第二章直线与圆的方程期中专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

直线与圆方程期中复习重点题型分类训练 题型分类 题型一 直线倾斜角与斜率 题型二 过定点的直线与线段相交问题 题型三 求直线的方程 题型四 直线与坐标轴围成的三角形问题 题型五 两直线位置关系 题型六 两直线的交点问题 题型七 距离公式及应用 题型八 直线的对称问题 题型九 圆的方程问题 题型十 二元二次方程表示的曲线与圆的关系 题型十一 弦长及面积问题 题型十二 切线及切线长问题 题型十三 两圆的公切线问题 题型十四 与圆有关的轨迹问题 题型十五 直线与圆及圆与圆的位置关系 题型十六 直线与圆中最值及范围问题 题型十七 直线与圆的综合问题 题型一 直线倾斜角与斜率 1.（26-27高二上·黑龙江大庆·阶段检测）已知直线，则该直线的倾斜角是（     ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以，即斜率，设倾斜角为，则， 因为，所以. 2.（26-27高二上·河南·阶段检测）已知直线过、两点，且倾斜角为，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为直线过、两点，且倾斜角为，故， 由斜率公式可得，解得. 3.（25-26高二上·福建莆田·阶段检测）已知经过两点的直线的倾斜角为，则____. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 又因为，所以， 即，所以. 4.（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）设直线l的倾斜角为，且，则直线l的斜率k的取值范围是______． 【详解】已知，，当时，单调递增；则； 当时，单调递增；故；综上可得，斜率k的取值范围是． 5.（26-27高二上·河南焦作·开学考试）已知直线经过点,直线的倾斜角是直线倾斜角的一半,则直线的斜率为__________. 【详解】设直线的倾斜角为,则直线的斜率,由于,所以,所以直线的斜率. 6.（25-26高二上·江苏·期中）直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】设直线的倾斜角为，其中，由直线，可得直线的斜率为，所以，可得或，所以直线倾斜角的取值范围为.故选：B. 7.（25-26高二上·湖北荆州·期末）在平面直角坐标系中，已知四边形为正方形，所在直线的斜率存在且分别为．若，则（    ） A． B． C．2 D． 【详解】不妨设直线的倾斜角为，则直线的斜率分别为， ，，又，，即．又，，化简得，解得（负值舍去）．故选：D. 8.（多选题）（26-27高二上·湖南长沙·开学考试）下列说法正确的是（   ） A．直线经过两点，那么直线的斜率的取值范围为 B．设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是 C．已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为 D．直线的倾斜角的取值范围是 【详解】对于A，，故直线的斜率的取值范围为，故A错误； 对于B，因为直线的斜率为，，即，，即，所以，故B正确；对于C，由题意可得，直线的斜率为，又倾斜角的范围是，所以直线的倾斜角为，故C错误；对于D，直线的斜率为，由于，所以，因此，设直线的倾斜角为，则有， 由于，所以，即倾斜角的取值范围是，故D正确．故选：BD 题型二 过定点的直线与线段相交问题 1.（26-27高二上·湖北襄阳·阶段检测）已知三点，，，则过点的直线与线段有公共点时（公共点包含端点），直线的斜率和倾斜角的取值范围分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【详解】直线的斜率， 直线的斜率， 结合图形可知，过点的直线与线段有公共点时，斜率满足或，即斜率取值范围为, 设直线的倾斜角为，，由,当时，，解得；当时，，解得；当直线斜率不存在时，倾斜角，此时直线方程为，符合要求，故也满足条件;综上，倾斜角的取值范围为. 2.（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）若点在以，，为顶点的的内部运动（包含边界），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】的几何意义是点与点之间的斜率，在平面直角坐标系中画出草图，观察可知，点与点重合时，斜率，点与点重合时，斜率，所以的取值范围是. 3.（26-27高三上·安徽蚌埠·开学考试）已知平面直角坐标系中的三个点，过点与线段有公共点的直线为，则直线的斜率可以是（    ） A． B． C． D． 【详解】如图所示， 要使过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率满足：或，又，所以的取值范围为：，由，所以直线的斜率可以是. 4.（26-27高二上·河南·阶段检测）已知过点的直线l与以点和为端点的线段相交，则直线l的斜率k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】记点为，由题意可得，，当直线由顺时针转到与轴重合时，直线的斜率满足；当直线由轴顺时针转到与直线重合时，直线的斜率满足，若要保证直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是.    5.（25-26高二上·安徽·期中）已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】 由题可知直线过定点．，，与线段相交，由题意设直线的斜率为．由于在及上均单调递增，直线的倾斜角的范围为．故选:C． 6.（26-27高二上·河南周口·阶段检测）过作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，直线的倾斜角为、斜率为，则的取值范围是_________，的取值范围是_________． 【详解】，. 直线 与线段 有公共点时， 夹在直线 与 之间，所以 ，即 的取值范围是 .因为 （），当 时，； 当 时，；当 时，直线 与线段 无公共点，所以 的取值范围是 . 7.（26-27高二上·河北唐山·阶段检测）已知点，，直线经过点，若，位于直线的两侧，则直线斜率的取值范围为________． 【详解】当直线斜率存在时，设直线的斜率为，由直线过点，可得直线的点斜式方程为，即，根据二元一次不等式表示平面区域的性质，若两点在直线两侧，则两点代入直线一般式左端的取值符号相反，即乘积小于0，因此有，化简得，即，解得，当直线斜率不存在时，直线方程为，此时、均在直线左侧，属于同侧，不符合题意，舍去， 故直线斜率的取值范围为. 8.（26-27高二上·河南郑州·阶段检测）已知坐标平面内四点，，，． （1）求直线的斜率和倾斜角； （2）若，，，可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； （3）若是线段上一动点，求的取值范围． 【详解】（1）因为，；因为直线的斜率为． 设直线的倾斜角为，则；所以直线的倾斜角为； （2）如图，当点D在第一象限时，，． 设，则，解得，故点的坐标为； （3）由题意得为直线的斜率．当点与点重合时，直线的斜率最小，； 当点与点重合时，直线的斜率最大，．故直线的斜率的取值范围为， 即的取值范围为． 题型三 求直线的方程 1.（26-27高二上·福建三明·阶段检测）直线过点且倾斜角为，则其点斜式方程为（   ） A． B． C． D． 【详解】因为直线的倾斜角为，则其斜率，且直线过点，所以其点斜式方程为. 2.（26-27高二上·河南安阳·阶段检测）若直线的倾斜角为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【详解】由.因为该直线的倾斜角为， 所以. 3.（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）经过点，且在轴和轴上截距相等的直线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【详解】当直线在轴和轴上截距都为0时，设直线方程为，将点代入解得， 此时直线方程为，当直线在轴和轴上截距相等且不为0时，设直线方程为，将点代入解得，此时直线方程为，所以满足题意的直线方程为或， 故选：B 4.（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）直线与轴交于点，将绕点逆时针旋转得到直线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【详解】直线即，则直线的斜率为，倾斜角为， 令得，即，则直线的倾斜角为，斜率为，所以直线的斜截式方程为，即直线的方程是．故选：A. 5.（26-27高二上·山东泰安·阶段检测）经过点且在x轴的截距的绝对值是y轴上截距的绝对值两倍的直线方程_____________________. 【详解】若直线过原点，则斜率为，则直线方程为，满足题意，若直线不过原点，设直线方程为，则，得或，则直线方程为或， 综上，直线方程为或或 6.（26-27高二上·江苏淮安·阶段检测）已知直线l经过点，且倾斜角等于直线的倾斜角的一半，则直线l的一般式方程为______． 【详解】直线的斜率，其倾斜角为，， ，故，已知直线的倾斜角，故，故直线的斜率，过点的直线方程为，故一般方程为． 7.（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）已知直线：，直线是直线绕点逆时针旋转45°得到的直线，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【详解】设直线的倾斜角为，则，由直线是直线绕点逆时针旋转45°得到的直线， 故直线的倾斜角为，故直线的斜率为，又在直线上，故直线过点，即直线的方程为，化简得. 8.（26-27高二上·山西太原·阶段检测）过点，且与直线的夹角为的直线方程为________． 【详解】所求直线与直线夹角为，即与直线垂直，可设所求直线方程为：， 代入得：，所求直线方程为：. 9.（26-27高二上·河南·阶段检测）已知的顶点分别为． （1）设的中点为，求中线所在直线的方程； （2）若直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的3倍，求直线的方程． 【详解】（1）由点得线段的中点为，故，       所以中线所在直线的方程为，即． （2）若直线过坐标原点，则其斜率为，此时直线的方程为，即，符合题意；若直线不过坐标原点，由题意设直线的方程为，由直线过点，得，解得，即直线的方程为．综上所述，直线的方程为或． 10.（26-27高二上·贵州黔西南·阶段检测）已知直线，，且直线，的交点为点． （1）若直线经过点，且与直线垂直，求直线的方程； （2）若直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程． 【详解】（1） 直线整理为斜截式方程得，故的斜率，因为与垂直，所以的斜率，又过点，由点斜式方程得：，整理得 （2）联立，解得，，即， 分两种情况讨论： ① 当在两坐标轴上的截距均为0时，设方程为，将代入得，解得，故方程为，即； ② 当在两坐标轴上的截距不为0时，设方程为，即，将代入得，故方程为，即； 综上，的方程为或. 题型四 直线与坐标轴围成的三角形问题 1.（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）已知为坐标原点，过点的直线分别与，轴的正半轴交于，两点，则当的面积取得最小值时，直线的方程为（     ） A． B． C． D． 【详解】设直线的截距式方程为，其中，，因为直线过点，将点代入方程得：，的面积，根据基本不等式，有： 将代入不等式，得： ，两边平方整理得，当且仅当时等号成立， 联立，解得，，将代入截距式方程，得，整理为斜截式得. 2.（26-27高二上·广东广州·阶段检测）过点的直线可表示为，若直线与两坐标轴围成三角形的面积为4，则这样的直线有（ ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【详解】可化为①，要使与两坐标轴能围成三角形，则且，由①令得；令得， 依题意，， 所以或，所以或，设，则或，则或，解得或，即或， 所以这样的直线有条. 3.（26-27高二上·天津南开·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： （1）顶点的坐标； （2）求直线的方程． （3）求的面积． 【详解】（1）因为为边上的高，，所以， 过，得方程为，即，联立方程，解得，故. （2）设，则中点，由题意在上，在上，得，解得，即，则，由点斜式得直线方程为，整理得. （3），点到直线的距离， 所以. 4.（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）已知直线． （1）证明：直线过定点； （2）若直线在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程； （3）若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 【详解】（1）因为直线，即，由，得， 所以直线恒过定点． （2）由，当时，，即，显然不满足题意； 当时，令，得；令，得，由于直线在两坐标轴上的截距互为相反数，则，解得或，则直线的方程为或.综上所述，直线的方程为或. （3）由（2）及题意知，，且直线在轴上的截距为，在轴上的截距为， 由，解得，所以 ，当且仅当，即时等号成立，则的最小值为16，此时直线的方程为，即. 5.（25-26高二上·安徽淮南·阶段检测）已知直线经过点． （1）若在两坐标轴上的截距相等，求的方程； （2）设为坐标原点，若直线与轴正半轴交于点、与轴正半轴交于点，求的最小值，并求此时直线的方程； 【详解】（1）当过坐标原点时，方程为，即，满足题意；当不过坐标原点时，可设其方程为：，，，∴直线l方程为：或； （2）由题意可知：直线斜率存在，且，可设， 令，解得：，，令，解得：，， ∴，当且仅当即等号成立，直线的方程为：，即，∴的最小值为，此时直线方程为：. 6.（26-27高二上·山西太原·阶段检测）直线过点且与轴、轴正半轴分别交于两点. （1）若直线与垂直，写出直线的方程； （2）求面积的最小值； （3）如图，若，过点作平行于轴的直线交轴于点，动点分别在线段和上，若直线平分直角梯形的面积，求证：直线必过一定点，并求出该定点坐标. 【详解】（1）设直线，代入点得：，解得：，直线方程为：. （2）当直线斜率不存在时，不存在点，不合题意；当直线斜率时，不存在点，不合题意； 当直线斜率时，设，令，解得：，即； 令，解得：，即；分别位于轴正半轴，，解得：； ，，，， （当且仅当时取等号），面积的最小值为. （3）设，，则，，，，解得：，；轴，且在轴上，，直角梯形的面积；设，，直线平分直角梯形的面积，四边形的面积为，即，，则， 直线的方程为：，整理可得：， 由得：，直线必过定点，定点坐标为. 题型五 两直线位置关系 1.（26-27高二上·天津南开·阶段检测）已知直线，直线，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【详解】若，则，，显然两直线平行，因此由可以推出，充分性成立；若，则，解得或1，当时，，，此时两直线重合，舍去，当时，，，此时两直线平行，因此由可以推出，必要性成立；综上所述，“”是“”的充要条件． 2.（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）“直线，相互垂直”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】已知直线，相互垂直，则，解得或，若，则直线互相垂直，满足必要性；两直线垂直时，或，不一定是，不满足充分性，故“直线，相互垂直”是“”的必要不充分条件． 3.（26-27高二上·河南郑州·阶段检测）已知点，，，是的垂心，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【详解】设，因为，且，所以.又因为，，所以，解得，因此. 4.（25-26高二上·重庆·期中）已知直线与垂直，则实数的值为（    ） A． B．1或 C．1 D．或5 【详解】由于，所以，解得或.故选：B 5.（25-26高二上·江西宜春·期中）已知，两直线，若，则的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D． 【详解】因为，且，所以，即，且，所以， 当且仅当，即时等号成立.故选：D. 6.（多选题）（26-27高二上·河南周口·阶段检测）已知直线经过，，另有两点，，则（    ） A．倾斜角为0时， B．斜率不存在时， C．存在满足 D．时， 【详解】选项 A：直线经过，，倾斜角为时，得直线的斜率，，，得，A 错误；选项 B：直线经过，，斜率不存在时，则两点的横坐标相等，即， B 正确；选项 C：由，得，若，则，所以，得，方程无解，故不存在这样的，C 错误；选项 D：时，得，所以，得，此时，符合题意，D 正确.故选：BD 7.（多选题）（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角的取值范围是 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C．已知直线与直线平行，则平行线间的距离是3 D．设点，若点在线段上（含端点），则的取值范围是 【详解】选项A:直线 ，变形：，斜率， ，，又倾斜角 . ① ,  ② ，A正确；选项B：直线：，，∵两直线垂直，，∴，解得 或 ，垂直时可取，故只是充分不必要条件，B错误；选项C：∵ 与 平行，∴，，∵，∴平行线间距离：，C错误；选项D：：点与定点连线的斜率，∵ ，∴，∵在线段上移动，结合图形分析：，D正确.故选：AD 8.（多选题）（26-27高二上·河北·阶段检测）已知直线，，则下列说法正确的是（   ） A．的充要条件为或 B．若，则 C．若直线不经过第四象限，则 D．若，则直线关于直线对称的直线方程为 【详解】选项A，显然直线的斜率存在，若，则，解得或，经检验时，这两条直线重合，所以，故的充要条件是， A不正确；选项B，若，则，解得，B正确；选项C，若直线不经过第四象限，则解得，C正确；选项D，若，则直线，即， 显然直线与直线平行，设直线关于直线对称的直线方程为，则直线和到直线的距离相等，则，解得，所以时，直线关于直线对称的直线方程为，即，D正确．故选：BCD 9.（多选题）（26-27高二上·云南曲靖·阶段检测）已知：，：，则下列说法正确的是（   ） A．的必要不充分条件是或 B．若，则 C．若直线不经过第四象限，则 D．若将直线关于原点对称后得到的直线纵截距为1，则 【详解】对于A，若，则，即，解得，或， 当时，，，则，符合题意；当时，，，则，符合题意，所以或时的充要条件，不是必要不充分条件，故A错误；对于B，若，则，解得，故B正确；对于C，将化为斜截式，得，又不经过第四象限，则，解得，故C错误；对于D，由直线：关于原点对称后得到的直线为，则纵截距为，解得，故D正确．故选：BD 10.（多选题）（25-26高二上·安徽合肥·期中）下列说法正确的是（   ） A．“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件 B．"”是“直线与直线互相平行”的必要不充分条件 C．直线的倾斜角的取值范围是 D．若点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是 【详解】A选项：当时，直线与直线斜率分别为， 斜率之积为，故两直线相互垂直，所以充分性成立， 若“直线与直线互相垂直”，则，故或，不能推出，故必要性不成立，故A正确；B选项：由直线平行得，所以是“直线与直线互相平行”的充要条件，故B错误；C选项：直线的倾斜角为，则，因为，所以，故C正确；D选项：如图，由，，结合图像知，故D正确.故选：ACD. 题型六 两直线的交点问题 1.（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）经过与的交点且垂直于的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意联立方程，解得，则直线与的交点为，由可知其斜率为，则与直线垂直的直线斜率为，所以过直线与的交点且垂直于的直线方程为，化简可得.故选：B. 2.（25-26高二上·江西抚州·阶段检测）已知直线与直线互相垂直，交点坐标为，则的值为（    ） A．20 B． C．0 D．24 【详解】已知直线的斜率为，直线的斜率为．又两直线垂直，则，解得． ，即，将交点代入直线的方程中，得．将交点代入直线的方程中，得．所以，．故选：B． 3.（24-25高二上·广东深圳·阶段检测）直线与直线相交于点P，对任意实数m，直线,分别恒过定点A，B，则的最大值为(    ) A．4 B．8 C． D． 【详解】直线，当，得，即点，直线，当，得，即点，且两条直线满足，所以，即，， ，当时，等号成立，所以的最大值为4.故选：A 4.（多选题）（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）已知直线， ，不能围成三角形，则的取值可能为（    ） A． B． C． D． 【详解】（1）当时，，，此时不平行且不重合，故一定能围成三角形，舍去；当时，，由题意可知：①时，，即，则； ②时，，即，则；③，即，则方程无实根. 三条直线交于一点，即，由整理得，所以，即，，解得或.所以.故选：ABD 5.（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）经过点的直线被两条直线和所截得的线段恰被点平分，则直线的方程为（     ） A． B． C． D． 【详解】当直线斜率不存在时，，则直线与两条直线和的交点分别为和，两交点的中点坐标为，不符合题意；当直线斜率存在时，设，由题意可知，.联立，解得交点为，联立，解得交点为， 由题意可知，所以，所以. 6.（2026·湖南衡阳·模拟预测）若点既是，所连线段的中点，又是直线与的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． 【详解】直线与直线的方程相减，可得， 把点代入，可得，所以，又是线段AB的中点， 所以线段AB的垂直平分线的方程是，即. 7.（多选题）（26-27高二上·河南新乡·开学考试）若三条直线，，能围成一个三角形，则的值不可能是（     ） A． B．1 C． D． 【详解】由得所以两条直线交于点．当也过时，，解得，此时三条直线交于同一点，不能构成三角形；当与平行时，有，则，不能构成三角形；当与平行时，有，则，不能构成三角形，所以且且．故选：ACD． 8.（25-26高二下·上海·阶段检测）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，点不与重合.则的最小值是___________ 【详解】直线过定点，直线过定点， ①当时，过定点的直线方程为，过定点的直线方程为，两直线垂直，此时，所以； ②当时，直线的斜率为，直线的斜率为， 因为，所以两直线垂直，即点可视为以为直径的圆上的点，因为点不与点或点重合，为直角三角形，且，所以当且仅当时等号成立，综上，故的最小值为. 9.（25-26高二上·广东湛江·期中）如图，射线分别与轴的正半轴成角，过点作直线分别交于两点，当线段的中点恰好落在直线上时，则直线的方程为___________． 【详解】由题意，可得，所以直线． 当直线斜率不存在时，，的中点不在上，不满足；当直线斜率存在时，设，所以的中点．由点在直线上，且三点共线得解得所以．又，所以，所以，直线的点斜式方程表示为：，即直线的方程为或． 10.（25-26高二上·江西南昌·期中）已知两直线，． （1）求过直线交点P，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程； （2）若直线与直线能构成三角形，求实数a的取值范围． 【详解】（1）由题意得，，解得，∴点P的坐标为．设所求直线为l， （i）当直线l在两坐标轴上的截距不为0时，设直线方程为，则，解得，所以直线l的方程为，即； （ⅱ）当直线l在两坐标轴上的截距为0时，设直线方程为，则，解得， ∴直线l的方程为，即．综上，直线l的方程为或． （2）（i）当直线与平行时，不能构成三角形，此时，解得； （ⅱ）当直线与平行时，不能构成三角形，此时，解得； （iii）当直线过与的交点时，不能构成三角形，此时，解得．综上，当，且，且时，能构成三角形．即实数a的取值范围为. 题型七 距离公式及应用 1.（26-27高二上·河南·阶段检测）已知直线与平行，则这两条平行直线之间的距离为（   ） A． B． C．2 D． 【详解】直线的斜率为，由，得直线的斜率存在，且， 解得，则，即，所以这两条平行直线之间的距离为． 2.（26-27高二上·河南南阳·开学考试）已知直线与直线间的距离为1，则实数m的值为（  ） A．14 B．-14 C．6 D．-14或6 【详解】由题，直线，则两直线距离为或6. 3.（25-26高二上·山东潍坊·期中）已知轴上一点到直线的距离等于3，则点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【详解】设点的坐标为，则点到直线的距离为， 解得或，所以点的坐标为或．故选：D． 4.（25-26高二上·湖北·期中）若，两点到直线的距离相等，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【详解】，，直线，到直线的距离为，到直线的距离为，，两点到直线的距离相等，，，或，或.故选：C. 5.（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）已知直线：.当点到的距离最大时，（    ） A． B． C． D． 【详解】将直线的方程整理为关于参数的形式：令，解得，即直线恒过定点，当直线时，点到直线的距离最大，最大值为，因为直线的斜率为，直线的斜率为（），所以，由两直线垂直的斜率关系得：，化简解得，验证，符合条件.所以，. 6.（25-26高二上·山东聊城·期末）在平面直角坐标系中，记平面内一动点（），若点在直线上，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【详解】如图： 作点关于直线的对称点，则．设，则有，解得，所以．已知点，则，而，所以点到轴的距离为， 所以可理解为直线上的点到轴的距离与到的距离之和． 过作轴，由图知，当且仅当，，三点共线时，和有最小值．因直线与轴交于点，此时轴，且，由图知，当点移动到点时，取得最小值为4．故选：B. 7.（26-27高二上·江西宜春·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点，点为直线上一动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【详解】设点关于直线的对称点为，则，解得，所以，所以，当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立，所以的最小值是. 8.（25-26高二上·江苏盐城·阶段检测）已知，是直线上两动点，且，点，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【详解】不妨设点在点的左边，因为直线的倾斜角为，且，所以点的坐标为，则． 记，则可将理解为直线上一动点到的距离之和，如图，作出点关于直线的对称点，则，连接，交直线于点，则即的最小值，且，故的最小值为．   故选：A. 9.（25-26高二上·湖北十堰·期中）已知实数，，，满足，则的最小值为________. 【详解】由题意得，化简得，所以点分别在两平行直线上，且，而表示这两点之间距离的平方，所以其最小值为两平行直线间距离的平方，即为.故答案为：. 10.（25-26高二上·江西赣州·期中）已知点，在轴上求一点，使最小，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【详解】 根据题意，作出关于的对称点，则，当点与共线时等号成立，则由写出直线方程：，再令得：，故选：A 11.（26-27高二上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）已知，，则的最小值为__________． 【详解】由题可知，，表示边长为1的正方形区域内点的集合. 表示动点到定点四点的距离之和,于是题目转化为求该距离的最小值.因为两点之间线段最短，所以到的距离之和的最小值为正方形对角线长度.同理，到的距离之和的最小值为正方形对角线长度.此时原式最小值为.当且仅当为正方形对角线交点，即时等号成立. 12.（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）若直线过原点，且，两点到的距离相等，则的方程为___________. 【详解】当直线的斜率不存在时，其方程为，此时点到的距离为，点到的距离为，二者不相等，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设其方程为，整理为一般式得， 由点到直线的距离相等，得 ，由于，两边同乘得，所以，整理得，即，解得或,可得直线的方程为即，或即 13.（多选题）（26-27高二上·河南·阶段检测）已知直线过定点A，且点A到直线的距离为2，则（   ） A．点A的坐标为 B．当直线l在y轴上的截距为1时，直线l的方程为 C．直线的方程可以是 D．直线的方程可以是 【详解】对于A，由已知得，令解得所以定点，故A正确；对于B，当直线l在y轴上的截距为1时，直线l过点，代入得，解得，此时直线l的方程为，故B正确；对于C，易知直线过定点，当直线的斜率不存在，即时，可得，此时点到直线的距离为2，符合题意，故C正确；对于D，当直线的斜率存在，即时，由题可得，解得，即直线，故D错误．故选：ABC 14.（25-26高二上·山东临沂·期中）已知直线经过直线与的交点． （1）若点到直线的距离为1，求直线的方程； （2）求点到直线的距离的最大值及此时直线的方程． 【详解】（1）解方程组得即直线的交点为.由题意得，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，点到直线的距离为1，符合题意，所以直线的方程为. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，则点到直线的距离为．由题意，得，解得，所以直线的方程为，化为一般式，得.综上，直线的方程为或. （2）由（1）得直线过点，所以点到直线的距离的最大值为.因为，所以.当点到直线的距离最大时，直线与直线垂直.直线的斜率为，所以直线的斜率为1，所以直线的方程为，即. 15.（26-27高二上·河北·阶段检测）已知三角形的顶点，边上的高所在的直线方程为，点是边的中点． （1）求边所在直线的方程； （2）求点的坐标； （3）求的平分线所在直线的方程． 【详解】（1）因为边上的高所在直线方程为，斜率为，所以边所在直线的斜率为，且经过点，因此边所在直线的方程为，即． （2）设点的坐标为，因为边上的高所在直线方程为，所以， 又因为点是边的中点，根据中点坐标公式，可得的坐标为，由边所在直线的方程为，所以，即， 由，解得，所以点的坐标为． （3）由（2）可得点的坐标为，所以，所以直线的方程为，即，设的平分线所在的直线斜率为，其中任意一点的坐标为， 又直线所在直线的方程为，则，所以，即或，化简得或，又因为，，所以，所以结合图形可知的平分线所在直线的方程为． 题型八 直线的对称问题 1.（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）直线关于直线对称的直线方程是（　　） A． B． C． D． 【详解】设为所求直线上的任意一点，关于直线的对称点为， 则在直线上，则，整理得到即为所求.故选：B. 2.（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【详解】设点关于直线的对称点为，直线，即，因此斜率为1，又垂直直线斜率乘积为-1，所以的斜率为-1，即，化简得，又的中点在直线上，代入得，化简得，联立和，解得故对称点为.故答案选：B. 3.（26-27高二上·江苏淮安·阶段检测）直线关于点对称的直线方程为（  ） A． B．. C． D． 【详解】设直线上任一点关于点对称的直线任一点为，可得，解得，因为在直线上，代入即可得，化简得的，即对称直线方程为. 4.（25-26高二上·广东惠州·期中）已知直线，则直线关于直线的对称直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【详解】由，解得，所以直线与直线的交点为，在直线上取点关于直线对称的点为，所以，解得，所以点关于直线对称的点为，所以直线的斜率为，故对称直线的方程为，即，故选：B. 5.（25-26高二上·广西桂林·期中）若直线关于直线对称的直线经过点，则（    ） A． B．1 C． D． 【详解】设关于直线的对称点为， 所以，解得，所以，又因为在直线上，所以，解得，故选：A. 6.（25-26高二上·江苏苏州·期中）将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点与点重合，若此时轴与直线也正好重合，则的值是（    ） A． B． C． D． 【详解】由点与点重合，则的中点为，，所以的对称轴所在的直线的斜率为，则对称轴为，即，由，即对称轴与轴的交点为，而折叠后，轴与直线也正好重合，即轴与直线关于直线对称，由在轴上，所以点、都在上，则. 故选：A 7.（25-26高二上·安徽阜阳·期末）一束光线从点出发，经直线反射后又经过点，则光线从点A到点B走过的路程为（    ） A．5 B． C．6 D． 【详解】可设光线与直线交于点P，由题意可得，点关于直线的对称点C在反射光线上，设点，则，解得，即，故光线从点A到点B所经过的路程是.   故选：B 8.（25-26高二上·广东·期末）一束光线从点射出，与直线相交于点．经直线反射，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【详解】设点关于直线的对称点，则，解得，即点，故所求直线的斜率为，所以，所求直线的方程为，即.故选：A 9.（25-26高二上·河南洛阳·期中）如图，在中，，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（    ）    A． B． C． D． 【详解】因为，所以, 建立平面直角坐标系如图，作关于的对称点，作关于轴的对称点，、设，则    因为，，所以，解得，由光的反射原理可知：四点共线，所以，所以，代入重心坐标即，所以，解得或 (舍).得，，则,故的周长等于 故选：C. 10.（25-26高二上·河南南阳·期中）已知点，点在轴上，点在直线上，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【详解】如下图所示： 点关于轴的对称点为，设点关于直线的对称点为， 则，解得，即点，由对称性可知，，所以的周长为，当且仅当点、分别为线段与轴、直线的交点时，等号成立，故周长的最小值为.故选：D. 11.（25-26高二上·河南·阶段检测）在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，点的坐标为，则的最小值是（   ） A． B． C．2 D．3 【详解】如图，在直线上，设点关于直线的对称点为，设所在直线为，代入点，可得，解得，故所在直线为， 联立，解得，故直线与直线交点为，则点关于直线的对称点的坐标为，，因为，所以的最小值是.故选：B. 12.（多选题）（26-27高二上·河南焦作·开学考试）已知直线，下列说法正确的是：（    ） A．点关于的对称点的坐标是； B．直线关于的对称直线的方程是； C．直线关于点的对称直线的方程是； D．过点，垂直于直线的直线的方程是 【详解】A：设点关于直线的对称点为，则线段的中点在直线上，且直线垂直于直线，即，解得，所以点的坐标为，A正确. B：解方程组得，则点在所求直线上.在直线上任取一点，设点关于直线的对称点为，则，解得，则点也在所求直线上，由两点式得直线方程为，化简得，故所求直线的方程，B正确.C：在直线上取两点、，则、关于点的对称点分别为、. 因为点、在所求直线上，所以由两点式得所求直线方程为，即C正确.D：直线斜率为3，故垂直于的直线斜率为，过点的垂线正确方程为，整理得，故过点垂直于直线的直线的方程是，故D错误.故选：ABC 13.（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知点、，有一点在直线上运动，当取得最小值时，则点的坐标为_____. 【详解】易知，均在直线的同侧；作出点关于直线的对称点，连接，交直线于，则，所以，当、、三点共线时取等号，即、、三点共线时，最小. 设，则，解得，即. 因为，所以直线为，由，得，即.故答案为：. 14.（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）在坐标平面中，三个顶点坐标分别为，，. （1）求中边上中垂线的一般方程； （2）求中角平分线所在直线的一般方程； （3）求点关于直线：对称的点的坐标. 【详解】（1）由，，得中点坐标为， 的斜率，故中垂线的斜率为， 由点斜式得中垂线方程，即边上中垂线的一般方程为； （2）直线AB的斜率，得，则， 又，， 则是以为直角顶点的等腰直角三角形，故角的平分线为边上的中线， 因中点为，又因，则角平分线的斜率，由点斜式得方程， 即角平分线所在直线的一般方程为； （3）设对称点为，则线段的中点在直线l上且，有，解得，， 所以点关于直线：对称的点的坐标为. 15.（26-27高二上·山东·期中）已知直线l的方程为 ． （1）若直线l与直线m：垂直，求直线l的截距式方程； （2）若直线l在x轴上截距是y轴上截距的2倍，求直线l的一般式方程； （3）已知两条直线：，：恰好关于直线l对称，求a的值． 【详解】（1）若直线l： 与直线m：垂直， 则，解得，此时直线l：，即 . （2）因为直线l在x轴上截距是y轴上截距的2倍， 若，则直线l：与x轴无交点，不合题意； 若，则直线l： 在x轴、y轴上截距分别为、，则，整理可得，解得或，所以直线l的一般式方程为或. （3）设到直线：，：的距离相等，则，整理可得或，可知直线l的方程为或，若直线l的方程为，则，解得；若直线l的方程为，则 ，解得；综上所述：a的值为2或. 题型九 圆的方程问题 1.（26-27高二上·江西·阶段检测）已知方程表示圆，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【详解】方程整理可得，由题意可得：，解得，且，则，可得圆的半径，所以的面积为. 2.（25-26高二上·河北唐山·期末）已知圆经过、两点，圆心在直线上，则圆的方程为（　　） A． B． C． D． 【详解】根据题意设圆心，因为圆经过、两点，则， 所以，解得故圆心为，圆的半径为，故圆的方程为.故选：C. 3.（25-26高二上·河南·阶段检测）已知的三个顶点分别为，则的外接圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【详解】设所求圆的方程是.已知的三个顶点分别为， 因为，且，所以是直角三角形， 所以的斜边的中点，即为外接圆的圆心，斜边的一半即为外接圆的半径，即，所以的外接圆的方程为.故选：D 4.（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）与圆关于直线对称的圆的方程是（   ）. A． B． C． D． 【详解】因为圆转化为标准方程为，所以其圆心为，半径为，设关于直线对称点为：则有． 故所求圆的圆心为：，半径为，所以所求圆的方程为：故选：B． 5.（2026·重庆·三模）已知圆与直线和圆都相切，当圆的半径最小时，其标准方程为（    ） A． B． C． D． 【详解】设圆C的半径为，则，即，则当圆的半径最小时，， 如图1，圆心在过点且与直线垂直的线段上，即在上，设， 则，解得，则，又，故其标准方程为. 6.（26-27高三上·内蒙古锡林郭勒·开学考试）过原点且圆心在轴上的圆与圆外切，则圆的标准方程为__________． 【详解】因为圆的圆心在轴上，所以设圆C的圆心C坐标为，半径设为r,因为圆过原点，所以有，即.因为圆与圆外切，所以有， 所以有，两边同时平方得：，即， 当时，，即，不成立，舍去.当时，，即，则， 所以圆的标准方程为. 7.（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）已知两圆，圆，过两圆交点，且圆心在直线上的圆的一般方程为____________ 【详解】由圆和圆，设所求圆的方程为，即，可得所求圆的圆心为，因为圆心在直线上，可得，解得， 所以所求圆的方程为，所以所求圆的方程为. 8.（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）若圆关于点对称的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【详解】设关于点对称点，则，所以，所以，圆的半径为，所以圆关于点对称的圆的方程为. 故选：A. 9.（2026·福建福州·三模）已知：与交于A，B两点，且四边形的面积为，则的方程不可能是（    ） A． B． C． D． 【详解】所有选项中的半径均为2，已知半径也为 2，因此四边形 是边长为2的菱形，如图所示，四边形 面积为，其中，设， 代入 得方程解得 或 .选项 A：圆心 ，，符合条件；选项 B：圆心 ，，符合条件；选项 C：圆心 ，，符合条件；选项 D：圆心 ，，不符合条件，因此，的方程不可能是D. 10.（25-26高二上·山东临沂·期中）已知圆与圆外切，并且与直线相切于点，则圆的标准方程为___________． 【详解】圆的标准方程为，圆心，半径．因为圆与直线相切于点，所以，且圆的半径．因为直线与轴垂直，所以直线的方程为．因为圆与圆外切，所以，设，则，依题意，所以，解得，所以，所以圆的标准方程为． 11.（26-27高二上·江西·阶段检测）已知直线：，：． （1）若，求； （2）若圆心在坐标轴上，且，为的两条平行切线，求的标准方程． 【详解】（1）因为直线：，：，若，则，得. （2）因为，则，解得， 此时直线：，：，满足，符合题意.因为与间的距离为，则圆的半径为．设圆心在直线：上，则，解得， 即圆心在直线：上，且直线与坐标轴的交点为，，即圆心为或，所以圆的标准方程为或． 12.（25-26高二上·河南焦作·阶段检测）的三个顶点分别是、、． （1）求边上的中线所在直线的方程； （2）求过点、，且圆心在直线上的圆的标准方程； （3）求的外接圆方程． 【详解】（1）边的中点．中线过与，斜率， 故：，即． （2）的中点为，的斜率为，故的垂直平分线方程为． 圆心在直线上，联立解得．半径，故圆的标准方程为． （3）由（2）得圆心，又， ，，故三点均在圆上，所以的外接圆就是圆，方程为． 题型十 二元二次方程表示的曲线与圆的关系 1.（多选题）（25-26高二上·河南郑州·期中）已知方程，则下列说法正确的是（    ） A．该方程一定是圆的方程 B．该方程一定能表示过坐标原点的圆 C．若该方程表示圆，则圆心在定直线上 D．若该方程表示圆，则圆上总存在两点到原点的距离为1 【详解】对于A：由得：，显然该方程表示圆心为，半径为的圆，所以A正确；对于B：将点代入圆的方程得：，显然该圆不过坐标原点，所以B错误；对于C：因为圆心始终在直线上，所以C正确；对于D：由得：，所以，解得或， 所以该方程表示的圆恒过两点，因为这两点到原点的距离都为1，所以圆上总存在两点到原点的距离为1，所以D正确.故选：ACD. 2.（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）若，则方程能表示的不同圆的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【详解】由方程表示圆，得， 即，解得，因为，所以或， 则方程能表示的不同圆的个数是2.故选：A. 3.（25-26高二上·安徽·期中）若方程表示圆，且圆心在第二象限，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】由，化简可得，因为圆心在第二象限，则，所以，解得，所以实数a的取值范围为.故选：D. 4.（25-26高二上·重庆·期中）已知点在圆外，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】由圆，则圆，所以，半径为，且或，由点在圆外，则，所以，可得，综上，或.故选：D 5.（25-26高二上·浙江·阶段检测）已知点关于直线对称的点Q在圆C：外，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【详解】设点关于直线对称的点，则，解得. 因为在外，所以，可得且表示圆可得，即得综上可得.故选：C. 题型十一 弦长及面积问题 1.（2026·北京·三模）已知圆与直线交于A，B两点，若，则实数m的值为（    ） A．6 B． C．6或16 D．或 【详解】化圆的一般方程为标准方程，因此圆心为，半径.已知弦长，则弦长的一半为,根据垂径定理，圆心到直线的距离满足，代入已知数据得，解得.圆心到直线的距离为，即，解得或. 2.（2026·山东临沂·二模）直线与圆交于，两点，且的面积为2，则________． 【详解】圆化为标准形式，圆心，半径； 面积（为圆心到直线的距离），由，得，即，解得；圆心到直线的距离，即，解得或． 3.（26-27高三上·河北沧州·开学考试）已知直线：被圆截得的弦长为，则直线的斜率为（     ） A． B． C． D． 【详解】由直线被圆截得的弦长为，得圆心到直线的距离为，因此，整理得，解得，所以直线的斜率. 4.（26-27高二上·重庆渝中·阶段检测）已知圆与圆，则两圆公共弦长为（     ） A． B． C． D． 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，圆的标准方程为，圆心为，半径为，圆心距为，所以，所以两圆相交，将两圆方程作差得，即， 即两圆相交弦所在直线的方程为，圆心到直线的距离为， 所以两圆的相交弦长为. 5.（2024年高考全国甲卷数学真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【解析】因为直线，即，令，则，所以直线过定点，设，将圆化为标准式为，所以圆心，半径，当时，的最小，此时.故选：C 6.（25-26高二上·重庆渝北·期中）已知圆与直线相交于两点，若为正三角形，则实数的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【解析】圆，即，可知圆心为，半径，且，圆心到直线的距离，因为圆与相交于两点，且为正三角形，所以，即，解得.故选：C. 7.（26-27高二上·河北保定·期中）已知圆：与圆：交于，两点，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【详解】圆的方程配方得，因此圆心，半径； 圆的方程配方得，因此圆心，半径.由两点间距离公式得. 将两圆方程相减，消去二次项得到公共弦所在直线方程，即.点到直线的距离，因此弦长的一半为，即.四边形可拆分为以为公共底的两个三角形和，点到直线的距离，因此总面积. 8.（26-27高三上·广东深圳·开学考试）已知直线，，圆:,则直线被圆截得的最短弦的长度为________． 【详解】由，令，得，所以直线恒过定点， 圆的圆心，半径，由，可得点在圆内部，即直线与圆始终相交，因直线被圆截得的弦长公式为，为圆心到直线的距离，当取最大值时，弦长最短，则当时， ，此时最短弦的长度为. 9.（26-27高三上·浙江·阶段检测）已知圆与圆（，）交于，两点，若存在实数，使得公共弦长，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【详解】由和的标准方程可知，的圆心为，圆心在y轴上，半径，的圆心为，圆心在x轴上，半径.公共弦长，说明是的直径.连接，则， ，由垂径定理可知，连接，.则，即，结合下图可知，b增大时，a缩小，b缩小时，a增大，b取0时，即的圆心为时，a取最大或最小值3或， 即a的取值范围是. 10.（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）已知圆上的点，满足，若的面积为，则的值为________. 【详解】圆的方程可化为，故圆心为，半径，其中．由及的面积不为零，知，为直线与圆的两个不同交点，圆心到该直线的距离为．由，得，再由半径、半弦长与弦心距的关系，得，所以，解得．此时，直线与圆相交，且的面积为，符合题意． 11.（多选题）（26-27高二上·山东菏泽·阶段检测）圆和圆的交点为，，则有（     ） A．公共弦所在直线方程为 B．线段中垂线方程为 C．公共弦的长为 D．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 【详解】A选项，与相减，化简得，故公共弦所在直线方程为，A错误；B选项，的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为，由对称性可知线段中垂线方程即所在直线方程，即，化简得，B正确；C选项，圆心到直线的距离为，故公共弦的长为，C错误；D选项，为圆上一动点，则到直线距离的最大值为到直线的距离加上半径，即，D正确.故选：BD 12.（多选题）（26-27高三上·山东滨州·开学考试）已知圆，直线，则（     ） A．直线上存在点，使得 B．直线被圆截得的弦长为4 C．圆上的点到直线的最大距离为 D．过圆心作直线的垂线，垂足坐标为 【详解】圆的圆心，半径，则圆心到直线的距离，因为，所以直线上不存在点，使得，故A错误； 因为，所以直线与圆相交，所以弦长为，故B正确；因为圆上的点到直线的最大距离为，故C正确；过圆心作直线的垂线，则垂线的斜率为，所以直线方程为，联立，可解得，所以垂足坐标为，故D正确.故选：BCD 13.（多选题）（26-27高二上·福建龙岩·阶段检测）已知动圆与轴、轴均相交，且被、轴截得的弦长分别记为、，则下列说法正确的是（     ） A．可以取任意实数 B．满足的有无数个 C．若圆心在上，则的最大值为 D．若圆心在直线上，则的最大值为 【详解】的圆心，半径，圆心到轴的距离为，到轴的距离为，由圆的弦长公式，得，，且，对于A，由，得，因此不能取任意实数，A错误；对于B，由，得，则，即，又，因此符合条件的圆心有无数个， B正确；对于C，由圆心在⊙上，得，则， ， ，当且仅当时取等号，C正确；对于D，当时，，即，当且仅当时取等号，由圆心在直线上，得且， ，当且仅当时两个等号同时成立，因此的最大值为，D正确.故选：BCD 14.（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）已知以点为圆心的圆与直线相切． （1）求圆的方程 （2）过点的直线与圆相交于，两点，当时，求直线的方程； （3）已知实数x，y满足圆的方程，求的取值范围． 【详解】（1）圆心到直线的距离为，即半径为，故圆的方程为； （2）当直线的斜率不存在时，，直线与圆的交点为，此时，符合题意；若直线斜率存在，设，则圆心到直线的距离为，因为，所以圆心到直线的距离为，则，得，此时，故直线的方程为或； （3）令，则，因为直线与圆有交点，所以，得，故的取值范围为 15.（26-27高二上·江苏·期中）已知圆：（为实数）． （1）若直线被圆截得的弦长为，求的值； （2）若过点的圆与圆相切于点，求圆的标准方程． 【详解】（1）由题意得圆：（为实数）．圆的圆心， 则到直线的距离，所以圆的半径，则，解得. （2）因为圆与圆相切，所以圆的圆心在直线上，又因为，，所以,所以直线的方程为，即为①，因为圆与圆相切于点，所以为圆上的点，又圆过点，所以圆圆心在的中垂线上， ，中点坐标为，所以的中垂线方程为②，联立① ②得 ，所以圆圆心为，半径，所以圆的标准方程为. 16.（26-27高二上·福建龙岩·阶段检测）已知圆经过、两点，圆心在直线:上. （1）求圆的方程； （2）设平行于的直线与圆相交于、两点，且，求直线的方程； （3）设点满足：存在圆上的点，使得，求实数的取值范围. 【详解】（1）设圆心，半径为，则圆的标准方程为， 依题意得：解得：，故所求圆的方程为， （2）因为直线平行于，所以直线的斜率为，设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离，因为，又，所以，解得或，故直线的方程为或. （3）依题意知、、，设，则，， 由得，整理得，所以点在直线上，于是点既在直线上，又在圆:上，依题意：圆:上存在点，等价于该直线与圆有公共点，即圆心到直线的距离，即，即，得，解得，所以实数的取值范围为. 17.（26-27高二上·河南·期中）已知圆的半径为，圆心在直线上，且直线与圆相切. （1）求圆的标准方程； （2）若圆位于第一象限内，直线被圆截得的弦的长度为，求实数的值. （3）若圆位于第四象限内，过作圆的两条切线，为实数，设这两条切线与轴分别交于两点，求的最小值. 【详解】（1）因为圆心在直线上，设圆心为，由题意得，解得或， 故圆的标准方程为或. （2）圆位于第一象限内，故圆心为，所以圆心到直线的距离为，半径，因为直线被圆截得的弦的长度为， 所以，整理得，解得或. 故的值为或. （3）因为圆位于第四象限内，所以圆心为，易知切线斜率均存在，设过作圆的切线方程为，两切线的斜率分别为，，由圆心到切线的距离， 整理得，所以，，在切线方程中，令，则，不妨取，，则，当时，取得最小值，为. 题型十二 切线及切线长问题 1.（2026·北京·高考真题）已知直线与圆相切，则________． 【详解】圆的圆心为，半径. 由直线与圆相切，则得，解得. 2.（25-26高三上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，过点且与圆相切的直线方程为__________． 【详解】由圆，圆心为，半径， 当切线斜率不存在时，切线方程为，此时圆心到切线的距离为1，符合题意； 当切线斜率存在时，设切线的方程为，即， 则，解得，则切线的方程为，即. 综上所述，切线方程为或. 3.（26-27高三上·四川·阶段检测）已知直线：，圆：，则“”是“直线与圆相切”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】由圆的方程得：圆心坐标为，半径，点到直线：的距离为.分析充分性：若，则，则直线与圆相切，充分性成立. 分析必要性：若直线与圆相切，则，即，解得或，必要性不成立.综上，”是“直线与圆相切”的充分不必要条件. 4.（多选题）（2026·全国二卷·高考真题）已知：，：，则（     ） A．点的坐标为 B．当时，与轴相切 C．当时，与相切 D．当与相交时，两个交点所在直线的方程为 【详解】由：，化简可得，所以，的圆心，半径，故A错误；对于B，由，得的半径，所以圆心到轴的距离，即与轴相切，故B正确；对于C，由，得的半径，由于的圆心为，半径，所以，则与内切，故C正确；对于D，由，化简得：，所以与两个交点所在直线的方程为，故D错误.故选：BC 5.（2026·江苏·模拟预测）已知直线，若绕点顺时针旋转后恰与圆相切，则实数（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【详解】直线，斜率，且点在直线上.直线顺时针旋转后与原直线垂直，故旋转后直线斜率.由点斜式得旋转后直线方程，整理得. 圆的圆心为，半径.直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，由点到直线距离公式化简得，解得或. 6.（25-26高二上·甘肃白银·期中）已知，直线为上的动点，过点作的切线，，切点为A，B.当最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【解析】因为，点到直线的距离为，所以直线与圆相离. 由题意知,所以A，P，B，O四点共圆，且，所以.因为，当直线时，，，此时最小，所以直线，由解得所以以为直径的圆的方程为，即.两圆的方程相减得，，即直线的方程为.故选：D 7.（2026·湖南衡阳·二模）已知点P是直线上一点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【详解】圆的圆心C的坐标为，半径为1．因为PA，PB为圆C的切线，切点分别为A，B，所以，，，，所以，．当时，取最小值，，此时取最大值，又，函数在上单调递增，即取最大值，此时取最大值，又，所以． 8.（26-27高三上·河北保定·阶段检测）已知点P是直线上的动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为M，N，则四边形的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【详解】由圆，得圆心，半径，由题意，四边形的面积为，在中， 因此，要使四边形的面积最小，只需要最小即可，此时，即， 所以，，则四边形的面积的最小值为 9.（2026·福建泉州·模拟预测）已知圆，过点作圆的切线，则切线长为______． 【详解】由题可知圆的圆心为、半径为，且， 过点作圆的切线，设切点为A，则切线长. 10.（26-27高三上·四川成都·开学考试）若直线l与圆，圆都相切，切点分别为A、B，则__________. 【详解】圆半径为1，圆心为，圆半径为2，圆心为，画图如下： 由题意得：，，因为，，所以，且相似比为：，所以，则，，，所以 11.（25-26高二上·湖南长沙·期中）已知圆，点P是直线上的动点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为______． 【解析】圆，即，由于PA，PB分别切圆C于点A，B，则，，，所以，因为，所以，又，所以，所以，即，所以最短时，最短，点C到直线的距离即为的最小值，所以，所以的最小值为 12.（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）求圆心在x轴上，且与直线，直线都相切的圆的方程________ 【详解】设所求圆的方程为， 由题意可得：，解得：或，所以所求圆的方程为或. 13.（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）设为直线：上的任一点，过点作圆的两条切线，，切点分别为，，则直线恒过定点______. 【详解】因为为直线：上的任一点，所以设，由于圆的两条切线，，切点分别为，，所以，，则点、在以线段为直径的圆上，即线段是圆和圆的公共弦，则圆心的坐标是，且半径的平方是， 所以圆的方程是， 即  ①，又  ②， ②-①得：，即公共弦所在的直线方程是， 即，由，解得，所以直线AB恒过定点. 14.（多选题）（25-26高二上·贵州遵义·期末）已知圆：与圆相交于，两点，直线，点为直线上一动点，过作圆的切线，，（，为切点），则说法正确的是（    ） A．直线的方程为 B．线段的长为 C．直线过定点 D．的最小值是 【详解】对于A选项，联立两式相减，得到即为直线的方程， 故A错误；对于B选项，联立，可得联立或，则，故B正确；对于C选项，设，，因为，为圆的切点，所以直线的方程为，直线的方程为，设，则，所以直线的方程为，又因为，所以，由，得到，即直线过定点，故C正确；对于D选项，因为，所以当最小时，最小，且的最小值为，此时，故D错误.故选：BC 15.（多选题）（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知圆：，则下列说法正确的是（   ） A．若过原点作的切线，则其中一条切线的方程为 B．若是上一点，则的最大值为 C．若直线与相交，且交点为，，则有最小值 D．若上到直线（）的距离为的点有且仅有个，则实数的取值范围是 【详解】对于A,将配方得标准方程，显然圆心到轴距离为1，一条切线为，A正确；对于B，令，，则，其中，所以的最大值为16，B正确；对于C，直线，亦即，恒过定点，恰在上，所以，两点可以无限接近，但不能重合，所以没有最小值，C错误； 对于D，若上到直线（）的距离为1的点有且仅有2个，等价于圆心到直线的距离小于2，即，解得，所以的取值范围是，D正确.故选：ABD 16.（多选题）（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）下列结论正确的是（     ） A．若直线与圆相交，则点在圆的外部 B．直线被圆所截得的最短弦长为 C．若圆上有4个不同的点到直线的距离为1，则有 D．若过点作圆的切线只有一条，则切线方程为 【详解】对于A，直线与圆相交，所以，即，因此点在圆的外部，故A正确；对于B，直线方程变形得，，可知该直线必过定点，因此圆心到直线的距离的最小值为，此时该直线被圆所截的弦最短，弦长为，故B正确；对于C，到直线距离为且平行的直线分别为和，圆心到直线的距离为，到的距离为，该圆要与直线距离为的点有四个，等价于与和分别有两个交点，所以半径需满足，，即，故C错误；对于D，过点作圆的切线只有一条，则点在圆上，代入可得圆，过点的半径所在直线的斜率为，故切线的斜率为，则切线方程为，即，故D正确.故选：ABD 17.（多选题）（26-27高二上·江西·阶段检测）已知圆：，直线：，为上的动点，过点作圆切线，，切点为，，下列结论正确的是（    ） A．若，则直线方程为 B．若，则 C．当四边形面积最小时， D．当四边形面积最小时，直线方程为 【详解】对于A，圆的方程化为，故圆心为，半径为． 设，由在直线上，得．由圆的切点弦方程，直线满足，即． 当时，由得，所以的方程为，选项A正确；对于B，此时．在直角三角形中，，且． 又平分等腰三角形的顶角，所以，不等于，选项B错误；对于C，由于，，且，四边形的面积为．又，所以四边形面积最小时，取最小值，即为圆心到直线的垂足．，故，选项C正确；对于D，圆心到直线的垂足为．代入切点弦方程，得，即，选项D正确．故选：ACD 题型十三 两圆的公切线问题 1.（26-27高三上·广西柳州·阶段检测）圆和圆的公切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】圆即，表示以为圆心，半径为1的圆.圆即，表示以为圆心，半径为4的圆.两圆的圆心距为，等于两半径之和，所以两圆外切，所以两圆的公切线条数为3. 2.（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）若圆与圆有四条公切线，则实数的取值范围为_______. 【详解】因为两圆有四条公切线，故两圆相离，而可化为，故此圆的圆心为，半径为，可化为，故此圆的圆心为，半径为，所以，故. 3.（26-27高二上·河北唐山·阶段检测）已知两圆的方程：，：，则它们的公切线的条数为________． 【详解】圆的圆心坐标为，半径，圆的圆心坐标为，半径，圆心距，，，因为，所以圆和圆相交，根据两圆位置关系与公切线条数的对应规则，相交的两圆共有条公切线． 4.（25-26高二上·安徽·期末）已知圆，圆，若与有且仅有2条公切线，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【详解】圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径，若与有且仅有2条公切线，则两圆相交，又，，解得.故选：D. 5.（25-26高二上·广东·期末）若圆与圆有且仅有三条公切线，m的值为（     ） A．3 B．-3 C．4 D．-4 【详解】圆的圆心，半径，圆化简得，则，即，则圆的圆心为，半径， 又圆与圆有且仅有三条公切线，故两圆外切，则，即，解得.故选：B. 6.（多选题）（2026·新疆乌鲁木齐·二模）已知圆和圆，则下列直线与两圆都相切的是（   ） A． B． C． D． 【详解】圆，其圆心，半径，圆，其圆心，半径，，所以两圆外切，有3条公切线，由，其中两条外公切线与直线平行，又，设外公切线方程为，则到直线的距离，解得，所以两条外公切线方程为和；内公切线过的中点，且与直线垂直，其斜率为，其方程为，即.故选：BCD 7.（25-26高二上·山东菏泽·阶段检测）写出与圆和圆都相切的所有直线的方程______________.（写出全部符合题意的直线方程，漏写不给分） 【详解】圆的圆心为，半径为1；圆的圆心为，半径为4， 圆心距为，所以两圆外切，如图，有三条切线，可得切线的方程为； 因为，且，所以，设，即，则到的距离，解得（舍去）或，所以；可知和关于对称，联立，解得在上，在上取点，设其关于的对称点为，则，解得，则，所以直线，即，综上，切线方程为，和. 8.（25-26高二上·重庆·期中）写出与圆和都相切的一条直线的方程______. 【详解】圆的圆心为，，圆的圆心为，， 圆心距，两圆外离，因此存在四条公切线.设所求直线的方程为 ，化为一般式为：，依题意得：，解得：或或或，故公切线方程为：，，，.故答案为：，，， 9.（25-26高二上·江西南昌·期中）若圆与圆（）有且仅有2条公切线，则的取值范围为 . 【解析】由圆，可得圆心，半径，圆，可得圆心，半径.因为圆与圆有且仅有2条公切线，可得圆与圆相交，又因为， 所以点在以原点为圆心，半径分别为2和4的圆所夹的圆环内部（不含边界）， 因为，所以代表点到直线的距离的倍， 又因为圆心到直线的距离为，所以圆环内的点到直线的距离，所以的取值范围为.故答案为：. 10.（多选题）（25-26高二上·浙江·期中）已知圆，圆，P，Q分别是圆与圆上的点，下列说法正确的是（    ） A．若圆与圆外切，则 B．当时，则两圆公共弦所在直线方程为 C．当时，若直线的斜率存在，则斜率的最大值为 D．当时，过点作圆两条切线，切点分别为A，B，则存在点，使得 【详解】选项A：若两圆外切，则，解得，故A正确；选项B：当时，，即，联立，可得， 所以公共弦所在直线方程为，故B错误；选项C：当时，， ，所以两圆相离，因为直线的斜率存在，分析可得，当PQ为两圆的内公切线时，斜率最大，作出两圆图象，如下图所示，   设PQ和CD为两条内公切线，设交于点A，因为圆的圆心为，且，所以切线CD的方程为x=1，且，因为CD为公切线，所以， 所以，所以，所以，所以， 所以，所以，故C正确. 选项D：当时，，因为P在上运动，所以，即，若时，由，可得四边形为正方形， 所以，符合题意，所以存在点，使得，故D正确.   故选：ACD 题型十四 与圆有关的轨迹问题 1.（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）已知定点，点P是圆上一动点，点Q是线段AP的中点，则点Q的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【详解】设点，，定点，点Q是线段AP的中点， 所以，则，即，又因为动点P在圆上，所以， 则，所以点Q轨迹方程为.故选：A 2.（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知圆：，又点在圆上运动，点，则线段中点的轨迹方程为______. 【详解】设在圆上运动，则：①, 设的中点，由中点坐标公式：，解得， 将代入①：得化简得：即： 因此线段中点的轨迹方程为：． 3.（25-26高二上·云南昆明·期中）在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，则点的轨迹方程为_____. 【详解】设动点，又，，则，， 因为点满足，所以，化简整理得， 所以动点的轨迹方程为. 4.（25-26高二上·湖北荆州·期中）已知定点，点在圆上运动，的平分线交于点，则点的轨迹方程是__________. 【详解】由题意知，设，，因为是的平分线，所以，所以，所以，所以，所以， 将点代入圆的方程，可得，所以的轨迹方程为；故答案为：. 5.（25-26高二上·重庆北碚·期末）已知圆，是圆的一条动弦，，则的中点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【详解】圆，圆心，半径.设弦的中点为，连接. 在中，，， 所以.是点到圆心的距离， 所以，即.故选：D. 6.（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）已知圆：； （1）若直线与圆相切，且在轴和轴上的截距相等，求直线的方程. （2）过点的直线与圆交于，两点，线段中点为，求点轨迹方程. 【详解】（1）圆：，化为标准方程可得 得圆心  ，由直线在轴和轴上的截距相等可假设： ①当相等的截距为0时，设直线：即，由得， 所以直线的方程为：， ②当相等的截距不为0时，设直线，由得或， 所以直线的方程为：或， 综上，直线的方程为：或或； （2）由是中点，得，又A，P，B，M共线，得，所以点的轨迹是以为直径的圆，圆心为的中点，因为，，所以圆心为，半径为， 则点轨迹方程为． 7.（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）已知圆：，为坐标原点，动点在圆外，过作圆的切线，设切点为， （1）若点运动到处 （i）求此时切线的方程 （ii）求四边形的面积 （2）求满足条件的点的轨迹方程． 【详解】（1）将圆化成标准方程为， 所以圆心为，半径， （i）当过点切线的斜率不存在时，此时方程为，圆心到直线的距离为，满足要求； 当切线的斜率存在时，设切线方程为，即， 则，解得，所以切线方程为，即； 综上，满足条件的切线方程为或. （ii）由（i）不妨设点，又，所以，且，由圆的性质可得，，所以. （2）设，则，，由圆的性质可得，所以，所以，整理得， 所以点的轨迹方程为. 8.（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）在直角坐标系中，、，动点满足. （1）求动点的轨迹方程； （2）过坐标原点的动直线与轨迹交于点、，点. ①若，求弦的长； ②对于任意直线，存在常数，满足，求的值. 【详解】（1）由可得，则， 化简整理得，即圆的方程为； （2）①解法一：在圆的方程中令，可得或，所以圆交轴于点、，此时，故直线不与轴重合， 设直线的方程为，设点、，联立方程组得，化简整理得，则，由韦达定理可得，， 因为，所以，又，，则， 所以，解得，又，所以，解得，则，所以，，由弦长公式； 解法二：在圆的方程中令，可得或，所以圆交轴于点、，则，，由相交弦定理可得，解得，所以. ②由，则，即，又点在圆上，则， 所以，代入上式可得，化简整理得，又知对任意动直线均满足，所以，消去可得，整理得，解得或，当时，点与原点重合，舍去，所以. 题型十五 直线与圆及圆与圆的位置关系 1.（26-27高二上·广东深圳·阶段检测）圆和圆的位置关系为（ ） A．内含 B．内切 C．外切 D．外离 【详解】圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径； 则两圆的圆心距，两圆的半径之差为，所以两圆内含. 2.（26-27高二上·广西南宁·阶段检测）已知圆：与圆：，则“”是“与有公共点”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】圆的标准方程为，圆：， 故，若圆与圆有公共点，则有， 即，解得，能推出，当时，推不出， 故“”是“圆与圆有公共点”的必要不充分条件. 3.（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知圆：（）关于直线对称，圆：，则圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 【详解】圆 的圆心为 ．因为圆 关于直线 对称，所以圆心在该直线上，故解得 ．所以即故圆 的圆心为 ，半径 ；圆 的圆心为 ，半径 ．两圆圆心距又 ，因此 ，所以圆 与圆 外切． 4.（26-27高二上·福建龙岩·阶段检测）已知圆，下列命题正确的是（ ） A．对于任意的，点在圆外 B．对于任意的，总存在使直线与圆恒相切 C．对于任意的，总存在使直线与圆恒相切 D．若，已知点是直线上一动点，是圆的两条切线，是切点，则四边形的面积的最小值为 【详解】对于A：取，则圆，因为，所以点在圆上，故A错误；对于B：由圆，则圆心为，半径为1，所以圆心到直线的距离为，当时，，此时，即此时不存在使直线与圆相切，故B错误；对于C：对于任意的，令，此时，即对于任意的，总存在使直线与圆相切，故C正确；对于D：当时，圆，则圆心为，半径为1，圆心到直线的距离为，则的最小值为， 所以四边形的面积为，故D错误. 5.（26-27·广东深圳·开学考试）直线绕原点逆时针旋转后所得直线与圆的位置关系是（ ） A．相交且相交弦长为 B．相交且相交弦长为 C．相切 D．相离 【详解】设直线的倾斜角为，直线绕原点逆时针旋转后所得直线的倾斜角为，则，，所以，所以，即，圆的圆心为，半径为，所以圆心到直线的距离为：，所以圆与直线相交，相交弦长为：. 6.（26-27·湖南衡阳·开学考试）已知圆：，点关于直线：的对称点在圆上，则（） A．与圆相交 B．与圆相切 C．与圆相离 D．以上都有可能 【详解】∵圆，∴圆心，半径；关于直线对称，且原点在直线上，，，则，故在圆上，联立，解得，，，∵，∴，得，所以直线方程为，圆心到直线的距离：， ，直线与圆相离. 7.（26-27·甘肃白银·阶段检测）已知圆的圆心在直线上，圆被轴截得的弦长为8，且与圆：内切，则圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【详解】设圆心，圆的半径为，圆心到轴距离，根据弦长公式可知：，圆：，圆心，半径，两圆内切可知，同时，则， 代入得，令，则，解得，则 8.（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）已知圆上到直线的距离为的点有且仅有个，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】与直线平行的直线可表示为，两平行直线相距为时，，解得或，所以与已知直线平行且相距为的直线是和.要使圆上到直线的距离为的点有且仅有个，即圆与和的交点数总和为，圆的圆心到直线的距离，所以直线与圆必相交，交点有个， 因此圆与直线只能有一个交点，即圆心到直线的距离为，所以，解得. 9.（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）若圆上恰有3个点到直线的距离为1，则（    ） A．1 B．3 C．4 D．5 【详解】圆心到直线的距离为，若圆上恰有3个点到直线的距离为1，说明两条平行于直线，且到该直线距离为1的直线中，一条与圆相切，另一条与圆相交，. 10.（26-27·福建泉州·开学考试）若圆与圆无公共点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【详解】圆化为标准式：圆心，半径, 圆，圆心，半径，两圆无公共点，即外离或内含， 圆心距，若两圆外离，则，即，解得或；若两圆内含，则，无解．因此两圆无公共点的条件是． 11.（26-27高三上·北京·开学考试）已知向量，，，若向量满足且，则符合条件的向量的个数为（     ） A．0 B．2 C．4 D．6 【详解】设，所以，则或.不妨设，为坐标原点，，，，则.由于，则点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 由于，所以，当时，此时， 则点也在射线上（过点远离点），由于点在圆内，所以射线与圆有一个交点，即符合条件的向量有1个.同理，当时，此时则点也在射线上（过点远离点），由于点在圆内，所以射线与圆有一个交点，即符合条件的向量有1个，综上，符合条件的向量的个数为2. 12.（新高考全国Ⅱ卷·高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________． 【详解】解：关于对称的点的坐标为，在直线上，所以所在直线即为直线，所以直线为，即；圆，圆心，半径，依题意圆心到直线的距离，即，解得，即；故答案为： 13.（多选题）（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）已知直线：与圆：，点，则下列说法正确的是（     ） A．若点在圆上，则直线与圆相切 B．若点在圆内，则直线与圆相离 C．若点在圆外，则直线与圆相离 D．若点在直线上，则直线与圆相切 【详解】由题可得圆的半径为，圆心坐标为，对于A，若点在圆上，则， 根据点到直线距离公式可得，故直线与圆相切，故A正确； 对于B，若点在圆内，则，根据点到直线距离公式可得，故直线与圆相离，故B正确；对于C，若点在圆外，则，根据点到直线距离公式可得，故直线与圆相交，故C错误；对于D，若点在直线上，则，即， 根据点到直线距离公式可得，故直线与圆相切，故D正确；故选：ABD 14.（多选题）（26-27高三上·陕西榆林·开学考试）已知关于直线对称，，则（    ） A． B．经过的直线方程为 C．与的公切线的数量为3 D．若，分别是圆与圆上的点，则的最大值为 【详解】对A，因为关于直线对称，所以圆心在直线上，所以.故A正确；对B，根据两点式，直线的方程为：即.故B正确；对C，因为，，，所以， 所以与相交，故两圆有2条公切线.故C错误；对D，.故D正确.故选：ABD 15.（多选题）（26-27高三上·浙江·开学考试）已知点P为圆上的一个点，点，，则（    ） A．过点A一定存在两条直线与圆C相切 B．存在实数a，使得 C．存在实数a，使得 D．存在实数a，使得 【详解】圆的圆心为，半径为1，圆心C在直线上，选项A，当时，，即在圆内，过点A不存在圆C切线，A错误；选项B，，则在以为圆心，2为半径的圆上，当时，，，因此圆B与圆C相交，即圆C上有点P，满足，B正确；选项C，，则P在以为直径的圆上，圆心为，半径为，取，即，，显然，即圆M与圆C相交，所以圆C上有点P，满足，C正确；选项D，，设，则，化简得，即在以为圆心，2为半径的圆上， 由于，从而取任意实数，都有圆N与圆C外离，所以不存在P，满足，D错误.故选：BC 16.（多选题）（2026·湖北十堰·模拟预测）已知圆，直线，则（   ） A．直线恒过定点 B．当时，直线与圆相切 C．存在实数，使得直线与圆相交于两点，且 D．若直线与圆交于两点，则面积的最大值为 【详解】对于A选项，由得，则当时，直线方程不含且，故过定点，A选项正确；对于B选项，当，则直线方程为，联立圆的方程得， 解得，有两个解，故与圆相交，B选项错误；对于C选项，圆心坐标为，圆心到直线的距离为，因为，故，解得，因此存在实数，使得直线与圆相交于两点，且，故C选项正确；对于D选项，由C选项可得，则，，则，令，则，令，为开口向下的二次函数，对称轴为，因此在上，单调递增，所以，因此没有最大值，故D选项错误.故选：AC 题型十六 直线与圆中最值及范围问题 1.（26-27高二上·黑龙江牡丹江·阶段检测）已知点在圆上，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】设，则，代入中，得， 整理得，又点是圆上的点，即上述方程有实数解， 所以，解得或，故的取值范围为． 2.（26-27高二上·江西·阶段检测）过圆：上的点作圆：的切线，切点为，则最大值为（    ） A． B． C． D． 【详解】圆：的圆心为，半径，圆：的圆心为，半径，则，又 因为的最大值为，所以最大值为. 3.（26-27高二上·江苏泰州·阶段检测）已知是圆上一个动点，且直线与直线相交于点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】直线的方程可化为，由可得，所以，直线过定点， 直线的方程可化为，由可得，所以，直线过定点， 对于直线、，因为，则，即，设线段的中点为，设点， 由直角三角形的几何性质可得，即，化简可得，所以，点的轨迹为圆，因为，所以，圆与圆外离， 所以，，，因此，的取值范围是.故选：B. 4.（26-27高二上·江西南昌·阶段检测）若圆上到直线的距离为3的点仅有2个，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【详解】圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离， 依题意可得，即，解得. 5. （26-27高二上·重庆渝中·阶段检测）已知圆的圆心为，且截轴所得弦长为，若圆上恰好有 4 个不同的点到直线的距离为 2，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【详解】圆心到轴的距离为2，又圆截轴所得弦长为，由垂径定理得， 即圆的半径，又∵圆上恰好有4个不同的点到直线的距离为2，∴圆心到直线的距离，即，解得. 6.（26-27高三上·安徽合肥·阶段检测）已知圆，若直线上至少存在一点，使得圆上恰有两个点与点的距离都为2，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【详解】因为圆上恰有两个点与点的距离都为2，所以以为圆心，以为半径的圆与圆相交， 因为圆的圆心为，半径为，所以，即，所以直线上至少存在一点使得，所以点到直线的距离小于， 即，解得，所以的取值范围是. 7.（26-27高二上·江苏泰州·阶段检测）已知直线与圆交于不同的两点，O是坐标原点，且有，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】设中点为C，则，∵，∴，∴，∵，即，又∵直线与圆交于不同的两点，∴，故，则，.故选：C． 8.（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的最小值为（　　） A．14 B．13 C．12 D．11 【详解】解：以为直径的圆的方程为，圆心为原点，半径为.圆的圆心为，半径为.要使圆上存在点，使得，则圆与圆有公共点，所以，即，所以，又，所以，所以的最小值为.故选：C 9.（26-27高二上·黑龙江大庆·阶段检测）已知圆，圆，若圆上存在点，过点作圆的两条切线，切点为，，使得为钝角，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【详解】设点到圆心的距离，由切线性质，平分，在直角三角形中，，已知为钝角，则，故， 解得，故圆存在点，使得，圆的圆心为，半径， 圆心到的距离，故，因为圆上的点到的距离范围为，要使该区间与有交集，则需，即，故，解得，故的取值范围是． 10.（多选题）（26-27高三上·广东湛江·开学考试）已知圆：与圆：有公共点，则（     ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【详解】由题得圆：的圆心为，半径为；圆：的圆心为，半径为；因为圆与圆有公共点，所以，又，所以由，可得，由可得，所以，所以的最小值为，最大值为.故选：BC 11（多选题）（26-27高二上·重庆渝中·阶段检测）已知圆：，圆心为，点在圆上，点在直线上， 为坐标原点，直线与圆的其中一个交点为，则下列说法正确的是（     ） A．的最小值为2 B．记中点为，不存在点使得 C．若 ，则 的最小值为 D．若 ，则的最大值为 3 【详解】对于A，，则，设，则，所以，点在圆：上，所以，所以的最小值为，故A正确.对于B，设，则中点，所以，，所以， 令，解得或，有解，故B错误.对于C， 当时，点到直线的距离，则，在中，，，由正弦定理得：，所以，所以，所以， 点在上，所以或，的最小值为，即的最小值为 ，故C正确.对于D，的最大值为，所以的最大值为 3，故D正确.故选：ACD 12.（多选题）（26-27高二上·江苏泰州·阶段检测）已知是圆上的两点，则下列结论中错误的是（    ） A．若，则 B．若点到直线的距离为，则 C．d，则的最大值为 D．的最小值为 【详解】依题意，如图所示： 对于选项A，若，在中，， 所以，所以，故A错误；对于选项B，若点到直线的距离为，由垂径定理易得，即，解得，故B正确；对于选项C，，其几何意义为，到直线的距离之和的倍，设中点为，则有（梯形中位线），因为，所以， 所以在直角三角形中，，所以点的轨迹为以原点为圆心，为半径的圆，即，所以的圆心到直线的距离为，所以，所以，故C错误；对于选项D，因为，所以当的夹角为时取得最小值，故D错误.故选：ACD 13.（多选题）（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）已知圆：，直线：与交于，两点，点为弦的中点，，则（   ） A．弦长有最小值 B．有最大值为 C．面积的最大值为 D．的最大值为 【详解】如图： 对于A，由圆，可得圆心，半径， 由直线，可得，所以直线过定点，且点在圆内部，根据圆的性质，只有当直线时，弦取得最小值，但，直线的斜率为，所以无法成立，弦长没有最小值，故A错误；对于B，因为是弦中点，连接，则，所以点的轨迹是以为直径的圆（不含点），方程为，其中圆心为，半径， 所以的最大值为，故B正确；对于C，因为，要使得的面积最大，只需点到直线的距离最大即可，由直线的方程为，即，则圆心到直线的距离为， 所以点到直线的最大距离为，所以的面积最大值为，故C正确；对于D，设，且，，可得，， 所以，因为动点的轨迹方程为，设，可得，因为直线与圆必有公共点， 所以，即，解得，所以的最大值为，故D正确.故选：BCD 14.（多选题）（26-27高二上·黑龙江吉林·期中）已知动点与两定点，的距离的比为，设点所构成的曲线为，则（ ） A．曲线的方程为 B．曲线上的点到直线的最小距离为 C．曲线上恰有三点到直线的距离为，则 D．若点坐标为，则的最小值为 【详解】设点的坐标为，根据题意，，即，所以，整理得，即，因此，曲线是以为圆心，为半径的圆，故A正确；圆心到直线的距离为：， 则曲线上的点到直线的最小距离为，故B正确；圆心到直线的距离为：，若曲线上恰有三点到直线的距离为，则， 所以，即，解得或，因此，的取值不唯一，故C错误；曲线的方程，， 因此，因为，，所以，因此，故D正确.故选：ABD 15.（多选题）（26-27高二上·江西宜春·阶段检测）已知实数满足方程，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的取值范围为 D．的最大值为 【详解】由得，所以方程表示圆心是，半径为的圆，选项A，设，即，因为点在圆上，所以可知直线与圆有交点，所以圆心到直线的距离，即，所以，即的最大值为，故A正确；选项B，由表示圆上的点到点的距离的平方，又，所以点在圆外，由圆心到点的距离为，所以圆上的点到点的最小距离为，如图所示： ，所以的最小值为；故B错误；选项C，由可知，该表达式表示圆上的点到直线的距离的倍，由圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线的距离的范围为即， ，所以的取值范围为，故C正确； 选项D，表示圆上的点与点连线的直线的斜率，由，所以点在圆外，设该直线的斜率为，则该直线的方程为：即， 由题意可知当直线与圆相切时，有最值， ，所以当直线与圆相切时有，化简得：，解得：，即的最大值为，故D错误.故选：AC 16.（26-27高二上·陕西西安·阶段检测）过圆：外一点作圆的切线，，切点为，，则的最小值为_______． 【详解】如图，连接，圆的标准方程为，则圆的半径为， 设，则，因为，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为. 17.（26-27高二上·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知圆C：，点在直线上运动.若C上存在点Q，使，则的取值范围是___________. 【详解】由题可知圆心，半径，过点作于点，连接， 在中，，所以，又，所以， 又在直线上，所以，所以，所以，解得，所以的取值范围是. 18.（26-27高二上·江苏泰州·阶段检测）已知动圆，则圆在运动过程中所经过的区域的面积为______；为直线上一点，过点作圆的两条切线，切点为A、B，当时，的取值范围为______. 【详解】动圆的圆心，半径，令，则由得在以圆心，半径的圆上．圆在运动过程中所经过的区域的面积相当于以圆心，半径为的圆的面积，即； 到直线的距离，由，则，即， ， 令，则，则，由对勾函数在上单调递增，故，有.所以的取值范围为.故答案为：；. 题型十七 直线与圆的综合问题 1.（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）已知圆过与两点，且关于直线对称． （1）求圆的方程； （2）过点的直线与圆交于，两点 （i）若的面积为2，求的斜率 （ii）若为线段的中点，求的方程． 【详解】（1）圆过与两点，故圆心在线段的垂直平分线上， 其中，故，线段的中点坐标为，所以直线的方程为，即，又圆关于直线对称，所以圆心在直线上， 联立与得，所以圆的圆心为，半径为， 故圆的方程为； （2）（i）当过点的直线的斜率不存在时，方程为， 中，令得，无解，不合要求，当直线的斜率存在时，设为，即，圆心到直线的距离为，，因为的面积为2，所以，解得，负值舍去， 所以，解得或1，所以直线的斜率为或1； （ii）设，因为为线段的中点，所以，由题意可知，均在圆上，所以，即，两式相减得， 代入得，解得或，故或，故或，所以直线的方程为或，即或； 2.（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）平面直角坐标系中，点，圆与轴正半轴交于点. （1）求过点与圆相切的直线方程； （2）求过点且被圆截得的弦长为的直线方程； （3）过点的直线与圆交于不同的两点，判断直线QA，QB的斜率之和是否为定值，若是则求出该定值，若不是则说明理由. 【详解】（1）圆的圆心为，半径为2， 若过点垂直于轴的直线，恰与圆相切，符合题意；设另一条直线的斜率为，其方程为，即，因为该直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为，解得，则该切线方程为.综上，过点与圆相切的直线方程为和. （2）因为截得的弦长为且半径，所以圆心到直线的距离为， 由，解得或，即所求直线为或. （3）由题意知点，显然直线的斜率存在，设直线方程为，联立，得，设，则， 且，解得，设直线QA，QB的斜率分别为， ，所以是定值，定值为． 3.（26-27高二上·云南曲靖·阶段检测）已知圆C过点和且半径为1． （1）求圆C的方程； （2）当圆C的圆心在x轴上时： （ⅰ）若P的坐标为，求过点P与圆C相切的直线方程； （ⅱ）直线与圆C交于E，F两点，求的取值范围（O为坐标原点）． 【详解】（1）因圆C过点和，则线段的中点为，斜率为1，则其中垂线方程为，即，设圆心为，因圆的半径为1，则可得，解得或 当时，，圆的方程为；当时，，圆的方程为. （2）依题意圆心纵坐标，则圆心，半径，圆的方程为. （ⅰ）因过点斜率不存在的直线恰与圆相切，即一条切线方程为； 设另一条切线斜率为，则可设其方程为，即. 由圆心到直线的距离 ，解得，则得切线方程为. 综上，切线方程为或； （ⅱ）联立，消去整理得.依题意，解得，设，则， 则， ，因该函数的对称轴为，故，即的取值范围为. 4.（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）已知圆，点，点为圆上的动点，线段的中点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）设，过点作与轴不重合的直线交曲线于两点. （i）过点作与直线垂直的直线交曲线于两点，求四边形面积的最大值； （ii）设曲线与轴交于两点，直线与直线相交于点，试讨论点是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由. 【详解】（1）设，因为点在圆上，所以  ①. 因为为中点，所以，整理得。代入①式中得，整理得所以曲线的方程为    （2）（i）因为直线不与轴重合，所以设直线的方程为，即. 则直线为设曲线的圆心到直线和直线的距离分别为.则，所以. 所以 当时，. 当时，，当且仅当时等号成立. 综上所述，四边形面积的最大值为7. （ii）设，联立，得.则，.因为曲线与轴交于两点，所以.则直线的方程为，直线的方程为，联立两直线方程得. 直线与直线的交点在定直线上    5.（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）已知圆，，， （1）直线被圆M截得的弦长为，求直线l的方程； （2）圆H过圆M与圆N交点， （ⅰ）当圆H面积最小时，求圆H的方程； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，若直线与圆H交于C，D两点，探究当k不断变化时，在y轴上是否存在一定点E，使得y轴平分？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1） 设圆心M到直线l的距离为d，则，故， 由得或，故直线l的方程为或． （2）（ⅰ）设圆M与圆N交点分别为P，Q，圆H面积最小时，圆H是以为直径的圆， ，即，① 圆，即，② ①−②得公共弦所在直线方程：，圆M圆心、圆N圆心，两点连线的斜率，所以直线，直线垂直平分，故圆心H就是直线与的交点， 联立解得．将代入，得，即，所以，所以圆H的方程为． （ⅱ）假设存在点E，使得y轴平分，满足，设，，， 则，将，代入， 得，即．（*）联立，得，．根据根与系数的关系，得，，所以，代入（*）式，得，即，因为对任意k，等式恒成立，所以，解得，因此存在定点满足条件． 5.（26-27高二上·江苏泰州·阶段检测）设，，，圆Q过A，B，D三个点. （1）求圆Q的方程； （2）设点，若圆Q上存在两个不同的点P，使得成立，求实数的取值范围； （3）设斜率为k的直线l与圆Q相交于E，F两点（不与原点O重合），直线OE，OF斜率分别为，，且，证明：直线l恒过定点. 【详解】（1）由题意可得，圆心Q为线段的垂直平分线和线段垂直平分线的交点， ，直线的中点为，所以线段的垂直平分线的方程为，即又线段的垂直平分线的方程为，联立方程组，解得，所以圆心为，半径为，所以圆的方程为. （2）设，因为，所以，化简得，所以．则点在以为圆心，为半径的圆上，依题意该圆与圆有两个交点，即两圆相交.又，则，解得.    （3）设直线的方程为，由得，，所以， 所以， 所以，所以直线方程为，令，解得，即直线过定点．    1 学科网（北京）股份有限公司 $ 直线与圆方程期中复习重点题型分类训练 题型分类 题型一 直线倾斜角与斜率 题型二 过定点的直线与线段相交问题 题型三 求直线的方程 题型四 直线与坐标轴围成的三角形问题 题型五 两直线位置关系 题型六 两直线的交点问题 题型七 距离公式及应用 题型八 直线的对称问题 题型九 圆的方程问题 题型十 二元二次方程表示的曲线与圆的关系 题型十一 弦长及面积问题 题型十二 切线及切线长问题 题型十三 两圆的公切线问题 题型十四 与圆有关的轨迹问题 题型十五 直线与圆及圆与圆的位置关系 题型十六 直线与圆中最值及范围问题 题型十七 直线与圆的综合问题 题型一 直线倾斜角与斜率 1.（26-27高二上·黑龙江大庆·阶段检测）已知直线，则该直线的倾斜角是（     ） A． B． C． D． 2.（26-27高二上·河南·阶段检测）已知直线过、两点，且倾斜角为，则（    ） A． B． C． D． 3.（25-26高二上·福建莆田·阶段检测）已知经过两点的直线的倾斜角为，则____. 4.（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）设直线l的倾斜角为，且，则直线l的斜率k的取值范围是______． 5.（26-27高二上·河南焦作·开学考试）已知直线经过点,直线的倾斜角是直线倾斜角的一半,则直线的斜率为__________. 6.（25-26高二上·江苏·期中）直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7.（25-26高二上·湖北荆州·期末）在平面直角坐标系中，已知四边形为正方形，所在直线的斜率存在且分别为．若，则（    ） A． B． C．2 D． 8.（多选题）（26-27高二上·湖南长沙·开学考试）下列说法正确的是（   ） A．直线经过两点，那么直线的斜率的取值范围为 B．设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是 C．已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为 D．直线的倾斜角的取值范围是 题型二 过定点的直线与线段相交问题 1.（26-27高二上·湖北襄阳·阶段检测）已知三点，，，则过点的直线与线段有公共点时（公共点包含端点），直线的斜率和倾斜角的取值范围分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 2.（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）若点在以，，为顶点的的内部运动（包含边界），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.（26-27高三上·安徽蚌埠·开学考试）已知平面直角坐标系中的三个点，过点与线段有公共点的直线为，则直线的斜率可以是（    ） A． B． C． D． 4.（26-27高二上·河南·阶段检测）已知过点的直线l与以点和为端点的线段相交，则直线l的斜率k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5.（25-26高二上·安徽·期中）已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6.（26-27高二上·河南周口·阶段检测）过作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，直线的倾斜角为、斜率为，则的取值范围是_________，的取值范围是_________． 7.（26-27高二上·河北唐山·阶段检测）已知点，，直线经过点，若，位于直线的两侧，则直线斜率的取值范围为________． 8.（26-27高二上·河南郑州·阶段检测）已知坐标平面内四点，，，． （1）求直线的斜率和倾斜角； （2）若，，，可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； （3）若是线段上一动点，求的取值范围． 题型三 求直线的方程 1.（26-27高二上·福建三明·阶段检测）直线过点且倾斜角为，则其点斜式方程为（   ） A． B． C． D． 2.（26-27高二上·河南安阳·阶段检测）若直线的倾斜角为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 3.（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）经过点，且在轴和轴上截距相等的直线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 4.（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）直线与轴交于点，将绕点逆时针旋转得到直线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 5.（26-27高二上·山东泰安·阶段检测）经过点且在x轴的截距的绝对值是y轴上截距的绝对值两倍的直线方程_____________________. 6.（26-27高二上·江苏淮安·阶段检测）已知直线l经过点，且倾斜角等于直线的倾斜角的一半，则直线l的一般式方程为______． 7.（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）已知直线：，直线是直线绕点逆时针旋转45°得到的直线，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 8.（26-27高二上·山西太原·阶段检测）过点，且与直线的夹角为的直线方程为________． 9.（26-27高二上·河南·阶段检测）已知的顶点分别为． （1）设的中点为，求中线所在直线的方程； （2）若直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的3倍，求直线的方程． 10.（26-27高二上·贵州黔西南·阶段检测）已知直线，，且直线，的交点为点． （1）若直线经过点，且与直线垂直，求直线的方程； （2）若直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程． 题型四 直线与坐标轴围成的三角形问题 1.（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）已知为坐标原点，过点的直线分别与，轴的正半轴交于，两点，则当的面积取得最小值时，直线的方程为（     ） A． B． C． D． 2.（26-27高二上·广东广州·阶段检测）过点的直线可表示为，若直线与两坐标轴围成三角形的面积为4，则这样的直线有（ ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 3.（26-27高二上·天津南开·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： （1）顶点的坐标； （2）求直线的方程． （3）求的面积． 4.（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）已知直线． （1）证明：直线过定点； （2）若直线在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程； （3）若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程 5.（25-26高二上·安徽淮南·阶段检测）已知直线经过点． （1）若在两坐标轴上的截距相等，求的方程； （2）设为坐标原点，若直线与轴正半轴交于点、与轴正半轴交于点，求的最小值，并求此时直线的方程； 6.（26-27高二上·山西太原·阶段检测）直线过点且与轴、轴正半轴分别交于两点. （1）若直线与垂直，写出直线的方程； （2）求面积的最小值； （3）如图，若，过点作平行于轴的直线交轴于点，动点分别在线段和上，若直线平分直角梯形的面积，求证：直线必过一定点，并求出该定点坐标. 题型五 两直线位置关系 1.（26-27高二上·天津南开·阶段检测）已知直线，直线，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2.（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）“直线，相互垂直”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.（26-27高二上·河南郑州·阶段检测）已知点，，，是的垂心，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 4.（25-26高二上·重庆·期中）已知直线与垂直，则实数的值为（    ） A． B．1或 C．1 D．或5 5.（25-26高二上·江西宜春·期中）已知，两直线，若，则的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D． 6.（多选题）（26-27高二上·河南周口·阶段检测）已知直线经过，，另有两点，，则（    ） A．倾斜角为0时， B．斜率不存在时， C．存在满足 D．时， 7.（多选题）（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角的取值范围是 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C．已知直线与直线平行，则平行线间的距离是3 D．设点，若点在线段上（含端点），则的取值范围是 8.（多选题）（26-27高二上·河北·阶段检测）已知直线，，则下列说法正确的是（   ） A．的充要条件为或 B．若，则 C．若直线不经过第四象限，则 D．若，则直线关于直线对称的直线方程为 9.（多选题）（26-27高二上·云南曲靖·阶段检测）已知：，：，则下列说法正确的是（   ） A．的必要不充分条件是或 B．若，则 C．若直线不经过第四象限，则 D．若将直线关于原点对称后得到的直线纵截距为1，则 10.（多选题）（25-26高二上·安徽合肥·期中）下列说法正确的是（   ） A．“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件 B．"”是“直线与直线互相平行”的必要不充分条件 C．直线的倾斜角的取值范围是 D．若点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是 题型六 两直线的交点问题 1.（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）经过与的交点且垂直于的直线方程是（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高二上·江西抚州·阶段检测）已知直线与直线互相垂直，交点坐标为，则的值为（    ） A．20 B． C．0 D．24 3.（24-25高二上·广东深圳·阶段检测）直线与直线相交于点P，对任意实数m，直线,分别恒过定点A，B，则的最大值为(    ) A．4 B．8 C． D． 4.（多选题）（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）已知直线， ，不能围成三角形，则的取值可能为（    ） A． B． C． D． 5.（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）经过点的直线被两条直线和所截得的线段恰被点平分，则直线的方程为（     ） A． B． C． D． 6.（2026·湖南衡阳·模拟预测）若点既是，所连线段的中点，又是直线与的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． 7.（多选题）（26-27高二上·河南新乡·开学考试）若三条直线，，能围成一个三角形，则的值不可能是（     ） A． B．1 C． D． 8.（25-26高二下·上海·阶段检测）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，点不与重合.则的最小值是___________ 9.（25-26高二上·广东湛江·期中）如图，射线分别与轴的正半轴成角，过点作直线分别交于两点，当线段的中点恰好落在直线上时，则直线的方程为___________． 10.（25-26高二上·江西南昌·期中）已知两直线，． （1）求过直线交点P，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程； （2）若直线与直线能构成三角形，求实数a的取值范围． 题型七 距离公式及应用 1.（26-27高二上·河南·阶段检测）已知直线与平行，则这两条平行直线之间的距离为（   ） A． B． C．2 D． 2.（26-27高二上·河南南阳·开学考试）已知直线与直线间的距离为1，则实数m的值为（  ） A．14 B．-14 C．6 D．-14或6 3.（25-26高二上·山东潍坊·期中）已知轴上一点到直线的距离等于3，则点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 4.（25-26高二上·湖北·期中）若，两点到直线的距离相等，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 5.（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）已知直线：.当点到的距离最大时，（    ） A． B． C． D． 6.（25-26高二上·山东聊城·期末）在平面直角坐标系中，记平面内一动点（），若点在直线上，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 7.（26-27高二上·江西宜春·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点，点为直线上一动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 8.（25-26高二上·江苏盐城·阶段检测）已知，是直线上两动点，且，点，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 9.（25-26高二上·湖北十堰·期中）已知实数，，，满足，则的最小值为________. 10.（25-26高二上·江西赣州·期中）已知点，在轴上求一点，使最小，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 11.（26-27高二上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）已知，，则的最小值为__________． 12.（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）若直线过原点，且，两点到的距离相等，则的方程为___________. 13.（多选题）（26-27高二上·河南·阶段检测）已知直线过定点A，且点A到直线的距离为2，则（   ） A．点A的坐标为 B．当直线l在y轴上的截距为1时，直线l的方程为 C．直线的方程可以是 D．直线的方程可以是 14.（25-26高二上·山东临沂·期中）已知直线经过直线与的交点． （1）若点到直线的距离为1，求直线的方程； （2）求点到直线的距离的最大值及此时直线的方程． 15.（26-27高二上·河北·阶段检测）已知三角形的顶点，边上的高所在的直线方程为，点是边的中点． （1）求边所在直线的方程； （2）求点的坐标； （3）求的平分线所在直线的方程． 题型八 直线的对称问题 1.（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）直线关于直线对称的直线方程是（　　） A． B． C． D． 2.（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3.（26-27高二上·江苏淮安·阶段检测）直线关于点对称的直线方程为（  ） A． B．. C． D． 4.（25-26高二上·广东惠州·期中）已知直线，则直线关于直线的对称直线的方程为（   ） A． B． C． D． 5.（25-26高二上·广西桂林·期中）若直线关于直线对称的直线经过点，则（    ） A． B．1 C． D． 6.（25-26高二上·江苏苏州·期中）将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点与点重合，若此时轴与直线也正好重合，则的值是（    ） A． B． C． D． 7.（25-26高二上·安徽阜阳·期末）一束光线从点出发，经直线反射后又经过点，则光线从点A到点B走过的路程为（    ） A．5 B． C．6 D． 8.（25-26高二上·广东·期末）一束光线从点射出，与直线相交于点．经直线反射，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 9.（25-26高二上·河南洛阳·期中）如图，在中，，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（    ）    A． B． C． D． 10.（25-26高二上·河南南阳·期中）已知点，点在轴上，点在直线上，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 11.（25-26高二上·河南·阶段检测）在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，点的坐标为，则的最小值是（   ） A． B． C．2 D．3 12.（多选题）（26-27高二上·河南焦作·开学考试）已知直线，下列说法正确的是：（    ） A．点关于的对称点的坐标是； B．直线关于的对称直线的方程是； C．直线关于点的对称直线的方程是； D．过点，垂直于直线的直线的方程是 13.（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知点、，有一点在直线上运动，当取得最小值时，则点的坐标为_____. 14.（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）在坐标平面中，三个顶点坐标分别为，，. （1）求中边上中垂线的一般方程； （2）求中角平分线所在直线的一般方程； （3）求点关于直线：对称的点的坐标. 15.（26-27高二上·山东·期中）已知直线l的方程为 ． （1）若直线l与直线m：垂直，求直线l的截距式方程； （2）若直线l在x轴上截距是y轴上截距的2倍，求直线l的一般式方程； （3）已知两条直线：，：恰好关于直线l对称，求a的值． 题型九 圆的方程问题 1.（26-27高二上·江西·阶段检测）已知方程表示圆，则的面积为（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高二上·河北唐山·期末）已知圆经过、两点，圆心在直线上，则圆的方程为（　　） A． B． C． D． 3.（25-26高二上·河南·阶段检测）已知的三个顶点分别为，则的外接圆的方程为（   ） A． B． C． D． 4.（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）与圆关于直线对称的圆的方程是（   ）. A． B． C． D． 5.（2026·重庆·三模）已知圆与直线和圆都相切，当圆的半径最小时，其标准方程为（    ） A． B． C． D． 6.（26-27高三上·内蒙古锡林郭勒·开学考试）过原点且圆心在轴上的圆与圆外切，则圆的标准方程为__________． 7.（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）已知两圆，圆，过两圆交点，且圆心在直线上的圆的一般方程为____________ 8.（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）若圆关于点对称的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 9.（2026·福建福州·三模）已知：与交于A，B两点，且四边形的面积为，则的方程不可能是（    ） A． B． C． D． 10.（25-26高二上·山东临沂·期中）已知圆与圆外切，并且与直线相切于点，则圆的标准方程为___________． 11.（26-27高二上·江西·阶段检测）已知直线：，：． （1）若，求； （2）若圆心在坐标轴上，且，为的两条平行切线，求的标准方程． 12.（25-26高二上·河南焦作·阶段检测）的三个顶点分别是、、． （1）求边上的中线所在直线的方程； （2）求过点、，且圆心在直线上的圆的标准方程； （3）求的外接圆方程． 题型十 二元二次方程表示的曲线与圆的关系 1.（多选题）（25-26高二上·河南郑州·期中）已知方程，则下列说法正确的是（    ） A．该方程一定是圆的方程 B．该方程一定能表示过坐标原点的圆 C．若该方程表示圆，则圆心在定直线上 D．若该方程表示圆，则圆上总存在两点到原点的距离为1 2.（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）若，则方程能表示的不同圆的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3.（25-26高二上·安徽·期中）若方程表示圆，且圆心在第二象限，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4.（25-26高二上·重庆·期中）已知点在圆外，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5.（25-26高二上·浙江·阶段检测）已知点关于直线对称的点Q在圆C：外，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 题型十一 弦长及面积问题 1.（2026·北京·三模）已知圆与直线交于A，B两点，若，则实数m的值为（    ） A．6 B． C．6或16 D．或 2.（2026·山东临沂·二模）直线与圆交于，两点，且的面积为2，则________． 3.（26-27高三上·河北沧州·开学考试）已知直线：被圆截得的弦长为，则直线的斜率为（     ） A． B． C． D． 4.（26-27高二上·重庆渝中·阶段检测）已知圆与圆，则两圆公共弦长为（     ） A． B． C． D． 5.（2024年高考全国甲卷数学真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 6.（25-26高二上·重庆渝北·期中）已知圆与直线相交于两点，若为正三角形，则实数的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 7.（26-27高二上·河北保定·期中）已知圆：与圆：交于，两点，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 8.（26-27高三上·广东深圳·开学考试）已知直线，，圆:,则直线被圆截得的最短弦的长度为________． 9.（26-27高三上·浙江·阶段检测）已知圆与圆（，）交于，两点，若存在实数，使得公共弦长，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 10.（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）已知圆上的点，满足，若的面积为，则的值为________. 11.（多选题）（26-27高二上·山东菏泽·阶段检测）圆和圆的交点为，，则有（     ） A．公共弦所在直线方程为 B．线段中垂线方程为 C．公共弦的长为 D．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 12.（多选题）（26-27高三上·山东滨州·开学考试）已知圆，直线，则（     ） A．直线上存在点，使得 B．直线被圆截得的弦长为4 C．圆上的点到直线的最大距离为 D．过圆心作直线的垂线，垂足坐标为 13.（多选题）（26-27高二上·福建龙岩·阶段检测）已知动圆与轴、轴均相交，且被、轴截得的弦长分别记为、，则下列说法正确的是（     ） A．可以取任意实数 B．满足的有无数个 C．若圆心在上，则的最大值为 D．若圆心在直线上，则的最大值为 14.（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）已知以点为圆心的圆与直线相切． （1）求圆的方程 （2）过点的直线与圆相交于，两点，当时，求直线的方程； （3）已知实数x，y满足圆的方程，求的取值范围． 15.（26-27高二上·江苏·期中）已知圆：（为实数）． （1）若直线被圆截得的弦长为，求的值； （2）若过点的圆与圆相切于点，求圆的标准方程． 16.（26-27高二上·福建龙岩·阶段检测）已知圆经过、两点，圆心在直线:上. （1）求圆的方程； （2）设平行于的直线与圆相交于、两点，且，求直线的方程； （3）设点满足：存在圆上的点，使得，求实数的取值范围. 17.（26-27高二上·河南·期中）已知圆的半径为，圆心在直线上，且直线与圆相切. （1）求圆的标准方程； （2）若圆位于第一象限内，直线被圆截得的弦的长度为，求实数的值. （3）若圆位于第四象限内，过作圆的两条切线，为实数，设这两条切线与轴分别交于两点，求的最小值. 题型十二 切线及切线长问题 1.（2026·北京·高考真题）已知直线与圆相切，则________． 2.（25-26高三上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，过点且与圆相切的直线方程为__________． 3.（26-27高三上·四川·阶段检测）已知直线：，圆：，则“”是“直线与圆相切”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4.（多选题）（2026·全国二卷·高考真题）已知：，：，则（     ） A．点的坐标为 B．当时，与轴相切 C．当时，与相切 D．当与相交时，两个交点所在直线的方程为 5.（2026·江苏·模拟预测）已知直线，若绕点顺时针旋转后恰与圆相切，则实数（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 6.（25-26高二上·甘肃白银·期中）已知，直线为上的动点，过点作的切线，，切点为A，B.当最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 7.（2026·湖南衡阳·二模）已知点P是直线上一点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 8.（26-27高三上·河北保定·阶段检测）已知点P是直线上的动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为M，N，则四边形的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 9.（2026·福建泉州·模拟预测）已知圆，过点作圆的切线，则切线长为______． 10.（26-27高三上·四川成都·开学考试）若直线l与圆，圆都相切，切点分别为A、B，则__________. 11.（25-26高二上·湖南长沙·期中）已知圆，点P是直线上的动点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为______． 12.（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）求圆心在x轴上，且与直线，直线都相切的圆的方程________ 13.（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）设为直线：上的任一点，过点作圆的两条切线，，切点分别为，，则直线恒过定点______. 14.（多选题）（25-26高二上·贵州遵义·期末）已知圆：与圆相交于，两点，直线，点为直线上一动点，过作圆的切线，，（，为切点），则说法正确的是（    ） A．直线的方程为 B．线段的长为 C．直线过定点 D．的最小值是 15.（多选题）（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知圆：，则下列说法正确的是（   ） A．若过原点作的切线，则其中一条切线的方程为 B．若是上一点，则的最大值为 C．若直线与相交，且交点为，，则有最小值 D．若上到直线（）的距离为的点有且仅有个，则实数的取值范围是 16.（多选题）（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）下列结论正确的是（     ） A．若直线与圆相交，则点在圆的外部 B．直线被圆所截得的最短弦长为 C．若圆上有4个不同的点到直线的距离为1，则有 D．若过点作圆的切线只有一条，则切线方程为 17.（多选题）（26-27高二上·江西·阶段检测）已知圆：，直线：，为上的动点，过点作圆切线，，切点为，，下列结论正确的是（    ） A．若，则直线方程为 B．若，则 C．当四边形面积最小时， D．当四边形面积最小时，直线方程为 题型十三 两圆的公切线问题 1.（26-27高三上·广西柳州·阶段检测）圆和圆的公切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2.（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）若圆与圆有四条公切线，则实数的取值范围为_______. 3.（26-27高二上·河北唐山·阶段检测）已知两圆的方程：，：，则它们的公切线的条数为________． 4.（25-26高二上·安徽·期末）已知圆，圆，若与有且仅有2条公切线，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5.（25-26高二上·广东·期末）若圆与圆有且仅有三条公切线，m的值为（     ） A．3 B．-3 C．4 D．-4 6.（多选题）（2026·新疆乌鲁木齐·二模）已知圆和圆，则下列直线与两圆都相切的是（   ） A． B． C． D． 7.（25-26高二上·山东菏泽·阶段检测）写出与圆和圆都相切的所有直线的方程______________.（写出全部符合题意的直线方程，漏写不给分） 8.（25-26高二上·重庆·期中）写出与圆和都相切的一条直线的方程______. 9.（25-26高二上·江西南昌·期中）若圆与圆（）有且仅有2条公切线，则的取值范围为 . 10.（多选题）（25-26高二上·浙江·期中）已知圆，圆，P，Q分别是圆与圆上的点，下列说法正确的是（    ） A．若圆与圆外切，则 B．当时，则两圆公共弦所在直线方程为 C．当时，若直线的斜率存在，则斜率的最大值为 D．当时，过点作圆两条切线，切点分别为A，B，则存在点，使得 题型十四 与圆有关的轨迹问题 1.（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）已知定点，点P是圆上一动点，点Q是线段AP的中点，则点Q的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知圆：，又点在圆上运动，点，则线段中点的轨迹方程为______. 3.（25-26高二上·云南昆明·期中）在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，则点的轨迹方程为_____. 4.（25-26高二上·湖北荆州·期中）已知定点，点在圆上运动，的平分线交于点，则点的轨迹方程是__________. 5.（25-26高二上·重庆北碚·期末）已知圆，是圆的一条动弦，，则的中点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 6.（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）已知圆：； （1）若直线与圆相切，且在轴和轴上的截距相等，求直线的方程. （2）过点的直线与圆交于，两点，线段中点为，求点轨迹方程 7.（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）已知圆：，为坐标原点，动点在圆外，过作圆的切线，设切点为， （1）若点运动到处 （i）求此时切线的方程 （ii）求四边形的面积 （2）求满足条件的点的轨迹方程． 8.（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）在直角坐标系中，、，动点满足. （1）求动点的轨迹方程； （2）过坐标原点的动直线与轨迹交于点、，点. ①若，求弦的长； ②对于任意直线，存在常数，满足，求的值. 题型十五 直线与圆及圆与圆的位置关系 1.（26-27高二上·广东深圳·阶段检测）圆和圆的位置关系为（ ） A．内含 B．内切 C．外切 D．外离 2.（26-27高二上·广西南宁·阶段检测）已知圆：与圆：，则“”是“与有公共点”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知圆：（）关于直线对称，圆：，则圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 4.（26-27高二上·福建龙岩·阶段检测）已知圆，下列命题正确的是（ ） A．对于任意的，点在圆外 B．对于任意的，总存在使直线与圆恒相切 C．对于任意的，总存在使直线与圆恒相切 D．若，已知点是直线上一动点，是圆的两条切线，是切点，则四边形的面积的最小值为 5.（26-27·广东深圳·开学考试）直线绕原点逆时针旋转后所得直线与圆的位置关系是（ ） A．相交且相交弦长为 B．相交且相交弦长为 C．相切 D．相离 6.（26-27·湖南衡阳·开学考试）已知圆：，点关于直线：的对称点在圆上，则（） A．与圆相交 B．与圆相切 C．与圆相离 D．以上都有可能 7.（26-27·甘肃白银·阶段检测）已知圆的圆心在直线上，圆被轴截得的弦长为8，且与圆：内切，则圆的半径为（    ） A． B． C． D． 8.（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）已知圆上到直线的距离为的点有且仅有个，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9.（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）若圆上恰有3个点到直线的距离为1，则（    ） A．1 B．3 C．4 D．5 10.（26-27·福建泉州·开学考试）若圆与圆无公共点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 11.（26-27高三上·北京·开学考试）已知向量，，，若向量满足且，则符合条件的向量的个数为（     ） A．0 B．2 C．4 D．6 12.（新高考全国Ⅱ卷·高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________． 13.（多选题）（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）已知直线：与圆：，点，则下列说法正确的是（     ） A．若点在圆上，则直线与圆相切 B．若点在圆内，则直线与圆相离 C．若点在圆外，则直线与圆相离 D．若点在直线上，则直线与圆相切 14.（多选题）（26-27高三上·陕西榆林·开学考试）已知关于直线对称，，则（    ） A． B．经过的直线方程为 C．与的公切线的数量为3 D．若，分别是圆与圆上的点，则的最大值为 15.（多选题）（26-27高三上·浙江·开学考试）已知点P为圆上的一个点，点，，则（    ） A．过点A一定存在两条直线与圆C相切 B．存在实数a，使得 C．存在实数a，使得 D．存在实数a，使得 16.（多选题）（2026·湖北十堰·模拟预测）已知圆，直线，则（   ） A．直线恒过定点 B．当时，直线与圆相切 C．存在实数，使得直线与圆相交于两点，且 D．若直线与圆交于两点，则面积的最大值为 题型十六 直线与圆中最值及范围问题 1.（26-27高二上·黑龙江牡丹江·阶段检测）已知点在圆上，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2.（26-27高二上·江西·阶段检测）过圆：上的点作圆：的切线，切点为，则最大值为（    ） A． B． C． D． 3.（26-27高二上·江苏泰州·阶段检测）已知是圆上一个动点，且直线与直线相交于点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.（26-27高二上·江西南昌·阶段检测）若圆上到直线的距离为3的点仅有2个，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5. （26-27高二上·重庆渝中·阶段检测）已知圆的圆心为，且截轴所得弦长为，若圆上恰好有 4 个不同的点到直线的距离为 2，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6.（26-27高三上·安徽合肥·阶段检测）已知圆，若直线上至少存在一点，使得圆上恰有两个点与点的距离都为2，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7.（26-27高二上·江苏泰州·阶段检测）已知直线与圆交于不同的两点，O是坐标原点，且有，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8.（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的最小值为（　　） A．14 B．13 C．12 D．11 9.（26-27高二上·黑龙江大庆·阶段检测）已知圆，圆，若圆上存在点，过点作圆的两条切线，切点为，，使得为钝角，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 10.（多选题）（26-27高三上·广东湛江·开学考试）已知圆：与圆：有公共点，则（     ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为 11.（多选题）（26-27高二上·重庆渝中·阶段检测）已知圆：，圆心为，点在圆上，点在直线上， 为坐标原点，直线与圆的其中一个交点为，则下列说法正确的是（     ） A．的最小值为2 B．记中点为，不存在点使得 C．若 ，则 的最小值为 D．若 ，则的最大值为 3 12.（多选题）（26-27高二上·江苏泰州·阶段检测）已知是圆上的两点，则下列结论中错误的是（    ） A．若，则 B．若点到直线的距离为，则 C．d，则的最大值为 D．的最小值为 13.（多选题）（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）已知圆：，直线：与交于，两点，点为弦的中点，，则（   ） A．弦长有最小值 B．有最大值为 C．面积的最大值为 D．的最大值为 14.（多选题）（26-27高二上·黑龙江吉林·期中）已知动点与两定点，的距离的比为，设点所构成的曲线为，则（ ） A．曲线的方程为 B．曲线上的点到直线的最小距离为 C．曲线上恰有三点到直线的距离为，则 D．若点坐标为，则的最小值为 15.（多选题）（26-27高二上·江西宜春·阶段检测）已知实数满足方程，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的取值范围为 D．的最大值为 16.（26-27高二上·陕西西安·阶段检测）过圆：外一点作圆的切线，，切点为，，则的最小值为_______． 17.（26-27高二上·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知圆C：，点在直线上运动.若C上存在点Q，使，则的取值范围是___________. 18.（26-27高二上·江苏泰州·阶段检测）已知动圆，则圆在运动过程中所经过的区域的面积为______；为直线上一点，过点作圆的两条切线，切点为A、B，当时，的取值范围为______. 题型十七 直线与圆的综合问题 1.（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）已知圆过与两点，且关于直线对称． （1）求圆的方程； （2）过点的直线与圆交于，两点 （i）若的面积为2，求的斜率 （ii）若为线段的中点，求的方程． 2.（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）平面直角坐标系中，点，圆与轴正半轴交于点. （1）求过点与圆相切的直线方程； （2）求过点且被圆截得的弦长为的直线方程； （3）过点的直线与圆交于不同的两点，判断直线QA，QB的斜率之和是否为定值，若是则求出该定值，若不是则说明理由. 3.（26-27高二上·云南曲靖·阶段检测）已知圆C过点和且半径为1． （1）求圆C的方程； （2）当圆C的圆心在x轴上时： （ⅰ）若P的坐标为，求过点P与圆C相切的直线方程； （ⅱ）直线与圆C交于E，F两点，求的取值范围（O为坐标原点）． 4.（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）已知圆，点，点为圆上的动点，线段的中点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）设，过点作与轴不重合的直线交曲线于两点. （i）过点作与直线垂直的直线交曲线于两点，求四边形面积的最大值； （ii）设曲线与轴交于两点，直线与直线相交于点，试讨论点是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由. 5.（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）已知圆，，， （1）直线被圆M截得的弦长为，求直线l的方程； （2）圆H过圆M与圆N交点， （ⅰ）当圆H面积最小时，求圆H的方程； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，若直线与圆H交于C，D两点，探究当k不断变化时，在y轴上是否存在一定点E，使得y轴平分？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 6.（26-27高二上·江苏泰州·阶段检测）设，，，圆Q过A，B，D三个点. （1）求圆Q的方程； （2）设点，若圆Q上存在两个不同的点P，使得成立，求实数的取值范围； （3）设斜率为k的直线l与圆Q相交于E，F两点（不与原点O重合），直线OE，OF斜率分别为，，且，证明：直线l恒过定点. 1 学科网（北京）股份有限公司 $