的直线 的方程； （2）求点分别到直线与 的距离. 8 2.已知的三个顶点分别是，求的面积. 探究2 两条平行直线间的距离 问题3 已知两条平行直线<m>l，的方程，如何求 <m></m> 与 <m>间的距离</m> 转换成点到直线的距离 10 （1）两条平行直线间的距离：夹在两条平行直线间的公垂线段的长度.求两条平行直 线的距离转化为求点到直线的距离. （2）公式：两条平行直线与 之间的距离 . 注：利用公式求两条平行直线间的距离时，两条直线的方程必须是一般式，且x，y 的系数对应相等． 11 例2 直线和 平行，则它们之间的距离为____. [解析] 将直线化为 ， 由两平行线间距离公式得 . 12 巩固训练1 已知直线与之间的距离为，则 的值为( ) . B A.13 B.13或 C.7 D.7或 巩固训练2 已知直线与 互相平行，则它们之间 的距离为( ) . B A. B. C. D. 13 课本79 14 例3 如图，公路，围成的是一块顶角为 的角形土地，其 中，在该块土地中 处有一小型建筑，经测量，它到公 路，的距离分别为，，现要过点 修建一条直线 公路，将三条公路围成的区域 建成一个工业园． （1）以为坐标原点建立适当的平面直角坐标系，求出点 的坐标； （2）在（1）的条件下，三条公路围成的工业园区的面积恰为 ，求公路 所在的直线方程． 探究3 距离公式的综合应用 15 [解析] （1）如图，以 为坐标原点，建立平面直角坐标系. ， 直线的方程是 . 设点 ，由点到直线的距离为3，得 ． 由点到直线的距离为，得， 解得 或 （舍去）， 点 ． （2）显然，直线 的斜率存在． 设直线的方程为，，令，得 ． 由解得 ． ，解得 ． 故直线的方程为 ． 16 距离公式综合应用的三种常用类型 （1）最值问题 ①利用对称转化为两点之间的距离问题． ②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离． ③利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值． （2）求参数的问题 利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值． （3）求方程的问题 立足确定直线的几何要素——点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的 位置关系（平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系），巧设直线方程，在此基础 上借助三种距离公式求解． 17 巩固训练 某工厂 （看作一点）位于两高速公路 （看作两条直线）与之间.已知到高速公路 的距 离是，到高速公路的距离是， . 以为坐标原点，所在的直线为 轴建立如图所示的平面 直角坐标系． （1）求直线 的方程； （2）现紧贴工厂修建一直线公路连接高速公路和，与的连接点为，与 的连接点为，且恰为该路段的中点，求 的长度． 18 [解析] （1）因为 ，所以直线的斜率 ， 所以直线的方程为 . （2）设 ，由（1）知，直线的方程为 ， 所以点到直线的距离为， 解得或 （不合题意，舍去），所以 ． 设，，又为的中点，点在直线 上， 所以解得 所以， ，所以的长度为 ． 19 1.点到直线 的距离等于( ) . A A.7 B.5 C.3 D.2 2.已知直线和 互相平行，则它们之间的距离是( ) . D A.4 B. C. D. 3.已知直线和直线，直线与， 的距离分 别为，，若，则直线 的方程为_________________________________. 或 20 4.已知点，，点在直线上，求取得最小值时点 的坐标． [解析] 设 ， 则 ， 故当时，取得最小值，此时有， ， 所以取得最小值时点的坐标为， ． 21 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1） 点到与轴平行的直线的距离 . ( ) × （2） 点到与轴平行的直线的距离 . ( ) √ （3） 直线与之间的距离为 . ( ) √ 22 2.原点到直线 的距离为( ) . D A.1 B. C.2 D. 3.已知直线，，则与 之间的距离为( ) . B A.1 B. C. D.2 4.若第二象限内的点到直线的距离为，则 的值为____． [解析] 由，得或 ， 点在第二象限，，故 ． 23 $