精品解析：广东佛山市顺德区郑裕彤中学2026-2027学年高一上学期第一次月末检测数学试卷

2026级高一上学期第一次月末检测数学试题 命题人：王平 审题人：柏姣 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四组对象中能构成集合的是（ ） A. 本校学习好的学生 B. 在数轴上与原点非常近的点 C. 很小的实数 D. 倒数等于本身的数 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的定义，结合选项依次判断即可. 【详解】A：学习好，是模糊的概念，不符合集合中元素的确定性，故A错误； B：非常近，是模糊的概念，不符合集合中元素的确定性，故B错误； C：很小，是模糊的概念，不符合集合中元素的确定性，故C错误； D：倒数等于本身的数符合集合中元素的确定性，故D正确. 故选 ：D 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由交集的运算求解即可； 【详解】由题意可得. 故选：C. 3. 若a∈{1，a2﹣2a+2}，则实数a的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 0 D. 1 或2 【答案】B 【解析】 【分析】根据a∈{1，a2﹣2a+2}，则由a＝1或a＝a2﹣2a+2，集合元素的互异性求解. 【详解】因为a∈{1，a2﹣2a+2}， 则：a＝1或a＝a2﹣2a+2， 当a＝1时：a2﹣2a+2＝1，与集合元素的互异性矛盾，舍去； 当a≠1时：a＝a2﹣2a+2，解得：a＝1（舍去）或a＝2； 故选：B． 【点睛】本题主要考查集合元素的互异性，属于基础题. 4. 设，，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】利用作差法解出的结果，然后与0进行比较，即可得到答案 【详解】解：因为，， 所以， ∴， 故选：A 5. 如果实数a，b满足，则下列不等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质可判断选项A，C是否正确；由函数单调性，可判断选项B，D是否正确. 【详解】因为实数a，b满足，所以，故A正确； 由于函数单调递减，所以，故B正确； 因为实数a，b满足，在不等式两边同时乘以，所以，故C正确； 因为，所以，又函数单调递减，所，故D错误. 故选：D. 6. 若，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将所求的代数式整理为，再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：B. 7. 已知命题：，，命题：，，则（ ） A. 和均为真命题 B. 和均为真命题 C. 和均为真命题 D. 和均为真命题 【答案】C 【解析】 【分析】由判别式的正负可判断，由可判断； 【详解】由，，可知方程无解，故为假命题，为真命题； ， 因为，所以成立，即为真命题，为假命题， 故选：C 8. 已知，若恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式可得，由条件可知即求. 【详解】∵， ∴， 当且仅当即取等号， 由恒成立， ∴， ∴. 故选：B. 二、选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，，，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求得集合，得到，结合和选项，即可求解. 【详解】由题意，集合，或， 所以或， 因为，结合选项可得. 故选：D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用不等式的性质逐项推理判断. 【详解】对于A，由，得，而，则，A错误； 对于B，由，得，即，而，则，B正确； 对于C，由，得，则，C正确； 对于D，，又，则，D正确. 故选：BCD 11. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 的最小值是 【答案】CD 【解析】 【分析】对A利用基本不等式构造，解出范围即可；对于B构造得到最小值，同时注意；对C把原式变为单变量，再分离常数构造基本不等式计算即可求出最值，对D把原式变为单变量，再分离常数构造基本不等式计算即可求出最值 【详解】对于A：因为,,且， 所以， 当且仅当时，等号成立，解得， 即，故A错误； 对于B：因为，当且仅当时等号成立， 解得，因为， 所以，故B错误； 对于C：由得， 所以，， 所以 当且仅当，即或，等号成立， 又，所以等号无法取到，即，故C正确； 对于D： 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题“，”的否定为______. 【答案】， 【解析】 【分析】根据存在命题的否定求解即可. 【详解】根据存在命题的否定可得， ，的否定为：，. 故答案为：， 13. 若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式恒成立问题，分和两种情况讨论求解即可. 【详解】当时，不等式为，显然成立，符合题意； 当时，则，解得. 综上所述，k的取值范围是． 故答案为：. 14. 定义集合的“长度”是，其中，.已知集合，，且，都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是________； 【答案】## 【解析】 【分析】根据区间长度定义得到关于的不等式组，再分类讨论即可. 【详解】集合，，且M，N都是集合的子集， 由，可得，由，可得． 要使的“长度”最小，只有当取最小值、取最大或取最大、取最小时才成立. 当，，，“长度”为， 当，，，“长度”为， 故集合的“长度”的最小值是. 故答案为：. 四、解答题：本题共6小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，求，，，. 【答案】或，或，或，或或. 【解析】 【分析】由题意，利用集合交并补的运算，可得答案. 【详解】由，， 则，， 或，或， 所以或，或， 或，或或. 16. 已知集合，集合． （1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围； （3）若命题“，”是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得是的真子集，然后根据真子集关系列不等式组求解即可. （2）由已知条件得集合的关系，然后按照和分类讨论，根据子集关系列不等式组求解即可. （3）方法一：由题意，然后根据集合关系列不等式组求解即可． 方法二：由题意，先求时的取值范围，求解时按照和分类讨论，根据集合关系列不等式组求解，最后利用补集思想求解即可. 【小问1详解】 若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 所以，解得， 所以实数的取值范围为． 【小问2详解】 若命题“，都有”是真命题，则是的子集． 当时，满足，此时，得； 当时，若，则，不等式组无解． 综上，实数的取值范围为． 【小问3详解】 方法一：“，”是真命题，则，所以，所以． 所以，解得，所以实数的取值范围为． 方法二：“，”是真命题，则． 当时，若，则； 若，则或，解得． 综上，当时，． 所以当时，，即实数的取值范围为． 17. 我市为推动美丽乡村建设，发展农业经济，鼓励农产品加工，某食品企业生产一种饮料，每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶. （1）据市场调查，若售价每提高1元，月销售量将减少2000瓶，要使月总利润不低于原来的月总利润（月总利润月销售总收入月总成本），该饮料每瓶售价最多为多少元？ （2）为提高月总利润，企业决定下月进行营销策略改革，计划每瓶售价元，并投万元作为营销策略改革费用.据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少万瓶，则当每瓶售价为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润. 【答案】（1） （2）当每瓶售价元时，下月的月总利润最大为万元 【解析】 【分析】（1）设提价元，则每瓶饮料利润为元，由此算出月销量，得到总利润的表达式，根据月总利润不低于原来的月总利润得到关于的不等式，即可求出的范围，进而求解； （2）由题意可得每瓶利润为元，得出月销量，从而得到月总利润的函数解析式，最后利用基本不等式求解. 【小问1详解】 设提价元，由题意知每瓶饮料利润为元， 则月销量为万瓶， 所以提价后月总销售利润为万元， 因为原来月销售总利润为万元，且要求月总利润不低于原来的月总利润， 所以，即，解得， 所以售价最多为元， 故该饮料每瓶售价最多为元； 【小问2详解】 由题意，每瓶利润为元， 月销售量为万瓶， 设下月总利润为，， 整理得：， ， ， 当且仅当，即时等号成立， ，当且仅当时取等号， 故当售价元时，下月的月总利润最大为万元. 18. 已知函数． （1）若，求的解集． （2），解关于x的不等式． 【答案】（1） （2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式求解方法求解即可； （2）结合题意，分，，，，五种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 当时，不等式为，即，解得 所以的解集为. 【小问2详解】 ，即 所以，即 ① ，，解集： ② ，两根 当时，，的解集为 当时，，解集为 当时，，的解集为 ③当时，不等式化为 ，，解集为 综上：当时，解集为 当时，解集为 当时，解集为 当时，解集为 当时，解集为 19. 定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集且，且. （1）求集合； （2）求集合； （3）集合是否能满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）且 【解析】 【分析】（1）当时，或，当时，，代入新定义计算即可得； （2）当，，代入新定义计算即可得； （3）求出A的补集，根据分和讨论，由此求得m的取值范围． 【小问1详解】 ， 当时，或，此时或； 当时，，此时，所以； 【小问2详解】 ， 时，，此时，即； 【小问3详解】 因为，当时，即， 当时，方程无实根，，解得； 当时，则有，即且且， 综上所述，实数m的取值范围是且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026级高一上学期第一次月末检测数学试题 命题人：王平 审题人：柏姣 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四组对象中能构成集合的是（ ） A. 本校学习好的学生 B. 在数轴上与原点非常近的点 C. 很小的实数 D. 倒数等于本身的数 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 若a∈{1，a2﹣2a+2}，则实数a的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 0 D. 1 或2 4. 设，，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 5. 如果实数a，b满足，则下列不等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 若，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知命题：，，命题：，，则（ ） A. 和均为真命题 B. 和均为真命题 C. 和均为真命题 D. 和均为真命题 8. 已知，若恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 二、选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，，，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，，则 11. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 的最小值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题“，”的否定为______. 13. 若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为________． 14. 定义集合的“长度”是，其中，.已知集合，，且，都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是________； 四、解答题：本题共6小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，求，，，. 16. 已知集合，集合． （1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围； （3）若命题“，”是真命题，求实数的取值范围． 17. 我市为推动美丽乡村建设，发展农业经济，鼓励农产品加工，某食品企业生产一种饮料，每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶. （1）据市场调查，若售价每提高1元，月销售量将减少2000瓶，要使月总利润不低于原来的月总利润（月总利润月销售总收入月总成本），该饮料每瓶售价最多为多少元？ （2）为提高月总利润，企业决定下月进行营销策略改革，计划每瓶售价元，并投万元作为营销策略改革费用.据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少万瓶，则当每瓶售价为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润. 18. 已知函数． （1）若，求的解集． （2），解关于x的不等式． 19. 定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集且，且. （1）求集合； （2）求集合； （3）集合是否能满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $