专题10.4 随机事件、频率与概率（6重难点题型+高考真题）训练-2027届高考数学一轮复习

专题10-4 随机事件、频率与概率 1．（2026·上海·高考真题）事件和事件相互独立，“和至少一个发生”的对立事件是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】事件的运算及其含义、确定所给事件的对立关系 【分析】根据事件的独立性及对立定义求解. 【详解】根据已知至少有一个发生， 则对立事件为都不发生，所以的对立事件为. 2．（2025·上海·高考真题）有一四边形，对于其四边，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币：如硬币正面朝上，则将其擦去；如硬币反面朝上，则不擦去．最后，以A为起点沿着尚未擦去的边出发，可以到达C点的概率为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、计算古典概型问题的概率 【分析】根据分步计数原理及古典概型的概率公式求解即可. 【详解】根据题意，对于其四边，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币， 共有种情况， 要从A出发沿着尚未擦去的边能到达点C， 若保留两条边，则可保留也可擦去， 共有种情况； 若保留两条边，则可保留也可擦去， 共有种情况（其中有一种情况与上面重复）， 则要从A出发沿着尚未擦去的边能到达点C，共有种情况， 所以可以到达C点的概率为. 故选：B. 3．（2024·上海·高考真题）有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件：所选盒中有中国结，事件：所选盒中有记事本，事件：所选盒中有笔袋，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件互斥 D．事件与事件相互独立 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、独立事件的判断、独立事件的乘法公式 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义，逐一判断选项即可． 【详解】选项A，事件和事件可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本，事件与事件不互斥，A错误； 选项B，，，， ，B正确； 选项C，事件与事件可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本或笔袋，C错误； 选项D，，，， ， 与不独立，故D错误． 故选：B． 4．（2024·全国甲卷·高考真题）某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定，则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、计算古典概型问题的概率 【分析】解法一：画出树状图，结合古典概型概率公式即可求解. 解法二：分类讨论甲乙的位置，结合得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解. 【详解】解法一：画出树状图，如图， 由树状图可得，出场次序共有24种， 其中符合题意的出场次序共有8种， 故所求概率； 解法二：当甲最后出场，乙第一个出场，丙有种排法，丁就种，共种； 当甲最后出场，乙排第二位或第三位出场，丙有种排法，丁就种，共种； 于是甲最后出场共种方法，同理乙最后出场共种方法，于是共种出场顺序符合题意； 基本事件总数显然是， 根据古典概型的计算公式，所求概率为. 故选：C 5．（2023·全国乙卷·高考真题）设O为平面坐标系的坐标原点，在区域内随机取一点，记该点为A，则直线OA的倾斜角不大于的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、几何概型-角度型 【分析】根据题意分析区域的几何意义，结合几何概型运算求解. 【详解】因为区域表示以圆心，外圆半径，内圆半径的圆环， 则直线的倾斜角不大于的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角， 结合对称性可得所求概率. 故选：C.      6．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选题）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）. A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为 B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为 C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为 D．当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式、独立重复试验的概率问题 【分析】利用相互独立事件的概率公式计算判断AB；利用相互独立事件及互斥事件的概率计算判断C；求出两种传输方案的概率并作差比较判断D作答. 【详解】对于A，依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积， 它们相互独立，所以所求概率为，A正确； 对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到l，0，1的事件， 是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积， 它们相互独立，所以所求概率为，B正确； 对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和， 它们互斥，由选项B知，所以所求的概率为，C错误； 对于D，由选项C知，三次传输，发送0，则译码为0的概率， 单次传输发送0，则译码为0的概率，而， 因此，即，D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键. 7．（2026·上海·高考真题）已知事件，互斥，，，则__________． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】互斥事件的概率加法公式 【详解】因为互斥，所以. 8．（2024·全国甲卷·高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不大于的概率为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】排列数的计算、计算古典概型问题的概率、有放回与无放回问题的概率 【分析】根据排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则，就的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率. 【详解】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有种， 设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则， 故，故， 故， 若，则，则为：，故有2种， 若，则，则为：， ，故有10种， 当，则，则为： ， ， 故有16种， 当，则，同理有16种， 当，则，同理有10种， 当，则，同理有2种， 共与的差的绝对值不超过时不同的抽取方法总数为， 故所求概率为. 故答案为： 9．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有________种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是________． 【答案】 24 112 【难度】0.4 【知识点】全排列问题、写出样本空间 【分析】由题意可知第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选；利用列举法写出所有的可能结果，即可求解. 【详解】由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中， 则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选， 第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选， 所以共有种选法； 每种选法可标记为，分别表示第一、二、三、四列的数字， 则所有的可能结果为： ， ， ， ， 所以选中的方格中，的4个数之和最大，为. 故答案为：24；112 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选，利用列举法写出所有的可能结果. 10．（2026·天津·高考真题）箱子里有一个红球，两个黄球，三个白球，有放回的取三次，三次都没取到黄球的概率是__________；在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是__________． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】计算古典概型问题的概率、计算条件概率 【分析】第一空：计算出每次取到不是黄球的概率，即可得出三次都没取到黄球的概率；第二空：计算出至少取到一次红球的概率，借助条件概率即可得出结论. 【详解】由题意， 第一空： 箱子里总共有6个球，其中黄球2个，非黄球共4个。 设事件表示没取到黄球，事件表示三次都没取到黄球， 有放回抽取，每次取到非黄球的概率为， 三次都没取到黄球的概率：. 第二空： 设事件表示至少取到一次红球，事件表示三次都取到白球， ， ∵三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率：， ， ∴， ∴在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是. 重难点题型1 随机事件与样本空间 确定样本空间的方法 （1）必须明确事件发生的条件． （2）根据题意，按一定的次序列出问题的答案．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏． 1．（2026·上海金山·二模）为了了解申辉中学所有学生的每天平均体育运动时间，随机调查了该校100名学生，发现他们每天平均体育运动时间为h．这里的总体是（   ） A．该校所有学生 B．该校所有学生的每天平均体育运动时间 C．所调查的100名学生 D．所调查的100名学生的每天平均体育运动时间 【答案】B 【难度】0.95 【知识点】总体与样本 【详解】根据总体的概念可得，这里的总体是该校所有学生的每天平均体育运动时间.故选项B正确. 2．（2025·吉林白城·一模）从某市参加升学考试的学生中随机抽查名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法错误的是（    ） A．总体指的是该市参加升学考试的全体学生的数学成绩 B．样本是指名学生的数学成绩 C．样本量指的是名学生 D．个体指的是该市参加升学考试的每一名学生的数学成绩 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】总体与样本 【分析】根据总体、样本、样本容量和个体的定义直接判断选项即可. 【详解】总体指的是该市参加升学考试的全体学生的数学成绩，A正确； 样本是指名学生的数学成绩，B正确； 样本量是，C错误； 个体指的是该市参加升学考试的每一名学生的数学成绩，D正确. 故选：C 3．我国古代数学名著《数书九章》中有“米谷粒分”问题；“开仓受纳，有甲户米一千五百三十四石到廊．验得米内夹谷，乃于样内取米一捻，数计二百五十四粒内有谷二十八颗，凡粒米率每勺三百，今欲知米内杂谷多少”，其大意是，粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（    ） A．153石 B．154石 C．169石 D．170石 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】总体与样本、用频率估计概率 【分析】这批米内夹谷约为石，则，由此能求出这批米内夹谷数量. 【详解】这批米内夹谷约为石,根据题意可得 解得 故选：C 4．（23-24高三上·山西晋城·期末）（多选题）某单位为了解职工体重情况，采用分层随机抽样的方法从800名职工中抽取了一个容量为80的样本．其中，男性平均体重为64千克，方差为151；女性平均体重为56千克，方差为159，男女人数之比为5:3，下列说法正确的是（    ） A．样本为该单位的职工 B．每一位职工被抽中的可能性为 C．该单位职工平均体重61千克 D．单位职工体重的方差为169 【答案】BCD 【难度】0.85 【知识点】总体与样本、简单随机抽样的概率、计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】利用样本的相关概念判断AB；利用分层抽样的平均数和方差公式计算判断CD. 【详解】样本为该单位抽取的80名职工的体重，A错误； 每一位职工被抽中的可能性为，B正确； 单位职工平均体重为，C正确； 单位职工体重的方差为，D正确. 故选：BCD 5．（2017·辽宁鞍山·一模）（多选题）为确保食品安全，鞍山市质检部门检查1000袋方便面的质量，抽查总量的2%，在这个问题中，下列说法正确的是（    ） A．总体是指这1000袋方便面的质量 B．个体是1袋方便面 C．样本是按2%抽取的20袋方便面 D．样本容量为20 【答案】AD 【难度】0.94 【知识点】总体与样本 【分析】根据总体，个体，样本，样本容量的定义依次判断得到答案. 【详解】由题意知总体是指这1000袋方便面的质量，A说法正确； 个体是指1袋方便面的质量，B说法错误； 样本是指按照2%抽取的20袋方便面的质量，C说法错误； 样本容量为，D说法正确. 故选：AD. 重难点题型2 随机事件的关系与运算 事件的关系运算策略 （1）互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生． （2）进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析．也可类比集合的关系和运用Venn图分析事件． 1．（2026·湖南益阳·模拟预测）已知，，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若互斥，则 D．若互斥，则 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】概率的基本性质、互斥事件的概率加法公式、利用互斥事件的概率公式求概率 【详解】对于AB；当时，，因此； 同时，因此 因此A错误，B正确； 对于CD，因为为互斥事件，因此交事件是不可能事件，； 根据互斥事件的加法公式， 因此C、D均错误. 2．（2026·江苏无锡·模拟预测）已知为两个随机事件，，，则下列结论错误的是（    ） A．若，则 B．若独立，则 C．若独立，则 D．若互斥，则 【答案】C 【难度】0.82 【知识点】概率的基本性质、互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，由独立，得，B正确； 对于C，由独立，得，C错误； 对于D，由互斥，得，D正确. 3．（2025·广西·模拟预测）已知事件与事件相互独立，且，则（   ） A．0.1 B．0.12 C．0.58 D．0.7 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】概率的基本性质、独立事件的乘法公式 【分析】根据给定条件，利用相互独立事件的概率及概率的基本性质计算得解. 【详解】由事件与事件相互独立，，得， 所以. 故选：C 4．（2026·重庆·模拟预测）（多选题）已知事件，，的概率均不为0，则下列说法正确的是（　　） A．若事件，则 B． C．若，则 D．若事件与相互独立，则 【答案】AB 【难度】0.7 【知识点】概率的基本性质、利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【详解】根据基本事件的包含关系可知，若事件，则，即A正确； 由对立事件的基本性质可得，因此，即B正确； 抛掷一枚质地均匀的骰子，不妨设事件A：“抛出的点数为1或2或3”，事件B：“抛出的点数为3”，事件C：“抛出的点数为3或6”， 此时，但此时，即C错误； 若事件与相互独立，则，即D错误. 5．（2026·广东·模拟预测）（多选题）已知事件为一组相互独立的事件，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】事件的运算及其含义、独立事件的乘法公式 【分析】根据事件相互独立的定义可判断A正确，利用概率加法公式直接计算可得B错误，D正确；利用相互独立事件性质可得C错误. 【详解】对于A：因为事件与事件相互独立，所以，故A正确； 对于B：因为，故B错误； 对于C：因为，所以， 因为事件与事件相互独立，所以事件与事件相互独立， 于是，故C错误； 对于D：因为，故D正确. 故选：AD. 6．（25-26高一上·江西·期末）（多选题）已知随机事件满足，则（    ） A．若事件互斥，则 B．若，则 C．若，则 D．若事件互斥，则 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】概率的基本性质、互斥事件的概率加法公式 【分析】利用互斥事件的定义及性质判断AD；利用包含事件的性质求解判断BC. 【详解】对于A选项，因为事件互斥，所以，故A正确； 对于B选项，因为，所以，故B错误； 对于C选项，因为，所以，故C正确； 对于D选项，事件与事件是互斥事件，则为必然事件，所以，故D错误． 故选：AC． 重难点题型3 频率与概率 （1）概率与频率的关系 （2）随机事件概率的求法 1．（2026·福建南平·二模）某智能助手回答问题数据统计如下：理学类占总提问的40%，回答正确率为90%；文史类占总提问的60%，回答正确率为80%，用频率估计概率，则该助手回答问题正确的概率为（    ） A．0.72 B．0.8 C．0.84 D．0.9 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】用频率估计概率、计算条件概率、利用全概率公式求概率 【详解】设“理学类提问”为事件，“文史类提问”为事件，“回答正确”为事件， 则， 所以. 2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）某学校高三教研组为调查高三学生的学习情况，分别从高三年级中的20个班一共抽取40个人进行询问，其中各班人数均为50人，则某个班级中某个学生被选中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】用频率估计概率、计算古典概型问题的概率 【分析】计算全校的人数或计算各班抽取的人数后可求学生被选中的概率. 【详解】法一：全校总人数为人，一共抽取40人， 则被抽到的概率为； 法二：一个班抽取的人数为， 则被抽到的概率为.     故选：B. 3．（2023·四川·模拟预测）某学校在高三年级中抽取200名学生，调查他们课后完成作业的时间，并根据调查结果绘制了如下频率分布直方图．根据此直方图得出了下列结论，其中不正确的是（    ） A．所抽取的学生中有40人在2.5小时至3小时之间完成作业 B．该校高三年级全体学生中，估计完成作业的时间超过4小时的学生概率为0.1 C．估计该校高三年级学生的平均做作业的时间超过3小时 D．估计该校高三年级有一半的学生做作业的时间在2.5小时至4.5小时之间 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、由频率分布直方图估计平均数、用频率估计概率 【分析】根据频率分布直方图结合统计、概率相关知识逐项分析判断. 【详解】对于A，在2.5小时至3小时之间的人数为人，故A正确； 对于B，该校高三年级全体学生中，估计完成作业的时间超过4小时的学生概率为，故B正确； 对于C，该校高三年级学生的平均做作业的时间为 ， 故C不正确； 对于D，由图可估计该校高三年级学生做作业的时间在2.5小时至4.5小时之间的频率为， 估计该校高三年级有一半的学生做作业的时间在2.5小时至4.5小时之间，故D正确． 故选：C． 4．（23-24高一上·广东梅州·开学考试）两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出统计图如图所示，则符合这一结果的试验是（   ）    A．抛一枚硬币，正面朝上的概率； B．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率； C．转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率； D．从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】辨析概率与频率的关系、用频率估计概率、计算古典概型问题的概率 【分析】先根据频率和概率的关系得到概率为，再对四个选项一一判断得到D正确. 【详解】根据统计图可知，实验结果在0.33附近波动，即其概率， 选项A，掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项不符合题意； 选项B，掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为，故此选项不符合题意； 选项C，转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率为，故此选项不符合题意； 选项D，从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率为， 故此选项符合题意； 故选：D 5．（2026·湖北武汉·模拟预测）（多选题）下列说法中正确的是（    ） A．随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率 B．命题“，”的否定是， C．线性回归直线至少经过其样本数据点中的一个点 D．若事件，满足，，，则 【答案】ABD 【难度】0.72 【知识点】全称命题的否定及其真假判断、解释回归直线方程的意义、辨析概率与频率的关系、计算条件概率 【详解】对于A选项：由频率的稳定性知：随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率，故A正确； 对于B选项：根据全称量词命题的否定为存在量词命题，可得命题“，”的否定是“， ”，故B正确； 对于C选项：线性回归直线不一定经过样本数据点中的任何一个点，故C错误； 对于D选项：因为，所以，故D正确． 6．（2026·河南开封·模拟预测）（多选题）某公益组织为更好地安排志愿者工作，随机抽取了1000名志愿者，并统计了他们的年龄数据，绘制了如图所示的频率分布直方图（每组为左闭右开的区间），则（   ） A．估计这1000名志愿者年龄的众数为22.5 B．这1000名志愿者中年龄在的有175人 C．估计该公益组织所有志愿者年龄的中位数为 D．以频率估计概率，从该公益组织所有志愿者中任选2人，其年龄均在的概率为0.2 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、由频率分布直方图估计中位数、用频率估计概率、根据频率分布直方图计算众数 【详解】对于A，估计这1000名志愿者年龄的众数为，故A正确； 对于B，由频率分布直方图可知，年龄在的频率为， 所以这1000名志愿者中年龄在的有人，故B正确； 对于C，前2组的频率为， 前3组的频率为， 所以估计中位数在第3组，设中位数为， 则，解得， 因此，估计该公益组织所有志愿者年龄的中位数为，故C正确； 对于D，由频率分布直方图可知，年龄在的频率为， 以频率估计概率，从该公益组织所有志愿者中任选1人，其年龄均在的概率为0.2， 因此，从该公益组织所有志愿者中任选2人， 其年龄均在的概率为，故D错误. 7．（2024·四川内江·一模）（多选题）抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，记随机事件“点数为”，其中，则下列论述正确的是（   ） A． B．若“点数大于”，则 C．若连续抛掷骰子次，记“点数之和为”，则 D．若重复抛掷骰子，则事件发生的频率等于事件发生的概率 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】辨析概率与频率的关系、判断所给事件是否是互斥关系、利用对立事件的概率公式求概率、计算古典概型问题的概率 【分析】分析可知，，可判断A选项；利用对立事件的概率公式可判断B选项；利用古典概型的概率公式可判断C选项；利用频率与概率的关系可判断D选项. 【详解】对于A选项，，则，A对； 对于B选项，若“点数大于”，则，B错； 对于C选项，若连续抛掷骰子次，记“点数之和为”， 基本事件总数为，若抛掷骰子，第一次向上的点数为，第二次向上的点数为， 以作为一个基本事件，则事件包含的基本事件有：、、，共个基本事件， 由古典概型的概率公式可得，C对； 对于D选项，若重复抛掷骰子，则事件发生的频率在事件发生的概率值附近波动，D错. 故选：AC. 8．（2023·陕西汉中·模拟预测）养殖户在某池塘随机捕捞了100条鲤鱼，做好标记后放回池塘，几天后又随机捕捞了100条鲤鱼，发现有4条鲤鱼被标记，据此估计该池塘里鲤鱼大约有________条． 【答案】2500 【难度】0.85 【知识点】总体与样本 【分析】样本中捕捞了100条鲤鱼，发现有4条鲤鱼被标记，即可求得有标记鲤鱼所占样本比例，用这个比例去估计整个池塘中被标记的鲤鱼占所有鲤鱼的比例，即可求解． 【详解】设该池塘里鲤鱼有条， 则由题意有，解得， 因此池塘里鲤鱼大约有2500条， 故答案为：2500． 9．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________. 【答案】0．98. 【难度】0.85 【知识点】总体与样本 【分析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题． 【详解】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为，其中高铁个数为10+20+10=40，所以该站所有高铁平均正点率约为． 【点睛】本题考点为概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养．侧重统计数据的概率估算，难度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值． 10．（2024·重庆·模拟预测）为研究吸烟是否与患肺癌有关，某肿瘤研究所采取有放回简单随机抽样的方法调查了人，已知非吸烟者占比，吸烟者中患肺癌的有人，根据统计结果表明，吸烟者患肺癌的概率是未吸烟者患肺癌的概率的倍，则估计本次研究调查中非吸烟者患肺癌的人数是______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】其他问题中的概率解释 【分析】设非吸烟者患肺癌的概率为，根据题意列出方程，求出，即可得到答案 【详解】本次研究调查中，非吸烟者有7500人，吸烟者样本量有2500人， 设非吸烟者患肺癌的人数是人，则，， 因此，本次研究调查中非吸烟者患肺癌的人数为45人． 故答案为：. 重难点题型4 生活中的概率 概率和频率的关系：概率可看成频率在理论上的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率． 1．某地区公共卫生部门为了了解本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行了调查．调查中使用了下面两个问题： 问题一：你的父亲阳历生日日期是不是奇数？ 问题二：你是否经常吸烟？ 调查者设计了一个随机化装置：一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个被调查者随机从袋子中摸取1个球（摸出的球再放回袋子中），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做，如果一年按365天计算，且最后盒子中有60个小石子，则可以估计出该地区中学生吸烟人数的百分比为（    ） A．7% B．8% C．9% D．30% 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】其他问题中的概率解释 【分析】根据摸到白球和红球的概率都为，一年365天中，阳历为奇数的有186天，即可估计对应人数 【详解】因为一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子中，随机摸出1个球，摸到白球和红球的概率都为，因此，这200人中，回答了第一个问题的有100人，而一年365天中，阳历为奇数的有186天，所以对第一个问题回答“是”的概率为，所以这100个回答第一个问题的学生中，约有51人回答了“是”，从而可以估计，在回答第二个问题的100人中，约有9人回答了“是”，所以可以估计出该地区中学生吸烟人数的百分比为9%． 故选：C 2．甲、乙两人玩掷骰子游戏，规定：甲、乙两人同时掷骰子，若甲掷两次骰子的点数之和小于，则甲得一分；若乙掷两次骰子的点数之和大于，则乙得一分，最先得到10分者获胜.为确保游戏的公平性，正整数的值应为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】游戏的公平性 【分析】根据对称性可知当乙得一分时的点数之和为时，与甲得一分的概率相等，由此确定. 【详解】对于甲，掷两次骰子的点数之和为时，甲能够得一分， 则由对称性可知，掷两次的骰子的点数之和为分别与掷两次骰子的点数之和为对应的概率相等， 为确保游戏的公平性，需，此时甲乙得分概率相等. 故选：C. 3．（2026·西藏拉萨·二模）（多选题）中国非遗文化传承成效显著，某文化部门随机抽取国内100个非遗传承工作室的年度投入进行统计，已知以下数据： ①抽样中，投入高于5000万元的工作室占30%，投入低于2000万元的占25%； ②投入万元的工作室中，专注于传统技艺传承与非遗文创开发的数量比为； ③投入高于5000万元的工作室中，有40%专注于传统技艺传承，剩下的专注于非遗文创开发． 下列说法正确的是（   ） A．抽样中，投入万元的工作室有55个 B．抽样中，专注于传统技艺传承且投入万元的工作室有18个 C．抽样中，专注于非遗文创开发的工作室数量不超过40个 D．若从抽样工作室中随机抽取1个，抽到投入高于5000万元且专注于传统技艺传承的概率为0.12 【答案】BD 【难度】0.62 【知识点】决策中的概率思想、事件的运算及其含义、计算古典概型问题的概率 【分析】根据题意，分别求得不同投入区间的工作室的数量，结合各个区间内专注于传统技艺传承和专注于非遗文创开发的工作室的数量关系，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，由抽样中，投入高于万元的工作室占30%，投入低于万元的占25%， 可得投入万元的工作室占比为， 所以抽样中，投入万元的工作室有个，所以A错误； 对于B，由抽样中，投入万元的工作室有个， 因为专注于传统技艺传承与非遗文创开发的数量比为， 所以专注于传统技艺传承且投入万元的工作室有个，故B正确； 对于C，投入高于万元的工作室的数量为个， 其中专注于非遗文创开发的工作室数量为个， 投入万元的工作室且专注于非遗文创开发的工作室有个， 所以专注于非遗文创开发的工作室总数至少为个，所以C错误； 对于D，投入高于万元且专注于传统技艺传承的工作室有个， 所以抽到投入高于5000万元且专注于传统技艺传承的概率为，所以D正确. 4．（2024·江苏苏州·模拟预测）（多选题）为了保证掷骰子游戏的公正性，可以用正n面体的骰子来进行游戏．下列数字可以作为n的取值的是（   ） 可能用到的公式：多面体的顶点数、棱数、面数分别为，则. A．4 B．12 C．16 D．20 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】游戏的公平性、古典概型的特征 【分析】根据题意，要保证游戏的公平性，需要正n面体每个面出现的点数的可能性要要相同，据此选出正确选项. 【详解】第一步，根据题目，我们知道正n面体的骰子有 n个面，每个面的点数分别为1，2，...，n，投掷后每个点数出现的概率相等. 第二步，为了保证游戏的公正性，我们需要保证每个点数出现的概率相等，即每个面的面积相等，这意味着正n面体的每个面都应该是全等的正多边形. 第三步，设正n面体的每个面都是正m边形，每个顶点连接k条棱， 所以，则，所以， 又，且不能同时大于3，所以或， 解得或或或或， 我们可以得出n的取值应该是4 （正四面体）、6 （正六面 体）、8（正八面体）、12（正十二面体）、20 （正二十面体）. 故选：ABD 5．（2022·江苏南京·三模）19世纪，美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高．约半个世纪后，物理学家本福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数出现的频率约为总数的三成，接近期望值的3倍，并提出本福特定律，即在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．根据本福特定律，在某项大量经济数据（十进制）中，以6开头的数出现的概率为______；若,，则k的值为__________． 【答案】 5 【难度】0.65 【知识点】对数的运算、其他问题中的概率解释 【分析】第一空，将 代入即可求得答案；第二空，根据得到的表达式，结合的值可得方程，解得答案. 【详解】由题意可得： （1） （2），而，故，则． 故答案为： 6．关于任意平面向量可实施以下6种变换，包括2种变换和4种变换 模变为原来的倍，同时逆时针旋转； 模变为原来的倍，同时顺时针旋转； 模变为原来的倍，同时逆时针旋转； ：模变为原来的倍，同时顺时针旋转； 模变为原来的倍，同时逆时针旋转； 模变为原来的倍，同时顺时针旋转 记集合，若每次从集合中随机抽取一种变换，每次抽取彼此相互独立，经过次抽取，依次将第次抽取的变换记为，即可得到一个维有序变换序列，记为，则以下判断中正确的序号是__________. ①单位向量经过奇数次变换后所得向量与向量同向的概率为； ②单位向量经过偶数次变换后所得向量与向量同向的概率为； ③若单位向量经过变换后得到向量，则中有且只有2个变换； ④单位向量经过变换后得到向量的概率为. 【答案】①②③ 【难度】0.4 【知识点】向量在几何中的其他应用、其他问题中的概率解释 【分析】分别对4个选项进行分类讨论，根据讨论结果判断正确或错误即可； 【详解】对于①，单位向量经过奇数次变换后，情况如下： 1.最终状态为逆时针旋转，此时，单位向量与向量同向； 2.最终状态为顺时针旋转，此时，单位向量与向量逆向； 所以，单位向量经过奇数次变换后所得向量与向量同向的概率为；①对； 对于②，单位向量经过偶数次变换后，情况如下： 1.最终状态为逆时针旋转，与向量不同向； 2. 最终状态为顺时针旋转，与向量不同向； 3. 最终状态为逆时针旋转，与向量同向； 4. 最终状态为顺时针旋转，与向量不同向； 所以，单位向量经过偶数次变换后所得向量与向量同向的概率为；②对 对于③，单位向量经过变换后得到向量， 由于与属于逆向关系，即单位向量， 经过变换后要保证模长不变，因此只能有2个变换和4个变换， 才能保证模长不会经过变换改变，因此，③对； 对于④，单位向量经过变换后得到向量， 经过变换后要保证模长不变，因此只能有2个变换和4个变换，才能保证模长不会经过变换改变， 并且经过变换后最终要得到单位向量逆时针转， 故，其中4次变换要回到单位向量， 由③可得，单位向量经过变换后得到向量， 中有且只有2个变换，满足题意的这2个变换的情况有： 1.两次变换；2. 两次变换；3. 和各一次变换；然后， 据此再讨论这3种情况下的变换，明显地，④错； 故答案为：①②③ 【点睛】关键点睛：解题的关键在于根据题意，分类讨论各种成立的情况，属于难题； 7．（2026·江苏·模拟预测）甲、乙两人投篮命中率分别为和，并且他们投篮互不影响．现每人分别投篮两次，则甲比乙进球数多1个的概率为_____________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式 【详解】甲、乙两人投篮命中率分别为和，并且他们投篮互不影响．现每人分别投篮2次， 甲比乙进球数多1个包含以下两种情况： ①甲进1球，乙进0球，概率为：， ②甲进2球，乙进1球，概率为：， 则甲比乙进球数多1个的概率为. 8．（2026·河南开封·模拟预测）某科技公司为提升员工的编程技能，举办了一场“算法挑战赛”，若甲、乙、丙三名员工进入决赛，他们获一等奖的概率分别为，，，且获奖相互独立，则至少两人获一等奖的概率为________． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【详解】设事件甲、乙、丙获奖分别为A，B，C，至少两位员工获奖有如下情况： 甲、乙获奖丙未获奖，甲、丙获奖乙未获奖，乙、丙获奖甲未获奖，甲、乙、丙三人均获奖， 则． 重难点题型5 互斥事件与对立事件 1、准确把握互斥事件与对立事件的概念：①互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生；②对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，既有且仅有一个发生． 2、判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件． 1．（2026·安徽合肥·二模）一盒子中装有6个编号分别为1，2，3，4，5，6的小球（小球的其余特征完全一致）．从中有放回地随机取球2次，每次取1个小球．记“第1次取出的小球的编号为1”为事件，“第2次取出的小球的编号为1”为事件，“两次取出的小球的编号之和为5”为事件，“两次取出的小球的编号之和为奇数”为事件，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件相互独立 D． 【答案】C 【难度】0.68 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、互斥事件与对立事件关系的辨析、计算古典概型问题的概率、独立事件的判断 【分析】围绕有放回抽样中的互斥事件、独立事件、概率加法公式三个核心概念，通过对样本空间的枚举和概率计算，逐一验证选项的正确性． 【详解】选项A：事件是第一次取出编号1，事件是两次编号之和为5， 二者存在公共样本点（第一次取1，第二次取4，同时满足E和G），即，因此事件E与事件G不互斥，A错误． 选项B：（第二次取1的样本点共6个）， （两次和为5的样本点为 ，共4个）， （同时满足第二次取1、两次和为5的样本点仅，共1个）， 验证得，因此事件与事件不相互独立，B错误． 选项C：， （两次和为奇数等价于两次取出的数一奇一偶，总样本数为）， （第一次取1为奇数，第二次需要取偶数才能让和为奇数，第二次可取，共3个样本点）， 验证得， 满足独立事件定义，因此事件与事件相互独立，C正确． 选项D：根据概率的加法公式， 其中（两次都取1的样本点仅1个）， 代入计算：，因此D错误． 2．（2026·福建漳州·三模）甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，且三人的选择相互独立．设事件“三个人去的景点各不相同”，事件“甲去了第1个景点”，事件“乙去了第1个景点”，则下列说法错误的是（    ） A．与互斥 B．与相互独立 C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、计算古典概型问题的概率、计算条件概率、独立事件的判断 【详解】对于A：因为甲乙有可能都去第1个景点，即与能同时发生，所以与不互斥，所以A错误； 对于C：由题意得，所以C正确； 对于B：因为， 所以，所以与相互独立，所以B正确； 对于D：因为，所以，所以D正确． 3．（2026·安徽淮北·二模）某同学制作了一个质地均匀的正四面体形骰子，在其中三个面分别写上一个数字1、2、3，第四个面写了三个数字1，2，3，随机抛掷一次，事件表示向下的面上有数字1，事件表示向下的面上有数字2，事件表示向下的面上有数字3，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件互斥 D．事件与事件相互独立 【答案】B 【难度】0.42 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、计算古典概型问题的概率、独立事件的判断 【详解】由题意可得，，， 对于A，表示向下的面同时有数字1和2，即面4，所以，故A错误； 对于B，的情况只有面4，故， 又，满足，故B正确； 对于C，表示同时有数字1、2和3，即面4，所以，故C错误； 对于D，表示向下的面有数字2或3，包含面2、面3、面4，共3个面， 故，表示向下的面有数字1，且有数字2或3，即面4， 故，所以， 不满足独立事件定义，故D错误． 4．一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体玩具两次，并记录每次正四面体玩具朝下的面上的数字，记事件为“第一次向下的数字为1或2”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（    ） A． B．事件与事件互斥 C．事件与事件相互独立 D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、计算古典概型问题的概率、独立事件的判断 【分析】根据古典概型概率公式，分别写出样本空间和事件表示的集合，求出相关事件的概率，利用互斥事件，独立事件的定义与和事件的概率公式计算即可逐一判断可得答案. 【详解】用两位数字表示连续抛掷这个正四面体得到的点数，, ，事件，， 事件，， 对于A，，故A错误；     对于B，因为，所以事件与事件不互斥，故B错误； 对于C，，，， 因为，所以事件与事件相互独立，故C正确；     对于D，， ，，故D错误. 故选：C. 重难点题型6 利用互斥事件与对立事件计算概率 求复杂的互斥事件的概率的两种方法 （1）直接法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率求和公式计算． （2）间接法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式，即运用逆向思维（正难则反）．特别是“至多”“至少”型题目，用间接法求解就显得较简便． 1．（2026·浙江·模拟预测）已知，为两个随机事件，，，则下列结论错误的是（   ） A．若，则 B．若，独立，则 C．若，互斥，则 D．若，独立，则 【答案】D 【难度】0.82 【知识点】事件的运算及其含义、互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式 【详解】A选项：若，则，因此，A正确. B选项：若，为独立事件，根据独立事件的乘法公式，交事件的概率 ，B正确. C选项：若，互斥，说明，根据概率的加法公式，，C正确. D选项：若，独立，根据概率的加法公式，.因为，D错误. 2．（2026·湖南·三模）已知随机事件，，发生的概率均为，且两两独立，那么这三个事件同时发生的概率可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式 【详解】由两两相互独立得到， 设， 则 ，解得， 又考虑， 解得，综上得． 【点睛】利用概率的非负性和事件并集的概率上限，结合独立性条件逐步缩小范围. 3．（2026·福建福州·三模）近年，国家不断加大反诈宣传力度.“摸球中奖”就是街头常见的诈骗小游戏，其规则为在不透明袋中装有若干个不同颜色的小球，以摸到特定组合即可获得大额奖金为诱饵，吸引路人参与.已知袋中装有2个红球，3个黄球，4个蓝球，这9个球除了颜色不同以外其他特征均相同，摸球者从袋中随机摸出5个球，若其中三种颜色球的个数比为（所述比例不固定对应具体颜色，下同），则获得100元奖金；若其中三种颜色球的个数比为，则获得5元奖金：若其中三种颜色球的个数比为，则没有奖金也不需付钱：仅当其中三种颜色球的个数比为时，需要支付10元. (1)求摸球者摸球一次获得100元奖金的概率； (2)试用所学的概率与统计知识揭穿此骗局. 【答案】(1). (2)摸球者每次摸球的期望收益是元，游戏对玩家不利，是骗局. 【难度】0.67 【知识点】实际问题中的组合计数问题、抽奖、彩票的概率解释、计算古典概型问题的概率、求离散型随机变量的均值 【分析】(1) 摸球者摸球一次获得100元奖金，则摸到0个红球，1个黄球，4个蓝球；或者摸到0个黄球，1个红球，4个蓝球，从而求出对应的概率. (2)求出摸球者每次摸球的期望收益是元，即平均每次亏损元，游戏对玩家不利，是骗局. 【详解】（1）因为摸球者摸球一次获得100元奖金，所以摸到三种颜色球的个数比为，共有两种情况， 0个红球，1个黄球，4个蓝球；0个黄球，1个红球，4个蓝球. 设“摸球者摸球一次获得100元奖金”为事件，则. （2）设摸球者收益为，则的可能取值是100，5，0，， 由(1)知, 因为获得5元奖金的情况有：0个红球，2个黄球，3个蓝球；0个红球，2个蓝球，3个黄球；0个黄球，2个红球，3个蓝球；0个蓝球，2个红球，3个黄球， 所以 因为没有奖金也不需付钱的情况有：1个红球，1个黄球，3个蓝球；1个红球，1个蓝球，3个黄球， 所以， 因为需要支付10元.的情况有：1个红球，2个黄球，2个蓝球；1个黄球，2个红球，2个蓝球；1个蓝球，2个红球，2个黄球， 所以， 所以， 即摸球者参与一次游戏，平均要损失元，长期参与必然亏损，这就是典型的骗局. 4．（2026·广东茂名·二模）某智能设备装有3个独立运行的芯片，，，设备正常工作的条件是至少有2个芯片正常运行，其中，正常运行的概率均为，正常运行的概率为． (1)若，在恰有2个芯片正常运行的条件下，求正常运行的概率； (2)若该设备正常工作的概率大于，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.63 【知识点】互斥事件的概率加法公式、计算条件概率、独立事件的乘法公式 【分析】（1）利用条件概率及相互独立事件的概率计算即可； （2）该设备正常工作，即有2个或3个芯片正常运行，结合相互独立事件的概率公式计算，得到关于的不等式组，求解可得的取值范围． 【详解】（1）记事件M：恰有2个芯片正常运行. 事件N：芯片C的运行正常． 由题可知，. . 所以在恰有2个芯片正常运行的条件下，C的运行正常的概率为. （2） 若该设备正常工作，则恰有2个或恰有3个芯片正常运行. 所以该设备正常工作的概率为． 所以，结合解得， 所以的取值范围为． 5．某外卖平台订单集中在早高峰、午高峰、晚高峰三个时段，三个时段订单占比依次为 30%、40%、30%.统计发现，不同时段受接单压力影响，出现送餐延迟的概率不同，早高峰订单，发生延迟的概率为2%；午高峰订单，发生延迟的概率为3%；晚高峰订单，发生延迟的概率为4%.现随机抽取一笔外卖订单. (1)该订单来自午高峰时段且发生延迟的概率； (2)该订单发生延迟的概率； (3)若已知订单出现延迟，求它来自晚高峰时段的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.77 【知识点】互斥事件的概率加法公式、计算条件概率、利用全概率公式求概率 【详解】（1）设订单来自早、午、晚高峰时段分别为事件 A， B，；出现延迟事件V ， 由题意可知，， 可得， 所以订单来自午高峰时段且发生延迟的概率为． （2）由题意可得 ， 所以该订单发生延迟的总概率． （3）由题意可得， 所以订单出现延迟，来自晚高峰时段的概率为． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10-4 随机事件、频率与概率 1．（2026·上海·高考真题）事件和事件相互独立，“和至少一个发生”的对立事件是（     ）． A． B． C． D． 2．（2025·上海·高考真题）有一四边形，对于其四边，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币：如硬币正面朝上，则将其擦去；如硬币反面朝上，则不擦去．最后，以A为起点沿着尚未擦去的边出发，可以到达C点的概率为（   ）． A． B． C． D． 3．（2024·上海·高考真题）有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件：所选盒中有中国结，事件：所选盒中有记事本，事件：所选盒中有笔袋，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件互斥 D．事件与事件相互独立 4．（2024·全国甲卷·高考真题）某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定，则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（    ） A． B． C． D． 5．（2023·全国乙卷·高考真题）设O为平面坐标系的坐标原点，在区域内随机取一点，记该点为A，则直线OA的倾斜角不大于的概率为（    ） A． B． C． D． 6．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选题）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）. A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为 B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为 C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为 D．当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 7．（2026·上海·高考真题）已知事件，互斥，，，则__________． 8．（2024·全国甲卷·高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不大于的概率为______． 9．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有________种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是________． 10．（2026·天津·高考真题）箱子里有一个红球，两个黄球，三个白球，有放回的取三次，三次都没取到黄球的概率是__________；在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是__________． 重难点题型1 随机事件与样本空间 确定样本空间的方法 （1）必须明确事件发生的条件． （2）根据题意，按一定的次序列出问题的答案．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏． 1．（2026·上海金山·二模）为了了解申辉中学所有学生的每天平均体育运动时间，随机调查了该校100名学生，发现他们每天平均体育运动时间为h．这里的总体是（   ） A．该校所有学生 B．该校所有学生的每天平均体育运动时间 C．所调查的100名学生 D．所调查的100名学生的每天平均体育运动时间 2．（2025·吉林白城·一模）从某市参加升学考试的学生中随机抽查名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法错误的是（    ） A．总体指的是该市参加升学考试的全体学生的数学成绩 B．样本是指名学生的数学成绩 C．样本量指的是名学生 D．个体指的是该市参加升学考试的每一名学生的数学成绩 3．我国古代数学名著《数书九章》中有“米谷粒分”问题；“开仓受纳，有甲户米一千五百三十四石到廊．验得米内夹谷，乃于样内取米一捻，数计二百五十四粒内有谷二十八颗，凡粒米率每勺三百，今欲知米内杂谷多少”，其大意是，粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（    ） A．153石 B．154石 C．169石 D．170石 4．（23-24高三上·山西晋城·期末）（多选题）某单位为了解职工体重情况，采用分层随机抽样的方法从800名职工中抽取了一个容量为80的样本．其中，男性平均体重为64千克，方差为151；女性平均体重为56千克，方差为159，男女人数之比为5:3，下列说法正确的是（    ） A．样本为该单位的职工 B．每一位职工被抽中的可能性为 C．该单位职工平均体重61千克 D．单位职工体重的方差为169 5．（2017·辽宁鞍山·一模）（多选题）为确保食品安全，鞍山市质检部门检查1000袋方便面的质量，抽查总量的2%，在这个问题中，下列说法正确的是（    ） A．总体是指这1000袋方便面的质量 B．个体是1袋方便面 C．样本是按2%抽取的20袋方便面 D．样本容量为20 重难点题型2 随机事件的关系与运算 事件的关系运算策略 （1）互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生． （2）进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析．也可类比集合的关系和运用Venn图分析事件． 1．（2026·湖南益阳·模拟预测）已知，，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若互斥，则 D．若互斥，则 2．（2026·江苏无锡·模拟预测）已知为两个随机事件，，，则下列结论错误的是（    ） A．若，则 B．若独立，则 C．若独立，则 D．若互斥，则 3．（2025·广西·模拟预测）已知事件与事件相互独立，且，则（   ） A．0.1 B．0.12 C．0.58 D．0.7 4．（2026·重庆·模拟预测）（多选题）已知事件，，的概率均不为0，则下列说法正确的是（　　） A．若事件，则 B． C．若，则 D．若事件与相互独立，则 5．（2026·广东·模拟预测）（多选题）已知事件为一组相互独立的事件，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·江西·期末）（多选题）已知随机事件满足，则（    ） A．若事件互斥，则 B．若，则 C．若，则 D．若事件互斥，则 重难点题型3 频率与概率 （1）概率与频率的关系 （2）随机事件概率的求法 1．（2026·福建南平·二模）某智能助手回答问题数据统计如下：理学类占总提问的40%，回答正确率为90%；文史类占总提问的60%，回答正确率为80%，用频率估计概率，则该助手回答问题正确的概率为（    ） A．0.72 B．0.8 C．0.84 D．0.9 2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）某学校高三教研组为调查高三学生的学习情况，分别从高三年级中的20个班一共抽取40个人进行询问，其中各班人数均为50人，则某个班级中某个学生被选中的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·四川·模拟预测）某学校在高三年级中抽取200名学生，调查他们课后完成作业的时间，并根据调查结果绘制了如下频率分布直方图．根据此直方图得出了下列结论，其中不正确的是（    ） A．所抽取的学生中有40人在2.5小时至3小时之间完成作业 B．该校高三年级全体学生中，估计完成作业的时间超过4小时的学生概率为0.1 C．估计该校高三年级学生的平均做作业的时间超过3小时 D．估计该校高三年级有一半的学生做作业的时间在2.5小时至4.5小时之间 4．（23-24高一上·广东梅州·开学考试）两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出统计图如图所示，则符合这一结果的试验是（   ）    A．抛一枚硬币，正面朝上的概率； B．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率； C．转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率； D．从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率． 5．（2026·湖北武汉·模拟预测）（多选题）下列说法中正确的是（    ） A．随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率 B．命题“，”的否定是， C．线性回归直线至少经过其样本数据点中的一个点 D．若事件，满足，，，则 6．（2026·河南开封·模拟预测）（多选题）某公益组织为更好地安排志愿者工作，随机抽取了1000名志愿者，并统计了他们的年龄数据，绘制了如图所示的频率分布直方图（每组为左闭右开的区间），则（   ） A．估计这1000名志愿者年龄的众数为22.5 B．这1000名志愿者中年龄在的有175人 C．估计该公益组织所有志愿者年龄的中位数为 D．以频率估计概率，从该公益组织所有志愿者中任选2人，其年龄均在的概率为0.2 7．（2024·四川内江·一模）（多选题）抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，记随机事件“点数为”，其中，则下列论述正确的是（   ） A． B．若“点数大于”，则 C．若连续抛掷骰子次，记“点数之和为”，则 D．若重复抛掷骰子，则事件发生的频率等于事件发生的概率 8．（2023·陕西汉中·模拟预测）养殖户在某池塘随机捕捞了100条鲤鱼，做好标记后放回池塘，几天后又随机捕捞了100条鲤鱼，发现有4条鲤鱼被标记，据此估计该池塘里鲤鱼大约有________条． 9．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________. 10．（2024·重庆·模拟预测）为研究吸烟是否与患肺癌有关，某肿瘤研究所采取有放回简单随机抽样的方法调查了人，已知非吸烟者占比，吸烟者中患肺癌的有人，根据统计结果表明，吸烟者患肺癌的概率是未吸烟者患肺癌的概率的倍，则估计本次研究调查中非吸烟者患肺癌的人数是______． 重难点题型4 生活中的概率 概率和频率的关系：概率可看成频率在理论上的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率． 1．某地区公共卫生部门为了了解本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行了调查．调查中使用了下面两个问题： 问题一：你的父亲阳历生日日期是不是奇数？ 问题二：你是否经常吸烟？ 调查者设计了一个随机化装置：一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个被调查者随机从袋子中摸取1个球（摸出的球再放回袋子中），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做，如果一年按365天计算，且最后盒子中有60个小石子，则可以估计出该地区中学生吸烟人数的百分比为（    ） A．7% B．8% C．9% D．30% 2．甲、乙两人玩掷骰子游戏，规定：甲、乙两人同时掷骰子，若甲掷两次骰子的点数之和小于，则甲得一分；若乙掷两次骰子的点数之和大于，则乙得一分，最先得到10分者获胜.为确保游戏的公平性，正整数的值应为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·西藏拉萨·二模）（多选题）中国非遗文化传承成效显著，某文化部门随机抽取国内100个非遗传承工作室的年度投入进行统计，已知以下数据： ①抽样中，投入高于5000万元的工作室占30%，投入低于2000万元的占25%； ②投入万元的工作室中，专注于传统技艺传承与非遗文创开发的数量比为； ③投入高于5000万元的工作室中，有40%专注于传统技艺传承，剩下的专注于非遗文创开发． 下列说法正确的是（   ） A．抽样中，投入万元的工作室有55个 B．抽样中，专注于传统技艺传承且投入万元的工作室有18个 C．抽样中，专注于非遗文创开发的工作室数量不超过40个 D．若从抽样工作室中随机抽取1个，抽到投入高于5000万元且专注于传统技艺传承的概率为0.12 4．（2024·江苏苏州·模拟预测）（多选题）为了保证掷骰子游戏的公正性，可以用正n面体的骰子来进行游戏．下列数字可以作为n的取值的是（   ） 可能用到的公式：多面体的顶点数、棱数、面数分别为，则. A．4 B．12 C．16 D．20 5．（2022·江苏南京·三模）19世纪，美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高．约半个世纪后，物理学家本福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数出现的频率约为总数的三成，接近期望值的3倍，并提出本福特定律，即在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．根据本福特定律，在某项大量经济数据（十进制）中，以6开头的数出现的概率为______；若,，则k的值为__________． 6．关于任意平面向量可实施以下6种变换，包括2种变换和4种变换 模变为原来的倍，同时逆时针旋转； 模变为原来的倍，同时顺时针旋转； 模变为原来的倍，同时逆时针旋转； ：模变为原来的倍，同时顺时针旋转； 模变为原来的倍，同时逆时针旋转； 模变为原来的倍，同时顺时针旋转 记集合，若每次从集合中随机抽取一种变换，每次抽取彼此相互独立，经过次抽取，依次将第次抽取的变换记为，即可得到一个维有序变换序列，记为，则以下判断中正确的序号是__________. ①单位向量经过奇数次变换后所得向量与向量同向的概率为； ②单位向量经过偶数次变换后所得向量与向量同向的概率为； ③若单位向量经过变换后得到向量，则中有且只有2个变换； ④单位向量经过变换后得到向量的概率为. 7．（2026·江苏·模拟预测）甲、乙两人投篮命中率分别为和，并且他们投篮互不影响．现每人分别投篮两次，则甲比乙进球数多1个的概率为_____________． 8．（2026·河南开封·模拟预测）某科技公司为提升员工的编程技能，举办了一场“算法挑战赛”，若甲、乙、丙三名员工进入决赛，他们获一等奖的概率分别为，，，且获奖相互独立，则至少两人获一等奖的概率为________． 重难点题型5 互斥事件与对立事件 1、准确把握互斥事件与对立事件的概念：①互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生；②对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，既有且仅有一个发生． 2、判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件． 1．（2026·安徽合肥·二模）一盒子中装有6个编号分别为1，2，3，4，5，6的小球（小球的其余特征完全一致）．从中有放回地随机取球2次，每次取1个小球．记“第1次取出的小球的编号为1”为事件，“第2次取出的小球的编号为1”为事件，“两次取出的小球的编号之和为5”为事件，“两次取出的小球的编号之和为奇数”为事件，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件相互独立 D． 2．（2026·福建漳州·三模）甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，且三人的选择相互独立．设事件“三个人去的景点各不相同”，事件“甲去了第1个景点”，事件“乙去了第1个景点”，则下列说法错误的是（    ） A．与互斥 B．与相互独立 C． D． 3．（2026·安徽淮北·二模）某同学制作了一个质地均匀的正四面体形骰子，在其中三个面分别写上一个数字1、2、3，第四个面写了三个数字1，2，3，随机抛掷一次，事件表示向下的面上有数字1，事件表示向下的面上有数字2，事件表示向下的面上有数字3，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件互斥 D．事件与事件相互独立 4．一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体玩具两次，并记录每次正四面体玩具朝下的面上的数字，记事件为“第一次向下的数字为1或2”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（    ） A． B．事件与事件互斥 C．事件与事件相互独立 D． 重难点题型6 利用互斥事件与对立事件计算概率 求复杂的互斥事件的概率的两种方法 （1）直接法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率求和公式计算． （2）间接法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式，即运用逆向思维（正难则反）．特别是“至多”“至少”型题目，用间接法求解就显得较简便． 1．（2026·浙江·模拟预测）已知，为两个随机事件，，，则下列结论错误的是（   ） A．若，则 B．若，独立，则 C．若，互斥，则 D．若，独立，则 2．（2026·湖南·三模）已知随机事件，，发生的概率均为，且两两独立，那么这三个事件同时发生的概率可能为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·福建福州·三模）近年，国家不断加大反诈宣传力度.“摸球中奖”就是街头常见的诈骗小游戏，其规则为在不透明袋中装有若干个不同颜色的小球，以摸到特定组合即可获得大额奖金为诱饵，吸引路人参与.已知袋中装有2个红球，3个黄球，4个蓝球，这9个球除了颜色不同以外其他特征均相同，摸球者从袋中随机摸出5个球，若其中三种颜色球的个数比为（所述比例不固定对应具体颜色，下同），则获得100元奖金；若其中三种颜色球的个数比为，则获得5元奖金：若其中三种颜色球的个数比为，则没有奖金也不需付钱：仅当其中三种颜色球的个数比为时，需要支付10元. (1)求摸球者摸球一次获得100元奖金的概率； (2)试用所学的概率与统计知识揭穿此骗局. 4．（2026·广东茂名·二模）某智能设备装有3个独立运行的芯片，，，设备正常工作的条件是至少有2个芯片正常运行，其中，正常运行的概率均为，正常运行的概率为． (1)若，在恰有2个芯片正常运行的条件下，求正常运行的概率； (2)若该设备正常工作的概率大于，求的取值范围． 5．某外卖平台订单集中在早高峰、午高峰、晚高峰三个时段，三个时段订单占比依次为 30%、40%、30%.统计发现，不同时段受接单压力影响，出现送餐延迟的概率不同，早高峰订单，发生延迟的概率为2%；午高峰订单，发生延迟的概率为3%；晚高峰订单，发生延迟的概率为4%.现随机抽取一笔外卖订单. (1)该订单来自午高峰时段且发生延迟的概率； (2)该订单发生延迟的概率； (3)若已知订单出现延迟，求它来自晚高峰时段的概率. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $