5.1 认识二元一次方程组（教学设计）数学新教材北师大版八年级上册

5.1 认识二元一次方程组 年级 八年级 学科 数学 课型 新授课 教材 北师大版八年级上册 5.1 认识二元一次方程组 教学目标 1.通过实例了解二元一次方程和它的解，二元一次方程组和它的解。 2.会判断哪些方程是二元一次方程，哪些方程组是二元一次方程组。 3.会判断一组未知数的值是否为二元一次方程及方程组的解。 教学重点 二元一次方程（组）及其解的概念，并能正确判断。 教学难点 从实际问题中抽象出两个等量关系，并列出二元一次方程组。 教材分析 本节选自【新教材】北师版·八年级上册第五章“二元一次方程组”的起始课“5.1 认识二元一次方程组”。主要内容包括：二元一次方程及其解的概念，二元一次方程组及其解的概念，以及根据实际问题列出二元一次方程组。本节是后续学习代入消元法、加减消元法及实际应用的基础。 本节从种植活动和公园购票两个实际情境出发，引导学生经历“找等量关系—设未知数—列方程”的过程，自然得到含有两个未知数的一次方程。通过与一元一次方程的对比，归纳出二元一次方程的特征：整式、含两个未知数、含未知数的项的次数为1。再将两个含同一对未知数的一次方程联立，引入二元一次方程组的概念，并通过寻找同时满足两个方程的公共解，建立二元一次方程组解的概念。这一过程体现了“从实际背景抽象数学模型”的代数学习主线，有助于学生体会方程是刻画现实世界等量关系的有效工具。教学重点：二元一次方程（组）及其解的概念；教学难点：从实际问题中找出等量关系并列出二元一次方程组。 学情分析 学生已系统学习一元一次方程，理解“方程的解”的概念，也掌握了整式及多项式次数的判断方法，具备类比迁移的基础。二元一次方程概念的归纳相对容易，但需注意“含未知数的项的次数是1”与“未知数次数是1”的区别，如中此项次数为2，不是一次。列方程建模是本节的难点：学生面对两个未知量时，往往难以同时抓住两个独立等量关系，容易遗漏或混用条件。教学中应借助情境中的表格、对话等方式，帮助学生梳理等量关系，降低建模难度。 教学过程 教学内容 设计意图 课堂导入 【回顾旧知】 【情景引入】情景一：小明和小颖参加课外种植实践活动，他们分别栽种了若干株绿植。已知小明栽种的绿植比小颖多2株，如果将小颖栽种的绿植给小明1株，那么小明的绿植株数是小颖的2倍。 （1）这个情境涉及哪些量？这些量之间有怎样的等量关系？ 解：①小明栽种的绿植比小颖多 2 株. 小明栽种的绿植数量＝小颖栽种的绿植数量＋2 ②小颖栽种的绿植减少1株，小明栽种的绿植增加1株，那么小明栽种的绿植数量是小颖的2倍. 小明栽种的绿植数量＋1＝2×(小颖栽种的绿植数量－1) (2) 设小明栽种了 x 株绿植，小颖栽种了 y 株绿植，由此你能得到怎样的方程? 解：x－y＝2 . x＋1＝2( y－1). 情景二：周末，小亮一家和朋友们到公园徒步锻炼，他们 8 个人去红山公园玩，买门票花了 34 元. 每张成人票 5 元，每张儿童票 3 元、他们到底去了几个成人、几个儿童呢? (1) 找出，上述趣题中的等量关系： 成人数＋儿童数＝8 成人总票价＋儿童总票价＝34 (2) 设他们中有 x 个成人，y 个儿童.你能根据它们的对话列出方程吗？ x＋y＝8 5x＋3y＝34 从生活实际问题出发，让学生经历“现实问题→数学抽象”的过程；通过新旧知识对比激发兴趣，明确学习方向。 探究点1：二元一次方程的概念 【观察思考】在上面两个情境中，我们分别得到方程： x－y＝2 x＋1＝2( y－1) x＋y＝8 5x＋3y＝34 教师提问：①上述方程有什么共同特点？ ②它们与你学过的一元一次方程比较有什么区别？ ③你能给它们起个名字吗？ 学生回答：都是整式、含有两个未知数的次数都是1，起名为二元一次方程 【归纳总结】二元一次方程的概念 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的整式方程叫作二元一次方程. 注意：(1)“一次”是指含未知数的项的次数是 1， 而不是未知数的次数，如含有 xy 项的方程就不是一次方程； (2)方程的左右两边都是整式. 【题型探究】例1.下列方程中哪些是二元一次方程，哪些不是？ （1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）。 解析： （1）含有三个未知数，不是； （2）含有两个未知数 ，且含未知数项的次数都是 1，是； （3） 不是整式，不是； （4） 项的次数是 2，不是； （5） 项的次数是 2，不是； （6）只含有一个未知数，不是。 答案：是二元一次方程的是（2）。 方法技巧 判断要点： ①是否为整式方程；②是否含两个未知数；③未知数次数是否为 1；④化简后未知数的系数不为 0. 通过“观察—比较—归纳”让学生经历概念形成过程，掌握判断二元一次方程的关键要点，培养抽象能力。 探究点二 二元一次方程组的概念 【思考交流】（1）在上面的方程x + y = 8和5 x + 3y = 34中，x所表示的对象相同吗？y呢？与同伴进行交流。 相同. x 是成人数，y 是儿童数. （2）当 x，y同时满足方程 x+y=8 和 5x+3y = 34，把它们联立起来，得 ，称这个方程组为___________方程组. 二元一次 【归纳总结】二元一次方程组的概念 共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组. 注意：方程组各方程中同一字母必须代表同一个量. 【题型探究】例2,请你判断：下列方程组中，哪些是二元一次方程组，哪些不是？为什么？ 是二元一次方程组的是（1）（3）（5）。 方法技巧：二元一次方程组的 “二元”“一次”都是针对整个方程组而言的，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数，只要共同含有两个未知数的两个一次方程组成的一组方程都是二元一次方程组 . 通过辨析，让学生明确二元一次方程组判断的三个条件，强化对“二元”“一次”的整体理解，提升概念辨析能力。 探究点3：二元一次方程（组）的解 【尝试思考】（1）x＝6 , y＝2适合方程 x＋y＝8吗? x＝5,y＝3呢? x＝4,y＝4呢? 你还能找到其他x,y的值适合方程x＋y＝8吗 ? (2) x＝5 , y＝3适合方程5x＋3y＝34吗? x＝2 , y＝8呢? 教师总结：二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解. （3）你能找到一组x，y值，同时适合方程x+y=8和5x+3y =34吗? 二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解. 的解为 【题型探究】例3.二元一次方程组的解是 ( ) A. B. C. D. 解：C 方法技巧 一般地，二元一次方程有无数个解，而二元一次方程组只有一个解. 通过代入验算和寻找公共解，让学生理解“方程的解”“方程组的解”的区别与联系，体会方程组的解必须同时满足所有方程，为后续解方程组作铺垫。 课堂小结 板书设计 5.1 认识二元一次方程组 探究点1：二元一次方程的概念 探究点2：二元一次方程组的概念 探究点3：二元一次方程（组）的解 随堂练习 1.下列方程组中，是二元一次方程组的是(　　) A. B. C. D. 【答案】A 2.已知是方程 3x + 2y = 10 的一个解，则m的值是____. 【答案】2 3.根据题意列二元一次方程组：某校课外小组的学生准备分组外出活动，若每组7人，则余下3人；若每组8人，则有一组只有3人.问这个课外小组分成了几组？共有多少人？ 【答案】解：设这个课外小组分成了x组，共有y人， 则 教学反思 本课教学目标基本达成。通过情境引入和例题辨析，多数学生能准确识别二元一次方程和方程组，理解了“项的次数”与“未知数次数”的区别，概念理解目标落实较好。但学生在从实际问题中列方程时仍存在困难，如找不到等量关系、设两个未知数后不知如何联立，说明建模意识还需加强。部分学生对二元一次方程有无数个解、而方程组通常只有一个解的理解不够深刻，在判断“公共解”时容易遗漏验证两个方程。改进方向：一是增加小组合作列方程的活动，让学生在交流中提炼等量关系；二是设计分层变式练习，如含 xy 项、含三个未知数的反例，强化概念判断；三是引导学生用列表法找出二元一次方程组的解，亲历“公共解”的发现过程，为后续消元法做铺垫。今后应更多关注学情，留足时间让学生充分讨论和展示。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $