2.1.1 倾斜角与斜率课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第二章 直线和圆的方程 2.1.1 倾斜角与斜率 32100 想一想：如图，是我们在公园中经常能看到到的“跷跷板”，观察图中跷跷板的位置固定吗？我们如何描述某一时刻跷跷板的位置呢？ 情景导入 32100 1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素. 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念. 3. 掌握求直线斜率的两种方法，并理解推导过程. 学习目标 32100 思考1：确定一条直线的几何要素是什么？对于平面直角坐标系中的一条直线，如何利用坐标系确定它的位置？ x y O l 两点确定一条直线 结论:一点和一方向确定一条直线 为直线 的方向向量 一、直线的倾斜角 新知讲解 32100 思考2：在平面直角坐标系中，经过一点可以作无数条直线，它们组成一个直线束(如图)，这些直线的区别是什么？ 我们规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向. 一点和一方向确定一条直线 因此这些直线的区别是方向不同，相对于x轴的倾斜程度不同． 与轴所成的角不同 表示 32100 1．倾斜角的定义 (1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴 与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． (2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°． 2．倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围为_______________． 正向 0°≤α<180° p o y x p o y x p o y x y p o x 归纳 32100 (1)从运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由x轴绕一定点按逆时针方向旋转到与直线重合时所得到的最小正角(未作旋转时倾斜角为0°)． (2)倾斜角从“形”的方面体现了直线对x轴的倾斜程度，倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等． p o y x p o y x p o y x y p o x 32100 例1 (多选)下列命题中，正确的是( ) A.任意一条直线都有唯一的倾斜角 B.一条直线的倾斜角可以为－30° C.倾斜角为0°的直线有无数条 D.若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0,1) √ √ 倾斜角不可能为负 有无数条，且都垂直于y轴 当α＝0°时，sin α＝0 当α＝90°时，sin α＝1 AC 例题讲解 32100 例2.(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为( ) A.α＋45° B.α－135° C.135°－α D.α－45° AB 分析：根据题意，画出图形，如图所示. 通过图象可知， 当0°≤α<135°时，l1的倾斜角为α＋45°； 当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°. 32100 1.如图，直线l的倾斜角为(　　) C 倾斜角的定义：以轴为基准，轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角. 巩固练习 32100 2.（变式）若直线经过第二、四象限，则直线的倾斜角的取值范围是( ). A. B. C. D. 答案：C. 解：直线倾斜角的取值范围是，又直线经过第二、四象限，所以直线的倾斜角的取值范围是. 思考3：直线的倾斜角刻画了它的倾斜程度，否还能用其他方法刻画直线的倾斜程度呢? 巩固练习 32100 设，(其中)是直线上的两点.由两点确定一条直线可知，直线由点，唯一确定.所以，可以推断，直线的倾斜角一定与两点的坐标有内在联系. 二、直线的斜率 新知讲解 32100 思考4：在平面直角坐标系中，设直线的倾斜角为. (1)已知直线经过，，与，的坐标有什么关系？ (2)类似地，如果直线经过，，与，的坐标又有什么关系？ (3)一般地，如果直线经过两点，，，那么与，的坐标有怎样的关系？ 利用向量法探究 (1) (2) (3) 32100 问题(1)，如图，向量，且直线的倾斜角为.由正切函数的定义，有 问题(2)，如图，向量 .平移向量到，则点的坐标为 ，且直线的倾斜角也是.由正切函数的定义，有 32100 一般地，如图，当向量的方向向上时，且直线的倾斜角也是，由正切函数的定义，有 同样，当向量的方向向上时，如图，，也有 32100 思考5：当直线与轴平行或重合时，该式子还成立吗？为什么？ 直线的倾斜角与直线上的两点，的坐标有如下关系： .① 我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母表示，即 .② 32100 倾斜角 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150° 斜率 思考6：当直线的倾斜角由逐渐增大到时，其斜率如何变化？ 斜率范围：（-∞，+∞） 注意：（1）倾斜角是90°的直线没有斜率. （2）直线都有倾斜角，但不一定都有斜率. 填一填： 32100 图示         倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) 倾斜角 零角 锐角 直角 钝角 1.斜率与倾斜角对应关系 k＝0 k>0 不存在 k<0 归纳 32100 经过两点 的直线的斜率公式： 2.斜率公式： 注意：当x1＝x2时，直线P1P2的斜率不存在． 思考7：(1)已知直线上的两点，，运用上述公式计算直线的斜率时，与，两点的顺序有关吗？ (2)当直线平行于轴，或与轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？ 无关 32100 (2)当直线平行于轴，或与轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？ 倾斜角为90°的直线是没有斜率的， 倾斜角不是90°的直线都有斜率. 不适用，因为分母为零. 32100 直线上的向量以及与它平行的非零向量都是直线的方向向量. 直线的方向向量的坐标为. 当直线与轴不垂直时，.此时向量也是直线的 方向向量，且它的坐标，即，其中 是直线的斜率. 因此，若直线的斜率为，它的一个方向向量的坐标为，则. 3.直线的方向向量与斜率的关系 32100 3.经过A(0, 2), B(-1, 0)两点的直线的方向向量为(1, k)，求k的值. 巩固练习 32100 例3.如图，已知，，，求直线，，的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角. 解：直线的斜率； 直线的斜率； 直线的斜率. 由及可知，直线与的倾斜角均为锐角； 由可知，直线的倾斜角为钝角. 例题讲解 32100 4.[多选]已知点的坐标为，在坐标轴上有一点，若，则点的坐标可能为（ ）. A. B. C. D. 答案：CD. 解：设或， ∵或， ∴或，∴，， ∴点的坐标为或.故选CD. 巩固练习 32100 5.已知直线l过点M(m+1，m-1)，N(2m，1). (1)当m为何值时，直线l的斜率是1? (2)当m为何值时，直线l的倾斜角为90°? 解：(1)，解得m＝. (2)直线l的倾斜角为90°，即直线l平行于y轴，∴m+1＝2m，得m＝1. 巩固练习 32100 解决斜率问题的方法： (1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式解决； (2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式求解； (3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合列公式求解. 归纳 32100 根据以下关键词，回顾本节课所学知识： 1.确定一条直线的条件： 2.直线的倾斜角： 3.斜率的定义： 4.斜率公式： 5.斜率与倾斜角的对应关系. 课堂小结 32100 1.定义： 2. 一点和一个方向 课堂小结 32100 A. B. C. D. $