6.1.4 数乘向量-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第二册创新导学案课件PPT（人教B版）

第六章　平面向量初步 6.1　平面向量及其线性运算 6.1.4　数乘向量 (教师独具内容) 课程标准：通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义． 教学重点：1．数乘向量的定义及其几何意义．2．数乘向量的运算律． 教学难点：数乘向量的应用． 核心素养：1．通过学习数乘向量的定义、几何意义及运算律培养数学抽象素养和直观想象素养．2．通过应用数乘向量解决问题培养逻辑推理素养和数学运算素养． 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 知识点一　数乘向量的定义 一般地，给定一个实数λ与任意一个向量a，规定它们的乘积是一个向量，记作___，其中： (1)当λ≠0且a≠0时，λa的模为______，而且λa的方向如下： ①当λ>0时，与a的方向_______； ②当λ<0时，与a的方向_______． (2)当λ＝0或a＝0时，λa＝___． 上述实数λ与向量a相乘的运算简称为数乘向量． λa |λ||a| 相同 相反 0 核心概念掌握 5 沿着它的方向或反方向放大或缩小 (λμ)a b＝λa 核心概念掌握 6 2 －2 2 核心概念掌握 7 核心素养形成 题型一　数乘向量的定义 解析　当λ<0时，a与－λa的方向相同，故A不正确；当|λ|<1时，|－λa|＝|λ||a|<|a|，故B不正确；由λ是非零实数，可得λ2>0，所以a与λ2a的方向相同，故C正确；|－λa|是实数，|λ|a是向量，不可能相等，故D不正确．故选C． 　 设a是非零向量，λ是非零实数，则下列结论正确的是(　　) A．a与－λa的方向相反 B．|－λa|≥|a| C．a与λ2a的方向相同 D．|－λa|＝|λ|a 核心素养形成 9 【感悟提升】　对数乘向量定义的理解 λ是实数，a是向量，它们的积仍然是向量，λ的符号与λa的方向有关，|λ|的大小与λa的模有关． 核心素养形成 10 【跟踪训练】 1．(1) 已知λ∈R，则下列命题正确的是(　　) A．|λa|＝λ|a| B．|λa|＝|λ|a C．|λa|＝|λ||a| D．|λa|>0 解析：由数乘向量的模的意义可知|λa|＝|λ||a|，故A，B错误，C正确；当λ＝0或|a|＝0时，|λa|＝0，故D错误．故选C． 核心素养形成 11 核心素养形成 12 题型二　数乘向量的运算 ②③ 核心素养形成 13 【感悟提升】 1．数乘向量的运算技巧 λa中的实数λ称为向量a的系数，数乘向量运算就是把数与向量的系数相乘，作为新向量的系数． 2．λ(μa)＝(λμ)a的几何意义 以λ>0，μ>0为例，解释如下：将表示向量a的有向线段先伸长或缩短至原来的μ倍，再伸长或缩短至其λ倍，与直接将表示向量a的有向线段伸长或缩短至原来的λμ倍所得的结果相同． 核心素养形成 14 核心素养形成 15 题型三　数乘向量的应用 核心素养形成 16 核心素养形成 17 【跟踪训练】 3．(1)如果e是非零向量，且a＝－2e，3b＝e，那么a，b的关系是(　　) A．相等 B．共线 C．不共线 D．不能确定 解析：∵a＝－2e，3b＝e且e为非零向量，∴a＝－6b，∴a与b共线且方向相反． 核心素养形成 18 核心素养形成 19 随堂水平达标 随堂水平达标 1 2 3 4 5 21 随堂水平达标 1 2 3 4 5 22 解析：因为a＝2e，b＝－6e，e为非零向量，所以b＝－3a，所以a∥b，向量a，b方向相反，|b|＝3|a|．故选ABD． 随堂水平达标 1 2 3 4 5 23 4．已知向量a，b满足|a|＝3，|b|＝5，且a＝λb，则实数λ＝________． 随堂水平达标 1 2 3 4 5 24 随堂水平达标 1 2 3 4 5 25 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ ★ 对点 数乘向量的定义 任一向量与单位向量的关系 利用数乘向量的定义求参数 利用数乘向量判断几何图形的形状 利用数乘向量判断点与线的关系 数乘向量的运算 数乘向量的定义及运算 利用数乘向量的定义求参数 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 难度 ★ ★★ ★ ★★ ★★ ★★★ ★★ ★★ 对点 数乘向量的几何意义 数乘向量在几何计算中的应用 数乘向量的几何意义 用已知向量表示其他向量 数乘向量的运算 数乘向量在几何计算中的应用 数乘向量在几何证明中的应用 数乘向量的几何意义；求向量的模 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 27 解析：对于A，当λ＝0时，λa＝0，因为零向量的方向是任意的，故A错误；对于B，当a＝0，b≠0时，此时a，b共线，但不能得到b＝λa，故B错误；对于C，|b|＝2|a|，a，b的方向不确定，故不能得到b＝±2a，C错误；对于D，若b＝±2a，则|b|＝2|a|，故D正确．故选D． 一、单选题 1．下列说法中正确的是(　　) A．λa与a的方向不是相同就是相反 B．若a，b共线，则b＝λa C．若|b|＝2|a|，则b＝±2a D．若b＝±2a，则|b|＝2|a| 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 28 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 29 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 30 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 31 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 32 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 33 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 34 2 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 35 9．若|a|＝5，b与a方向相反，且|b|＝7，则a＝________b． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 15．如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别为BD，AB，AC，CD的中点．求证：四边形EFGH为平行四边形． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 　　　　　　　　　　　　　 R 知识点二　数乘向量的几何意义 数乘向量的几何意义是，把向量________________________________． 知识点三　数乘向量的运算律 λ(μa)＝_________． 知识点四　向量平行与三点共线 (1)如果存在实数λ，使得_________，则b∥a． (2)一般地，如果存在实数λ，使得_________，则eq \o(AB,\s\up14(→))与eq \o(AC,\s\up14(→))平行且有公共点A，从而A，B，C三点一定_________． [拓展]　给定一个非零向量a，与a同方向的单位向量记作a0，则a＝|a|a0且a0＝eq \f(a,|a|)． eq \o(AB,\s\up14(→))＝λeq \o(AC,\s\up14(→)) 共线 1．(数乘向量的运算律)若a＝eq \f(2,3)e，b＝eq \f(1,3)e(e为非零向量)，则a＝________b． 2．(数乘向量的定义)若|a|＝3，b与a方向相反，且|b|＝6，则b＝________a． 3．(数乘向量的应用)若点C在长度为3的线段AB上，且eq \o(AC,\s\up14(→))＝eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up14(→))，则|eq \o(BC,\s\up14(→))|＝___. (2)若a＝－eq \f(1,2)b(b≠0)，则(　　) A．a与b方向相同，|a|＝2|b| B．a与b方向相同，|b|＝2|a| C．a与b方向相反，|a|＝2|b| D．a与b方向相反，|b|＝2|a| 解析：∵a＝－eq \f(1,2)b(b≠0)，∴a与b方向相反，|b|＝2|a|．故选D． ①－3×2a＝－5a；②eq \f(1,2)a×3×(－2)＝－3a；③－2eq \o(AB,\s\up14(→))＝2eq \o(BA,\s\up14(→))；④0×b＝0． 解析　因为－3×2a＝－6a，eq \f(1,2)a×3×(－2)＝－3a，－2eq \o(AB,\s\up14(→))＝2eq \o(BA,\s\up14(→))，0×b＝0，所以①④错误，②③正确． 【跟踪训练】 2．化简下列各式： (1)4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,8)))a；(2)－2×eq \f(1,2)×(－3a)． 解：(1)4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,8)))a＝－eq \f(1,2)a． (2)－2×eq \f(1,2)×(－3a)＝3a． (AB,\s\up14(→))INCLUDEPICTURE"例3灰.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\李梅\\课件\\541数学（必修第二册导学案（B版\\例3灰.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\李梅\\课件\\541数学（必修第二册导学案（B版\\例3灰.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\李梅\\课件\\541数学（必修第二册导学案（B版\\例3灰.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\李梅\\课件\\541数学（必修第二册导学案（B版\\例3灰.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\齐蔵\\PPT\\541数学（必修第二册导学案（B版\\例3灰.TIF" \* MERGEFORMATINET 　已知＝e，eq \o(BC,\s\up14(→))＝－3e，其中e为非零向量，判断A，B，C三点是否共线，如果共线，说出点A是线段BC的几等分点． 解　因为eq \o(BC,\s\up14(→))＝－3e＝－3eq \o(AB,\s\up14(→))，所以eq \o(AB,\s\up14(→))∥eq \o(BC,\s\up14(→))，且有公共点B，所以A，B，C三点共线，又因为BC＝3AB，且向量eq \o(AB,\s\up14(→))，eq \o(BC,\s\up14(→))反向，如图，所以点A是线段BC的三等分点． 【感悟提升】数乘向量的应用 (1)如果存在实数λ，使得b＝λa，则b∥a． (2)如果存在实数λ，使得eq \o(AB,\s\up14(→))＝λeq \o(AC,\s\up14(→))，则eq \o(AB,\s\up14(→))∥eq \o(AC,\s\up14(→))，且AB与AC有公共点A，所以A，B，C三点共线． (2)设P是△ABC所在平面内的一点，且eq \o(CP,\s\up14(→))＝2eq \o(PA,\s\up14(→))，则△PAB与△PBC的面积之比是(　　) A．1∶3 B．1∶2 C．2∶3 D．3∶4 解析：作出图形如图所示．∵eq \o(CP,\s\up14(→))＝2eq \o(PA,\s\up14(→))，∴△PAB与△PBC的底边长之比为|eq \o(PA,\s\up14(→))|∶|eq \o(CP,\s\up14(→))|＝1∶2，又△PAB与△PBC的高相等， ∴△PAB与△PBC的面积之比为1∶2． 1．下列各式中不表示向量的是(　　) A．0·a B．a＋3b C．|3a| D．eq \f(1,x－y)e(x，y∈R，且x≠y) 解析：因为0·a＝0，所以0·a表示向量；由向量的加法和数乘向量的定义可知a＋3b表示向量；|3a|表示向量3a的模，是一个数；eq \f(1,x－y)e(x，y∈R，且x≠y)表示向量．故选C． 2．6×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)a))(　　) A．化简结果为2a B．与向量a同向 C．与向量a反向 D．其长度为2 解析：6×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)a))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(6×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))))a＝－2a，与向量a反向，其长度为2|a|．故选C． 3．(多选)已知向量a＝2e，b＝－6e，其中e为非零向量，则下列说法正确的是(　　) A．a∥b B．向量a，b方向相反 C．|a|＝3|b| D．b＝－3a 解析：由a＝λb，得|a|＝|λb|＝|λ||b|，因为|a|＝3，|b|＝5，则|λ|＝eq \f(3,5)，即λ＝±eq \f(3,5)． ±eq \f(3,5) 5．点C在线段AB上，且eq \f(AC,CB)＝eq \f(3,2)，则eq \o(AC,\s\up14(→))＝____eq \o(AB,\s\up14(→))，eq \o(BC,\s\up14(→))＝_____eq \o(AB,\s\up14(→))． eq \f(3,5) －eq \f(2,5) 解析：如图，∵eq \f(AC,CB)＝eq \f(3,2)，∴eq \o(AC,\s\up14(→))＝eq \f(3,5) eq \o(AB,\s\up14(→))，eq \o(BC,\s\up14(→))＝－eq \f(2,5) eq \o(AB,\s\up14(→))． 2．设a是任一向量，e是单位向量，且a∥e，则下列表达式中正确的是(　　) A．e＝eq \f(a,|a|) B．a＝|a|e C．a＝－|a|e D．a＝±|a|e 解析：当a＝0时，eq \f(a,|a|)没有意义，A错误；当a＝0时，B，C，D都正确；当a≠0时，由a∥e可知，a与e同向或反向，且|a|＝|a||e|，故B，C不全面．故选D． 3．点C在线段AB上，且|eq \o(AC,\s\up14(→))|＝eq \f(2,3)|eq \o(CB,\s\up14(→))|，若eq \o(AB,\s\up14(→))＝λeq \o(BC,\s\up14(→))，则λ＝(　　) A．eq \f(2,3) B．－eq \f(2,3) C．eq \f(5,3) D．－eq \f(5,3) 解析：因为点C在线段AB上，且|eq \o(AC,\s\up14(→))|＝eq \f(2,3)|eq \o(CB,\s\up14(→))|，所以A，B，C的位置关系如图所示．由图及题意知eq \o(AB,\s\up14(→))＝－eq \f(5,3) eq \o(BC,\s\up14(→))，所以λ＝－eq \f(5,3)． 4．若eq \o(AB,\s\up14(→))＝3e，eq \o(CD,\s\up14(→))＝－5e，且|eq \o(AD,\s\up14(→))|＝|eq \o(BC,\s\up14(→))|，则四边形ABCD是(　　) A．平行四边形 B．菱形 C．等腰梯形 D．不等腰的梯形 解析：因为eq \o(AB,\s\up14(→))＝－eq \f(3,5) eq \o(CD,\s\up14(→))，所以AB∥CD，|eq \o(AB,\s\up14(→))|≠|eq \o(CD,\s\up14(→))|，又|eq \o(AD,\s\up14(→))|＝|eq \o(BC,\s\up14(→))|，所以四边形ABCD是等腰梯形． 5．已知O，A，B三点不共线，P为O，A，B三点确定的平面内一点，且eq \o(OP,\s\up14(→))＝eq \o(OA,\s\up14(→))＋eq \f(1,|\o(AB,\s\up14(→))|) eq \o(AB,\s\up14(→))，则(　　) A．点P在线段AB上 B．点P在线段AB的延长线上 C．点P在线段AB的反向延长线上 D．点P在射线AB上 解析：由eq \o(OP,\s\up14(→))＝eq \o(OA,\s\up14(→))＋eq \f(1,|\a\vs4\al(\o(AB,\s\up14(→)))|) eq \o(AB,\s\up14(→))，得eq \o(OP,\s\up14(→))－eq \o(OA,\s\up14(→))＝eq \f(1,|\a\vs4\al(\o(AB,\s\up14(→)))|) eq \o(AB,\s\up14(→))，∴eq \o(AP,\s\up14(→))＝eq \f(1,|\a\vs4\al(\o(AB,\s\up14(→)))|) eq \o(AB,\s\up14(→))，∴点P在射线AB上．故选D． 二、多选题 6．若eq \o(P1P,\s\up14(→))＝4eq \o(P2P,\s\up14(→))，则下列各式中正确的是(　　) A．eq \o(P1P2,\s\up14(→))＝3eq \o(PP2,\s\up14(→)) B．eq \o(P1P2,\s\up14(→))＝3eq \o(P2P,\s\up14(→)) C．eq \o(P2P,\s\up14(→))＝eq \f(1,3) eq \o(P1P2,\s\up14(→)) D．eq \o(P1P2,\s\up14(→))＝eq \f(3,4) eq \o(P1P,\s\up14(→)) 解析：∵eq \o(P1P,\s\up14(→))＝4eq \o(P2P,\s\up14(→))，∴P2为线段P1P上靠近点P的四等分点，∴eq \o(P1P2,\s\up14(→))＝－3eq \o(PP2,\s\up14(→))，eq \o(P1P2,\s\up14(→))＝3eq \o(P2P,\s\up14(→))，eq \o(P2P,\s\up14(→))＝eq \f(1,3) eq \o(P1P2,\s\up14(→))，eq \o(P1P2,\s\up14(→))＝eq \f(3,4) eq \o(P1P,\s\up14(→))．故选BCD． 7．已知AD，BE，CF为△ABC的三条中线，G是它们的交点，则下列等式正确的是(　　) A．eq \o(BG,\s\up14(→))＝eq \f(2,3) eq \o(BE,\s\up14(→)) B．eq \o(DG,\s\up14(→))＝eq \f(1,2) eq \o(AG,\s\up14(→)) C．eq \o(CG,\s\up14(→))＝－2eq \o(FG,\s\up14(→)) D．eq \f(1,3) eq \o(DA,\s\up14(→))＋eq \f(2,3) eq \o(FC,\s\up14(→))＝eq \f(1,2) eq \o(BC,\s\up14(→)) 解析：由题意，知G是△ABC的重心，则AG＝2GD，BG＝2GE，CG＝2GF，故eq \o(BG,\s\up14(→))＝eq \f(2,3) eq \o(BE,\s\up14(→))，eq \o(DG,\s\up14(→))＝－eq \f(1,2) eq \o(AG,\s\up14(→))，eq \o(CG,\s\up14(→))＝－2eq \o(FG,\s\up14(→))，eq \f(1,3) eq \o(DA,\s\up14(→))＋eq \f(2,3) eq \o(FC,\s\up14(→))＝eq \o(DG,\s\up14(→))＋eq \o(GC,\s\up14(→))＝eq \o(DC,\s\up14(→))＝eq \f(1,2) eq \o(BC,\s\up14(→))．故选ACD． 三、填空题 8．若C是线段AB的中点，eq \o(AB,\s\up14(→))＝λeq \o(AC,\s\up14(→))，则λ＝________． 解析：因为C是线段AB的中点，所以eq \o(AC,\s\up14(→))＝eq \o(CB,\s\up14(→))，所以eq \o(AB,\s\up14(→))＝2eq \o(AC,\s\up14(→))，即λ＝2． 解析：∵b与a方向相反，∴设a＝λb(λ<0)，∴|a|＝|λ||b|，∴5＝|λ|×7，∴λ＝±eq \f(5,7)．又λ<0，∴λ＝－eq \f(5,7)． －eq \f(5,7) 10．已知M是△ABC所在平面内的一点，若满足4eq \o(AM,\s\up14(→))－eq \o(AB,\s\up14(→))－eq \o(AC,\s\up14(→))＝0，则eq \f(S△ABM,S△ABC)＝________． 解析：设eq \o(AN,\s\up14(→))＝2eq \o(AM,\s\up14(→))，则由题意可得eq \o(AN,\s\up14(→))－eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(AN,\s\up14(→))－eq \o(AC,\s\up14(→))＝0，∴eq \o(BN,\s\up14(→))＝eq \o(NC,\s\up14(→))， ∴S△ABC＝2S△ABN．又S△ABM＝eq \f(1,2)S△ABN，∴S△ABC＝4S△ABM，∴eq \f(S△ABM,S△ABC)＝eq \f(1,4)． eq \f(1,4) 四、解答题 11．已知点C在线段AB的延长线上，且AB∶AC＝2∶3． (1)用eq \o(BC,\s\up14(→))表示eq \o(AB,\s\up14(→))； (2)用eq \o(CB,\s\up14(→))表示eq \o(AC,\s\up14(→))． 解：如图1，因为点C在线段AB的延长线上， 且AB∶AC＝2∶3，所以AB＝2BC，AC＝3BC． (1)如图2，向量eq \o(AB,\s\up14(→))与eq \o(BC,\s\up14(→))方向相同，所以eq \o(AB,\s\up14(→))＝2eq \o(BC,\s\up14(→))． (2)如图3，向量eq \o(AC,\s\up14(→))与eq \o(CB,\s\up14(→))方向相反，所以eq \o(AC,\s\up14(→))＝－3eq \o(CB,\s\up14(→))． 12．E，F分别为四边形ABCD的对角线AC，BD的中点，设eq \o(BC,\s\up14(→))＝a，eq \o(DA,\s\up14(→))＝b，试用a，b表示eq \o(EF,\s\up14(→))． 解：如图，取AB的中点P，连接EP，FP， 在△ABC中，因为EP是△ABC的中位线， 所以eq \o(EP,\s\up14(→))＝－eq \f(1,2) eq \o(BC,\s\up14(→))＝－eq \f(1,2)a， 在△ABD中，因为FP是△ABD的中位线， 所以eq \o(PF,\s\up14(→))＝eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up14(→))＝－eq \f(1,2)b， 在△EFP中，eq \o(EF,\s\up14(→))＝eq \o(EP,\s\up14(→))＋eq \o(PF,\s\up14(→))＝－eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b． 13．(多选)已知O是△ABC的重心，则下列说法中正确的是(　　) A．eq \o(OA,\s\up14(→))＋eq \o(OB,\s\up14(→))＋eq \o(OC,\s\up14(→))＝0 B．eq \o(AO,\s\up14(→))＝eq \f(1,3)(eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(AC,\s\up14(→))) C．eq \o(AO,\s\up14(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(AC,\s\up14(→))) D．eq \o(OB,\s\up14(→))＋eq \o(OC,\s\up14(→))＝eq \f(1,6)(eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(AC,\s\up14(→))) 解析：记D为BC的中点，则O为AD靠近点D的三等分点． 因为eq \o(OB,\s\up14(→))＋eq \o(OC,\s\up14(→))＝2eq \o(OD,\s\up14(→))，eq \o(OA,\s\up14(→))＝－2eq \o(OD,\s\up14(→))，所以eq \o(OA,\s\up14(→))＋eq \o(OB,\s\up14(→))＋eq \o(OC,\s\up14(→))＝0，故A 正确；又eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(AC,\s\up14(→))＝2eq \o(AD,\s\up14(→))，eq \o(AO,\s\up14(→))＝eq \f(2,3)eq \o(AD,\s\up14(→))，所以eq \o(AO,\s\up14(→))＝eq \f(1,3)(eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(AC,\s\up14(→)))，故B正确，C错误；又eq \o(OB,\s\up14(→))＋eq \o(OC,\s\up14(→))＝2eq \o(OD,\s\up14(→))，eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(AC,\s\up14(→))＝2eq \o(AD,\s\up14(→))＝6eq \o(OD,\s\up14(→))，所以eq \o(OB,\s\up14(→))＋eq \o(OC,\s\up14(→))＝eq \f(1,3)(eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(AC,\s\up14(→)))，故D错误．故选AB． 14．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(AC,\s\up14(→))＝2eq \o(AO,\s\up14(→))，且|eq \o(AO,\s\up14(→))|＝|eq \o(AC,\s\up14(→))|，则△ABC的面积为________． 解析：由于eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(AC,\s\up14(→))＝2eq \o(AO,\s\up14(→))，由向量加法的几何意义，得O为边BC的中点．∵△ABC外接圆的圆心为O，半径为1，∴△ABC是以BC边为斜边的直角三角形，∠BAC＝90°，斜边BC＝2，又|eq \o(AO,\s\up14(→))|＝|eq \o(AC,\s\up14(→))|，∴AC＝1，AB＝eq \r(3)，∴S△ABC＝eq \f(1,2)AB×AC＝eq \f(1,2)×eq \r(3)×1＝eq \f(\r(3),2)． eq \f(\r(3),2) 证明：∵F，G分别为AB，AC的中点，∴eq \o(FG,\s\up14(→))＝eq \f(1,2)eq \o(BC,\s\up14(→))． 同理，eq \o(EH,\s\up14(→))＝eq \f(1,2)eq \o(BC,\s\up14(→))．∴eq \o(FG,\s\up14(→))＝eq \o(EH,\s\up14(→))． ∴FG∥EH且FG＝EH． ∴四边形EFGH为平行四边形． 16．如图，半圆的直径AB＝6，C是半圆上的一点，D，E分别是AB，BC上的点，且AD＝1，BE＝4，DE＝3． (1)求证：eq \o(DE,\s\up14(→))＝eq \f(5,6)eq \o(AC,\s\up14(→))； (2)求|eq \o(AC,\s\up14(→))|，|eq \o(CE,\s\up14(→))|． 解：(1)证明：因为AB＝6，AD＝1，BE＝4，DE＝3， 所以BD＝5，DE2＋BE2＝BD2，∠BED＝90°． 又∠ACB＝90°，所以DE∥AC， 所以eq \f(DE,AC)＝eq \f(BD,AB)＝eq \f(5,6)，故eq \o(DE,\s\up14(→))＝eq \f(5,6)eq \o(AC,\s\up14(→))． (2)由(1)知eq \o(AC,\s\up14(→))＝eq \f(6,5)eq \o(DE,\s\up14(→))， 则|eq \o(AC,\s\up14(→))|＝eq \f(6,5)|eq \o(DE,\s\up14(→))|＝eq \f(6,5)×3＝eq \f(18,5)． 因为eq \f(CE,BE)＝eq \f(AD,BD)＝eq \f(1,5)，所以eq \o(CE,\s\up14(→))＝eq \f(1,5)eq \o(EB,\s\up14(→))， 则|eq \o(CE,\s\up14(→))|＝eq \f(1,5)|eq \o(EB,\s\up14(→))|＝eq \f(1,5)×4＝eq \f(4,5)． $