第10章 10.5 离散型随机变量及其分布列、数字特征（配套练习Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（人教A版）

**基本信息** 聚焦离散型随机变量定义、分布列及数字特征，通过基础到提升的梯度训练，构建“概念辨析-性质应用-实际建模”的逻辑体系，培养数学抽象与数据观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固|单选6/多选2/填空2/解答2|概念辨析（可能取值）、分布列性质、期望方差计算|从随机变量定义到分布列构建，再到数字特征（期望、方差）的推导与应用| |能力提升|多选1/填空1|含参数分布列分析、实际情境综合建模|结合概率计算深化分布列与数字特征的关联，提升模型意识与数据分析能力|

课时冲关63　离散型随机变量及其分布列、数字特征 [基础巩固练] 一、单选题 1．在篮球比赛中，规定一次中距离投篮投中得2分，投不中得0分，则选手甲在三次中距离投篮中的总得分ξ的所有可能取值的和是(　　) A．8　　 B．10 C．12　　 D．14 解析：C　[选手甲在三次中距离投篮中可能都不中，得0分，中一次，得2分， 中两次，得4分，中三次，得6分， 故总得分的所有可能取值为0,2,4,6， 所以总得分ξ的所有可能取值的和为12.] 2．一串钥匙有6枚，只有一枚能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数X的最大可能取值为(　　) A．6 B．5 C．4 D．2 解析：B　[由于是逐次试验，可能最后一枚钥匙才能打开锁，即前5次都打不开锁，所以试验次数X的最大可能取值为5.] 3．已知随机变量的分布列如下，且E(ξ)＝6.3，则a的值为(　　) ξ 4 a 9 P 0.5 0.1 b A.5 B．6 C．7 D．8 解析：C　[由概率分布列性质，知0.5＋0.1＋b＝1，所以b＝0.4，所以E(ξ)＝4×0.5＋a×0.1＋9×0.4＝6.3，所以a＝7.] 4．已知随机变量ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P a 2a－ 若η＝2ξ－1，则D(η)＝(　　) A. B. C. D. 解析：B　[由a＋2a－＋＝1，得a＝，则E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝，D(ξ)＝×2×＋×2＋×2＝.因为η＝2ξ－1，所以D(η)＝D(2ξ－1)＝4D(ξ)＝.] 5．已知某离散型随机变量X的分布列如下： X －1 0 1 2 P a b c 若E(X)＝，P(X≥1)＝，则D(X)＝(　　) A. B. C. D. 解析：C　[由题意，得a＋b＋c＋＝1，所以a＋b＋c＝，　①.因为E(X)＝(－1)×a＋0×b＋1×c＋2×＝，所以－a＋c＝，　②. 由P(X≥1)＝c＋＝，得c＝，代入①②解得：a＝，b＝.所以D(X)＝2×＋2×＋2×＋2×＝.] 6．一袋中装有5个白球和3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个，取出后记下颜色，若为红色停止，若为白色则继续抽取，停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量ξ，则P(ξ≤2)(　　) A. B. C. D. 解析：D　依题意知，ξ＝k表示前k个为白球，第k＋1个恰为红球，则ξ的可能取值为0,1,2,3,4,5， 则P(ξ＝k)＝，k＝0,1,2,3,4,5， 所以P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝， 所以P(ξ≤2)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝＝. 二、多选题 7．袋内有大小完全相同的2个黑球和3个白球，从中不放回地每次任取1个小球，直至取到白球后停止取球，则(　　) A．抽取2次后停止取球的概率为 B．停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为 C．取球次数的期望为2 D．取球次数的方差为 解析：BD　[设取球次数为ξ，可知随机变量ξ的可能取值有1,2,3，则P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝×＝，P(ξ＝3)＝×＝. 对于A选项，抽取2次后停止取球的概率为P(ξ＝2)＝，A选项错误；对于B选项，停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝＋＝，B选项正确；对于C选项，取球次数ξ的期望为E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝，C选项错误；对于D选项，取球次数ξ的方差为D(ξ)＝2×＋2×＋2×＝，D选项正确．] 8．某运动会组织委员会欲从4名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长．下列说法正确的有(　　) A．设事件A：“抽取的三人中既有男志愿者，也有女志愿者”，则P(A)＝ B．设事件A：“抽取的3人中至少有一名男志愿者”，事件B：“抽取的3人中全是男志愿者”，则P(B|A)＝ C．用X表示抽取的三人中女志愿者的人数，则E(X)＝ D．用Y表示抽取的三人中男志愿者的人数，则D(Y)＝ 解析：ABD　[对A，所有可能的情况有C＝35种，其中既有男志愿者，也有女志愿者的情况有CC＋CC＝30种，故P(A)＝＝，故A正确； 对B，P(AB)＝＝， P(A)＝＝， 所以P(B|A)＝＝＝，故B正确；对C，可得X的可能取值为0,1,2,3， 则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝， 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝，故C错误． 对D，可得Y的可能取值为0,1,2,3， 则P(Y＝0)＝＝，P(Y＝1)＝＝，P(Y＝2)＝＝，P(Y＝3)＝＝， 则E(Y2)＝0×＋1×＋4×＋9×＝，E(Y)＝0×＋1×＋2×＋3×＝， 则D(Y)＝E(Y2)－[E(Y)]2＝－2＝，故D正确．] 三、填空题 9．已知随机变量ξ的分布列为 ξ 1 2 3 P 0.5 x y 若E(ξ)＝，则D(ξ)＝________. 解析：由分布列性质，得x＋y＝0.5.又E(ξ)＝，得2x＋3y＝，可得 D(ξ)＝2×＋2×＋2×＝. 答案： 10．一离散型随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 P 0.1 a b c 其中a，b为变数，c为正常数，且当a＝b≠0时方差D(X)有最大值，则c的值为__________． 解析：由题意得，a＋b＋c＝0.9，E(X)＝a＋2b＋3c＝0.9＋b＋2c，E(X2)＝a＋4b＋9c＝0.9＋3b＋8c， D(X)＝E(X2)－[E(X)]2 ＝0.9＋3b＋8c－(0.9＋b＋2c)2 ＝－b2＋(1.2－4c)b＋0.09＋4.4c－4c2， ∴当b＝0.6－2c时有最大值，此时1.2－4c＋c＝0.9，解得c＝0.1. 答案：0.1 四、解答题 11．盒中有标记数字1,2,3,4的小球各2个，随机一次取出3个小球． (1)求取出的3个小球上的数字两两不同的概率； (2)记取出的3个小球上的最小数字为X，求X的分布列及数学期望E(X)． 解：(1)记“取出的3个小球上的数字两两不同”为事件M，先确定3个不同数字的小球，有C种方法， 然后每种小球各取1个，有C×C×C种取法， 所以P(M)＝＝. (2)由题意可知，X的可能取值为1,2,3， 当X＝1时，分为两种情况：只有一个数字为1的小球、有两个数字为1的小球， 所以P(X＝1)＝＝； 当X＝2时，分为两种情况：只有一个数字为2的小球、有两个数字为2的小球， 所以P(X＝2)＝＝； 当X＝3时，分为两种情况：只有一个数字为3的小球、有两个数字为3的小球， 所以P(X＝3)＝＝， 所以X的分布列为： X 1 2 3 P 所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝. 12．某公司为活跃气氛、提升士气，年终拟通过抓阄兑奖的方式对所有员工进行奖励．规定：每位员工从一个装有4个标有面值的阄的袋中一次性随机摸出2个阄，阄上所标的面值之和为该员工获得的奖励金额． (1)若袋中所装的4个阄中有1个所标的面值为800元，其余3个均为200元，求： ①员工所获得的奖励金额为1 000元的概率； ②员工所获得的奖励金额的分布列及均值； (2)公司对奖励金额的预算是人均1 000元，并规定袋中的4个阄只能由标有面值200元和800元的两种阄或标有面值400元和600元的两种阄组成．为了使员工得到的奖励金额尽可能符合公司的预算且每位员工所获得的奖励金额相对均衡，请对袋中的4个阄的面值给出一个合适的设计，并说明理由． 解：(1)设员工所获得的奖励金额为X， ①P(X＝1 000)＝＝， ∴员工所获得的奖励金额为1 000元的概率为. ②X所有可能的取值为400,1 000， P(X＝400)＝＝， ∴X的分布列为 X 400 1 000 P ∴员工所获得的奖励金额的均值为E(X)＝400×＋1 000×＝700(元)． (2)根据公司预算，每个员工的平均奖励金额为1 000元， ∴先寻找均值为1 000元的可能方案， 对于面值由800元和200元组成的情况， 如果选择(200,200,200,800)的方案， ∵1 000元是面值之和的最大值， ∴均值不可能为1 000元， 如果选择(800,800,800,200)的方案， ∵1 000元是面值之和的最小值， ∴均值不可能为1 000元， 因此可能的方案是(800,800,200,200)，记为方案1； 同理，对于面值由600元和400元组成的情况， 排除(600,600,600,400)和(400,400,400,600)的方案， ∴可能的方案是(400,400,600,600)，记为方案2. 对于方案1，设员工所获得的奖励金额为X1，X1可取400,1000,1600， P(X1＝400)＝＝， P(X1＝1 000)＝＝， P(X1＝1 600)＝＝， ∴E(X1)＝400×＋1 000×＋1 600×＝1 000， D(X1)＝(400－1 000)2×＋(1 000－1 000)2×＋(1 600－1 000)2×＝120 000； 对于方案2，设员工所获得的奖励金额为X2，X2可取800,1 000,1 200， P(X2＝800)＝＝， P(X2＝1000)＝＝， P(X2＝1200)＝＝， ∴E(X2)＝800×＋1 000×＋1 200×＝1 000， D(X2)＝×(800－1 000)2＋×(1 000－1 000)2＋×(1 200－1 000)2＝， 由于两种方案的奖励金额都符合预算要求，但方案2的方差比方案1小， ∴应选择方案2. [能力提升练] 13．[多选]已知<p<1，随机变量X的分布列如下，则下列结论正确的有(　　) X 0 1 2 P p－p2 1－p p2 A.P(X＝2)的值最大 B．P(X＝0)<P(X＝1) C．E(X)随着p的增大而减小 D．E(X)随着p的增大而增大 解析：BD　[当p＝时，P(X＝2)＝，P(X＝1)＝1－＝>，A错误；因为<p<1，所以p－p2＝p(1－p)<1－p，即P(X＝0)<P(X＝1)，B正确；E(X)＝1－p＋2p2＝ 22＋，因为<p<1，所以E(X)随着p的增大而增大，C错误，D正确．] 14．某种儿童游戏每局的规则是：儿童先在标记有1,2,3,4,5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其资金(单位：元)；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金(单位：元)．若随机变量ξ1和ξ2分别表示儿童在一局游戏中的资金和奖金，则P(ξ2≥3)－P(ξ1≥3)＝________. 解析：资金的分布列为 ξ1 1 2 3 4 5 P 奖金的分布列为 ξ2 1.4 2.8 4.2 5.6 P ＝ ＝ ＝ ＝ 则P(ξ2≥3)－P(ξ1≥3)＝＋－－－＝－. 答案：－ 学科网（北京）股份有限公司 $