2.1等式性质与不等式性质同步练习--2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2.1等式性质与不等式性质同步练习题 一、单选题 1．限速50km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过50km/h，写成不等式就是（   ） A． B． C． D． 2．已知、、均为实数，若且，则下列不等关系中成立的是（    ） A． B． C． D． 3．设，，，则，的大小关系是（          ） A． B． C． D． 4．设，给出下列四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论的序号为（      ） A．①② B．①③④ C．②③④ D．①②③ 5．已知，满足，，则的最大值为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．已知实数x，y满足，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．下列关于不等关系的说法正确的是（　　） A．某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌，是指示司机要安全通过隧道，应使车载货物高度h（米）满足 B．用不等式表示“a与b的差是非负数”为 C．不等式的含义是指x不小于2 D．若或之中有一个成立，则成立 8．若，，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 9．用不等号“”或“”填空． （1），_________； （2），_________； （3）_________； （4）_________． 10．为了加强家校联系，蔡老师组建了一个由学生、家长和教师组成的微信群．已知该群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数．则该微信群人数的最小值为_______ 四、解答题 11．比较多项式与的大小. 12．已知克糖水中有克糖，往糖水中加入克糖，假设全部溶解糖水更甜了.这就是著名的“糖水不等式” (1)请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立； (2)利用（1）的结论比较的大小. 13．比较与（且，且）的大小． 参考答案 1．D 【详解】速度不超过，写成不等式就是. 2．D 【分析】根据不等式的性质，以及作差法判断不等式的大小，即可判断选项. 【详解】对于A选项，若，则，当时等号成立，故A错误； 对于B选项，，因为，则， 当、同号时，，则，即， 当、异号时，，则，即，故B错误； 对于C选项，当时，，故C错误； 对于D选项，若，则，，故D正确. 3．B 【详解】，由，， 得， 所以. 4．B 【详解】对于①，因为，所以，，所以，①正确； 对于②，不妨取，，满足，但，②错误； 对于③，由，可得，所以，③正确； 对于④，由，得，而， 所以，即，④正确． 5．C 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 即，则的最大值为7. 6．B 【分析】通过待定系数法将目标函数转化为已知范围的两个线性表达式的线性组合，再利用不等式性质计算取值范围. 【详解】设（）， 则， 所以 ， 解得， 因此， 由，得，由，得， 根据不等式同向可加性，可得， 故的取值范围为. 7．ACD 【详解】A选项，“限高4.5米”，即车载货物高度h（米）满足，A正确； B选项，用不等式表示“a与b的差是非负数”为，B错误； C选项，不等式的含义是指x大于2或等于2，即x不小于2，C正确； D选项，若或之中有一个成立，则成立，D正确 8．AC 【分析】利用不等式性质判断，选项A，利用不等式两边同减一个数，不等号方向不变求解；选项B，反例法求解； 选项C，利用正数越大倒数越小求解；选项D，利用作差法求解. 【详解】选项A，因为，所以，A正确； 选项B,若，则，不满足，B错误； 选项C，因为，所以，C正确； 选项D，， 因为，所以， 因为，所以的符号不定，故不能判断，D错误. 9． 【详解】（1）因为，所以，所以. （2）因为，，所以. （3）因为，所以. （4）因为，所以，所以. 10．22 【详解】设男学生、女学生、家长、教师人数分别为，由题意： 且，因为人数都是正整数，且，所以， 又因为，所以，即，解得， 所以教师人数最少为.为了求最小值， 即可取最小情况为，经检验显然满足题意； 故此时总人数为，因此，该微信群人数的最小值为. 11．当或时，；当或时，；当时，. 【详解】作差： 令，得，. 当或时，，即； 当或时，，即； 当时，，即. 12．(1)，证明如下： ， 因为，，所以，， 所以，即； (2) 【分析】（1）结合不等式的性质即可求解； （2）利用（1）的结论即可求解与的大小. 【详解】（1）略 （2）由题可知：，因为，， 由（1）可知，即. 13．（当且仅当时等号成立） 【分析】由且，且，得，；通过作商法比较与的大小. 【详解】且，且，，. . 当时，，，得，则； 当时，，，得，则； 当时，，，得，则； 综上所述，（当且仅当时等号成立）. 学科网（北京）股份有限公司 $