精品解析：河南南阳市第二十一学校教育集团2026-2027学年九年级上学期第一次阶段检测数学试卷

2026年秋九年级数学第一次月考试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：A、方程化简得，未知数的最高次不是2，故原方程不是一元二次方程，不符合题意； B、方程是一元二次方程，符合题意； C、方程中含有两个未知数，故原方程不是一元二次方程，不符合题意； D、方程不是整式方程，故原方程不是一元二次方程，不符合题意； 故选：B． 2. 下面四组线段中不能成比例线段的是（ ） A. 3、6、2、4 B. 4、6、5、10 C. 1、2、3、6 D. 25、20、4、5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了成立比例的线段，在四条线段中，如果其中的两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．根据两内项之积等于两外项之积逐项分析即可． 【详解】解：A、，能成比例，不符合题意； B、，不能成比例，符合题意； C、，能成比例，不符合题意； D、，能成比例，不符合题意； 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】题干要求判断计算正确的是，对各选项的根数进行运算依次判断即可. 【详解】解：A. 排除A, B. ， B正确， C. ，排除C, D. ，排除D 故选B 【点睛】本题考查实数的运算，对算术平方根进行化简求值，难度较小. 4. 若，则下列比例式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，把比例式化成等积式是解题的关键． 从选项判断，把每一个比例式化成等积式即可解答． 【详解】解：A.由得，，该选项错误，不符合题意； B. 由得，，该选项错误，不符合题意； C. 由得，，该选项错误，不符合题意； D. 该选项正确，符合题意； 故选：D． 5. 已知a，b，c为一个等腰三角形的三条边长，且a，b满足，则此等腰三角形的周长为（ ） A. 12 B. 9 C. 12或9 D. 无法计算 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，等腰三角形的定义，构成三角形的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0得到，则，，再分腰长为2和腰长为5两种情况，根据构成三角形的条件和三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴， ∴， 当腰长为2时，则等腰三角形的三边长为， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为5时，则等腰三角形的三边长为， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意 ∴此等腰三角形的周长为； 综上所述，此等腰三角形的周长为． 故选：A． 6. 设a，b是方程的两个不相等的实数根，则的值为（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，一元二次方程根与系数的关系，由条件可得，，再进一步求解即可. 【详解】解：设a，b是方程 的两个不相等的实数根， ∴，， ∴， ∴. 故选：B． 7. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质计算即可得解，熟练掌握二次根式的性质是解此题的关键． 【详解】解：， 故选：B． 8. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 由数轴得，继而得出，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由数轴得， ∴， ∴ ， 故选：B． 9. 生活中到处可见黄金分割的美，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，点是的黄金分割点（），如果长为，那么的长约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割点，掌握黄金分割是指把一条线段分割为两部分，使其中较长部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，且其比值是一个无理数，用分数表示为是解答本题的关键． 根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得·：， 故选：C． 10. 如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（　　） A. （30﹣2x）（40﹣x）＝600 B. （30﹣x）（40﹣x）＝600 C. （30﹣x）（40﹣2x）＝600 D. （30﹣2x）（40﹣2x）＝600 【答案】D 【解析】 【分析】设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是600cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm， 根据题意得：（40﹣2x）（30﹣2x）＝600． 故选：D． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 使式子有意义的实数x的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，且x≠0， 解得且x≠0， 故答案为且x≠0． 【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数，熟记分式有意义的条件是解题的关键． 12. 平行线分线段成比例定理及其推论． （1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段______； （2）平行于三角形一边的直线截其他两边（或____________），所得的对应线段______． 【答案】 ①. 成比例 ②. 两边的延长线 ③. 成比例 【解析】 【分析】平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；平行线分线段成比例定理的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． 【详解】解：（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例； （2）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． 13. 与最简二次根式5是同类二次根式，则a=_____． 【答案】2 【解析】 【分析】先将化成最简二次根式，然后根据同类二次根式得到被开方数相同可得出关于a的方程，解出即可． 【详解】解：∵与最简二次根式5是同类二次根式，且=2， ∴a+1=3，解得：a=2． 故答案为2． 【点睛】本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式． 14. 定义新运算：，例如：，，若，则x的值为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程、解一元一次方程，理解新运算，分类讨论是解答的关键．分和两种情况列方程求解即可． 【详解】解：由题意，分两种情况： 当时，，则； 解得（舍去），， 当时，，解得； 综上，x的值为或． 故答案为：或． 15. 已知三条线段的长分别是3，4，12，若再添加一条新线段，使这四条线段是成比例线段，则这条新线段的长度是_______． 【答案】1或9或16 【解析】 【分析】本题主要考查比例线段，分类讨论是解题的关键. 设这条线段为x，分3种情况进行计算即可. 【详解】解：设添加的新线段的长为x，则分以下三种情况讨论： ①当时，解得； ②当时，解得．经检验，是原分式方程的根； ③当时，解得．经检验，是原分式方程的根． 三、解答题（本题共8小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2） 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则和运算顺序． （1）先计算二次根式的乘法和零指数幂，再进行减法计算； （2）先利用完全平方公式和平方差公式计算，再进行加减计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 解方程 （1）用配方法解方程： （2）用公式法解方程： 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握指定解法是解答本题的关键． （1）方程移项、配方、开方即可得到两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）将方程变形为一般形式，求出的值，再代入公式求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， 这里， ， ∴， ∴，． 18. 关于的一元二次方程． （1）若原方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）若原方程的一个根是1，求此时的值及方程的另外一个根． 【答案】（1）且； （2）此时的值为2，方程的另外一个根为． 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式、因式分解法解一元二次方程． （）计算一元二次方程根的判别式进而即可求解； （）把代入原方程，求得，得到，再利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，，所以. ∵原方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 综上所述，的取值范围是且； 【小问2详解】 解：把代入原方程，得， 解得， 把代入原方程，得， 解得，. ∴此时的值为2，方程的另外一个根为． 19. 如图，直线，分别交直线于点，，，交直线于点，，． （1）若，，，求的长； （2）若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由得到，然后代数求解； （2）由得到，然后结合得到，进而求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ，即， ； 【小问2详解】 解：∵， ， ， ， ， ． 20. 如图，某校生物兴趣小组在该校空地上围了一块矩形试验田，用来种植蔬菜．试验田一面靠墙，墙的最大可利用长度为35米，另外三面用51米长的篱笆围成，并在边上开有一扇宽为1米的小门（篱笆全部用完，门不用篱笆），设的长为米，解答下列问题： （1）的长为___________米；（用含有的代数式表示） （2）围成的矩形试验田的面积能为240平方米吗？若能，请求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）能，的长为20米 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用． （1）用篱笆长加上门宽，减去和的长即可； （2）由长方形面积列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：米； 故答案为：； 【小问2详解】 解：围成的矩形试验田的面积能为240平方米， ∴， 整理得到， 解得：，， 当时，，（不合题意舍去）， 当时，，（符合题意）， 的长为20米． 21. 随着生鲜电商平台日益火爆，其背后的数学逻辑也愈发引人深思．据统计：某生鲜电商平台今年2月份的销售额是200万元，4月份的销售额是242万元． （1）若该平台今年2月份到4月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）经市场调查发现，某水果在“盒马鲜生”平台上的售价为24元/千克时，每天能销售300千克，售价每降低1元，每天可多售出100千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存．已知该水果的成本价为12元/千克，若使销售该水果每天获利5600元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1） （2）5元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．读懂题意，找出数量关系，列出等式是解题关键． （1）设月平均增长率为x，那么3月份销售额为，4月份销售额为，根据题意可列出关于的一元二次方程，解出，再舍去不合题意的解即可； （2）设售价应降低元，那么每天可以卖出千克，每千克的利润为元，然后根据题意可列出关于的一元二次方程，解出，再舍去不合题意的解即可． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为x，根据题意，得 ． 解得：，（不合题意，舍去）． 答：月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设售价应降低y元，根据题意，得 ． 整理得， 解得：，． ∵要尽量减少库存， ∴不合题意，舍去， ， 答：售价应降低5元． 22. 阅读理解：把整式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加为问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法不仅在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用，也在几何、经济等领域常用来分析最值、求解未知量． 例：某快递公司运输一批货物，成本，若（a为运输量），利用配方法求P的最小值． 解：． ，当a=2时，P有最小值2． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： （1）求最小值：的最小值_______； （2）已知，求的值_______； （3）若一个直角三角形的两条直角边之和为12，设其中一条直角边为a，三角形面积为S，用配方法求S的最大值． 【答案】（1） （2） （3）18 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质：偶次方，完全平方式，以及因式分解-分组分解法，解题的关键是熟练掌握各自的运算法则及公式． （1）模仿题干的过程，利用完全平方式的非负性求解即可； （2）将已知等式利用完全平方公式配方后，再根据非负数的性质求出、的值，代入所求式子计算即可； （3）设其中一条直角边为a，则另一条直角边为，，根据，确定出最大值即可． 【小问1详解】 解： ， ， 当时，有最小值， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为： 【小问3详解】 解：设其中一条直角边为a，则另一条直角边为， ∴ ， ∵， ∴当时，S有最大值18． 23. 综合与探究：某数学兴趣小组探究平行线分线段成比例定理的应用． 【初步探究】 （1）如图1，在中，D、E分别为、的动点，若，．连结，交于点G．若过D作，交于F，则与的比值为______； （2）在（1）的条件下，求出与的比值； 【尝试应用】 （3）如图2，在中，D是的边上的中点，，的延长线交于点E，求的值． （4）如图3，点D、E分别是、边的中点，、交于F，，，，则四边形的面积为______． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）因为，，所以用平行线分线段成比例定理得到与的比值； （2）可利用（1）中得到的线段比例关系，结合，推导与的比值； （3）作，交于，证明，得，同理可得，，进而求得，即可求出的值； （4）连接，证明是的中位线，得，，进而求得，，，，，根据，即可求解． 【小问1详解】 解：，， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， 点是的中点， 是的中点， 是的中位线， ， ， ， ， 是的中点， 是的中位线， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：， ， 作，交于， ， ， ， 同理可得， ， ， ； 【小问4详解】 解：连接， 点D、E分别是、边的中点， 是的中位线， ，，即， ， ， ，， ，，，， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋九年级数学第一次月考试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下面四组线段中不能成比例线段的是（ ） A. 3、6、2、4 B. 4、6、5、10 C. 1、2、3、6 D. 25、20、4、5 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则下列比例式成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知a，b，c为一个等腰三角形的三条边长，且a，b满足，则此等腰三角形的周长为（ ） A. 12 B. 9 C. 12或9 D. 无法计算 6. 设a，b是方程的两个不相等的实数根，则的值为（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 7. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 8. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　） A. 0 B. C. D. 9. 生活中到处可见黄金分割的美，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，点是的黄金分割点（），如果长为，那么的长约为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（　　） A. （30﹣2x）（40﹣x）＝600 B. （30﹣x）（40﹣x）＝600 C. （30﹣x）（40﹣2x）＝600 D. （30﹣2x）（40﹣2x）＝600 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 使式子有意义的实数x的取值范围是__________． 12. 平行线分线段成比例定理及其推论． （1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段______； （2）平行于三角形一边的直线截其他两边（或____________），所得的对应线段______． 13. 与最简二次根式5是同类二次根式，则a=_____． 14. 定义新运算：，例如：，，若，则x的值为________． 15. 已知三条线段的长分别是3，4，12，若再添加一条新线段，使这四条线段是成比例线段，则这条新线段的长度是_______． 三、解答题（本题共8小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2） 17. 解方程 （1）用配方法解方程： （2）用公式法解方程： 18. 关于的一元二次方程． （1）若原方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）若原方程的一个根是1，求此时的值及方程的另外一个根． 19. 如图，直线，分别交直线于点，，，交直线于点，，． （1）若，，，求的长； （2）若，，求的长． 20. 如图，某校生物兴趣小组在该校空地上围了一块矩形试验田，用来种植蔬菜．试验田一面靠墙，墙的最大可利用长度为35米，另外三面用51米长的篱笆围成，并在边上开有一扇宽为1米的小门（篱笆全部用完，门不用篱笆），设的长为米，解答下列问题： （1）的长为___________米；（用含有的代数式表示） （2）围成的矩形试验田的面积能为240平方米吗？若能，请求出的长；若不能，请说明理由． 21. 随着生鲜电商平台日益火爆，其背后的数学逻辑也愈发引人深思．据统计：某生鲜电商平台今年2月份的销售额是200万元，4月份的销售额是242万元． （1）若该平台今年2月份到4月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）经市场调查发现，某水果在“盒马鲜生”平台上的售价为24元/千克时，每天能销售300千克，售价每降低1元，每天可多售出100千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存．已知该水果的成本价为12元/千克，若使销售该水果每天获利5600元，则售价应降低多少元？ 22. 阅读理解：把整式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加为问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法不仅在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用，也在几何、经济等领域常用来分析最值、求解未知量． 例：某快递公司运输一批货物，成本，若（a为运输量），利用配方法求P的最小值． 解：． ，当a=2时，P有最小值2． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： （1）求最小值：的最小值_______； （2）已知，求的值_______； （3）若一个直角三角形的两条直角边之和为12，设其中一条直角边为a，三角形面积为S，用配方法求S的最大值． 23. 综合与探究：某数学兴趣小组探究平行线分线段成比例定理的应用． 【初步探究】 （1）如图1，在中，D、E分别为、的动点，若，．连结，交于点G．若过D作，交于F，则与的比值为______； （2）在（1）的条件下，求出与的比值； 【尝试应用】 （3）如图2，在中，D是的边上的中点，，的延长线交于点E，求的值． （4）如图3，点D、E分别是、边的中点，、交于F，，，，则四边形的面积为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $