2.4-2.5综合检测题-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

综合检测题（2.4--2.5） 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册 一、单选题 1．平面直角坐标系中，直线与圆（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切 【答案】D 【解析】利用点到直线的距离公式，求出圆心到直线的距离，再与圆的半径进行比较，即可得到答案. 【详解】圆心到直线的距离， 当时，可取到等号， 所以直线与圆相交或相切. 故选：D. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查数形结合思想和运算求解能力，判断不等式的大小关系时，注意考虑等号能否取到. 2．圆心为，半径为的圆关于原点对称的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得点关于原点的对称点，进而求得圆的标准方程， 【详解】因为点关于原点的对称点的坐标为， 所以圆心为，半径为的圆的标准方程为. 故选：D. 3．过圆外一点作圆的两条切线，切点为、，则的外接圆半径是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】圆的圆心，故以为直径的圆就是的外接圆，即为所求半径． 【详解】圆的圆心，半径， 因为是圆的切线，所以，， ∴以为直径的圆就是的外接圆， ∵， ∴的外接圆的半径为. 故选：C. 4．直线截圆所得弦长等于4，则以､､为边长的三角形一定是（    ） A．等边三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】由垂径定理得到，从而得到三角形的形状. 【详解】由垂径定理可得：，解得：， 所以以､､为边长的三角形一定是直角三角形. 故选：D 5．已知点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为，则点到直线距离的最大值（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】假设点，求得以为直径的圆的方程，与已知圆的方程作差可得直线的方程，然后可知直线过定点，最后判断和计算可得结果. 【详解】设，则， 则以为直径的圆的方程为， 与圆的方程相减，得到直线的方程为：， 又，可得，即， 可得，解得，所以直线恒过定点， 点到直线距离的最大值即为点，之间的距离，， 所以点到直线距离的最大值为. 故选：A. 6．直线与圆相交所形成的长度为整数的弦的条数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】利用弦长公式计算可得弦长的取值可以为4，5，再由对称性即可得出结论. 【详解】易知直线恒过点， 圆的圆心为，半径为； 因此，当与弦长垂直时，弦长最短，此时； 最大弦长应小于等于直径，因此长度为整数的弦的长度可以为4，5； 由对称性可知长度为4的只有一条，长度为5的弦长有2条，共3条。 故选：A 7．如果实数满足等式，那么的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将其看作为过原点的直线的斜率，数形结合进行求解. 【详解】中，解得， 由题意可得设过原点的直线的斜率为，即直线方程为， 同一坐标系内画出草图， 由图可得当直线与圆相切时，斜率最小或最大，圆心为，半径为， 则，解得或， 所以的最小值是. 8．已知为坐标原点，动点在：上，点的坐标为，且线段的中点为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求，再结合消元法可求的取值范围. 【详解】设，则，故， 故，故，且， 故，故，故. 二、多选题 9．已知表示圆，则下列结论正确的是（     ） A．k的取值范围为 B．圆心坐标为 C．当k时，半径 D．当k时，圆面积为 【答案】AC 【分析】写出圆的标准方程确定圆心和半径，再结合各项的描述判断正误. 【详解】将方程配方化为， 所以，故的取值范围为，A正确； 由圆的标准方程知圆心为，半径为，故B错误； 当时，半径为，C正确； 当时，半径为，圆面积为，D错误． 10．点在圆上，点在圆上，则（    ） A． B．两个圆心所在的直线的斜率为 C．的最大值为7 D．两个圆相交弦所在直线的方程为 【答案】BC 【分析】确定两圆圆心和半径，计算，A错误，，B正确，，C正确，两圆相离，不相交，D错误，得到答案. 【详解】，半径为， 圆的标准方程为，则，半径为， 对选项A：，错误； 对选项B：，正确； 对选项C：，正确； 对选项D：由于，所以两圆相离，不相交，错误； 故选：. 11．已知直线与圆相交于，两点，且为等腰直角三角形，则实数的值为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】AB 【分析】由题意可得，圆的圆心为，半径为1，结合是等腰直角三角形，可得圆心到直线的距离等于，再利用点到直线的距离公式，从而可求得的值． 【详解】由题意得，圆的圆心为，半径为1， 由于直线与圆相交于，两点，且为等腰直角三角形， 可知，， 所以， 所以圆心到直线的距离等于， 再利用点到直线的距离公式可得： 圆心到直线的距离， 解得：，所以实数的值为1或. 故选：AB． 三、填空题 12．已知两圆的方程：，：，则它们的公切线的条数为________． 【答案】 【分析】先把两圆一般方程配方求出圆心、半径，计算圆心距，对比圆心距与两半径和、差的大小，判断两圆位置为相交，再利用位置关系对应公切线数量的结论，得到公切线有条. 【详解】圆的圆心坐标为，半径， 圆的圆心坐标为，半径， 圆心距， ，， 因为，所以圆和圆相交， 根据两圆位置关系与公切线条数的对应规则，相交的两圆共有条公切线． 13．已知圆和圆，M，N分别是圆C，D上的动点，为直线上的动点，则的最小值是______． 【答案】 【分析】先得到，设关于直线的对称点为，求出的最小值，进而得到的最小值． 【详解】的圆心为，半径为1. ，圆心为，半径为2． 因为，所以两圆相离，如图所示． 则， 当且仅当三点共线，三点共线且在之间，在之间时，等号成立． 设关于直线的对称点为， 连接，与直线交于点，此时， 故即为的最小值， 故的最小值为． 故答案为：. 14．若直线与曲线有两个不同的交点，则实数k的一个取值为________（答案不唯一）． 【答案】1（的任何一个值都行） 【分析】首先分析直线所过的定点，再作出曲线的图象，由题意结合临界情况即可求解. 【详解】直线变形为，所以直线恒过点， 曲线两边平方化简得， 如图，作出曲线的图象， 过点的直线与半圆交于端点时，这时直线与曲线有2个交点，斜率， 直线绕点逆时针旋转到与半圆相切时（不包括相切），都有2个交点， 当直线与圆相切时，圆心到直线的距离，解得：或（舍去）， 所以满足直线与曲线有2个不同交点的的取值范围是. 四、解答题 15．已知圆与圆的公共弦所在的直线为． (1)求，的值； (2)若与交于，两点，求四边形的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）两圆方程作差得到公共弦方程，从而得到方程组，解得即可； （2）将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再求出公共弦长，最后由面积公式计算可得. 【详解】（1）圆与圆, 两圆方程作差可得，即， 因为圆与圆的公共弦所在的直线为， 所以，解得，所以，. 经检验当，时，两圆相交，符合题意. （2）圆即，所以圆心为，半径， 则到直线的距离，所以； 由（1）可得圆，即， 所以圆心为，半径， 所以到直线的距离， 所以. 16．已知圆经过点，，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)求过点，且与圆相切的直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将、坐标代入圆的标准方程，得到关于和的方程并求解即可； （2）判断点与圆的位置关系，进而根据切线和半径几何关系和点斜式求解方程. 【详解】（1）设圆心（圆心在上），圆的标准方程为：， 因为圆过和，代入两点得：， 展开化简得：，解得，即圆心， 则， 所以圆的方程为 （2）点代入圆方程左边得， 因此在圆上，过的切线仅有1条. 半径所在直线的斜率为：，切线与半径垂直， 因此切线斜率，由点斜式得切线方程：， 整理得：. 17．在平面直角坐标系中，圆为过点，，的圆. (1)求圆的标准方程； (2)过点的直线与交于，两点，求弦中点的轨迹方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）利用中点弦知识，转化为圆的方程问题； 【详解】（1）设圆的标准方程为，故有： ， 所以圆的标准方程为； （2）设弦MN的中点，    当直线斜率不存在时，点与点重合， 当直线斜率为0时，点与点重合， 当直线斜率存在且不为0时，由垂径定理知， 点的轨迹是以CG为直径的圆． 由， 得，， 整理得：； 18．在平面直角坐标系中，已知点，圆． (1)若． ①直线过点且被圆截得弦的弦长为，求直线的方程； ②设圆与轴相切，与圆外切于点，求圆的方程； (2)斜率为的直线过点，若直线上存在点，以为圆心且半径为1的圆与圆有公共点，求实数的取值范围． 【答案】(1)①或；② (2) 【分析】（1）①先对的斜率进行分类讨论，再结合勾股定理与点到直线的距离公式建立方程，求解参数，最后得到直线方程，②作出符合题意的图形，利用圆与圆的位置关系得到三点共线，进而确定，再代入求解参数，最后得到圆的方程即可. （2）结合题意转化为点到直线距离问题，进而建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】（1）对于①：当时，， 将圆化为标准方程，可得， 可得，，由题意得过点， 当的斜率不存在时，的方程为，令，解得或， 则弦长为2，与题意不符，故排除， 当的斜率存在时，设的方程为，即， 设圆心到直线的距离为，且弦长为， 则由勾股定理得， 由点到直线的距离公式得， 得到，解得或， 则直线的方程为或. 对于②：如图，作出符合题意的图形，设， 因为圆与轴相切，所以， 因为圆与圆外切于点，所以三点共线， 可得，即，圆的方程为， 将代入，可得，解得， 则圆的方程为. （2）因为斜率为的直线过点， 所以直线的方程为，即， 因为圆与圆有公共点，所以， 设点到直线的距离为， 因为在直线上存在点，所以， 由，则，解得， 则实数的取值范围为. 19．已知圆C的圆心坐标为，且该圆经过点. (1)求圆C的标准方程； (2)直线n交圆C于M，N两点，若直线AM，AN的斜率之积为2，求证：直线n过一个定点，并求出该定点坐标. (3)直线m交圆C于M，N两点，若直线AM，AN的斜率之和为0，求证：直线m的斜率是定值，并求出该定值. 【答案】(1)； (2)证明： 当直线n的斜率不存在时，设，由直线AM，AN的斜率之积为2，得， 即，又由点M，N在圆C上得，消去b得：， 而，则，此时，因此，无解， 当直线n的斜率存在时，设其方程为，由消去y并整理得： ，设， 则，，直线斜率，直线斜率， 则 ，整理得，此时直线n：过定点， 所以直线n过一个定点，该定点坐标是. (3)证明： 设直线方程为：，由消去y并整理得：， 则有点，而直线：，同理， 于是得直线的斜率， 所以直线m的斜率是定值，该定值为. 【分析】（1）根据给定条件，求出圆C的半径即可作答. （2）在直线n的斜率存在时，设其方程，再与圆C的方程联立，借助韦达定 理及已知探求k，t的关系，然后讨论斜率不存在的情况作答. （3）设出直线AM，AN的方程，与圆C的方程联立，求出点M，N的坐标，再用斜率坐标公式计算作答. 【详解】（1）依题意，圆C的半径， 所以圆C的标准方程是：. （2）证明略，定点为； （3）证明略，定值为. 【点睛】思路点睛：与曲线相交的直线过定点问题，设出直线的斜截式方程，与曲线方程联立， 借助韦达定理求出直线斜率与纵截距的关系即可解决问题. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 综合检测题（2.4--2.5） 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册 一、单选题 1．平面直角坐标系中，直线与圆（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切 2．圆心为，半径为的圆关于原点对称的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．过圆外一点作圆的两条切线，切点为、，则的外接圆半径是（   ） A．1 B． C．2 D． 4．直线截圆所得弦长等于4，则以､､为边长的三角形一定是（    ） A．等边三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 5．已知点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为，则点到直线距离的最大值（    ） A． B． C． D． 6．直线与圆相交所形成的长度为整数的弦的条数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．如果实数满足等式，那么的最小值是（     ） A． B． C． D． 8．已知为坐标原点，动点在：上，点的坐标为，且线段的中点为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知表示圆，则下列结论正确的是（     ） A．k的取值范围为 B．圆心坐标为 C．当k时，半径 D．当k时，圆面积为 10．点在圆上，点在圆上，则（    ） A． B．两个圆心所在的直线的斜率为 C．的最大值为7 D．两个圆相交弦所在直线的方程为 11．已知直线与圆相交于，两点，且为等腰直角三角形，则实数的值为（　　） A．1 B． C． D． 三、填空题 12．已知两圆的方程：，：，则它们的公切线的条数为________． 13．已知圆和圆，M，N分别是圆C，D上的动点，为直线上的动点，则的最小值是______． 14．若直线与曲线有两个不同的交点，则实数k的一个取值为________（答案不唯一）． 四、解答题 15．已知圆与圆的公共弦所在的直线为． (1)求，的值； (2)若与交于，两点，求四边形的面积． 16．已知圆经过点，，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)求过点，且与圆相切的直线的方程． 17．在平面直角坐标系中，圆为过点，，的圆. (1)求圆的标准方程； (2)过点的直线与交于，两点，求弦中点的轨迹方程. 18．在平面直角坐标系中，已知点，圆． (1)若． ①直线过点且被圆截得弦的弦长为，求直线的方程； ②设圆与轴相切，与圆外切于点，求圆的方程； (2)斜率为的直线过点，若直线上存在点，以为圆心且半径为1的圆与圆有公共点，求实数的取值范围． 19．已知圆C的圆心坐标为，且该圆经过点. (1)求圆C的标准方程； (2)直线n交圆C于M，N两点，若直线AM，AN的斜率之积为2，求证：直线n过一个定点，并求出该定点坐标. (3)直线m交圆C于M，N两点，若直线AM，AN的斜率之和为0，求证：直线m的斜率是定值，并求出该定值. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $