2.1 认识一元二次方程 导学案 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

2.1 认识一元二次方程 导学案 · 2026—2027学年 北师大版数学九年级上册 第二章 一元二次方程 · 2 课时 · 教材 P31—P34 姓名：__________ 班级：__________ 日期：__________ 一、学习目标与重难点 【学习目标】 • 能从「铺地毯」「找连续整数」「梯子下滑」三个实际问题中找出等量关系、列出方程，并把三个方程的相同点说出来，知道什么是一元二次方程。 • 知道一元二次方程的一般形式是 a+bx+c=0（a、b、c 为常数，a 不等于 0），会说清二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项各指什么，会把一个方程化成一般形式并写出各项系数。 • 知道一元二次方程的解（也叫根）的意义，会用代入检验法判断一个数是不是方程的根；会用「夹逼」法估计一元二次方程的近似解。 【重点】一元二次方程的定义与一般形式；把方程化成一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项。 【难点】抄各项系数时符号不出错；用「夹逼」法把解的范围一步一步缩小。 【我的预习安排】 教材页码 预习内容 我要做到 完成 P31 三个情境（铺地毯、连续整数、梯子下滑）与三个方程 把三个方程各列一遍，看看它们和一元一次方程哪里不一样 ○ P32 一元二次方程的定义、一般形式与随堂练习 把一般形式的五个名称背下来，各举一个例子 ○ P33 一元二次方程的解（根）与《习题2.1》第3题 随便取几个数代进方程算一算，看左右两边是否相等 ○ P34 用「夹逼」法估算一元二次方程的近似解 把估算用的表格动手算一遍 ○ 二、课前自主学习 七年级上册学过一元一次方程，八年级上册学过二元一次方程组，它们都只含未知数的一次项。这一节要研究的方程，未知数的最高次数是 2，叫做一元二次方程。教材从三个实际问题出发：一块矩形地面正中间铺一块地毯、找五个连续整数、梯子沿墙下滑；三个问题列出的方程长得都不一样，可它们整理之后都是同一个样子。这一节要做两件事：一是认清这个「同一个样子」，二是学会估计它的解大约是多少。 • 1. 填空：只含有__________个未知数 x 的整式方程，并且都可以化成 a+bx+c=0（a、b、c 为常数，a 不等于 0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。 我写： • 2. 填空：一元二次方程的一般形式是__________；其中 a 叫做__________，a 叫做__________，bx 叫做__________，b 叫做__________，c 叫做__________。 我写： • 3. 填空：一元二次方程必须同时满足三个条件：只含有一个未知数；未知数的最高次数是__________；方程两边都是__________。 我写： • 4. 填空：使一元二次方程左右两边__________的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的__________。 我写： • 5. 填空：估计一元二次方程的近似解，先根据实际问题的意义确定解的__________，再通过列表计算，一步一步__________解的范围。 我写： ◆ 课前速记 • 一个定义：只含有一个未知数、未知数的最高次数是 2 的整式方程，叫做一元二次方程。 • 一个形式：一般形式 a+bx+c=0（a、b、c 为常数，a 不等于 0）；五个名称——二次项 a、二次项系数 a、一次项 bx、一次项系数 b、常数项 c。 • 一个方法：估算用「夹逼」——先定范围，再列表计算，一步一步缩小范围，得到近似解。 温馨提示：预习时把 a+bx+c=0 默写三遍，顺手在旁边写上「a 不等于 0」。最容易漏的正是这个条件——只要 a 取 0，二次项就没了，方程就不是一元二次方程了。 三、课中合作探究 这一节分两个课时走完，一共八个渡口。渡口一到渡口四是第 1 课时：先把三个实际问题变成三个方程，再从它们身上找出共同的「样子」，得到一元二次方程的定义与一般形式，然后把方程化成一般形式、指出各项系数。渡口五到渡口八是第 2 课时：先弄清什么是方程的根，再用「夹逼」法估计近似解，最后回到实际问题里列方程、动手检验。走完这八个渡口，这一节就完整了。 ◆ 渡口一 三个实际问题，三个方程 情境一（铺地毯）：如图1，幼儿园某教室矩形地面的长为 8 米、宽为 5 米，现准备在地面的正中间铺设一块面积为 18 平方米的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同。你能求出这个宽度吗？（课本 P31） 图1 地面与地毯 ( D C A B H G E F x ) 外面这个四边形 ABCD 是矩形地面，里面这个四边形 EFGH 是地毯，四周条形区域的宽度相同；左侧这条条形区域的宽度就是题目要求的那段距离 图1 矩形地面 ABCD 与正中铺设的地毯 EFGH，四周条形区域等宽（对应课本 P31） 分析：设所求的宽度为 x 米，那么地毯的长为 (8-2x) 米、宽为 (5-2x) 米。根据「地毯的面积是 18 平方米」，得 (8-2x)(5-2x)=18。去括号、移项、合并同类项：40-16x-10x+4=18，得 4-26x+22=0；两边都除以 2，得 2-13x+11=0。 情境二（找连续整数）：观察等式 ++=+，你还能找到其他五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？（课本 P31） 分析：设五个连续整数中的第一个数为 x，那么后面四个数依次是 x+1、x+2、x+3、x+4。根据「前三个数的平方和等于后两个数的平方和」，得 ++=+。把两边分别展开再合并同类项：3+6x+5=2+14x+25，移项得 -8x-20=0。 情境三（梯子下滑）：如图2，一个长为 10 米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 米。如果梯子的顶端下滑 1 米，那么梯子的底端滑动多少米？（课本 P31） 图2 梯子与墙、地面 ( B D A C x E ) 竖着的那条线是墙，横着的那条线是地面，墙角处成直角；实线画的是下滑前的梯子，虚线画的是下滑后的梯子；地面上 C 到 E 的这段距离就是要求的那段滑动距离 图2 墙与地面、梯子下滑前 AB—BC 与下滑后 AD—DE 两个位置（对应课本 P31） 分析：墙与地面成直角，滑动前梯子与墙、地面组成直角三角形，由勾股定理知梯子底端距墙 ==6（米）。设梯子底端滑动 x 米，则滑动后梯子顶端距地面 8-1=7（米），底端距墙 (x+6) 米，得 +=。整理：49++12x+36=100，得 +12x-15=0。 三个问题来自三件完全不同的事，列出来的方程却是同一个模子：都只含一个未知数 x，未知数的最高次数都是 2，两边都是整式。下面就把这个共同的「模子」正式取个名字。 • 练一练：（1）情境一中未知数 x 表示什么？说说为什么 x 一定小于 2.5。（2）把三个方程摆在一起看：它们各含几个未知数？未知数的最高次数是几？方程两边都是什么式？ 我写： 温馨提示：三个情境里「设未知数」这一步最关键——未知数设得好，等量关系就写得短。铺地毯设条形区域的宽，找整数设第一个数，梯子下滑设底端滑动的距离，都是为了把题目里的量顺着一个方向写下去。 ◆ 渡口二 一元二次方程的定义与三个必备条件 把三个方程的共同点说出来，就是一元二次方程的定义：只含有一个未知数 x 的整式方程，并且都可以化成 a+bx+c=0（a、b、c 为常数，a 不等于 0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。（课本 P31） 照着定义数一数，一元二次方程必须同时满足三个条件：第一，只含有一个未知数；第二，未知数的最高次数是 2；第三，方程两边都是整式。三条缺一条都不行。 按这三条去分辨：2x+1=0 只含一个未知数、两边是整式，可最高次数是 1，它是一元一次方程；+y=1 含 x、y 两个未知数，不是；+x=2 的未知数跑到了分母上，是分式方程，也不是整式方程；+2x=0 的最高次数是 3。它们都不是一元二次方程。 • 练一练：（1）下列方程中哪些是一元二次方程？① -3x=0；② 2x+1=0；③ +=1；④ 3=5。（2）「=3 是一元二次方程」这句话对吗？如果对，请说出它的二次项系数、一次项系数和常数项。 我写： 温馨提示：判断是不是一元二次方程，别急着看长相，先把方程整理一遍。像 3=5 这样右边不是 0 的，要先把右边的项移过来，写成 3-5=0 再判断；只要整理之后能化成 a+bx+c=0 且 a 不等于 0，它就是一元二次方程。 ◆ 渡口三 一般形式与五个名称 a+bx+c=0（a、b、c 为常数，a 不等于 0）叫做一元二次方程的一般形式。（课本 P31）一般形式里有五个名称：a 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。 为什么规定 a 不等于 0？因为只要 a 取 0，二次项 a 就整个消失了，方程变成 bx+c=0，最高次数只剩下 1，就不再是一元二次方程了。至于 b 和 c，它们可以取 0：b 取 0 时方程里没有一次项，c 取 0 时方程里没有常数项，例如 =0、-1=0、+3x=0 都是一元二次方程。 把渡口一得到的三个方程各整理一遍，抄出它们的各项系数： 来源 列出的方程 化成一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 铺地毯 (8-2x)(5-2x)=18 2-13x+11=0 2 -13 11 连续整数 ++=+ -8x-20=0 1 -8 -20 梯子下滑 += +12x-15=0 1 12 -15 • 练一练：（1）写出一元二次方程 3-5x+1=0 的二次项系数、一次项系数和常数项。（2）一元二次方程 4-7=0 的二次项系数是几？它的常数项是几？ 我写： 温馨提示：抄系数之前先把方程按 x 的降幂排好，写成「二次项、一次项、常数项」的顺序，系数就跟着项走。特别提醒：4-7=0 要改写成 -7+4=0 再抄，二次项系数是 -7 而不是 7。 ◆ 渡口四 把方程化成一般形式（随堂练习） 化一般形式一共四步：第一步去括号，把括号里的每一项都乘开；第二步移项，把右边的项全部移到左边，使右边为 0；第三步合并同类项；第四步按 x 的降幂排列，写成 a+bx+c=0 的样子。 随堂练习（课本 P32）第2题：把方程 =4 化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。 解：左边展开，=9+12x+4；右边先算 =-6x+9，再乘 4，得 4-24x+36。两边相减并合并同类项：9+12x+4-4+24x-36=0，得 5+36x-32=0。所以二次项系数是 5，一次项系数是 36，常数项是 -32。（课本 P32） • 练一练：（1）把方程 3x(x-2)=5 化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。（2）把方程 2(-1)=3x 化成一般形式。 我写： 温馨提示：括号前有负号时最容易出错。移项那一步等于给右边的每一项都变号，例如把 3=5x-1 化成一般形式，移项后是 3-5x+1=0，一次项系数是 -5、常数项是 1；写成 3-5x-1=0 就错了。 ◆ 渡口五 一元二次方程的解（根） 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。（课本 P33）判断一个数是不是方程的根，用代入检验法：把这个数分别代入方程的左右两边，算出两边的值——相等，它就是方程的根；不相等，它就不是。 随堂练习（课本 P32）第1题：如图3，根据题意列出一元二次方程——已知直角三角形的三边长为连续整数，求它的三边长。 图3 三边为连续整数的直角三角形 ( A B C ) 这个三角形里直角在顶点 B；三条边的长度是三个连续整数，最长的那条边是斜边 AC 图3 直角三角形 ABC，直角顶点是 B，斜边是 AC（对应课本 P32 随堂练习） 解：设较短的一条直角边长为 x，那么另一条直角边长为 x+1，斜边长为 x+2。由勾股定理得 +=。整理：++2x+1=+4x+4，得 -2x-3=0。 用代入检验法试出它的根：把 x=3 代入左边，-2×3-3=9-6-3=0，等于右边 0，所以 x=3 是这个方程的根；再试 x=-1，代入得 1+2-3=0 也成立，但边长不能是负数，要舍去。把 x=3 代回原设，三边长依次是 3、4、5；用勾股定理验算，+=9+16=25=，符合题意。所以这个直角三角形的三边长分别是 3、4、5。（课本 P32） • 练一练：（1）判断 x=2 是不是方程 -2x-3=0 的根，请写出代入计算的过程。（2）写出一个以 x=1 为根的一元二次方程。（写出一个即可） 我写： 温馨提示：一个一元二次方程的根可以不止一个，求出根以后要回到实际问题里检查——像直角三角形的边长、地毯的宽度、竹竿的长度，这些都必须是正数，不符合实际意义的根要舍去。 ◆ 渡口六 用「夹逼」法估算一元二次方程的近似解 有些方程一时看不出根是多少，可以先估一估它大约是多少，方法是「夹逼」：第一步，根据实际问题的意义确定解的大致范围；第二步，在这个范围里有规律地取一些数，代入方程左边算一算；第三步，如果一个数使左边的值大于 0、另一个数使左边的值小于 0，那么方程的根就在这两个数之间；第四步，把范围一步一步缩小，就得到近似解。（课本 P34） 做一做1：铺地毯时宽 x 满足方程 (8-2x)(5-2x)=18，也就是 2-13x+11=0。因为地毯的长与宽都必须大于 0，所以 0<x<2.5。在这个范围里按 0.5 的间隔取值，算一算 2-13x+11 的值： x 0.5 1 1.5 2 2.5 2-13x+11 5 0 -4 -7 -9 x=1 时左边正好等于 0，所以 x=1 就是方程的根；检验一下：(8-2×1)(5-2×1)=6×3=18，与题目的 18 平方米相符。所以四周未铺地毯的条形区域的宽是 1 米。（课本 P33） 做一做2：梯子底端滑动的距离 x 满足方程 +=，也就是 +12x-15=0。滑动距离是正数，先取整数试算： x 1 2 +12x-15 -2 13 一个使左边的值小于 0、一个大于 0，所以根在 1 与 2 之间。再把范围缩到十分位：x=1.1 时，1.21+13.2-15=-0.59；x=1.2 时，1.44+14.4-15=0.84，一负一正，所以根在 1.1 与 1.2 之间。也就是说，x 的整数部分是 1，十分位是 1，梯子底端大约滑动了 1.1 米。（课本 P34） • 练一练：（1）用「夹逼」法估算一元二次方程 -2x-4=0 的一个正数解。（精确到 0.1）（2）承做一做1，方程 2-13x+11=0 除 x=1 外还有一个根是 5.5，它符合「条形区域的宽」这个实际意义吗？为什么？ 我写： 温馨提示：列表取值要「有规律」——先按 1 或 0.5 的间隔试出整数部分，再按 0.1 的间隔试出十分位。每算一次都要看清楚代数式的值是正是负：一正一负，根就在这两个数之间；同正或同负，还要继续往外试。 ◆ 渡口七 列一元二次方程（《习题2.1》第1题与第3题） 列方程的本事要在实际问题里练。教材《习题2.1》有三道题，前两道先看。 第1题(1)（课本 P32）：如图4，有一面积为 54 平方米的长方形，将它的一边剪短 5 米、另一边剪短 2 米，恰好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少？ 图4 长方形剪短后成为正方形 ( D C A B E F G ) 外面这个四边形 ABCD 是原来的长方形，里面这个四边形 AEFG 是剪短以后得到的正方形；正方形与长方形共用左下角这个顶点，另外两条边分别是剪短 5 米与剪短 2 米之后剩下的部分 图4 长方形 ABCD 的一边剪短 5 米、另一边剪短 2 米后得到的正方形 AEFG（对应课本 P32 习题2.1第1题） 解：设这个正方形的边长为 x 米，那么原长方形的长为 (x+5) 米、宽为 (x+2) 米。根据「原长方形的面积是 54 平方米」，得 (x+5)(x+2)=54。去括号、移项：+7x+10=54，得 +7x-44=0。（课本 P32） 用代入检验法试出它的根：把 x=4 代入左边，+7×4-44=16+28-44=0，所以 x=4 是方程的根；代回原式检验，(4+5)(4+2)=9×6=54，与题目的 54 平方米相符。所以这个正方形的边长是 4 米。 第1题(2)（课本 P32）：三个连续整数两两相乘，再求和，结果是 242，这三个数分别是多少？（课本 P32） 解：设其中最小的一个数为 x，另外两个数依次是 x+1、x+2。根据题意，得 x(x+1)+x(x+2)+(x+1)(x+2)=242。展开、合并同类项：+x++2x++3x+2=242，得 3+6x+2=242，移项整理得 +2x-80=0。把 x=8 代入检验：+2×8-80=64+16-80=0，成立；这时三个数是 8、9、10，两两相乘再求和，8×9+8×10+9×10=72+80+90=242，符合题意。所以这三个数是 8、9、10。 第3题（课本 P33）：如图5，从前有一天，一个笨汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽 4 尺，竖着比门框高 2 尺，他的邻居教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个笨汉一试，不多不少刚好进去了。你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程。 图5 门框与斜着拿的竹竿 ( A B C D ) 外面的四边形 ABCD 是门框；门框里斜着的那条线段就是竹竿，它正好是门框的对角线，一头搭在门框左下角的顶点上、另一头搭在右上角的顶点上 图5 矩形门框 ABCD 与沿对角斜着拿进屋的竹竿 DB（对应课本 P33 习题2.1第3题） 解：设竹竿的长为 x 尺，那么门框的宽为 (x-4) 尺、高为 (x-2) 尺。因为竹竿沿着门的两个对角斜着拿刚好进去，它正好是门框的对角线，由勾股定理得 +=。展开、合并同类项：-8x+16+-4x+4=，得 -12x+20=0。把 x=10 代入检验：-12×10+20=100-120+20=0，成立；这时门框宽 10-4=6（尺）、高 10-2=8（尺），+=36+64=100=，正好满足勾股定理。所以竹竿长 10 尺。（课本 P33） • 练一练：（1）承第1题(1)，把 x=4 代入 (x+5)(x+2) 算一算，左边等于多少？是否等于 54？（2）承第3题，若竹竿长 10 尺，求门框的宽与高，并检验它们是否满足勾股定理。 我写： 温馨提示：这三道题的等量关系各不相同——第1题靠面积，第1题(2)靠和，第3题靠勾股定理。列方程之前先在心里说一句「这道题的等量关系是什么」，等量关系找到了，方程就出来一半了。 ◆ 渡口八 建模与检验（靠墙围矩形花园） 再练一道需要自己设未知数的题。如图6，用一段长 20 米的篱笆围成一个矩形花园，花园的一边靠墙（墙足够长），花园的面积是 48 平方米。设垂直于墙的一边长为 x 米，列出关于 x 的一元二次方程，并化成一般形式。 图6 靠墙围矩形花园 ( A B C D ) 左边那条粗线是墙，靠墙的这一边不用篱笆；四边形 ABCD 是花园，另外三条边是用篱笆围成的，篱笆一共长 20 米 图6 墙与矩形花园 ABCD，花园有一边靠墙、另外三边用篱笆围成 解：垂直于墙的一边长为 x 米，这样的边有两条，共用篱笆 2x 米；篱笆一共 20 米，所以平行于墙的一边长为 (20-2x) 米。根据「花园的面积是 48 平方米」，得 x(20-2x)=48。去括号、移项：20x-2=48，得 2-20x+48=0；两边都除以 2，得 -10x+24=0。把 x=4 代入检验：-10×4+24=16-40+24=0，成立；这时平行于墙的一边长 20-2×4=12（米），面积 4×12=48（平方米），符合题意。 把这一节用到的思路收成建模三步：第一步审题，找出题目里的等量关系（面积、勾股定理、和差倍分）；第二步设未知数，把等量关系里的各个量都用含 x 的代数式写出来；第三步根据等量关系列出方程，并整理成 a+bx+c=0 的一般形式。 • 练一练：（1）承上面的问题，若把花园的面积改成 50 平方米，所列方程化成一般形式后是什么？（2）一元二次方程 -10x+24=0 除了 x=4，还有别的根吗？请用代入检验法试出另一个根。 我写： 温馨提示：同一个方程可以有两个正根，却未必都符合题意。像这道题里 x=4 与 x=6 都能围出面积 48 平方米的花园，所以两个根都保留；可要是换成渡口六里的地毯，5.5 这个根就一定要舍去。判断的标准只有一个——代回实际问题里看它讲不讲得通。 四、当堂达标检测 下面 A、B、C 三组题请独立完成，把过程写在空白处，写完再对照后面的参考答案。 ◆ A 组（基础） • 填空：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是__________的整式方程，叫做一元二次方程。 • 选择：下列方程中，是一元二次方程的是（ ）A. 2x+1=0 B. -3x=0 C. +x=2 D. +y=1 • 填空：一元二次方程 3-5x+1=0 的二次项系数是__________，一次项系数是__________，常数项是__________。 我写： ◆ B 组（提高） • 把方程 3x(x-2)=5 化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。（对应课本 P32 随堂练习） • 若 x=2 是一元二次方程 +mx-6=0 的一个根，求 m 的值。（对应课本 P33 一元二次方程的解） 我写： ◆ C 组（拓展） • 用「夹逼」法估算一元二次方程 -2x-1=0 的一个正数解，并写出每一次的取值与对应的代数式的值。（精确到 0.1） • 一个直角三角形的斜边长是 13，两条直角边的长相差 7。设较短的一条直角边长为 x，列出关于 x 的一元二次方程，并化成一般形式。 我写： 温馨提示：B 组第 1 题是「化简再抄系数」，第一步去括号得 3-6x=5，第二步移项得 3-6x-5=0，系数一次抄准。B 组第 2 题用的是「根的定义」——既然 x=2 是根，代进去两边就相等，于是得到一个关于 m 的一元一次方程，先解出 m 再往下算。C 组第 2 题别忘了「两条直角边相差 7」这句话：较短边是 x，较长边就是 x+7。 温馨提示：C 组第 1 题列表时至少写到两组「一正一负」，第一组定整数部分，第二组定十分位；只写一组「一正一负」还不能说明精确到 0.1 的结果。 五、课堂归纳总结 ◆ 知识梳理 • 定义：只含有一个未知数 x 的整式方程，并且都可以化成 a+bx+c=0（a、b、c 为常数，a 不等于 0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。（课本 P31） • 一般形式：a+bx+c=0（a、b、c 为常数，a 不等于 0）。（课本 P31） • 五个名称：a 叫做二次项、a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项、b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。（课本 P31） • 三个条件：只含有一个未知数；未知数的最高次数是 2；方程两边都是整式。b 和 c 可以取 0，a 一定不等于 0。 • 解（根）：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解，也叫做方程的根；用代入检验法判断。（课本 P33） • 估算：先根据实际意义确定解的大致范围，再列表计算，一步一步把范围缩小，得到近似解。（课本 P34） 把本节出现的方程按「先整理、后抄系数」的路子过一遍，抄系数时照着下表的位置对： 原来的方程 化成一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 3=5x-1 3-5x+1=0 3 -5 1 (x+2)(x-1)=6 +x-8=0 1 1 -8 4-7=0 -7+4=0 -7 0 4 =4 5 5 36 -32 ◆ 易错清单 • 误：把一般形式里的 a 当成可以取 0。正：a 一定不等于 0；a 取 0 时二次项就没了，方程不再是一元二次方程。 • 误：忽略「整式方程」这一条，把 +x=2 这类方程当成一元二次方程。正：未知数在分母上的方程是分式方程，不是整式方程。 • 误：抄一次项系数和常数项时把负号丢了。正：先把方程整理成一般形式，再照着位置抄，负号跟着项一起走。 • 误：把估算得到的近似解当成精确解。正：估算得到的是近似解，要写清精确到哪一位；判断一个数是不是根，必须用代入检验法算准。 • 误：求出根就直接当答案，不回实际问题里检查。正：地毯的宽、三角形的边长、竹竿的长都必须是正数，不合题意的根要舍去。 ◆ 思想方法 • 模型思想：从实际问题里找出等量关系，再把等量关系写成方程——方程就是刻画现实世界数量关系的一个模型。 • 从特殊到一般：三个来源不同的方程长得都不一样，整理之后却是同一个样子，于是才有了「一元二次方程」这个统一的名字。 • 估算与逼近：一时算不出精确解，就用「夹逼」法一步一步缩小范围，照样能知道解大约是多少。 我写： 六、课后巩固训练 课后先独立完成 A、B、C 三组题，再做课本上的教材练习与《习题2.1》。做题时记住三件事：先整理成一般形式，再抄各项系数；写系数时负号不能丢；估算题要写清精确到哪一位，根求出来以后还要回实际问题里检查。 ◆ A 组（基础巩固） • 填空：一元二次方程的一般形式是__________；其中 a 叫做__________，b 叫做__________，c 叫做__________。 • 填空：方程 5=1-6x 化成一般形式是__________，它的二次项系数是__________，一次项系数是__________，常数项是__________。 我写： ◆ B 组（能力提升） • 把方程 =3x(x+2) 化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。 • 若 x=-1 是一元二次方程 +ax+2=0 的一个根，求 a 的值；再判断 x=2 是不是这个方程的根。 我写： ◆ C 组（综合拓展） • 用「夹逼」法估算一元二次方程 +2x-5=0 的一个正数解。（精确到 0.1） • 一个长方形的长比宽多 3 厘米，面积是 40 平方厘米。设宽为 x 厘米，列出关于 x 的一元二次方程，并化成一般形式。 我写： ◆ 课本练习 • 教材练习（《习题2.1》第1题）：（1）有一面积为 54 平方米的长方形，将它的一边剪短 5 米、另一边剪短 2 米，恰好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少？（2）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为 242，这三个数分别是多少？ • 教材练习（《习题2.1》第2题）：把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：3=5x-1；(x+2)(x-1)=6；4-7=0。 • 教材练习（《习题2.1》第3题）：笨汉拿着竹竿进屋，横着比门框宽 4 尺、竖着比门框高 2 尺，沿着对角斜着拿刚好进去。设竹竿长为 x 尺，列出方程并化成一般形式。 ◆ 中考真题小练 • (2026年·浙江杭州) 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）A. x+3=0 B. -4=0 C. x+y=5 D. =1 • (2026年·江苏南京) 把方程 2x(x-3)=1 化成一元二次方程的一般形式后，它的常数项是（ ）A. 1 B. -1 C. 6 D. -6 • (2026年·福建厦门) 若 x=-1 是一元二次方程 +ax+2=0 的一个根，则 a 的值是__________。 • (2026年·辽宁沈阳) 下列各数中，是一元二次方程 +2x-8=0 的解的是（ ）A. -4 B. -2 C. 3 D. 4 • (2026年·四川成都) 用「夹逼」法估算一元二次方程 -2x-1=0 的一个解，精确到 0.1 时这个解是__________。 • (2026年·湖北武汉) 若关于 x 的方程 (m-2)+3x-5=0 是一元二次方程，则 m 满足的条件是__________。 七、学后反思与方程模型小结 ◆ 我的收获 • 我知道了三个来源完全不同的方程可以长得一模一样：都只含一个未知数、最高次数是 2、两边都是整式，于是它们有了同一个名字——一元二次方程。 • 我学会了把方程整理成一般形式 a+bx+c=0，并能照着位置抄出二次项系数、一次项系数和常数项；我还记住了 a 一定不等于 0，b 和 c 却可以取 0。 • 我学会了用代入检验法判断一个数是不是方程的根，也会用「夹逼」法估出方程的近似解；求出的根还要回到实际问题里检查一遍，不合题意的要舍去。 ◆ 我的疑问 • 一个一元二次方程到底有几个根？渡口八那道题里 x=4 与 x=6 都合题意，而渡口六里 5.5 却要舍去——是不是所有的方程都正好有两个根？我打算多列几个方程试一试用代入检验法找根。 • 「夹逼」法能估出正数解，那负数解要怎么估？如果解在 -2 与 -1 之间，列表取值应该从哪一头开始试？我准备把渡口六的两个表格照样子再写一遍，把 0 左边的数也列进去。 ◆ 三个条件与五个名称对照一览 把这一节要盯住的三个条件和五个名称并排放在一起，做题时照着检查： 看什么 要满足什么 在一般形式里对应谁 最容易错的地方 未知数的个数 只含有一个未知数 整道题里只有 x 一个字母 出现 x 与 y，就不是一元二次方程 未知数的最高次数 最高次数是 2 二次项 a 里的 a 不为 0 a 取 0 时二次项消失，不再是二次方程 方程的类型 两边都是整式 每一项都是关于 x 的整式 未知数跑到分母上就变成分式方程 五个名称 分得清二次项、一次项、常数项 a、bx、c 与 a、b、c 抄系数时漏掉负号、或忘了按降幂排列 温馨提示：复习的时候把 a+bx+c=0 默写一遍，再把渡口三那张表自己画一遍——三个来源、三个方程、一组系数，画完这一节的主线就串起来了：实际情境 → 列方程 → 化成一般形式 → 认出各项系数 → 用代入检验法或夹逼法找根 → 回实际问题里检验。 我写： 八、参考答案 ◆ （一）课前自主学习 1. 一。 2. a+bx+c=0（a、b、c 为常数，a 不等于 0）；二次项；二次项系数；一次项；一次项系数；常数项。 3. 2；整式。 4. 相等；根。 5. 大致范围；缩小。 ◆ （二）课中合作探究 渡口一 练一练——（1）x 表示四周未铺地毯的条形区域的宽度。因为地毯的宽是 (5-2x) 米，必须大于 0，由 5-2x>0 解得 x<2.5；同时宽度不能是负数，所以 0<x<2.5。（2）三个方程都只含一个未知数 x；未知数的最高次数都是 2；方程两边都是整式。 渡口二 练一练——（1）①与④是一元二次方程。②的最高次数是 1，是一元一次方程；③的左边含未知数在分母上，是分式方程，不是整式方程，所以不是一元二次方程。（2）对。把 =3 移项得一般形式 -3=0，所以二次项系数是 1，一次项系数是 0，常数项是 -3。 渡口三 练一练——（1）二次项系数是 3，一次项系数是 -5，常数项是 1。（2）把 4-7=0 按降幂排列写成 -7+4=0，所以二次项系数是 -7，一次项系数是 0，常数项是 4。 渡口四 练一练——（1）3x(x-2)=5 去括号得 3-6x=5，移项得 3-6x-5=0；二次项系数是 3，一次项系数是 -6，常数项是 -5。（2）2(-1)=3x 去括号得 2-2=3x，移项得 2-3x-2=0。 渡口五 练一练——（1）把 x=2 代入左边，-2×2-3=4-4-3=-3，-3 不等于 0，所以 x=2 不是这个方程的根。（2）答案不唯一，例如 -1=0：把 x=1 代入左边，1-1=0，等于右边 0，所以 x=1 是它的根。 渡口六 练一练——（1）取 x=3：9-6-4=-1；取 x=4：16-8-4=4，一负一正，所以根在 3 与 4 之间。再取 x=3.2：10.24-6.4-4=-0.16；取 x=3.3：10.89-6.6-4=0.29，一负一正，所以根在 3.2 与 3.3 之间。因此精确到 0.1 时这个正数解约为 3.2。（2）不符合。因为 x 表示条形区域的宽，地毯的宽 (5-2x) 米必须大于 0，所以 x 必须小于 2.5；5.5 大于 2.5，代进去地毯的宽成了负数，没有实际意义，要舍去。 渡口七 练一练——（1）(4+5)×(4+2)=9×6=54，左边等于 54，与题目的面积相符。（2）门框的宽是 10-4=6（尺），高是 10-2=8（尺）；+=36+64=100，而 =100，两边相等，满足勾股定理。 渡口八 练一练——（1）x(20-2x)=50，去括号、移项得 2-20x+50=0，两边都除以 2，得 -10x+25=0。（2）还有，另一个根是 x=6：-10×6+24=36-60+24=0。也就是说，垂直于墙的一边取 4 米或 6 米，都能围出面积 48 平方米的花园（这时平行于墙的一边分别是 12 米与 8 米）。 ◆ （三）当堂达标检测 A：1. 2。 2. B（A 是一元一次方程；C 是分式方程；D 含两个未知数）。 3. 二次项系数是 3，一次项系数是 -5，常数项是 1。 B：1. 3x(x-2)=5 去括号得 3-6x=5，移项得 3-6x-5=0；二次项系数是 3，一次项系数是 -6，常数项是 -5。 2. 因为 x=2 是方程的根，代入得 +2m-6=0，即 4+2m-6=0，解得 m=1；此时方程是 +x-6=0，把 x=2 代回检验成立。 C：1. 取 x=2：4-4-1=-1；取 x=3：9-6-1=2，一负一正，所以根在 2 与 3 之间。再取 x=2.4：5.76-4.8-1=-0.04；取 x=2.5：6.25-5-1=0.25，一负一正，所以根在 2.4 与 2.5 之间。因此精确到 0.1 时这个正数解约为 2.4。 2. 设较短的一条直角边长为 x，则另一条直角边长为 x+7，斜边长为 13；由勾股定理得 +=。展开、合并同类项：++14x+49=169，得 2+14x-120=0，两边都除以 2，得 +7x-60=0。 ◆ （四）课后巩固训练 A：1. a+bx+c=0（a、b、c 为常数，a 不等于 0）；二次项系数；一次项系数；常数项。 2. 5=1-6x 移项得 5+6x-1=0，二次项系数是 5，一次项系数是 6，常数项是 -1。 B：1. =3x(x+2) 左边展开得 4-4x+1，右边展开得 3+6x，移项、合并同类项得 -10x+1=0；二次项系数是 1，一次项系数是 -10，常数项是 1。 2. 把 x=-1 代入得 1-a+2=0，解得 a=3，此时方程是 +3x+2=0；把 x=2 代入，4+6+2=12，不等于 0，所以 x=2 不是这个方程的根。 C：1. 取 x=1：1+2-5=-2；取 x=2：4+4-5=3，一负一正，所以根在 1 与 2 之间。再取 x=1.4：1.96+2.8-5=-0.24；取 x=1.5：2.25+3-5=0.25，一负一正，所以根在 1.4 与 1.5 之间。因此精确到 0.1 时这个正数解约为 1.4。 2. 设宽为 x 厘米，则长为 (x+3) 厘米，由面积是 40 平方厘米得 x(x+3)=40；去括号、移项得 +3x-40=0。 ◆ （五）课本练习 《习题2.1》第1题——（1）设正方形的边长为 x 米，则原长方形的长为 (x+5) 米、宽为 (x+2) 米，由面积得 (x+5)(x+2)=54，整理得 +7x-44=0；把 x=4 代入检验成立，(4+5)(4+2)=54，所以正方形的边长是 4 米。（2）设最小的数为 x，得 x(x+1)+x(x+2)+(x+1)(x+2)=242，整理得 +2x-80=0；把 x=8 代入检验成立，所以这三个数是 8、9、10。 《习题2.1》第2题——3=5x-1 移项得 3-5x+1=0，二次项系数是 3、一次项系数是 -5、常数项是 1；(x+2)(x-1)=6 去括号得 +x-2=6，移项得 +x-8=0，二次项系数是 1、一次项系数是 1、常数项是 -8；4-7=0 按降幂排列写成 -7+4=0，二次项系数是 -7、一次项系数是 0、常数项是 4。 《习题2.1》第3题——设竹竿长为 x 尺，则门框的宽为 (x-4) 尺、高为 (x-2) 尺，由勾股定理得 +=；展开、合并同类项得 -12x+20=0。把 x=10 代入检验成立，门框宽 6 尺、高 8 尺，+=，所以竹竿长 10 尺。 ◆ （六）中考真题 1. B。A 的最高次数是 1；C 含两个未知数；D 是分式方程；只有 B 整理后能化成 -4=0 且二次项系数不为 0。 2. B。2x(x-3)=1 去括号得 2-6x=1，移项得 2-6x-1=0，常数项是 -1。 3. 3。把 x=-1 代入得 1-a+2=0，解得 a=3。 4. A。把 x=-4 代入，16-8-8=0，成立；B、C、D 代入后都不等于 0。 5. 2.4。取 x=2：4-4-1=-1；取 x=3：9-6-1=2，根在 2 与 3 之间；再取 x=2.4：5.76-4.8-1=-0.04，取 x=2.5：6.25-5-1=0.25，根在 2.4 与 2.5 之间，故精确到 0.1 时约为 2.4。 6. m 不等于 2。一元二次方程要求二次项系数不为 0，所以 m-2 不等于 0，即 m 不等于 2。 学科网（北京）股份有限公司 $