精品解析：黑龙江省哈尔滨市第六中学校2026-2027学年高二上学期第一次质量检测数学试题

哈六中2026——2027学年度上学期高二学年第一次质量检测 数学试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 某小区有4个出入门，如果甲同学从其中的任意一个门进入小区，并要求从其他的门出去，那么甲同学进出小区的方式共有（ ） A. 4种 B. 7种 C. 12种 D. 16种 【答案】C 【解析】 【详解】根据分步乘法计数原理， 第一步，甲先选一个门进入，有4种选择； 第二步，甲选一个门出去，有3种选择， 所以甲同学进出小区的方式共有种. 2. 的展开式中的系数为（ ） A. B. 20 C. 60 D. 96 【答案】C 【解析】 【详解】要得到，需从6个因子中选2个取，其余4个取， 所以的系数为． 3. 从4位男老师和4位女老师中选出3名教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3名班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（ ）种 A. 576 B. 312 C. 288 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】先选出3名教师，因为要求选出的3名教师必须男、女教师都有，所以可分两类情况，选出的3名教师是2男1女和1男2女，利用组合数分别计算选择教师的方法数，再将3名教师安排到3个班，是全排列，根据分步乘法计数原理和分类加法计数原理，即可求解. 【详解】第一类情况，选出的3名教师是2男1女， 有种选择， 所以选派方案有种； 第二类情况，选出的3名教师是1男2女， 有种选择， 所以选派方案有种； 综上，所有不同的选派方案共有种. 4. 为优惠于民，某通信运营商推出“优惠卡活动”，每张卡卡号的前7位是固定的．现从后4位号码为“0000”到“9999”的10000张卡中选带有“6”或“9”的卡作为“优惠卡”，则“优惠卡”的张数是（ ） A. 1980 B. 4096 C. 5904 D. 8020 【答案】C 【解析】 【分析】直接统计 “含有 6 或 9” 情况较多，采用间接法（正难则反），先计算后四位既不含数字 6、也不含数字 9 的号码数量，再用总号码数去减，得到优惠卡张数. 【详解】卡号后四位每一位可取 0∼9，共 10 个数字, 若既不含 6，也不含 9，则每一位只能从剩下 8 个数字中选取， 由分步乘法计数原理得到后4位不含6且不含9的卡共有张． 卡号后4位共有种，因此优惠卡有张． 5. 在一个密闭的盒子中放有大小和形状都相同，编号分别为1，2，3，4的4张卡牌，现从中依次不放回摸出两张卡牌，记事件“第一次摸出的卡牌的编号为奇数”，事件“摸出的两张卡牌的编号之和为5”，事件“摸出的两张卡牌中有编号为2的卡牌”，则下列说法正确的是（ ） A. B. 事件与事件相互独立 C. D. 事件与事件为互斥事件 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用古典概型的概率公式，结合相互独立事件、互斥事件及概率的基本性质逐项求解判断. 【详解】依次不放回摸出两张卡牌的样本空间， 事件，，， 对于A，，A错误； 对于B，，，，则， 因此事件与事件相互独立，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，当摸出的两张卡牌编号为2，3时，事件与事件同时发生， 因此事件与事件不为互斥事件，D错误. 6. 某手机专卖店新进A，B，C，D，E，F，G这7款充电宝，准备将它们在货柜里摆成一排售卖，则下列说法不正确的是（ ） A. 若A，B，C必须摆在前三个位置，则不同的摆法有144种 B. 若A，B，C彼此不相邻，D，E，F，G也彼此不相邻，则不同的摆法有72种 C. 若A，B，C彼此不相邻，则不同的摆法有1440种 D. 若A不能摆在后两个位置，则不同的摆法有3600种 【答案】B 【解析】 【详解】对A选项：满足条件的摆法有：，故A选项内容正确； 对B选项：满足条件的摆法有：，故B选项内容错误； 对C选项：满足条件的摆法有：，故C选项内容正确； 对D选项：满足条件的摆法有：，故D选项内容正确． 7. 现有5张除所写数字外完全相同的卡片，其中2张写有数字7，另外3张分别写有数字2、3、5， 将卡片放入袋中搅匀，从中随机取出4张，用取出的卡片上的数字组成四位数，共可组成不同四位数的个数为（ ） A. 60 B. 72 C. 84 D. 120 【答案】A 【解析】 【分析】按取出的4张卡片中写有数字7的张数分为两类，分别计算每类可组成的不同四位数个数，再根据分类加法计数原理即可求解. 【详解】当取出的卡片写有数字7的张数为1时，能组成个不同的四位数； 当取出的卡片写有数字7的张数为2时，能组成个不同的四位数； 则从中随机取出4张卡片，共可组成个不同的四位数. 8. 现有编号分别为（）的三个盒子，其中盒中共20个小球，其中红球6个，盒中共20个小球，其中红球5个，盒中共30个小球，其中红球6个．现从所有球中随机抽取一个，记事件：“该球为红球”，事件：“该球出自编号为（）的盒中”，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 若从所有红球中随机抽一个，则该球来自盒的概率最小 【答案】D 【解析】 【分析】依次求出和即可由条件概率公式求解判断A；由全概率公式即可计算求解判断B；依次求出、即可由条件概率公式求解判断C；由贝叶斯公式依次计算、、即可判断D. 【详解】由题可知， ， 所以，A错误； ，， 所以，B错误； ，， 所以，C错误； ，，， 所以， 若从所有红球中随机抽一个，则该球来自盒的概率最小，D正确. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据1，2，4，5，6，7，8，9的平均数是5.5 B. 若样本数据，，，的方差为4，则数据，，，的方差为16 C. 抛掷一枚质地均匀的硬币两次，则事件“第一次正面朝上”与事件“第二次反面朝上”不互斥 D. 若事件与事件相互独立，，，则 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A选项，因为，故A选项错误； 对于B选项，因为，所以，故B选项正确； 对于C选项，抛掷两次硬币，事件 “第一次正面朝上” 包含 {正正，正反}，事件 “第二次反面朝上” 包含 {正反，反反}，二者的交集为 {正反}（可以同时发生），因此两个事件不互斥； 对于D选项，， 因为事件相互独立，所以， 由，得，，故D选项正确. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 已知事件A，B，且，，，则 B. 设火箭发射失败的概率为0.01，若发射10次，其中失败的次数为X，则 C. 若从10名男生、5名女生中选取4人，则其中至少有1名女生的概率为 D. 设甲乘汽车、动车前往某目的地的概率分别为0.3，0.7，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.6，0.8，则甲正点到达目的地的概率为0.58 【答案】AB 【解析】 【详解】对于A，由条件概率公式知，则，故A正确； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，至少有一名女生的概率，故C错误； 对于D，设事件“甲正点到达目的地”，事件“甲乘动车前往目的地”，事件“甲乘汽车前往目的地”， 由题意知，，，， 由全概率公式得，故D错误． 11. 甲、乙两人组成“旭日队”参加投篮活动，每轮活动由甲、乙各投两个球，已知甲每次投进的概率为，乙每次投进的概率为．在每轮活动中，甲和乙每次投进与否互不影响，各轮结果也互不影响，且每轮甲和乙合计至少投进三个球队伍才能晋级下一轮活动，则下列结论正确的是（ ） A. 在第一轮活动中，甲恰好投进一个球的概率为 B. 在第一轮活动中，“旭日队”晋级下一轮活动的概率为 C. 若第一轮活动中甲已经投进两个球，则“旭日队”晋级第二轮的概率为 D. “旭日队”晋级第三轮且队伍中有人在前两轮中全部投进的概率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】将每个选项的事件合理拆分，再利用互斥事件与独立事件的概率公式求解即可. 【详解】对于A，在第一轮活动中，甲恰好投进一个， 即甲第一球投进第二球不投进或第二球投进第一球不投进， 故其概率为，故A正确； 对于B，在第一轮活动中，“旭日队”晋级， 则甲投进2球乙投进1球或甲投进1球乙投进2球或甲乙全部投进， 而乙恰好投进一球的概率为， 故“旭日队”晋级的概率为，故B错误； 对于C，在第一轮活动中，甲已经投进2球， 则乙至少投进1球“旭日队”即可晋级，故其概率为，故C正确； 对于D，队伍获得晋级，则每轮中至少一人全投进，另一人至少投进一个， 我们分甲全部投进和乙全部投进两种情况进行讨论， 设第轮甲全部投进为事件，甲恰好投进一个为事件， 乙全部投进为事件，乙恰好投进一个为事件，队伍获得晋级为事件， 则， 法一：由题意得 ，故D正确. 法二： ，故D正确. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 节气是指二十四个时节和气候，是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民长期经验积累的成果和智慧的结晶．若从立春、雨水、惊蛰、春分这四个节气中随机选择两个节气，则其中一个节气是立春的概率为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】先求出从4个节气中任选2个的总基本事件数，再求出包含立春的基本事件数，代入古典概型概率公式计算即可. 【详解】记立春、雨水、惊蛰、春分四个节气分别为， 从4个节气中随机选择2个，样本空间，则, 设事件为“选出的两个节气中其中一个是立春”，则，则， 由古典概型概率计算公式可得： 13. 在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数： 192 907 966 925 271 932 812 458 569 683 257 393 127 556 488 730 113 537 989 431 据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为______. 【答案】0.75## 【解析】 【分析】先求出三只豚鼠都没被感染的随机数的组数求出其概率，再根据对立事件的概率性质即可得出三只豚鼠中至少一只被感染的概率. 【详解】由题意，事件三只豚鼠中至少一只被感染的对立事件为三只豚鼠都没被感染， 随机数中满足三只豚鼠都没被感染的有907，966，569，556，989共5个， 故三只豚鼠都没被感染的概率为， 则三只豚鼠中至少一只被感染的概率为. 故答案为：. 14. 某商场进行周年庆大型促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，活动期间在商场消费达到一定金额的人可以参加游戏．游戏规则如下：在一个盒子里放着6个大小相同的小正方体，其中有3个类小正方体，4个面印着奇数，2个面印着偶数；有2个类小正方体，6个面都印着奇数；1个类小正方体，6个面都印着偶数．游戏者蒙着眼睛随机从盒子中抽取一个小正方体并连续投掷两次，由工作人员告知投掷的结果，若两次投掷向上的面都是奇数，则进入最终挑战环节，否则游戏结束，不获得任何礼券．最终挑战的环节是进行第三次投掷，第三次投掷不使用之前抽取的小正方体，从盒子中剩余的5个小正方体里再次随机抽取一个进行投掷，若投掷后向上的面为奇数，则获得300元礼券，若投掷后向上的面为偶数，则获得100元礼券．某位顾客第一次投掷后向上的面为奇数的概率为___________；在某位顾客进入了最终挑战环节的条件下，他最终获得的礼券金额是300的概率为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】空1：根据全概率公式，即可求解； 空2：根据全概率公式和条件概率公式，即可求解． 【详解】记事件分别表示第一次抽到类、类、类小正方体， 事件表示第次投掷后向上的面为奇数． ， 因此某位顾客第一次投掷后向上的面为奇数的概率为． 空2：①若第一次抽到的是类小正方体，记事件分别表示第二次抽到类、类、类小正方体， 则 ， ②若第一次抽到的是类小正方体，记事件分别表示第二次抽到类、类、类小正方体， 则 ， 故， 则， 因此在某位顾客进入了最终挑战环节的条件下，他最终获得的礼券金额是300的概率为． 四、解答题（共77分） 15. 设，的展开式中所有二项式系数之和为1024． （1）求的值及展开式中二项式系数最大的项； （2）求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【小问1详解】 因为展开式中所有二项式系数之和为1024， 即，所以， 故二项式系数最大的项为． 【小问2详解】 令，又 令，可得 16. 2026年的《政府工作报告》中有这样的描述：“培育壮大新兴产业和未来产业.实施产业创新工程，鼓励央企国企带头开放应用场景，打造集成电路、航空航天、生物医药、低空经济等新兴支柱产业. 建立未来产业投入增长和风险分担机制，培育发展未来能源、量子科技、生物制造、具身智能、脑机接口、6G等未来产业.”某市科技馆为此推出“未来科技体验周”，设置6张外观完全相同的数字体验券，其中4张为“具身智能券”，2张为“航空航天券”. （1）若小明、小红两人从中各随机抽取1张体验券（抽取后不放回），求两人抽到的体验券类型恰好不同的概率； （2）若小华先从中随机抽取1张体验券，记录类型后放回并充分搅匀，再随机抽取1张，求小华两次抽取中至少有一次抽到“航空航天券”的概率； （3）该科技馆拟制定一项互动规则来决定“智能社”与“空天社”哪个社团优先体验新项目：从6张体验券中一次性随机抽取2张，若2张券类型相同，则“智能社”优先，若2张券类型不同，则“空天社”优先，请通过计算判断该规则是否公平，并说明理由. 【答案】（1） （2） （3） 该规则不公平. 理由如下： 一次性抽取2张相当于不放回抽样，由（1）知，“智能社”优先的概率为，“空天社”优先的概率为， 因为，所以该规则不公平. 【解析】 【分析】（1）确定不放回抽样，通过列举所有等可能样本点，找出 “类型不同” 的样本点，利用古典概型概率公式计算，即目标事件数除以总样本数. （2）采用 “正难则反” 策略，先求两次都没抽到航空航天券的对立事件概率，再用 1 减去该概率得到至少抽到一次的概率. （3）类比第一问的不放回抽样，分别可以得到两张券类型相同、不同的概率，比较概率大小判断规则是否公平. 【小问1详解】 记“两人抽到的体验券类型恰好不同”为事件A. 设4张“具身智能券”为，，，，2张“航空航天券”为，. 两人从中各随机抽取1张体验券，应用枚举法，可知样本空间为 ， 共有15个样本点， ，有8个样本点， 故. 【小问2详解】 记小华两次抽取中至少有一次抽到“航空航天券”为事件B，则小华两次都没有抽到“航空航天券”为. 小华抽取一次没有抽到“航空航天券”的概率为， 则， 所以. 【小问3详解】 略 【点睛】古典概型需明确抽样方式（放回 / 不放回），用列举法或组合数算样本点；遇 “至少” 问题用对立事件简化. 17. 某市举办“数字科技商品”展销会，现场进行抽奖活动．已知奖箱中共有3个标记一等奖、6个标记二等奖的标签．二等奖的标签中有个标记“国产”，其余标记“合资”、所有标签除了内容不同，其余完全相同．若从箱中一次性随机抽取2个标签，恰好抽到一个标有“国产”一个标有“合资”的概率是抽到2个均标有“国产”的概率的3倍． （1）求的值； （2）若甲有连续三次抽奖的机会，每次从箱中一次性随机抽取2个标签，抽完后放回箱中．表示甲三次抽奖中每次恰好获得一个一等奖和一个二等奖的次数，求的分布列及数学期望； 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 期望： 【解析】 【小问1详解】 设从箱中一次性随机抽取2个标签， 恰好抽到一个标有“国产”一个标有“合资”的概率为，抽到2个均为“国产”的概率为， 因为，，其中， 因为，所以，所以，解得； 【小问2详解】 甲每次抽取2个签，恰好抽到一个一等奖和一个二等奖的概率为， 因为随机变量可以取， ，， ，， 所以的分布列用表可以表示如下： 0 1 2 3 所以． 18. 有4支队伍参加一场知识竞赛，其中2支强队，2支弱队．每队派1名代表进行比赛，小明来自强队．在某一轮比赛中，随机挑选两名代表进行比赛．若强队与弱队进行比赛，则强队获胜的概率为；若同类队伍进行比赛，则双方获胜的概率均为． （1）已知小明参赛，求在一轮比赛中，小明获胜的概率； （2）现增加新的比赛规则：与强队比赛获胜得2分，与弱队比赛获胜得1分，失败均得0分．若小明分别与每个代表进行一轮比赛，记比赛结束时小明获得的积分为，求的分布列与期望． 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 4 ． 【解析】 【详解】（1）设=“对手为强队代表”，=“对手为弱队代表”，=“小明获胜”1分 由题意可知，，，， 故． （2）由题意可知的取值为，，，，， 得到，， ，，， 故的分布列为： 0 1 2 3 4 所以． 19. 从名优秀大四学生中抽选人员分批次到某公司参与实习．每次实习需要同时派送名学生，且每次派送人员均从这人中随机抽选．已知这名优秀大四学生中，人有实习经验，人没有实习经验． （1）求名学生中的“小张”，在这批次实习中恰有两次被抽选到的概率； （2）求第一次抽选到有实习经验学生的人数的分布列及数学期望； （3）设第二次抽选时，选到没有实习经验学生的人数为，判断与的大小，并加以说明． 【答案】（1） （2）的分布列为 0 1 2  ； （3）， 由已知事件表示第二次抽到的人都有实习经验， 事件表示第二次抽到名无实习经验、名有实习经验的学生， 由（2），，， 第二次抽选仍从全部人中随机选人，，  若第一次选了个有实习经验的学生，则第一次抽选后没有实习经验的学生数为， 因此， 所以， ，  若第一次选了个有经验的学生，则第一次抽选后没有实习经验的学生数为， 因此​​， 所以 ​ 故. 【解析】 【分析】（1）先确定单次抽选中小张被选中的概率，利用二项分布概率公式计算即可； （2）先确定的所有可能取值，利用超几何分布概率公式计算各取值对应的概率，列出分布列后再根据期望公式计算数学期望； （3）先以第一次抽选到有实习经验学生的人数为条件，分别计算在第一次不同抽选结果下和的条件概率，再利用全概率公式分别求出和，最后比较二者大小. 【小问1详解】 每次从人中选人，小张单次被抽中的概率为 ， 次抽选是独立重复试验， 设这批次实习中小张被抽选到的次数为，则， 因此恰有两次被抽选的概率；​ 【小问2详解】 因为表示第一次抽选的人中，有实习经验的人数， 所以的可能取值为， ，​， ， 所以的分布列为 0 1 2 所以 ； 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈六中2026——2027学年度上学期高二学年第一次质量检测 数学试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 某小区有4个出入门，如果甲同学从其中的任意一个门进入小区，并要求从其他的门出去，那么甲同学进出小区的方式共有（ ） A. 4种 B. 7种 C. 12种 D. 16种 2. 的展开式中的系数为（ ） A. B. 20 C. 60 D. 96 3. 从4位男老师和4位女老师中选出3名教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3名班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（ ）种 A. 576 B. 312 C. 288 D. 48 4. 为优惠于民，某通信运营商推出“优惠卡活动”，每张卡卡号的前7位是固定的．现从后4位号码为“0000”到“9999”的10000张卡中选带有“6”或“9”的卡作为“优惠卡”，则“优惠卡”的张数是（ ） A. 1980 B. 4096 C. 5904 D. 8020 5. 在一个密闭的盒子中放有大小和形状都相同，编号分别为1，2，3，4的4张卡牌，现从中依次不放回摸出两张卡牌，记事件“第一次摸出的卡牌的编号为奇数”，事件“摸出的两张卡牌的编号之和为5”，事件“摸出的两张卡牌中有编号为2的卡牌”，则下列说法正确的是（ ） A. B. 事件与事件相互独立 C. D. 事件与事件为互斥事件 6. 某手机专卖店新进A，B，C，D，E，F，G这7款充电宝，准备将它们在货柜里摆成一排售卖，则下列说法不正确的是（ ） A. 若A，B，C必须摆在前三个位置，则不同的摆法有144种 B. 若A，B，C彼此不相邻，D，E，F，G也彼此不相邻，则不同的摆法有72种 C. 若A，B，C彼此不相邻，则不同的摆法有1440种 D. 若A不能摆在后两个位置，则不同的摆法有3600种 7. 现有5张除所写数字外完全相同的卡片，其中2张写有数字7，另外3张分别写有数字2、3、5， 将卡片放入袋中搅匀，从中随机取出4张，用取出的卡片上的数字组成四位数，共可组成不同四位数的个数为（ ） A. 60 B. 72 C. 84 D. 120 8. 现有编号分别为（）的三个盒子，其中盒中共20个小球，其中红球6个，盒中共20个小球，其中红球5个，盒中共30个小球，其中红球6个．现从所有球中随机抽取一个，记事件：“该球为红球”，事件：“该球出自编号为（）的盒中”，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 若从所有红球中随机抽一个，则该球来自盒的概率最小 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据1，2，4，5，6，7，8，9的平均数是5.5 B. 若样本数据，，，的方差为4，则数据，，，的方差为16 C. 抛掷一枚质地均匀的硬币两次，则事件“第一次正面朝上”与事件“第二次反面朝上”不互斥 D. 若事件与事件相互独立，，，则 10. 下列说法正确的有（ ） A. 已知事件A，B，且，，，则 B. 设火箭发射失败的概率为0.01，若发射10次，其中失败的次数为X，则 C. 若从10名男生、5名女生中选取4人，则其中至少有1名女生的概率为 D. 设甲乘汽车、动车前往某目的地的概率分别为0.3，0.7，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.6，0.8，则甲正点到达目的地的概率为0.58 11. 甲、乙两人组成“旭日队”参加投篮活动，每轮活动由甲、乙各投两个球，已知甲每次投进的概率为，乙每次投进的概率为．在每轮活动中，甲和乙每次投进与否互不影响，各轮结果也互不影响，且每轮甲和乙合计至少投进三个球队伍才能晋级下一轮活动，则下列结论正确的是（ ） A. 在第一轮活动中，甲恰好投进一个球的概率为 B. 在第一轮活动中，“旭日队”晋级下一轮活动的概率为 C. 若第一轮活动中甲已经投进两个球，则“旭日队”晋级第二轮的概率为 D. “旭日队”晋级第三轮且队伍中有人在前两轮中全部投进的概率为 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 节气是指二十四个时节和气候，是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民长期经验积累的成果和智慧的结晶．若从立春、雨水、惊蛰、春分这四个节气中随机选择两个节气，则其中一个节气是立春的概率为__________． 13. 在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数： 192 907 966 925 271 932 812 458 569 683 257 393 127 556 488 730 113 537 989 431 据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为______. 14. 某商场进行周年庆大型促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，活动期间在商场消费达到一定金额的人可以参加游戏．游戏规则如下：在一个盒子里放着6个大小相同的小正方体，其中有3个类小正方体，4个面印着奇数，2个面印着偶数；有2个类小正方体，6个面都印着奇数；1个类小正方体，6个面都印着偶数．游戏者蒙着眼睛随机从盒子中抽取一个小正方体并连续投掷两次，由工作人员告知投掷的结果，若两次投掷向上的面都是奇数，则进入最终挑战环节，否则游戏结束，不获得任何礼券．最终挑战的环节是进行第三次投掷，第三次投掷不使用之前抽取的小正方体，从盒子中剩余的5个小正方体里再次随机抽取一个进行投掷，若投掷后向上的面为奇数，则获得300元礼券，若投掷后向上的面为偶数，则获得100元礼券．某位顾客第一次投掷后向上的面为奇数的概率为___________；在某位顾客进入了最终挑战环节的条件下，他最终获得的礼券金额是300的概率为___________． 四、解答题（共77分） 15. 设，的展开式中所有二项式系数之和为1024． （1）求的值及展开式中二项式系数最大的项； （2）求的值． 16. 2026年的《政府工作报告》中有这样的描述：“培育壮大新兴产业和未来产业.实施产业创新工程，鼓励央企国企带头开放应用场景，打造集成电路、航空航天、生物医药、低空经济等新兴支柱产业. 建立未来产业投入增长和风险分担机制，培育发展未来能源、量子科技、生物制造、具身智能、脑机接口、6G等未来产业.”某市科技馆为此推出“未来科技体验周”，设置6张外观完全相同的数字体验券，其中4张为“具身智能券”，2张为“航空航天券”. （1）若小明、小红两人从中各随机抽取1张体验券（抽取后不放回），求两人抽到的体验券类型恰好不同的概率； （2）若小华先从中随机抽取1张体验券，记录类型后放回并充分搅匀，再随机抽取1张，求小华两次抽取中至少有一次抽到“航空航天券”的概率； （3）该科技馆拟制定一项互动规则来决定“智能社”与“空天社”哪个社团优先体验新项目：从6张体验券中一次性随机抽取2张，若2张券类型相同，则“智能社”优先，若2张券类型不同，则“空天社”优先，请通过计算判断该规则是否公平，并说明理由. 17. 某市举办“数字科技商品”展销会，现场进行抽奖活动．已知奖箱中共有3个标记一等奖、6个标记二等奖的标签．二等奖的标签中有个标记“国产”，其余标记“合资”、所有标签除了内容不同，其余完全相同．若从箱中一次性随机抽取2个标签，恰好抽到一个标有“国产”一个标有“合资”的概率是抽到2个均标有“国产”的概率的3倍． （1）求的值； （2）若甲有连续三次抽奖的机会，每次从箱中一次性随机抽取2个标签，抽完后放回箱中．表示甲三次抽奖中每次恰好获得一个一等奖和一个二等奖的次数，求的分布列及数学期望； 18. 有4支队伍参加一场知识竞赛，其中2支强队，2支弱队．每队派1名代表进行比赛，小明来自强队．在某一轮比赛中，随机挑选两名代表进行比赛．若强队与弱队进行比赛，则强队获胜的概率为；若同类队伍进行比赛，则双方获胜的概率均为． （1）已知小明参赛，求在一轮比赛中，小明获胜的概率； （2）现增加新的比赛规则：与强队比赛获胜得2分，与弱队比赛获胜得1分，失败均得0分．若小明分别与每个代表进行一轮比赛，记比赛结束时小明获得的积分为，求的分布列与期望． 19. 从名优秀大四学生中抽选人员分批次到某公司参与实习．每次实习需要同时派送名学生，且每次派送人员均从这人中随机抽选．已知这名优秀大四学生中，人有实习经验，人没有实习经验． （1）求名学生中的“小张”，在这批次实习中恰有两次被抽选到的概率； （2）求第一次抽选到有实习经验学生的人数的分布列及数学期望； （3）设第二次抽选时，选到没有实习经验学生的人数为，判断与的大小，并加以说明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $