精品解析：山东济南市槐荫区礼乐初级中学2026-2027学年上学期九年级数学10月阶段性学情调研

九年级数学阶段性学情调研 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ） A. 1，2，3，4 B. 2，4，6，8 C. 1，2，5，10 D. 2，3，5，8 3. 如图，已知点是线段的黄金分割点，，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知，以下结论中不正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知，，，．将沿图中的剪开，则剪下的阴影三角形与不相似的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示是嘉琪的一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在竖格线上．若线段，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正方形中，为的中点，，分别为、边上的点，若，，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 已知点都在函数上，则（ ） A. B. C. D. 9. 下列关于抛物线的叙述，正确的是（ ） A. 开口向下 B. 抛物线的对称轴在轴左侧 C. 与轴正半轴可以相交 D. 当时，随的增大而减小 10. 对称轴为直线的抛物线（，，为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（为任意实数），⑥当时，随的增大而减小．其中结论正确的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 11. 抛物线的顶点坐标为________． 12. 把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为______． 13. 如图，若，，，则的长是______． 14. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点，，以点为位似中心画，使它与位似，且相似比为，则点的对应点的坐标为_____________________． 15. 如图，利用与水平地面垂直的标杆测量旗杆的高度，标杆米，测得米，米，则旗杆的高度是________米． 16. 如图，在中，，，，点P从B点出发，沿方向以的速度移动，点Q从C出发，沿方向以的速度移动．若P、Q同时出发，经过________，与相似． 三．解答题（共10小题，满分86分） 17. 已知二次函数． 用配方法将其化为的形式； 在所给的平面直角坐标系xOy中，画出它的图象． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． （1）以原点O为位似中心，在第二象限内画出将放大为原来的2倍后的； （2）直接写出点的坐标为________，的长为________． 19. 已知二次函数． （1）求该函数的最大值； （2）当时，求的取值范围． 20. 如图，，分别是的边，上的点，，，，，求的长． 21. 如图，在中，D是边上一点，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P、Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t． （1）______，______，______； （2）t为何值时的面积为？ （3）t为何值时的面积最大？ 23. 国庆期间，超然楼作为济南地标性建筑，吸引了大量游客．某数学兴趣小组想测量超然楼的高度，测量方案及相关数据如下： 主题 测量超然楼的高度 测量方案及 示意图 测 量 步 骤 步骤1：把2米长的标杆垂直立于地面点D处，后退4米到点Q处，此时楼顶端A，标杆顶端C和点Q正好处于同一直线； 步骤2：再将此标杆垂直立于地面点F处（其中米），后退6米到点P处，此时楼顶端A，标杆顶端E和点P正好处于同一直线． 备注 点B，D，Q，F，P均在同一水平直线上． （1）若米，只根据步骤1中的测量信息，计算超然楼的高度； （2）结合步骤1和步骤2中的测量信息，计算超然楼的高度． 24. 阅读以下材料，并解答后面的问题． 黄金三角形的概念和性质 定义：顶角为的等腰三角形叫做黄金三角形． 性质：黄金三角形的底边与腰的比等于． 如图1，在中，，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点；作射线交于点． （1）求证：为黄金三角形； （2）若，求的长．（结果保留根号） 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，直线与轴、轴分别交于点、点与相交于点，线段的长是一元二次方程的两根． （1）求点、点的坐标； （2）在轴上是否存在点，使点、点、点为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；如不存在，请说明理由． 26. 感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型： 如图1，，由，，可得 ；又因为，可得，进而得到______．我们把这个模型称为“一线三等角”模型． 应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在中，，，点P是BC边上的一个动点（不与B、C重合），点D是AC边上的一个动点，且． ①求证：； ②当点P为BC中点时，求CD的长； 拓展：（3）在（2）的条件下如图2，当为等腰三角形时，请直接写出BP的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学阶段性学情调研 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据比例的性质，将已知进行变形，得到，代入即可求出答案． 【详解】解： 故选：D 【点睛】本题主要考查了比例的性质；能灵活运用比例关系式，将所求代数式正确变形是做出本题的关键． 2. 下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ） A. 1，2，3，4 B. 2，4，6，8 C. 1，2，5，10 D. 2，3，5，8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段的定义，对于按顺序排列的四条线段、、、，如果，则它们成比例．计算每组中前两条线段的比值与后两条线段的比值是否相等，即可得解． 【详解】解：A、，，，不成比例； B、，，，不成比例； C、，，，成比例； D、，，，不成比例． 故选：C． 3. 如图，已知点是线段的黄金分割点，，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，，且， ∴． 4. 如图，已知，以下结论中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据，得出对应角相等，对应边成比例，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、∵，∴，故该选项不符合题意； B、∵，∴，故该选项不符合题意； C、∵，∴，，故该选项不符合题意； D、∵，∴，故该选项符合题意； 故选：D． 5. 如图，已知，，，．将沿图中的剪开，则剪下的阴影三角形与不相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、，，由两角对应相等，可得出剪下的阴影三角形与相似，不符合题意； B、，但对应成比例的两边的夹角不一定相等，无法得出剪下的阴影三角形与相似，符合题意； C、，，且，由两边对应成比例及夹角相等，可得出剪下的阴影三角形与相似，不符合题意； D、由，，可得出，不符合题意． 6. 如图所示是嘉琪的一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在竖格线上．若线段，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，过点A作于点H，交于点D，再根据平行线分线段成比例定理可得，即可求出的长． 【详解】解：如图，过点A作于点H， ∵练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 7. 如图，在正方形中，为的中点，，分别为、边上的点，若，，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．由在正方形中，，易证得，又由为的中点，，，根据相似三角形的对应边成比例，易求得与的长，然后由勾股定理求得答案． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， 为的中点， ， ，， ， 解得：， 在中，， 在中，， 在中，． 故选：． 8. 已知点都在函数上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟记函数图象上的点的坐标满足函数关系式并准确求出三个函数值是解题的关键．根据函数图象上的点的坐标满足函数关系，分别求出、、，然后解答即可． 【详解】解：∵点都在函数上， ∴，，， ∴． 故选：B． 9. 下列关于抛物线的叙述，正确的是（ ） A. 开口向下 B. 抛物线的对称轴在轴左侧 C. 与轴正半轴可以相交 D. 当时，随的增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】先通过配方得到抛物线的顶点式，可确定抛物线对称轴、开口方向和增减性，从而判断A、B、D选项，再求得抛物线与y轴的交点坐标即可判断C选项． 【详解】解：先对抛物线配方得：， ∴抛物线开口方向向上，对称轴为且在轴左侧，即选项A错误，选项B正确； ∴当时，y随x的增大而增大， ∴当时，随的增大而增大，即选项D错误； 当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标为，即抛物线与轴的负半轴可以相交，故选项C错误。 10. 对称轴为直线的抛物线（，，为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（为任意实数），⑥当时，随的增大而减小．其中结论正确的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由图象可得，抛物线开口向上，与轴交于负半轴，从而可得，，求出，即可判断①；根据抛物线图象与轴有两个交点即可判断②；由图象可得，时，，即可判断③；由图象可得，当时，，即可判断④；由图象可得，当时，二次函数有最小值为，即可判断⑤；由图象可得，当时，随的增大而减小，即可判断⑥；采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得，抛物线开口向上，与轴交于负半轴， ∴，， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线图象与轴有两个交点， ∴， ∴，故②正确； 由图象可得，时，，故，故③错误； 由图象可得，当时，，故，故④正确； 由图象可得，当时，二次函数有最小值为， ∴为任意实数，，即，故⑤正确； 由图象可得，当时，随的增大而减小，故⑥正确； 综上所述，正确的有①②④⑤⑥，共个， 故选：C． 二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 11. 抛物线的顶点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】将抛物线的一般形式转化为顶点式，即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线的顶点坐标为． 12. 把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了抛物线平移的规律：左加右减，上加下减，熟记平移的规律是解题的关键，根据规律直接得到答案． 【详解】抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位， 则平移后抛物线的解析式为, 故答案为． 13. 如图，若，，，则的长是______． 【答案】5 【解析】 【分析】由可得，代入可求得，从而可求．本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段成比例定理可得对应线段成比例是解题的关键． 【详解】∵， ∴，即， 解得， ， 故答案为：5． 14. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点，，以点为位似中心画，使它与位似，且相似比为，则点的对应点的坐标为_____________________． 【答案】或 【解析】 【分析】如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或，据此讨论求解即可． 【详解】解：∵与位似，原点为位似中心，且相似比为，， ∴点的对应点的横坐标为，纵坐标为或横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为或． 15. 如图，利用与水平地面垂直的标杆测量旗杆的高度，标杆米，测得米，米，则旗杆的高度是________米． 【答案】 【解析】 【分析】证明，利用相似三角形的性质即可解答． 【详解】解：根据题意可得， ， ， ，即， ， 解得， 经检验，是原方程的解， 所以旗杆的高度是米． 16. 如图，在中，，，，点P从B点出发，沿方向以的速度移动，点Q从C出发，沿方向以的速度移动．若P、Q同时出发，经过________，与相似． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的性质，利用勾股定理求出，设经过t秒，与相似，则，，再分当时，当时，两种情况利用相似三角形的性质构建方程求解即可． 【详解】解：中，，，， 由勾股定理得． 设经过t秒，与相似， 则，， ①当时，有，即，解得； ②当时，有，即，解得； 综上可知，经过或秒时，与相似． 故答案为：或． 三．解答题（共10小题，满分86分） 17. 已知二次函数． 用配方法将其化为的形式； 在所给的平面直角坐标系xOy中，画出它的图象． 【答案】（1）； （2）其图象为： 【解析】 【分析】（1）利用配方法把二次函数解析式化成顶点式即可； （2）利用描点法画出二次函数图象即可． 【详解】解： = = ， 顶点坐标为，对称轴方程为． 函数二次函数的开口向上，顶点坐标为，与x轴的交点为，， 【点睛】本题考查二次函数的配方法，用描点法画二次函数的图象，掌握配方法是解题的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． （1）以原点O为位似中心，在第二象限内画出将放大为原来的2倍后的； （2）直接写出点的坐标为________，的长为________． 【答案】（1）如图所示即为所求 （2）， 【解析】 【分析】（1）根据位似的定义作图； （2）原点为位似中心放大2倍，坐标同乘2；再利用网格中的水平、竖直线段，借助勾股定理求出两点间线段长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ∵ 以原点为位似中心，放大为原来的倍，在第二象限， ∴ 对应点坐标为原坐标乘． ∵， ，． 根据勾股定理得 ． 19. 已知二次函数． （1）求该函数的最大值； （2）当时，求的取值范围． 【答案】（1）7 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）由于二次函数开口向下，有最大值，通过顶点公式求最大值； （2）在给定内，求函数的值，通过计算端点和顶点值即可得解． 【小问1详解】 解：∵二次函数中， ∴抛物线开口向下，有最大值，顶点坐标为； ∴函数最大值为7； 【小问2详解】 解：当时， 当时，； 当时，； 顶点在内，． ∵抛物线开口向下， ∴在内，最小值为，最大值为； ∴y的取值范围为． 20. 如图，，分别是的边，上的点，，，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．根据，得到，列出比例式求解即可． 【详解】解：∵， ，， ， ． ，，， ． 21. 如图，在中，D是边上一点，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． （1）根据两角对应相等，两三角形相似即可证明； （2）根据相似三角形得到，再代入数据求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ 22. 如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P、Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t． （1）______，______，______； （2）t为何值时的面积为？ （3）t为何值时的面积最大？ 【答案】（1），， （2）当秒或4秒时，的面积是； （3）当为3时的面积最大，最大面积是 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程和二次函数的几何应用，利用数形结合的思想是解答本题的关键． （1）由题意可直接利用t表示出，和； （2）由三角形的面积公式可求出，结合题意即得出关于t的方程，解出t即可； （3）由（2）可知，再变形为顶点式，结合二次函数的性质即可解答． 【小问1详解】 根据题意得：，， ∴， 【小问2详解】 ， 解得：或4， ∵，， ∴， ∴或4都符合题意， ∴即当秒或4秒时，的面积是； 【小问3详解】 由（2）可知， ∵，， ∴当为3时的面积最大，最大面积是． 23. 国庆期间，超然楼作为济南地标性建筑，吸引了大量游客．某数学兴趣小组想测量超然楼的高度，测量方案及相关数据如下： 主题 测量超然楼的高度 测量方案及 示意图 测 量 步 骤 步骤1：把2米长的标杆垂直立于地面点D处，后退4米到点Q处，此时楼顶端A，标杆顶端C和点Q正好处于同一直线； 步骤2：再将此标杆垂直立于地面点F处（其中米），后退6米到点P处，此时楼顶端A，标杆顶端E和点P正好处于同一直线． 备注 点B，D，Q，F，P均在同一水平直线上． （1）若米，只根据步骤1中的测量信息，计算超然楼的高度； （2）结合步骤1和步骤2中的测量信息，计算超然楼的高度． 【答案】（1）超然楼的高度为52米 （2）超然楼的高度为52米 【解析】 【分析】本题考查相似三角形解决实际问题，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． （1）根据题意得到，从而，根据相似三角形的性质即可求解； （2）设米，由题意，得，得到，，根据相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，得，，米，米，（米）， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 答：超然楼的高度为52米． 【小问2详解】 解：设米， 由题意，得米，米，米，米，，，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴（米）， ∵， ∴，即， 解得， ∴米． 答：超然楼的高度为52米． 24. 阅读以下材料，并解答后面的问题． 黄金三角形的概念和性质 定义：顶角为的等腰三角形叫做黄金三角形． 性质：黄金三角形的底边与腰的比等于． 如图1，在中，，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点；作射线交于点． （1）求证：为黄金三角形； （2）若，求的长．（结果保留根号） 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形性质和三角形内角和定理可求出底角，由作图可知BP平分，则有，在中，由内角和定理可得出，由此可得，最后根据黄金三角形的定义即可求解； （2）根据黄金三角形的定义可知为黄金三角形，则，由此可得的长，再根据黄金三角形的定义可知，由此即可求得的长． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ， 由作图知，平分， ， ， ， ， 为黄金三角形； 【小问2详解】 ，， 为黄金三角形， ， ， ， 为黄金三角形， ， ． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，直线与轴、轴分别交于点、点与相交于点，线段的长是一元二次方程的两根． （1）求点、点的坐标； （2）在轴上是否存在点，使点、点、点为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；如不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解方程得到，则可得到，据此可得答案； （2）先求出，进而利用勾股定理得到，则，过点E作轴于点，如图，可证明，利用相似三角形的性质得到，，则，可得的坐标是．利用勾股定理求出；由待定系数法求出直线的解析式是，则，则可利用勾股定理求出， 再分当时， 当时，两种情况根据相似三角形的性质建立比例式求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得， ∵线段的长是一元二次方程的两根， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：， ， ∴． ∴， 过点E作轴于点，如图， ∴， ∴， ，即 ，， ∴， ∴的坐标是． ∵， ∴， ∴； 设直线的解析式是， ∴， 解得：， 则直线的解析式是； 在中，当时，， ∴， ∴， 当时，如图， 则，即， 解得：， ∴ ∴的坐标是； 当时，如图， 则，则， 解得：， ∴， ∴的坐标是． 综上所述，的坐标是或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，勾股定理，相似三角形的性质与判定，解一元二次方程等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 26. 感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型： 如图1，，由，，可得 ；又因为，可得，进而得到______．我们把这个模型称为“一线三等角”模型． 应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在中，，，点P是BC边上的一个动点（不与B、C重合），点D是AC边上的一个动点，且． ①求证：； ②当点P为BC中点时，求CD的长； 拓展：（3）在（2）的条件下如图2，当为等腰三角形时，请直接写出BP的长． 【答案】 感知：（1）；应用： （2）①证明：∵∠APC=∠B+∠BAP，∠APC=∠APD+∠CPD，∠APD=∠B， ∴∠BAP=∠CPD， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∴△ABP∽△PCD； ②3.6；拓展： （3）2或 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形的性质，即可求解； （2）①根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，根据三角形的外角性质得到∠BAP=∠CPD，即可求证； ②根据相似三角形的性质计算，即可求解； （3）分PA=PD、AP=AD、DA=DP三种情况，根据等腰三角形的性质、相似三角形的性质，即可求解． 【详解】感知：（1）∵△ABC∽△DAE， ∴， ∴， 故答案为：； 应用：（2）①略 ②BC=12，点P为BC中点， ∴BP=PC=6， ·∵△ABP∽△PCD， ∴，即， 解得：CD=3.6； 拓展：（3）当PA=PD时，△ABP≌△PCD， ∴PC=AB=10， ∴BP=BC-PC=12-10=2； 当AP=AD时，∠ADP=∠APD， ∵∠APD=∠B=∠C， ∴∠ADP=∠C，不合题意， ∴AP≠AD； 当DA=DP时，∠DAP=∠APD=∠B， ∵∠C=∠C， ∴△BCA∽△ACP， ∴，即， 解得：， ∴， 综上所述，当为等腰三角形时， BP的长为2或 ． 【点睛】本题考查的是三角形相似的判定定理和性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理以及三角形的外角性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $