分层练74 古典概型、概率的基本性质-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以分层训练构建古典概型与概率性质的完整方法体系，通过生活情境题承载概念辨析、运算推理与模型应用，培养数据意识与逻辑思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |A级基础巩固|12题（选择7/填空3/解答2）|古典概型定义辨析（有限性/等可能性）、列举法求基本事件、互斥/对立事件概率计算、排列组合应用|从古典概型概念出发，结合概率基本性质，通过简单情境（硬币投掷、疫苗接种）掌握公式应用，形成“定义-性质-计算”链条| |B级能力提升|3题|数据统计分析（极差/中位数/众数）、复杂概率模型构建（随机化调查/分配问题）|深化实际应用，通过社区服务数据、隐私调查等复杂情境，提升用数学语言表达现实问题的能力，衔接高考命题趋势|

分层练74 古典概型、概率的基本性质 【A级 基础巩固】 1. (多选)下列试验是古典概型的是（ ） A.在适宜的条件下种一粒种子，发芽的概率 B.口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球为白球的概率 C.向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率 D.老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人做典型发言，甲被选中的概率 2. 一枚硬币连掷2次，恰好出现1次正面的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 甲、乙、丙三人被系统随机预约到三家医院接种疫苗，每家医院恰有1人预约，已知医院接种的是只需要打一针的腺病毒载体疫苗，医院接种的是需要打两针的灭活疫苗，医院接种的是需要打三针的重组蛋白疫苗，则甲不接种只打一针的腺病毒载体疫苗且丙不接种需要打三针的重组蛋白疫苗的概率等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知王大爷养了5只鸡和3只兔子，晚上关在同一间房子里，清晨打开房门，这些鸡和兔子随机逐一向外走，则恰有2只兔子相邻走出房子的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 有5个形状大小相同的球，其中3个红色、2个蓝色，从中一次性随机取2个球，则下列说法正确的是（ ） A.“恰好取到1个红球”与“至少取到1个蓝球”是互斥事件 B.“恰好取到1个红球”与“至多取到1个蓝球”是互斥事件 C.“至少取到1个红球”的概率大于“至少取到1个蓝球”的概率 D.“至多取到1个红球”的概率大于“至多取到1个蓝球”的概率 6. 北斗导航系统由55颗卫星组成，于2020年6月23日完成全球组网部署，全面投入使用.北斗七星自古是我国人民辨别方向判断季节的重要依据，北斗七星分别为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光，其中玉衡最亮，天权最暗.一名天文爱好者从七颗星中随机选两颗进行观测，则玉衡和天权至少一颗被选中的概率为（ ） A. B. C. D. 7. (多选)若随机事件互斥，发生的概率均不等于0，且，，则实数的值可以是（ ） A. B. C. D. 8. 从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为. 9. 某学校为落实“双减”政策，在课后服务时间开展了丰富多彩的兴趣拓展活动.现有甲、乙、丙、丁四人，乒乓球、篮球、足球、羽毛球、网球五项活动，由于受个人精力和时间限制，每人只能等可能的从中选择一项活动，则四人中恰有两人参加同一活动的概率为. 10. 某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查.参加活动的甲、乙两班的人数之比为，其中甲班中女生占，乙班中女生占，则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率是. 11. 2021年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有人，现采用分层随机抽样的方法，从该单位上述员工中抽取人调查专项附加扣除的享受情况. (1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？ (2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为，享受情况如下表，其中“”表示享受，“”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访. 员工项目 子女教育 继续教育 大病医疗 住房贷款利息 住房租金 赡养老人 ①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； ②设为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件发生的概率. 12. 某中学组织了一次数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中随机抽取100人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图. (1)若得分大于或等于80认定为优秀，则男、女生的优秀人数各为多少？ (2)在(1)中所述的优秀学生中用分层随机抽样的方法抽取5人，从这5人中任意选取2人，求至少有一名男生的概率. 【B级 能力提升】 13. (多选)为弘扬文明、和谐的社区文化氛围，更好地服务社区群众，武汉市某社区组织开展了“党员先锋” “邻里互助”两个公益服务项目，其中某个星期内两个项目的参与人数(单位：人)记录如下： 日期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 党员先锋 24 27 26 25 37 76 72 邻里互助 11 13 11 11 127 132 143 对于该星期内的公益服务情况，下列说法正确的有（ ） A.“党员先锋”项目参与人数的极差为，中位数为 B.“邻里互助”项目参与人数的众数为，平均数为 C.用频率估计概率，“党员先锋”项目连续3天参与人数均不低于25的概率为 D.用频率估计概率，“邻里互助”项目连续2天参与人数均不低于该项目参与人数的平均数的概率为 14. 为了解本地区义务教育阶段学生中抄袭过作业的学生比例，对随机抽出的2000名学生进行了调查，因问题涉及隐私，调查中使用了两个问题： 问题1：你的阳历生日日期是不是偶数？ 问题2：你是否抄袭过作业？ 调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有除颜色外完全一样的50个白球和50个红球的不透明袋子.每个被调查者随机从袋中摸取1个球，摸出的球看到颜色后放回袋中，只有摸球者自己才能看到摸出球的颜色.要求摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，答案为“是”的人从盒子外的小石子堆中拿一个石子放在盒子中，回答“否”的人什么都不做.由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案. 调查结果为2000人中共有612人回答“是”，则本地区义务教育阶段学生中抄袭过作业的学生所占百分比最接近(提示：假设一年为365天，其中日期为偶数的天数为179)（ ） A. B. C. D. 15. 现有5名师范大学毕业生主动要求赴西部某地区甲、乙、丙三个不同的学校去支教，每个学校至少去1人，则恰好有2名大学生分配去甲学校的概率为. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1. BD [A中，在适宜的条件下种一粒种子，发芽的概率，不符合等可能性；B中，从中任取一球的事件有限，且任取一球为白球或黑球的概率是等可能的；C中，向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率，不符合有限性；D中，老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人的事件有限，甲、乙、丙被选中的概率是等可能的.] 2. A [一枚硬币连掷2次，基本事件有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)共4个，而只有1次出现正面的包括(正，反)，(反，正)，故其概率为.] 3. C [甲、乙、丙三人被系统随机预约到A，B，C三家医院接种疫苗，每家医院恰有1人预约的情况有种，则甲只能去医院B或C，则只能去医院A；当甲去医院C时，丙可以去医院A也可以去医院B，所以满足条件的情况有3种，所求的概率.] 4. D [5只鸡和3只兔子走出房子，共有种不同的走出方案，其中恰有2只兔子相邻走出房子共有种走出方案，所以恰有2只兔子相邻走出房子的概率.] 5. C [对于A，B两事件能同时发生，不是互斥事件，A、B错误； 对于C，“至少取到1个红球”的概率，“至少取到1个蓝球”的概率，故C正确； 对于D，“至多取到1个红球”的概率，“至多取到1个蓝球”的概率，故D错误.] 6. B [因为玉衡和天权都没有被选中的概率为，所以玉衡和天权至少一颗被选中的概率为.] 7. CD [由题意可知 即即 解得，故选CD.] 8. [从甲、乙等5名同学中随机选3名，有种情况，其中甲、乙都入选有种情况 所以甲、乙都入选的概率.] 9. [根据题意，每个人有5种选择，四人共种选法，其中恰有两人参加同一种活动，有种选法，故四人中恰有两人参加同一种活动的概率为.] 10. [依题意，设甲、乙两班的人数分别为,，则甲班中女生人数为，乙班中女生人数为， 则该社区居民遇到一位民意调查的同学是女生的概率是.] 11. 解 (1)由已知得老、中、青员工人数之比为，由于采用分层随机抽样的方法从中抽取25位员工， 因此应从老、中、青员工中分别抽取6人、9人、10人. (2)①从已知的6人中随机抽取2人的样本空间为，共15个样本点. ②由表格知，符合题意的样本空间为，共11个样本， 所以事件发生的概率. 12. 解 (1)由题可得，男生优秀人数为人，女生优秀人数为. (2)因为样本容量与总体中的个体数的比是，所以样本中包含的男生人数为，女生人数为. 则从5人中任意选取2人共有种，抽取的2人中没有一名男生有种， 则至少有一名男生有种.故至少有一名男生的概率为. 13. BD [对于A，将“党员先锋”项目该星期内的参与人数从小到大排列，即，则“党员先锋”项目参与人数的极差为，中位数为，故A错误； 对于B，“邻里互助”项目参与人数的众数为，平均数为，故B正确； 对于C，在该星期内任意抽取连续的3天，易知共有5种情况，其中“党员先锋”项目连续3天参与人数均不低于25的情况有(星期二、星期三、星期四)，(星期三、星期四、星期五)，(星期四、星期五、星期六)，(星期五、星期六、星期日)，共4种情况，故所求概率为，故C错误； 对于D，由B可知，“邻里互助”项目参与人数的平均数为，在该星期内任意抽取连续的2天，易知共有6种情况，其中“邻里互助”项目连续2天参与人数均不低于的情况有(星期五、星期六)，(星期六、星期日)，共2种情况， 故所求概率为，故D正确.] 14. B [由题意可知，每个学生摸出白球或红球的可能性都是，即大约有人回答了第一个问题，另人回答了第二个问题，在摸出白球的情况下，回答“是”的概率为，所以在回答第一个问题的人中，大约有人回答了“是”，所以可以推测在回答第二个问题的人中，大约有(人)回答了“是”，即估计抄袭过作业的学生所占百分比为.] 15. [每个学校至少去1人，样本点的总数， 恰好有2名大学生分配去甲学校包含的样本点有， 则恰好有2名大学生分配去甲学校的概率为.] $