2.1.1 倾斜角与斜率 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第二章 直线与圆的方程 2.1.1 倾斜角与斜率 01 情境导入 情境导入 勒奈·笛卡尔(René Descartes)，法国数学家、科学家和哲学家，1637年发表《几何学》，引入了坐标方法和用方程表示曲线的思想，被誉为“近代科学的始祖”. 皮耶·德·费马(Pierre de Fermat)，17世纪的法国律师，也是一位业余数学家，他独立于笛卡儿形成了用方程表示曲线的思想，被誉为“业余数学家之王”. 解析几何是17世纪法国数学家笛卡儿和费马创立的，它的基本内涵和方法是：通过坐标系，把几何的基本元素—点和代数的基本对象—数(有序数对或数组)对应起来，在此基础上建立曲线(点的轨迹)的方程，从而把几何问题转化为代数问题，再通过代数方法研究几何图形的性质. 解析几何的创立是数学发展史上的一个里程碑，数学从此进入变量数学时期，它为微积分的创建奠定了基础. 坐标法：以坐标系为桥梁，把几何问题转化成代数问题. 情境导入 我们知道，点是构成直线的基本元素. 在平面直角坐标系中，可以用坐标表示点，那么，如何用坐标表示直线呢? 为了用代数方法研究直线的有关问题，本节我们首先在平面直角坐标系中探索确定直线位置的几何要素，然后用代数方法把这些几何要素表示出来. 问题提出 02 直线的倾斜角 思考2 已知直线 l 经过点P，直线l 的位置能够确定吗? 不确定.过一个点有无数条直线. 思考3 这些直线之间有什么位置上的区别? 它们相对于x轴的倾斜程度不同. 思考1 在直角坐标系中，过点 P 的一条直线绕点 P 旋转，不管旋转 多少周，它对x轴的相对位置有几种情形? 如何描述直线相对于x轴的不同的倾斜程度呢? 相交、平行 新知讲解 直线的倾斜角 当直线与x轴相交时，我们取x轴为基准，x轴的正方向与直线 l 向上的方向之间所成的角α 叫做直线 l 的倾斜角． 规定：直线 l 与 x 轴平行或重合时，它的倾斜角为0°. 故直线的倾斜角的范围是 0≤α<180． 思考：倾斜角相同能确定一条直线吗? x o y 一点+倾斜角 确定一条直线 新知讲解 α O x y 直线倾斜角的意义： 体现了直线对x轴正方向的倾斜程度. (1)平面直角坐标系中每一条直线都有确定的倾斜角； (2)倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角； 倾斜程度相同的直线其倾斜角相同. 新知讲解 1.给出下列命题： (1)任意一条直线都有唯一的倾斜角； (2)一条直线的倾斜角可以为30π； (3)倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴； (4)若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0，1)； 其中正确命题是________． 概念辨析 3.如图，直线l的倾斜角为(　　) A．30° 　B．150° C.60° D．120° 概念辨析 2.下图中标出的直线的倾斜角中正确的有_____个． 03 直线的斜率 探究：在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α. (1)已知直线l经过O(00)，P()，α与O，P的坐标有什么关系? 　如图，＝()，由正切函数的定义，得tanα. 新知讲解 探究：在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α. (2)类似地，如果直线l经过P1(10)，P2(12)，α与P1，P2的坐标 有什么关系? 如图，(22)，平移到，则点P的坐标为(22)，且直线OP的倾斜角也是α. 由正切函数的定义，有 tanα1 新知讲解 探究：在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α. (3)一般地，如果直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，那么 α与P1，P2的坐标有怎样的关系? 新知讲解 ①如图，当向量的方向向上时，(x2x1，y2y1)．平移 到，则点P的坐标为(x2x1，y2y1)，且直线OP的倾斜角 也是α.由正切函数的定义，有 tanα 探究：在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α. (3)一般地，如果直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，那么 α与P1，P2的坐标有怎样的关系? 新知讲解 ②如图，当向量的方向向上时，(x1x2，y1y2)．平移 到，则点P的坐标为(x1x2，y1y2)，且直线OP的倾斜角 也是α.由正切函数的定义，有 tanα 直线的斜率 我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，用小写 字母 k 表示，即 ktanα . (α≠90°) 新知讲解 注意： (1)直线必定有倾斜角，但不一定有斜率； (2)如果直线经过两点P1(x1， y1)， P2(x2， y2)， x1≠x2，则直线的斜率为 ktanα (3)日常生活中常用“坡度”表示斜面的倾斜程度. 坡度铅直高度/水平宽度 思考：当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°时, 其斜率k如何变化? 当0°≤<90°时， k>0， 且k随的增大而增大. 当90°<<180°时， k<0，且k随的增大而增大. O 新知讲解 ∴若直线一个方向向量的坐标为(x，y)，则. 方向向量 直线AB上的向量以及与它平行的向量都是直线的方向向量. 若直线AB的斜率为k，则它的一个方向向量是： 也可以是 新知讲解 例题剖析 【例1】 (1)在直角坐标系中，一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为(　 ) A．30° B．60° C．120° D．150° (2)过点M(，)、N(，)的直线的斜率是(　 ) A．1 B．－1 C．2 D. 【练习】 (1)若过A(4，y)，B(2，3)两点的直线的一个方向向量为(1，1)， 则y______. (2)已知A(3，5)，B(4，7)，C(1，x)三点共线，则 x 等于 ( ) A.1 B.1 C.3 D.3 (3)点M(x，y)在函数2x+8的图象上，当x∈[2，5]时， 求的取值范围. 举一反三 可看作过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率问题. 04 课堂小结 课堂小结 倾斜角与斜率 $