精品解析：天津市新华中学2026-2027学年第一学期高三年级第一次月考数学试卷

天津市新华中学2026-2027学年第一学期高三年级第一次月考 数学试卷 一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的基本运算即可求解. 【详解】由题意得：，或，． （2027，新华中学高三上一月考） 2. 已知数列的通项公式为，则“为单调递增数列”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合数列的单调性判断. 【详解】根据题意，已知数列的通项公式为， 若数列为单调递增数列，则有 （）， 所以，因为，所以， 所以当数列为单调递增数列时，无法推出， 当时，则对任意正整数，，所以， 所以数列为单调递增数列， 所以“为单调递增数列”是“”的必要而不充分条件. 3. 已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解. 【详解】对于A，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A； 对于B，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B； 对于C，，则， 当时，，与图象不符，排除C. 故选：D. 4. 设等比数列的前项和为，若，则（　　） A. 8 B. 10 C. 14 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列片段和的性质即可得到成等比数列，再计算即可得到答案. 【详解】等比数列中，成等比数列， 成等比数列， ， 故选：A． 5. 已知定义在R上的函数为偶函数,记,则,的大小关系为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由 为偶函数得,所以, ,所以,故选B. 考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算. 6. 已知向量，，若向量在向量上的投影向量，则（ ） A. B. C. 3 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】利用投影向量的概念结合平面向量数量积的坐标表示及模长公式计算即得. 【详解】因向量在向量上的投影向量是，则， 故，于是. 故选：B. 7. 已知正数，的等比中项是2，且，，则的最小值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【详解】由已知正数，的等比中项是2，可得， 又，， ， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为5． （2027．新华中学高三上一月考） 8. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 在区间上一定有最大值 B. 在区间上一定有最小值 C. 在区间上不一定单调 D. 在区间上一定单调 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，根据的取值范围结合正弦型函数的单调性可得出结论. 【详解】因为， 当时，， 因为，，所以在区间上单调递增，且为开区间，无最值；故A错误，B错误； 当时，. 因为，，，所以在区间上一定单调递减，故C错误，D正确. （2027．新华中学高三上一月考） 9. 已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则n的最大值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【详解】要使满足的n取得最大值，则首项取得最小值，取得最小值， 因为是各项均为整数的递增数列，且，所以设是以为首项，为公差的递增数列， 则，即，因为，解得，可知， 当数列前项分别为时，满足，所以n的最大值为. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案填写在答题卡上． （2027．新华中学高三上一月考） 10. 已知i是虚数单位，则______． 【答案】 【解析】 【详解】由题意可知，所以. 11. 在数列中，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】考察求数列通项的方法：累加法；在化简过程中注意对数运算； 【详解】化简得：， ，，，； 将上述式子相加， 得， 代入，得， 则， 故答案为：. 12. 设钝角三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理表示出，再利用同角三角函数的平方关系，得到，建立方程，求出b的值，然后利用钝角三角形，排除一个答案. 【详解】由余弦定理得，， 而由，得， 因为是钝角三角形，且，故A为锐角，所以， 所以，解得或， 当时，即，，由大边对大角得：最大角为C， ，故C为锐角，不符合题意； 当时，即，，由大边对大角得：最大角为B， ，故B是钝角，符合题意， 故答案为： （2027．新华中学高三上一月考） 13. 已知数列，满足，其中是等差数列且，则______，且______． 【答案】 ①. 1 ②. 1013 【解析】 【分析】根据对数运算可得，再根据等差数列性质以及求和公式计算可得结果. 【详解】由题可知：， 所以 因为数列是等差数列，，所以， 所以. 14. 在中，点M，N是线段上的两点，，，则_______________，的取值范围是______________. 【答案】 ①. ； ②. . 【解析】 【分析】由题意，先算出的值，再根据，即可得的值；然后由向量数量积的定义及，可得，对点利用极端分析，算出，的值，即可得到的取值范围． 【详解】解：由题意，， ， ， 又，，， ， 由题意，，则为外接圆的圆心，则. 因为点在线段上，所以 ①假设点与点重合，则，与矛盾， 所以 ②假设点与点重合， 则，，， ， ， ，即，， 假设点与点重合， 则，，， 此时，， 综上，，， ，， ，即， 故答案为：；． 【点睛】关键点点睛：根据点在线段上，所以分点与三个特殊点、、重合进行极端分析，从而求解. （2027．新华中学高三上一月考） 15. 已知函数，若关于x的方程有四个不同的根，它们从小到大依次记为，给出下列四个结论：①；②；③；④函数有8个零点；其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①④ 【解析】 【分析】因为时是二次函数，可配方求值域和零点情况；时去绝对值分析的单调性、值域，所以能画出的大致图象，找到方程有四个不同实根时的取值范围.对于，因为是时二次方程的两个根，所以用韦达定理可直接得到、的表达式.对于，因为是时方程的两个根，所以去掉绝对值后可得，，进而推导、的取值范围，再结合的结果得到的范围.分析的零点：先令，解方程得到的所有取值，再分别判断每个对应的的实根个数，相加得到的零点总数. 【详解】时，，值域为，顶点，时； 时，，值域为 作函数图象如图： 方程有四个不同根的条件是，故①正确； 是方程即的两根，由韦达定理：； 是的两根，得，， 故，即； 因此，其取值范围为，故②错误； ，，故，，其取值范围为，故③错误； 的零点等价于， 解得的根为：； 分别计算的根个数： ：无实根； ：共2个实根； 当时，有个实根. 因此的总零点个数为个，④正确. 三、解答题：本大题共5小题，共75分，将解题过程及答案填写在答题卡上． 16. 在中，内角所对的边分别为，设满足条件和， （1）求角和； （2）若，求的面积； （3）求． 【答案】（1），； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）先利用余弦定理求出，结合条件利用正弦定理化边为角可得答案； （2）求出，利用三角形面积公式可得答案； （3）先根据倍角公式求出，再利用两角和的余弦公式可求答案. 【小问1详解】 由余弦定理得， 因为，所以． 由已知条件，应用正弦定理 ， 即， 所以． 【小问2详解】 因为，所以， 所以． 【小问3详解】 因为， 所以，又， 所以， 所以． 因为， 所以． 17. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）若将的图象向左平移个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象. （i）求的解析式及值； （ii）求在上的值域. 【答案】（1） （2）（i）；1；（ii）. 【解析】 【分析】（1）由图可知，，求出周期，再利用周期公式可求出，再将代入可求出，从而可求出的解析式； （2）（i）根据三角函数图象变换规律求出，进而可求；（ii）由求出的范围，再利用余弦函数的性质可求出其值域. 【小问1详解】 由图可知，，，所以，. 将点代入得，. 又，所以， 所以. 【小问2详解】 （i）将的图象向左平移个单位长度， 得， 再将所得图象的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得， 所以， 所以； （ii）因为，所以，， 所以， 所以， 所以， 故在上的值域为. （2027．新华中学高三上一月考） 18. 已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）记，证明数列是等比数列，并求数列的前项和； （3）记，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2）， ， ， 令， ，所以是首项，公比的等比数列， 前项和： （3） 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，根据题中条件列出关于首项与公差的方程组，求解出，的值，代入等差数列通项公式即可求解； 由得到的通项，先利用等差数列前项和公式求出，进而算出，得到的表达式，依据等比数列定义完成证明，再用等比数列求和公式求出前项和； 由的通项写出，找到绝对值内式子正负分界点，分情况讨论，结合等差数列求和公式分段求出前项和. 【小问1详解】 设等差数列公差为， 展开第二个方程：， 因为，所以， 代入， ， ， 故. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 ，， ①当时，，， 是首项，公差为的等差数列： ， ②当时，前项和， 当时，，从第项开始，首项，公差为， ，， ，， 综上，. 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）若有两个正零点，且． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 【答案】（1） （2） 当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； （3） （i）的取值范围． （ii）由（i）得，所以，， 两边同时取自然对数，得，， 两式相减得，即， 要证，只需证明， 即，所以， 令，只需证明，构造函数， 求导得，所以函数在上单调递增， 于是，所以不等式成立， 于是原不等式成立． 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求得，可求切线方程； （2）利用导数分析函数的单调性，从而得函数的单调区间； （3）（i）结合（2）的分析，确定满足的条件，从而求得的取值范围；（ii）通过构造函数证明对数均值不等式，从而证得. 【小问1详解】 当时，，求导得，所以， 又，所以切点为， 所以切线方程为，即； 【小问2详解】 由，求导得， 若，，所以在上单调递增； 若，令，得，解得， 当 时，，则在 上单调递减； 当 时，，则在 上单调递增； 综上所述：当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 【小问3详解】 （i）由题意知方程有两个不同的正实根， 由（2）知，且，所以， 解得，所以的取值范围． （ii）略 （2027．新华中学高三上一月考） 20. 已知函数． （1）当时，求证：； （2）当时，证明：； （3）若对恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）由，得. 要证只要证 令，则 当时，则单调递减， 当时，则单调递增，   所以则即 （2）当时，原不等式可化为， 设，则， 当时，单调递增； 当时，令， 则， 所以单调递增，所以，单调递减， 所以，原不等式得证. （3） 【解析】 【分析】（1）由，得，构造函数，求解单调性，即可证明； （2）原不等式可化为，利用导数求出的最小值即可得证； （3）求导得，令，则，分类讨论可求得的范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由已知可得， 令，求导可得， (1)当时，由，得，因此，满足题意. (2)当时，由，得，则在上单调递增. ①当时，，所以，即在单调递增， 所以在单调递增，所以， 则在上单调递增，所以满足题意.                       ②当时，，，则存在唯一的，使得， 且当时，，在上单调递减， 所以不满足题意.                              综上： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市新华中学2026-2027学年第一学期高三年级第一次月考 数学试卷 一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. （2027，新华中学高三上一月考） 2. 已知数列的通项公式为，则“为单调递增数列”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ） A. B. C. D. 4. 设等比数列的前项和为，若，则（　　） A. 8 B. 10 C. 14 D. 18 5. 已知定义在R上的函数为偶函数,记,则,的大小关系为 A. B. C. D. 6. 已知向量，，若向量在向量上的投影向量，则（ ） A. B. C. 3 D. 7 7. 已知正数，的等比中项是2，且，，则的最小值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 （2027．新华中学高三上一月考） 8. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 在区间上一定有最大值 B. 在区间上一定有最小值 C. 在区间上不一定单调 D. 在区间上一定单调 （2027．新华中学高三上一月考） 9. 已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则n的最大值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案填写在答题卡上． （2027．新华中学高三上一月考） 10. 已知i是虚数单位，则______． 11. 在数列中，，，则______． 12. 设钝角三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则________. （2027．新华中学高三上一月考） 13. 已知数列，满足，其中是等差数列且，则______，且______． 14. 在中，点M，N是线段上的两点，，，则_______________，的取值范围是______________. （2027．新华中学高三上一月考） 15. 已知函数，若关于x的方程有四个不同的根，它们从小到大依次记为，给出下列四个结论：①；②；③；④函数有8个零点；其中所有正确结论的序号是______． 三、解答题：本大题共5小题，共75分，将解题过程及答案填写在答题卡上． 16. 在中，内角所对的边分别为，设满足条件和， （1）求角和； （2）若，求的面积； （3）求． 17. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）若将的图象向左平移个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象. （i）求的解析式及值； （ii）求在上的值域. （2027．新华中学高三上一月考） 18. 已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）记，证明数列是等比数列，并求数列的前项和； （3）记，求数列的前n项和． 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）若有两个正零点，且． （i）求的取值范围； （ii）求证：． （2027．新华中学高三上一月考） 20. 已知函数． （1）当时，求证：； （2）当时，证明：； （3）若对恒成立，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $