6.1.4 数乘向量（教学课件）高一数学人教B版必修第二册

【新教材】人教B版·高一必修第二册 第六章 平面向量初步 6.1.4 数乘向量 6.1平面向量及其线性运算 学 习 目 标 1 2 理解数乘向量的定义，掌握数乘向量的长度与方向规定；明确 λ 仍是一个向量。 掌握数乘向量的三条运算律，能进行向量的简单线性运算。 理解数乘向量的几何意义，会画出 λ；初步认识共线向量。 重点：数乘向量的定义、运算律、几何意义。子集，能进难点：λ 正负对向量方向的影响；区分实数 λ 与向量 。 已知向量 表示一次位移。 思考 1：连续 3 次做位移 ，总位移是什么？用向量加法表示为 。这个合向量的长度是 || 的 3 倍，方向与 相同，记作 3。 思考 2：连续 3 次做与 反向的位移，即 ，合向量记作 ，长度为 ，方向与 相反。 设问：实数与向量相乘，得到的是数还是向量？它的大小、方向如何确定？ 问题情境 目标一：数乘向量的概念 定义 知识讲解 互动探究 新课引入 一般地，给定一个实数 与任意一个向量，规定它们的乘积是一个向量，记作 ，其中： (1) 当 且 时，的模为 ，而且 的方向如下： ① 当 时，与 的方向相同； ② 当 时，与的方向相反. (2) 当 或 时，. 上述实数 与向量相乘的运算简称为数乘向量. 5 特别提醒 知识讲解 互动探究 新课引入 (1) 关于实数与向量的积 λ 的理解：我们可以把向量 的模扩大(当 |λ|>1 时)，也可以缩小(当 |λ|<1 时)，同时，我们可以不改变向量 的方向(当 λ>0 时)，也可以改变向量 的方向(当 λ<0 时)。 (2) 注意实数与向量的积的特殊情况，当 λ=0 时，λ=0；而 λ≠0,=0 时，也有 λ=0。 (3) 注意实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算，比如 λ+,λ- 无法运算。 6 对点体验 设 是非零向量， 是非零实数，则下列结论正确的是( )。 与 的方向相反 B. C.与 的方向相同 D. 解 当 时， 与 的方向相同，当 时，与 的方向相反，故 A 不正确；当 时，，故 B 不正确；由 是非零实数，可得 ，所以 与 的方向相同，故 C 正确； 是实数， 是向量，不可能相等，故 D 不正确。 目标二：数乘向量的运算律 数乘向量的运算律 知识讲解 互动探究 新课引入 序号 运算律 表达式 (1) 结合律 (μ) (2) 第一分配律 (3) 第二分配律 运算律的几何意义 以 λ>0,μ>0 为例，解释如下： (1) 第一分配律的几何意义：将表示向量 a 的有向线段伸长或压缩至原来的 (λ+μ) 倍，与将表示向量 的有向线段先伸长或压缩至原来的 λ 倍后，再与表示向量 的有向线段伸长或压缩至原来的 μ 倍后相加得到的结果相同。 9 数乘向量的运算律 知识讲解 互动探究 新课引入 (2) 结合律的几何意义：将表示向量 的有向线段先伸长或压缩至原来的 μ 倍，再伸长或压缩 λ 倍，与直接将表示向量 的有向线段伸长或压缩至原来的 λμ 倍所得的结果相同。 (3) 第二分配律的几何意义：将表示向量 的有向线段先相加，再伸长或压缩 λ 倍，与将表示向量的有向线段先伸长或压缩至原来的 λ 倍后再相加所得的结果相同。 10 对点体验 下列各式中计算正确的有( )。 ① ；②；③。 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 解 根据数乘向量的运算律可知①②正确。 ③错误，因为向量的和、差及数乘运算的结果仍为一个向量，而不是一个实数。 对点体验 如图 所示，已知 为平行四边形 的中心，，则 ( )。 A. B. C. D. 解 因为 ，所以 。 答 C 对点体验 （多选），下列关系中不正确的是( )。 A.若 ，则 B.若，则 C. D. 解 根据数乘向量的定义知，仍为一个向量，其模 ， A，C 均不正确；显然 B 正确； 向量 与实数 相加没有意义，是一个不存在的式子， D 不正确。 答 ACD 目标三：向量的线性运算 线性运算及说明 知识讲解 互动探究 新课引入 向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混合运算，统称为向量的线性运算。 (1) 向量的数乘运算类似于代数多项式的运算。主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”及“公因式”都是指向量，实数看成是向量的系数。向量也可以通过列方程来解，即把所求向量当成未知量，利用解代数方程的方法求解。 (2) 已知某些向量，而要化简与它们有关的向量式，其解题方法可类比初中所学的“求代数式的值”，即先化简向量式，再代入，再化简、求值，这样能简化解题过程。 (3) 解向量的线性方程组的方法，同解代数方程组一样地进行消元，其消元方法也有代入消元法、加减消元法。 (4) 含有参数的向量的线性运算问题，只需把参数当作已知条件，列出向量方程，根据向量的加法、减法及数乘运算化简方程为已知形式，对比系数就可以求出参数的值。 15 对点体验 （多选）设 都是非零向量，则下列四个条件中，一定能使 成立的是( )。 A. B. C. D. 解 因为与 同向的单位向量为 ，与 同向的单位向量为 ，所以若 ，则 方向相反。故选 AD。 答 AD 对点体验 (1) 已知 (其中 为已知向量)，求 ； (2) 已知 其中 为已知向量，求 。 答 (1) 原方程可化为 ，即 ， 。 (2) 由②得 ， 代入①，得 ， ，即 ， ， 。 对点体验 如图 ， 是 的边 的中点，则 等于( )。 A. B. C. D. 解 是 的边 的中点，。，。 目标四：向量共线定理及其应用 共线向量条件及应用 知识讲解 互动探究 新课引入 向量 (≠0) 与 b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数 λ，使 b=λ. 向量共线的条件 如果 =λb，则 ∥b。要注意两向量平行与几何里的平行是有区别的，两向量平行包括两向量所在直线重合的情况。 利用向量共线的条件可以解决平面几何中两线段的平行、三角形相似、证明三点共线等问题。 单位向量 给定一个非零向量 ，与 同向且长度等于 1 的向量，叫作向量 的单位向量。如果 的单位向量记作 ，由数乘向量的定义可知： 或 。 20 三点共线判定及应用 知识讲解 互动探究 新课引入 共线条件的应用 向量共线主要用来证明两条直线平行、三点共线问题。 利用向量共线证明三点共线的一般步骤 序号 步骤 内容描述 (1) 步骤1 以三点中任意两个点为端点构造两个有一个共同端点的向量 (2) 步骤2 证明存在唯一实数，使成立 (3) 步骤3 由两条线段有共同的端点得出结论：三点共线 21 三点共线判定及应用 知识讲解 互动探究 新课引入 对于平面内任意三点 为不同于 的任意一点，设 ，若实数 满足 ，则 三点共线。 事实上，由 ，可得 ，代入 可得 ，即 ，也即 。从而 三点共线 22 三点共线判定及应用 知识讲解 互动探究 新课引入 若平面内三点 共线， 为不同于 的任意一点，设 ，则存在实数 使得 。 23 对点体验 设 是两个不共线向量，已知 。 (1) 求证： 三点共线； (2) 若 ，且 三点共线，求 的值。 答 (1) 由已知得 。 又 ， 三点共线。 (2) 由(1)可知 ，且 ， 三点共线，， 即 。 由题意 不共线，得 解得 。 对点体验 在 中， 在线段 上，且 ，求证：直线 经过线段 的中点 。 答 因为 ，所以 ，即 。 又 为线段 的中点， 所以 。 因为 ， 所以 ，所以 ， 所以 ， 所以 ， 所以 三点共线， 所以直线 经过线段 的中点 。 对点体验 在平行四边形 中，点 是 边的中点， 与 相交于点 ，若 ，则 的值是________。 解 如图 ， ，。 三点共线， ，。 目标五：针对训练 举一反三 1.已知点 在线段 上，且 ，若向量 ，则 () A.2 B. C. D. 解析： 如图，由 ，可得 ，所以 ，即 ，故选：D. 2.设 是非零向量， 是非零实数，下列结论正确的是() A. 与 的方向相反 B. C. 与 的方向相同 D. 解析： 由于 ，所以 ，因此 与 方向相同.故选：C. . 举一反三 3.下列说法不正确的是() A.零向量加一个零向量还是零向量 B.零向量减一个零向量还是零向量 C.零向量乘一个零向量还是零向量 D.零向量乘零还是零向量 解析： 由向量的运算性质，零向量乘一个零向量是数量零，而两个零向量的加减、数乘（乘以 0）均为零向量.故选：C 举一反三 4.下列命题正确的个数是() ① ；② ；③ ；④ A.1 B.2 C.3 D.4 解析： 由两相反向量的和为零向量知①正确； 由于两向量的数量积结果为一实数知②错误，正确结果应为 0； 由向量的减法运算法则 ，③错； 由向量数乘的意义知 ，④错，即正确的个数是1，故选 A. 举一反三 5.已知 ，则下列结论正确的是() A. B. C. D. 解析： 当 时， 不成立，A 错误； 是一个非负实数，而 是一个向量，所以 B 错误； 当 或 时，，D 错误.故选 C. 6.已知 .若记 ，则 . 解析： ，，则有 ，. 目标六：小结 学海拾贝 数乘向量的定义：实数 λ 与向量 的积是一个向量，记作 λ。 长度：|λ|=|λ|⋅||； 方向：λ>0 时，λ 与 同向；λ<0 时，λ 与 反向；λ=0 时，λ=0。 运算律： (λ+μ)=λ+μ； λ(μ)=(λμ)； λ(+b)=λ+λb。 学海拾贝 几何意义：λ 是把向量 沿原方向或反方向伸缩 |λ| 倍； 与 λ 一定共线。 线性运算：向量的加法、减法与数乘统称为向量的线性运算，运算结果仍是向量。 易错提醒：λ 是实数，a 是向量；注意不要混淆 |λ| 与 λ||——当 λ 为负数时二 【新教材】人教B版·高一必修第二册 感谢聆听! $