数列求和专项训-2027届高三数学一轮复习

数列求和 一、知识点梳理 （一）公式法与分组转化法 等差数列的前 项和：。等比数列的前 项和：当 时 ；当 时 。求和之前先看清数列是什么类型，能用公式就不要硬算。本讲用到的全部工具，都出自教材「数列的前 项和」一节。 分组转化法：如果一个数列的通项能拆成若干个可求和的数列的项之和，例如 ，那就分别求出 、 的前 项和再相加。最常见的是「一个等差数列加一个等比数列」，也可以先把原数列按规律拆成几列，再逐列求和。 奇偶分列：当奇数项与偶数项各自成等差或等比数列时，直接把两列分别求和再相加，未必需要先写出统一通项。两列项数相等（共 项）时各 项；总数是奇数时，多出来的那项属于哪一列要先看清楚，别数错项数。 （二）并项求和法 通项里带 这类符号因子时，逐项相加看不出规律，把相邻两项并成一组往往能化简。常用的并组方式是 ，组内符号一正一负，中间部分相消或合并，求和立刻变简单。 求 时正好能整组配对，直接算 组之和；求 时先算出 ，再减去 ，这样处理不会漏项，也不必另外讨论项数。 若数列奇数项与偶数项的通项公式不同（分段型），同样按「(第 项) + (第 项)」为一组来算 ，再把这一组化成一个可以直接求和的式子。写答案时把 的奇偶分别写清楚，不要用「」代替最后的说明。 （三）裂项相消法 裂项相消法把通项拆成两项之差，相加时中间的大部分项两两抵消，只剩下开头几项与末尾几项。最基本的形式是 ，它是把分母上两个因式之差作为系数配出来的。 常见的几个变形：；根式型 ；指数型形如 的，用分母两个因式之差把分子配出来。 抵消之后要数一数首末各剩几项：前面剩下第几项，后面就剩下倒数第几项，两边剩的项数必须一样。若通项带 ，裂项后两项的符号会相同（都是相加的形式），这时求和必须按 的奇偶分别讨论。 （四）错位相减法 错位相减法适用于通项是「等差数列与等比数列对应项之积」的数列，即 中 为等差、 为等比。做法是写出 ，再写出 并把它整体向下错一位。 把两式同次幂的项上下对齐后相减，右边的结果由三部分组成：第一项、中间一段等比数列的和、最后一项。中间那一段用等比数列求和公式算，注意它的项数是 而不是 ，这是最容易出错的地方。 还有一种做法是把 直接试拆成「后一项减前一项」的形状，即找 使 ，于是 ，省去写两式相减的过程。无论用哪种做法，算完后把 代回原式核一遍，能挡住大部分计算错误。 下结论前自查三件事：等比求和有没有先确认 、中间那一段的项数有没有数错；裂项抵消后首末各剩几项有没有数一致；并组求和时 有没有漏掉或重复最后一项。 二、典型例题 例1　分组转化：奇偶分列，各求各的和 已知各项均为正数的数列 中 ，满足 （）。（1）求 的通项公式；（2）若 （ 为偶数），（ 为奇数），求 的前 项和 。 ①把递推式因式分解　 分解成，由各项为正舍去一个因式。 ②写出两列的通项　由 得偶数项 ，奇数项 ，放回分式后裂项。 ③两列分别求和再相加　偶数项是等比数列，奇数项裂项后相消，分别求出两段和再相加。 注：分段数列求 时，前 项里奇数项、偶数项各有 项，两段分别求和即可。奇数项分式里的 要先换成 ，否则看不出它可以裂项。 【答案】（1）；（2）。 （1）由 得。因为 ，所以 ，故只能 ，即 是首项为 、公比为 的等比数列，。 （2）当 为偶数时，；当 为奇数时，，。 前 项中奇数项、偶数项各有 项，所以 。 其中 ； 而 。 所以 。 变式1　分组转化：按奇偶取值分段递推 已知数列 满足 ，当 为偶数时 ，当 为奇数时 。求 的前 项和 。 ①先把前几项写出来　 是偶数，依次除以 得到一串 的幂，直到出现奇数。 ②找出变奇数的位置　算出第几项第一次变成奇数，从而确定前 项里两段各有多少项。 ③分两段求和　前一段是等比数列，后一段按奇数规则单独算，两段相加。 【答案】。 因为 为偶数，所以 ，，，。 此时 为奇数，所以 。 所以 。 例2　分组转化：先构造等比再分别求和 已知数列 的前 项和为 ，且 （）。（1）若 ，求证：数列 是等比数列；（2）若 ，求使不等式 成立的 的最小值。 ①两边同除以 　把指数项 约掉，把递推式化成 。 ②凑出目标式　两边同时减去 ，整理后得到 。 ③分组求和再看单调性　由通项拆成「等比 等比」两段求和，说明 递增后比较相邻两项与 。 注：目标式是 ，所以变形要朝这个方向配。第（2）问只需比较 、 与 的大小，把不含 的量保留、只估主项 即可。 【答案】（1）证明见解析；（2） 的最小值为 。 （1）把 两边同除以 ，得 ，即 。 两边同时减去 ，得。 因为 ，所以 ，故 是公比为 的等比数列。 （2）由 得 ，所以 ，即 。 于是 。 显然 是递增数列。因为 ，而 ， 所以使 成立的 的最小值为 。 变式2　分组转化：把通项拆成等比与等差两段 已知数列 是等比数列，且 ，，求数列 的前 项和。 ①先求公比　由 与 之比得到公比。 ②写出通项　用等比通项写出 ，再减去 得到 。 ③分两段求和　前 项和拆成「等比部分」与「等差部分」，分别求和后相减。 【答案】前 项和为 。 设等比数列 的公比为 ，则 。 所以 ，即 。 前 项和 。 其中 ，， 所以 。 例3　错位相减：等差乘等比型 已知数列 和 满足 ，，且 （）。（1）求 和 的通项公式；（2）设数列 的前 项和为 ，求证：。 ①两边同除以 　把 化成 与 的关系，凑出常数列。 ②由和求 　令 求 ，再对 与 两式作差求 时的 。 ③错位相减　写出 与 并错位相减，中间一段等比数列共 项。 注： 这类式子，两边同除以 后 的部分会凑成常数列。错位相减时中间那一段的首项是 、末项是 ，共 项。 【答案】（1），；（2）。 （1）把 两边同除以 ，得。 所以 ，即 是常数列，其值为 。 于是 ，即 ，所以 。 由 ，令 得 ；当 时，，两式相减得 ，且 也符合，所以 。 （2）由（1）得 ，所以 。　① 两边同乘 得。　② ①②得，这里中间一段等比数列共 项，其和为 。 所以 ， 即 。因为 ，所以 。 变式3　错位相减：通项先化成等差乘等比 已知各项均为正数的数列 的前 项积为 ，且 。（1）求 的通项公式；（2）设 ，求数列 的前 项和 。 ①写出 再作商　由对数式还原 ，用 （）求出通项。 ②先算 　把 化成等比数列的和，得到 。 ③错位相减　 拆成「」与「」两段，前一段用错位相减，后一段用等差数列求和。 【答案】（1）；（2）。 （1）由 得 。当 时，； 当 时，，且 也符合，所以 。 （2）由 得 。 所以 ，记 ，则 。两式相减得 ，所以 。 又 ，所以 。 即 。 例4　裂项相消：等差型 已知数列 的前 项和 满足（），且 。（1）求 的通项公式；（2）记 ，求 的前 项和 。 ①看出等差结构　把 看成一个整体，由首项 与公差 写出它的通项。 ②回求 与 　平方得 ，再用 （）求通项并检验 。 ③裂项求和　 的分母是相邻两个等差数列项之积，提出系数 后裂项相消。 注：出现根号时，把带根号的量整体设成新数列往往能变成等差数列。 后分母上是两个相差 的因式，裂项时要把 这类系数提准。 【答案】（1）；（2）。 （1）由 知 是等差数列，首项为 ，公差为 。 所以 ，即 。 当 时，，且 也符合，所以 。 （2）由（1）得 ，，所以 。 于是 。 即 。 变式4　裂项相消：分母是相邻两奇数之积 已知数列 的通项公式为 ，求 的前 项和 。 ①分解分母　把 分解成 。 ②裂项配系数　 的系数是分母两个因式之差的倒数，提出 。 ③相消求和　写出各差式相加，中间全部抵消，只剩首末两项。 【答案】。 因为 ，而 ， 所以 。 于是 。 所以 。 例5　并项求和：符号因子与通项一起分组 已知数列 满足 ，，（）。求 的前 项和 。 ①把 按奇偶分开看　 为奇数时 ， 为偶数时 ，于是隔项之差是常数。 ②分奇偶两列写通项　奇数项构成公差为 的等差数列，偶数项构成公差为 的等差数列。 ③两列分别求和　前 项中两列各有 项，分别求和后相加。 注： 随 的奇偶取两个值，把它代进去后递推式就按奇偶分成了两个等差数列。这类题的要点是把 的奇偶讨论清楚，两列的项数不要弄错。 【答案】。 当 为奇数时，，所以 ；当 为偶数时，，所以 。 所以奇数项 ，，， 成首项为 、公差为 的等差数列；偶数项 ，，， 成首项为 、公差为 的等差数列。 前 项中奇数项、偶数项各有 项，所以 ； 。 所以 。 变式5　并项求和：相邻两项并成一组 已知数列 满足 。（1）求 的前 项和；（2）某同学计算前 项和时把其中一项的符号写错了，得到 ，求被写错符号的那一项原来的值。 ①相邻两项并组　把 写出来，由平方差公式化简成 的形式。 ②求 项和　共 组，组内化成等差数列，用求和公式算出总和。 ③用总和反推　设被写错的项为 ，符号写错相当于总和改变了 ，据此列方程。 【答案】（1）；（2）被写错符号的那一项原来的值为 。 （1）把相邻两项并成一组： 。 所以前 项和 ，共 项，首项为 、末项为 ，其和为 。 （2）设被写错符号的那一项原来的值为 ，则写错后这一项变成了 ，总和的变化量为 。 由 得 ，即 。 所以被写错符号的那一项原来的值为 。 三、巩固练习 1．已知 是公差不为零的等差数列，记 ， 分别为数列 ， 的前 项和，其中 （ 为奇数），（ 为偶数）。若 ，。（1）求 的通项公式；（2）求 的前 项和 。 【答案】（1）；（2）当 为偶数时 ，当 为奇数时 。 （1）设 的公差为 （）。由 的规则得 ，，。 由 得 ，即 ，所以 。 由 得 ，即 。由 得 ，所以 。 （2）由（1）得 （ 为奇数），（ 为偶数）。当 为偶数时，记 ，则 ，所以 。 当 为奇数时，，其中 为偶数，，。 所以 。 2．已知平面向量 ，（）。若 ，求数列 的前 项和 。 【答案】。 由 得 ，即，整理得 。 所以 。 其中 ，。 所以 。 3．已知函数 满足 。若数列 满足，求数列 的前 项和。 【答案】前 项和为 。 在 中把下标配对：对 ，，，，有 。 这 项两两配对，共有 对，所以 。 又取 得 ，所以 。 于是前 项和为。 4．已知 是等差数列， 是等比数列，且 ，，。（1）求 和 的通项公式；（2）求数列 的前 项和 。 【答案】（1），；（2）。 （1）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 （）。由 得 ，。 由 得 ，即 ，所以 。 由 得 ，所以 。比较两式得 ，即 。因为 ，所以 ，代回得 ，即 。 所以 ，。 （2）由（1）得 ，所以 。 两边同乘 得。 两式错位相减得，中间这一段等比数列共 项，其和为 。 所以 ，即 。 5．已知 ， 分别是等差数列 和等比数列 的前 项和，，，，。若 为递增数列，，求 的前 项和 。 【答案】。 因为 为等差数列，所以 ，得 ；同理 。 由 得 ，又 ，所以 ，即等比数列 的公比 。 由下标和性质 ，得 或 。因为 递增，取 ，则 ，。 于是 ，公差 ，所以 ，从而 。 记 ，则 。 两式错位相减得，中间这一段等比数列共 项，其和为 。 所以 ，即 。 学科网（北京）股份有限公司 $ 数列求和 一、知识点梳理 （一）公式法与分组转化法 等差数列的前 项和：。等比数列的前 项和：当 时 ；当 时 。求和之前先看清数列是什么类型，能用公式就不要硬算。本讲用到的全部工具，都出自教材「数列的前 项和」一节。 分组转化法：如果一个数列的通项能拆成若干个可求和的数列的项之和，例如 ，那就分别求出 、 的前 项和再相加。最常见的是「一个等差数列加一个等比数列」，也可以先把原数列按规律拆成几列，再逐列求和。 奇偶分列：当奇数项与偶数项各自成等差或等比数列时，直接把两列分别求和再相加，未必需要先写出统一通项。两列项数相等（共 项）时各 项；总数是奇数时，多出来的那项属于哪一列要先看清楚，别数错项数。 （二）并项求和法 通项里带 这类符号因子时，逐项相加看不出规律，把相邻两项并成一组往往能化简。常用的并组方式是 ，组内符号一正一负，中间部分相消或合并，求和立刻变简单。 求 时正好能整组配对，直接算 组之和；求 时先算出 ，再减去 ，这样处理不会漏项，也不必另外讨论项数。 若数列奇数项与偶数项的通项公式不同（分段型），同样按「(第 项) + (第 项)」为一组来算 ，再把这一组化成一个可以直接求和的式子。写答案时把 的奇偶分别写清楚，不要用「」代替最后的说明。 （三）裂项相消法 裂项相消法把通项拆成两项之差，相加时中间的大部分项两两抵消，只剩下开头几项与末尾几项。最基本的形式是 ，它是把分母上两个因式之差作为系数配出来的。 常见的几个变形：；根式型 ；指数型形如 的，用分母两个因式之差把分子配出来。 抵消之后要数一数首末各剩几项：前面剩下第几项，后面就剩下倒数第几项，两边剩的项数必须一样。若通项带 ，裂项后两项的符号会相同（都是相加的形式），这时求和必须按 的奇偶分别讨论。 （四）错位相减法 错位相减法适用于通项是「等差数列与等比数列对应项之积」的数列，即 中 为等差、 为等比。做法是写出 ，再写出 并把它整体向下错一位。 把两式同次幂的项上下对齐后相减，右边的结果由三部分组成：第一项、中间一段等比数列的和、最后一项。中间那一段用等比数列求和公式算，注意它的项数是 而不是 ，这是最容易出错的地方。 还有一种做法是把 直接试拆成「后一项减前一项」的形状，即找 使 ，于是 ，省去写两式相减的过程。无论用哪种做法，算完后把 代回原式核一遍，能挡住大部分计算错误。 下结论前自查三件事：等比求和有没有先确认 、中间那一段的项数有没有数错；裂项抵消后首末各剩几项有没有数一致；并组求和时 有没有漏掉或重复最后一项。 二、典型例题 例1　分组转化：奇偶分列，各求各的和 已知各项均为正数的数列 中 ，满足 （）。（1）求 的通项公式；（2）若 （ 为偶数），（ 为奇数），求 的前 项和 。 变式1　分组转化：按奇偶取值分段递推 已知数列 满足 ，当 为偶数时 ，当 为奇数时 。求 的前 项和 。 例2　分组转化：先构造等比再分别求和 已知数列 的前 项和为 ，且 （）。（1）若 ，求证：数列 是等比数列；（2）若 ，求使不等式 成立的 的最小值。 变式2　分组转化：把通项拆成等比与等差两段 已知数列 是等比数列，且 ，，求数列 的前 项和。 例3　错位相减：等差乘等比型 已知数列 和 满足 ，，且 （）。（1）求 和 的通项公式；（2）设数列 的前 项和为 ，求证：。 变式3　错位相减：通项先化成等差乘等比 已知各项均为正数的数列 的前 项积为 ，且 。（1）求 的通项公式；（2）设 ，求数列 的前 项和 。 例4　裂项相消：等差型 已知数列 的前 项和 满足（），且 。（1）求 的通项公式；（2）记 ，求 的前 项和 。 变式4　裂项相消：分母是相邻两奇数之积 已知数列 的通项公式为 ，求 的前 项和 。 例5　并项求和：符号因子与通项一起分组 已知数列 满足 ，，（）。求 的前 项和 。 变式5　并项求和：相邻两项并成一组 已知数列 满足 。（1）求 的前 项和；（2）某同学计算前 项和时把其中一项的符号写错了，得到 ，求被写错符号的那一项原来的值。 三、巩固练习 1．已知 是公差不为零的等差数列，记 ， 分别为数列 ， 的前 项和，其中 （ 为奇数），（ 为偶数）。若 ，。（1）求 的通项公式；（2）求 的前 项和 。 2．已知平面向量 ，（）。若 ，求数列 的前 项和 。 3．已知函数 满足 。若数列 满足，求数列 的前 项和。 4．已知 是等差数列， 是等比数列，且 ，，。（1）求 和 的通项公式；（2）求数列 的前 项和 。 5．已知 ， 分别是等差数列 和等比数列 的前 项和，，，，。若 为递增数列，，求 的前 项和 。 学科网（北京）股份有限公司 $